25.2.2 第2课时 用公式法解一元二次方程 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“用公式法解一元二次方程”，通过回顾根的判别式、求根公式及条件等旧知，以问题链搭建学习支架，引导学生衔接上节课内容，自然引出本节课探究主题。 此资料亮点在于通过小组讨论推导求根公式培养推理能力，例题涵盖不同根的情况及几何应用体现模型意识，随堂检测结合参数方程强化应用意识。帮助学生掌握公式法步骤提升解题能力，为教师提供清晰流程和多样化例题，提高课堂效率。

25.2.2　公式法 第2课时　用公式法解一元二次方程 教学设计 课题 25.2.2　第2课时 用公式法解一元二次方程 授课人 教学目标 1.（2022新课标）能用公式法解数字系数的一元二次方程. 2.熟练应用公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方程化为一般形式. 教学重点 利用根的判别式进行相关的判定和计算. 教学难点 利用公式法解一元二次方程． 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 上节课我们学习一元二次方程求根公式的推导过程及根的判别式来判断一元二次方程根的情况,提出问题: （1）根的判别式是什么？如何利用根的判别式来判断一元二次方程根的情况？ （2）求根公式是什么？求根公式的条件是什么？ （3）利用判别式判断方程 这节课我们一起用公式法来解一元二次方程. 学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究. 探究新知 用公式法解一元二次方程 回顾一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求解过程，你能分析出它的解的情况吗？ 师生活动：学生小组内交流、讨论，教师给予指导和帮助，达成共识． 因为a≠0，所以4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况： （1）当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，x1=，x2=． （2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，x1=x2=. （3）当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解． 归纳：（1）当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，其实数根 可写为x=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式． （2）解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接带入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫公式法． （3）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 通过问题引发学生思考，引导学生探究. 通过问题解决，总结一元二次方程的求根公式. 典例精析 【例1】(教材p11例3) 用公式法解下列方程： （1）；     （2）； （3）；      （4）． 【解】（1）由题意得：，，， ∴， ∴方程有两个不等的实数根 ∴． ∴，； （2）由题意得：，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， ∴； （3）方程化为， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不等的实数根， ， 即，； （4）方程化为． ∴，，， ∴． ∴方程无实数根． 【方法总结】用公式法解一元二次方程的步骤 （1）把方程化为一般形式，一般应使a＞0； （2）指出一般式中的a，b，c的值； （3）计算代数式b2－4ac的值，判断其是否非负； （4）当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式求解． 【例2】用公式法解方程：x2＋3＝2x． 【解】将方程化为一般形式，得 x2－2x＋3＝0． 这里a＝1，b＝－2，c＝3． ∵b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝0， ∴x＝， 即x1＝x2＝． 【例3】用公式法解方程，并求根的近似值（精确到0.01）： (x＋1)(3x－1)＝1． 【解】将方程化为一般形式，得3x2＋2x－2＝0． 这里a＝3，b＝2，c＝－2． ∵b2－4ac＝22－4×3×(－2)＝28＞0， ∴x＝＝． 即x1＝≈≈0.55，x2＝≈≈≈－1.22． 【方法总结】用公式法解一元二次方程，首先将方程化成一般形式，确定各项的系数(注意符号)，当b2－4ac≥0时，将各系数代入求根公式求解．注意只有在b2－4ac≥0的情况下才能使用公式法进行求解． 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 通过例题，加强学生对一元二次方程的求根公式解方程的能力. 随堂检测 1．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是关于x的方程x2－6x＋8＝0的一个解，则这个三角形的周长为_______． 解析：x2－6x＋8＝0，这里a＝1，b＝－6，c＝8． ∵b2－4ac＝(－6)2－4×1×8＝4＞0， ∴x＝＝．即x1＝4，x2＝2． ∵6－3＜第三边的长＜6＋3，即3＜第三边的长＜9， ∴第三边的长为4． ∴这个三角形周长为3＋6＋4＝13． 答案：13. 2．用公式法解方程：(x－2)(1－3x)＝6． 解：化为一般式，得3x2－7x＋8＝0， 这里a＝3，b＝－7，c＝8． ∵b2－4ac＝(－7)2－4×3×8＝49－96＝－47＜0， ∴原方程没有实数根． 3．用公式法解下列一元二次方程． （1）x2－3x－2＝0； （2）－x2－2x＝2x＋1． 解：（1）∵a＝1，b＝－3，c＝－2， ∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－2)＝17＞0． ∴x＝＝． ∴x1＝，x2＝． （2）方程化为x2＋4x＋1＝0． ∵a＝1，b＝4，c＝1， ∴b2－4ac＝42－4×1×1＝12＞0， ∴x＝＝−2±． ∴x1＝−2+，x2＝−2-． 4．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的一个根为0，求m的值． 解：把x＝0代入原方程，得m2－3m＋2＝0． 这里a＝1，b＝－3，c＝2， ∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1＞0， ∴m＝＝，即m1＝2，m2＝1． 又原方程为关于x的一元二次方程， ∴m－1≠0，即m≠1，∴m＝2． 5．无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出你的答案并说明理由． 解：方程化简为x2－5x＋6－p2＝0， ∴b2－4ac＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝4p2＋1≥1， ∴Δ＞0， ∴无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1.方法层面：学习了公式法，体会 “通法求解” 的思想，通过代入求根公式直接计算一元二次方程的根，感受从特殊到一般、从配方法推导通用解法的数学方法. 2.知识内容层面：掌握一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的求根公式，明确公式的推导来源（配方法），归纳公式法的解题步骤：化一般形式→确定系数→计算判别式→代入公式求解；理解判别式Δ=b2−4ac决定根的存在性与类型. 3.概念联系与区别：明确公式法是配方法的直接产物与通用形式，适用于所有一元二次方程；强调 “a≠0” 是公式成立的前提，若a=0则方程退化为一元一次方程；区分公式法与配方法：配方法是推导公式的基础，公式法是通用解法. 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳配方法的概念及解题步骤． 巩固所学知识，加深对求根公式的理解与应用. 作业布置 《课时训练》p9—p10练习题 板书设计 用公式法解一元二次方程 1.求根公式 2.用公式法解一元二次方程的步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（Δ值）； 四代（求根公式计算） 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $