25．2.1　配方法 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦直接开平方法与配方法解一元二次方程，通过实际问题（如正方形剪矩形求边长）和复习（平方根、完全平方公式）导入，搭建新旧知识支架，衔接平方根与降次思想。 以生活情境和问题链驱动教学，剪矩形问题培养数学眼光，配方步骤归纳发展数学思维，例题涵盖解方程、求最值等体现数学语言。助力学生掌握降次转化思想，帮助教师高效备课，提升课堂互动与知识落实。

25．2.1　配方法 第1课时　用直接开平方法解一元二次方程 教师备课　素材示例 ●归纳导入　如图，将边长为x的正方形沿两边剪去两个宽度相同的矩形(阴影部分)，剩下的部分是一个边长为3的正方形，剪去部分的面积为7，求x的值． 【分析】这个正方形的边长是x m．由题意列方程，得x2－7＝9. 【思考】你会利用平方根的知识解这个方程吗？ 解：由题意，得x2－7＝9.x2＝16. 根据平方根的意义，得x＝±＝±4， ∴原方程的解是x1＝4，x2＝－4. ∵边长不能为负数，∴x＝4. ∴x的值是4. 【教学与建议】教学：用学生身边的实际问题引入新课，激发学生的积极性，同时体现数学来源于生活并用之于生活．建议：讲解解方程的时候，引导学生用平方根的知识求解． ●复习导入　(1)如果x2＝a，那么x叫作a的__平方根__；求一个数a的__平方根__的运算叫作开平方．非负数a的平方根为__±__，非负数a的算术平方根为____． (2)0.36的平方根是__±0.6__；18的平方根是__±3__；若x2＝5，则x＝__±__. 【教学与建议】教学：通过对平方根、开平方的复习，为进一步学习直接开平方法，起到承上启下的作用．建议：在复习中，让学生明确平方根、算术平方根的区别和联系，掌握求平方根的方法． 命题角度　用直接开平方法解一元二次方程 形如x2＝p(p≥0)的形式，可得x＝±；如果方程化成(nx＋m)2＝p(p≥0)的形式，那么可得nx＋m＝±. 【例1】解下列方程： (1)(x－2)2－13＝108； 解：移项、合并同类项，得(x－2)2＝121. 由此可得x－2＝±11. x－2＝11，或x－2＝－11. 即x1＝13，x2＝－9. (2)x2＋10x＋25＝2. 解：(x＋5)2＝2， 由此可得x＋5＝±， x＋5＝，或x＋5＝－. 即x1＝－5，x2＝－－5. 【例2】用配方法解x2－4x＝5的过程中，配方正确的是 (D) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 【例3】若4x2－20x＋m2是一个完全平方式，则m＝__±5__． 高效课堂　教学设计 1．会利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程． 2．初步了解形如(x＋n)2＝p(p≥0)方程的解法． 3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性． ▲重点 运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程． ▲难点 通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程． ◆活动1　新课导入 求下列各数的平方根： (1)144；　　　　　　　　　　(2). 解：±＝±12. 解：±＝±. ◆活动2　探究新知 教材P5　第1个探究． 提出问题： (1)(__±__)2＝5，据此思考如何解方程(x＋3)2＝5呢？ (2)可考虑令y＝x＋3，则方程变为y2＝5，先解出y的值，再求x的值； (3)由方程(x＋3)2＝5可得到哪两个一元一次方程？ (4)上述所解方程有什么共同点？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．一般地，对于方程x2＝p， (1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个__不相等__的实数根__x1＝－，x2＝__； (2)当p＝0时，方程有两个__相等__的实数根__x1＝x2＝0__； (3)当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程__无__实数根． 提出问题： (1)一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次是如何转化为一次的？ (2)请谈谈如何降次． 2．直接开平方，把一元二次方程“降次”化为两个__一元一次__方程． ◆活动4　例题与练习 例1　解下列方程： (1)x2－36＝0；　　　　　(2)2y2＝100；　　　　　(3)16p2－5＝0. 解：(1)x1＝6，x2＝－6. (2)y1＝5，y2＝－5. (3)p1＝，p2＝－. 例2　解下列方程： (1)2(2x－1)2－10＝0； (2)y2－4y＋4＝8； (3)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0. 解：(1)由2(2x－1)2－10＝0，得(2x－1)2＝5. 由此可得2x－1＝±，2x－1＝，或2x－1＝－， 即x1＝，x2＝. (2)原方程可化为(y－2)2＝8. 由此可得y－2＝±2，y－2＝2，或y－2＝－2， 即y1＝2＋2，y2＝2－2. (3)原方程可化为4(3x－1)2＝9(3x＋1)2. 由此可得2(3x－1)＝±3(3x＋1)， 2(3x－1)＝3(3x＋1)，或2(3x－1)＝－3(3x＋1)， 即x1＝－，x2＝－. 例3　已知方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，求k的值和另一个根． 解：∵方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6， ∴(6－3)2＝k2＋5，解得k＝±2. ∴原方程为(x－3)2＝9， 解得x1＝6，x2＝0. ∴另一个根为x＝0. 练习 1．教材P6　练习． 2．若x2－2xy＋y2＝4，则x－y的值为 (　C　) A．2　　　　B．－2　　　　C．±2　　　　D．不能确定 3．若实数a，b满足(a2＋b2－3)2＝25，则a2＋b2的值为 (　A　) A．8　　　　B．8或－2　 　C．－2　　　　D．28 4．若代数式2x2＋3与2x2－4的值互为相反数，则x＝__±__． ◆活动5　课堂小结 1．本堂课解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，由平方根的定义将其降次为mx＋n＝±，再解两个一次方程即可求得解． 2．用直接开平方法解一元二次方程的基本思想是降次． 1．作业布置 (1)教材P17　习题25.2第1题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 第2课时　用配方法解一元二次方程 教师备课　素材示例 ●归纳导入　李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……你能按照他的想法求出这个方程的解吗？从中你能得到什么启示？ 【教学与建议】教学：通过情境引入对一个陌生一元二次方程的求解方法，让学生经历用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想．建议：讲解时让学生明白方程两边同时加14的目的，体会等式的性质及转化思想的应用. 【归纳】当一元二次方程的二次项系数为1时，方程两边同时加一次项系数的一半的平方． ●复习导入　能用直接开平方法求解的一元二次方程有什么特点？试解下列方程：①(x＋3)2＝5；②x2＋6x＋9＝1，说一说这两个方程的求解过程有何异同？ (1)回顾完全平方公式，并完成填空． ①x2＋4x＋__4__＝(x＋__2__)2； ②x2－10x＋__25__＝(x－__5__)2； ③x2＋mx＋____＝(x＋)2. 观察问题：各式中的常数项与一次项的系数有什么关系？ 教师点拨：常数项是一次项系数一半的平方． (2)根据方程x2＋6x＋9＝1的求解思路，你能解一元二次方程x2＋6x＋8＝0吗？ 【教学与建议】教学：通过复习，使学生明确能用直接开平方法求解的方程的特点和完全平方公式的特点，实现开平方解一元二次方程的可行性．建议：整个复习过程让学生充分参与，相互配合． 命题角度1　配方 根据完全平方式的结构特点，将一个二次三项式或一元二次方程配成含完全平方式的形式． 【例1】(1)用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是 (C) A．(x－)2＝ B．(x－)2＝ C．(x－)2＝ D．(x－)2＝ (2)如果x2－8x＋m＝0可以通过配方写成(x－n)2＝6的形式，那么x2＋8x＋m＝0可以配方成 (D) A．(x－n＋5)2＝1 B．(x＋n)2＝1 C．(x－n＋5)2＝11 D．(x＋n)2＝6 命题角度2　用配方法解一元二次方程 一元二次方程的二次项系数化为1，原方程变形为(x＋m)2＝n的形式，再利用直接开平方法解方程． 【例2】用配方法解下列方程： (1)x2＋2x－4＝0； 解：移项，得x2＋2x＝4.配方，得x2＋2x＋12＝4＋12，(x＋1)2＝5. 由此可得x＋1＝±，x1＝－1＋，x2＝－1－. (2)2x2－6x－1＝0. 解：移项，得2x2－6x＝1.二次项系数化为1，得x2－3x＝. 配方，得x2－3x＋()2＝＋()2，(x－)2＝. 由此可得x－＝±，x1＝，x2＝. 命题角度3　用配方法求字母或代数式的值 用配方法，将一个等式转化为几个非负数或式的和为0的形式． 【例3】(1)若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则△ABC的形状是__等边三角形__． (2)已知5x2＋3y2－20x－6y＋23＝0.求yx的值． 解：原式可变形为(5x2－20x＋20)＋(3y2－6y＋3)＝0. 配方，得5(x－2)2＋3(y－1)2＝0，则x－2＝0，y－1＝0， 解得x＝2，y＝1，故yx＝12＝1. 命题角度4　用配方法进行说理 理解配方法的关键点是“一个数的平方为非负数”和“利用完全平方公式配方”． 【例4】我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有a2≥0成立，所以当a＝0时，a2有最小值为0. 【应用】(1)当x＝__1__时，代数式(x－1)2有最小值； (2)代数式m2＋3的最小值是__3__； 【探究】求代数式n2＋4n＋9的最小值，小明是这样做的：n2＋4n＋9＝n2＋4n＋4＋5＝(n＋2)2＋5， ∴当n＝－2时，代数式n2＋4n＋9有最小值，最小值为5. (3)请你参照小明的方法，求代数式a2－6a－3的最小值，并求此时a的值． 解：a2－6a－3＝a2－6a＋9－9－3＝(a－3)2－12. ∵(a－3)2≥0，∴(a－3)2－12≥－12. ∴当a＝3时，代数式a2－6a－3取得最小值，最小值为－12. 高效课堂　教学设计 1．掌握配方法和指导过程，能使用配方法解一元二次方程． 2．通过降次的思想解方程，掌握一些转化的技能． ▲重点 配方法的解题步骤． ▲难点 用配方法解系数不为1的一元二次方程． ◆活动1　新课导入 1．填空： (1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2； (2)x2－5x＋(____)2＝(x－____)2； (3)x2＋x＋(____)2＝(x＋____)2. 2．若x2－mx＋64是一个完全平方式，则m的值是__±16__． ◆活动2　探究新知 1．教材P7　探究． 提出问题： (1)请把方程(x＋3)2＝5化成一般形式，然后与所探究中的方程进行比较，你有什么发现？ (2)如何将方程x2＋6x＋4＝0化成(x＋3)2＝5的形式呢？ (3)把常数项移到方程右边之后，为什么要在x2＋6x＝－4的两边都加上9？加其他数行吗？ (4)通过x2＋6x＋4＝0的解题过程，你能说说配方的一般步骤是什么吗？配方的关键是什么吗？ 学生完成并交流展示． 2．解方程3x2－2x－1＝0. 提出问题： (1)如果一个一元二次方程的二次项系数不为1，还能用配方法来解吗？ (2)请将方程3x2－2x－1＝0的二次项系数化为1，并尝试解此方程； (3)由此请你再归纳一下用配方法解一元二次方程的一般步骤． 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．通过配成__完全平方__形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法． 2．对于任意一元二次方程，用配方法解的一般步骤：(1)先化成__一般形式__；(2)将常数项移到等式右边；(3)两边除以__二次项系数__；(4)方程两边都加上__一次项系数一半的平方__；(5)将等式左边化成__完全平方形式__；(6)两边开方，并求出方程的解． 提出问题： (1)配方过程中，在等式两边加上的常数与一次项系数的关系如何？ (2)配方过程中，若等号右边为负数，这个方程有没有实数根？ (3)配方过程中还需注意哪些问题？ ◆活动4　例题与练习 例1　教材P7　例2. 例2　求证：无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0. 证明：2x2－4x＋3＝2(x2－2x＋)＝2＝2(x－1)2＋1.∵(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋1＞0，∴无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0. 提出问题： 二次三项式的配方与一元二次方程的配方有什么区别，请指出具体区别在什么地方？ 学生回答，教师强调： 二次三项式配方时，不能除以二次项的系数，只能提取二次项的系数，并添上括号，再用配方法构造一个完全平方式；而一元二次方程配方时，两边除以二次项系数后，再用配方法构造一个完全平方式． 练习 1．教材P9　练习第1，2题． 2．代数式x2－8x＋18的值 (　A　) A．恒为正　　　B．恒为负　　　C．可能为0　　　D．不能确定 3．把方程2x2＋6x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则m＝____，k＝____． 4．式子－x2－4x－5，可配方为－(x＋__2__)2__－1__，该式有最__大__值，是__－1__． 5．试证明：无论a为何实数，关于x的方程(a2－8a＋17)x2＋2ax＋1＝0都是一元二次方程． 证明：∵a2－8a＋17＝(a－4)2＋1＞0，∴无论a为何实数，该方程都是一元二次方程． ◆活动5　课堂小结 1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤． 2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性，在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到． 1．作业布置 (1)教材P17　习题25.2第2，3题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $