2026-2027学年浙教版数学七升八暑假专练：分式方程及其应用

**基本信息** 聚焦分式方程全链条能力培养，以概念辨析为基础，解法技巧为核心，增根问题为易错点，实际应用为拓展，形成系统性训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题|分式方程定义判断|从定义切入，建立认知基础| |解法技巧|4题|去分母/换元法转化|通过整式化思想突破求解关键| |增根问题|4题|增根产生条件分析|强化验根意识，攻克易错点| |实际应用|6题|实际问题建模（工程/行程/经济）|衔接生活场景，培养模型意识与应用能力|

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 分式方程及其应用 一、单选题 1.把方程 去分母正确的是（   ） A.                           B.  C.                               D.  2.下列关于x的方程： 中，分式方程的个数是（    ） A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个 3.用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可以变形为整式方程（    ） A.                 B.                 C.                 D.  4.把方程 的分母化为整数，结果应为（   ） A.                                                B.  C.                                     D.  5.使分式 和分式 相等的 值是（   ） A. -5                                         B. -4                                         C. -3                                         D. -1 6.若关于 的分式方程 有增根，则 的值是（ ）． A.                             B.                             C.                             D.  或 7.崇左市即将跨入高铁时代，南宁至凭祥的高速铁路正在建设中，甲工程队每天比乙工程队多修建20 m，甲工程队修建6000 m用的时间与乙工程队修建4800m用的时间一样.设乙工程队每天修建x m，则根据题意所列的方程是(   ) A.                                             B.  C.                                       D.  8.已知关于x的分式方程 ﹣1＝ 无解，则m的值是（   ） A. ﹣2或﹣3                               B. 0或3                               C. ﹣3或3                               D. ﹣3或0 9. 是下列哪个分式方程的解（    ） A.              B.              C.              D.  10.商家常将单价不同的A，B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B两种糖的总价与A，B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为(    ) A. 50元/千克                         B. 60元/千克                         C. 70元/千克                         D. 80元/千克 二、填空题 11.方程 的根是________． 12.分式方程 有增根，则 ________ 13.甲和乙同时从A地出发，匀速行走到B地．甲走完一半路程时，乙才走了4千米．乙走完一半路程时，甲已走了9千米．当甲走完全程时，乙未走完的路程还有________千米 14.方程： 无解，则k的值为________． 15.当x=________时，分式 与 互为相反数. 16.要在规定的日期内加工一批机器件,如果甲单独做,刚好在规定日期内完成,乙单独做则要超过3天.现在甲乙两人合作2天后,再由乙单独做,正好按期完成.则规定日期是________天 三、解答题 17.解分式方程： ． 18.解下列方程（组）： （1） （2） 19.  801班原有卫生区260平方米，现在由于某种原因变成了200平方米，因在打扫卫生时每分钟比原来少打扫15平方米，结果现在完成卫生任务的时间与原来的一样. 求：   （1）原来每分钟打扫卫生多少平方米？ （2）现在完成卫生任务要多少时间？ 20.某社区积极响应正在开展的“文明城市创建工作”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造.已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300m2的绿化面积比乙工程队完成200m2的绿化面积少用2h.求乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？ 21.已知 +5=0是关于x的一元一次方程． （1）求a、b的值； （2）若y=a是关于y的方程 的解，求|a-b|-|b-m|的值． 22.以下是圆圆解方程 ＝1的解答过程． 解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1． 去括号，得3x+1﹣2x+3＝1． 移项，合并同类项，得x＝﹣3． 圆圆的解答过程是否有不符合题意？如果有不符合题意，写出正确的解答过程． 23.  新冠肺炎时期，口罩在市场上供不应求，生产口罩的主要材料是熔喷布。已知1吨熔喷布可以生产105万只医用一次性口罩，或者60万只KN95口罩。某生产熔喷布的企业要求在规定时间内完成100吨熔喷布的订单，为提高产量，现对生产车间进行改造，改造后每天比改造前多生产4吨熔喷布，结果在规定时间内多生产了40吨熔喷布。 （1）现有一批熔喷布，若全部用来生产医用一次性口罩则可以生产420万只，则这批熔喷布全部用来生产KN95口罩则可以生产________万只； （2）求该企业改造后熔喷布的日产量和企业要求规定的天数。 24.湖州奥体中心是一座多功能的体育场，目前体育场内有一块长80m，宽60m的长方形空地，体育局希望将其改建成花园小广场，设计方案如图，阴影区域是面积为192平方米的绿化区（四块相同的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样. （1）体育局先对四个绿化区域进行绿化，在完成工作量的 后，施工方进行了技术改进，每天的绿化面积是原计划的两倍，结果提前四天完成四个绿化区域的改造，问原计划每天绿化多少平方米？ （2）老师提出了一个问题：你能不能求出活动区的出口宽度是多少呢？ 请你根据小丽的方法求出活动区的出口宽度，并把过程写下来. 答案解析部分 一、单选题 1. A 考点：解分式方程 解：原方程两边同时乘以6可得： , 故答案为：A. 分析：由题意将原方程两边同时乘以6（不能漏项）可求解. 2. C 考点：分式方程的定义 解：分式方程是： 共3个； 故答案为：C 分析：根据分式方程的定义判断即可. 3. C 考点：换元法解分式方程 解： 变形为： 设 ，则原方程化为y- -1=0，去分母得，y2-y-1=0． 故答案为：C ． 分析：根据换元法，把 ， 再整理即可得出。 4. B 考点：解分式方程 解：把方程 的分母化为整数，结果应为： . 故答案为：B. 分析：利用分数的基本性质，方程左边第一个分数和第二个分数的分子和分母都乘以10，即可求解. 5. C 考点：解分式方程 解：根据题意得， = . 方程的两边同乘（x-3）（x-1），得 x(x-1)=(x+1)（x-3）， 解得x=-3. 检验：把x=-3代入（x-3）（x-1）=24≠0. ∴原方程的解为：x=-3. 故答案为：C. 分析：先列方程，观察可得最简公分母是（x-3）（x-1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解. 6. A 考点：分式方程的增根 解：方程两边都乘以（x−3）得， 2−x−m=2（x−3）， ∵分式方程有增根， ∴x−3=0， 解得x=3， ∴2−3−m=2（3−3）， 解得m=−1. 故答案为：A. 分析：利用去分母将分式方程化为整式方程，由分式方程有增根，可求出增根，然后将增根代入整式方程中，求出m值即可.  7. B 考点：分式方程的实际应用 解： ∵乙工程队每天修建x m，甲工程队每天比乙工程队多修建20m， ∴甲工程队每天修建（x+20）m. 依题意，得： 故答案为：B. 分析：甲工程队的工作效率=乙工程队的工作效率+20 ；甲工程队修建6000 m用的时间=乙工程队修建4800m 时间，列方程即可。 8. A 考点：分式方程的增根 解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3， 整理，得：（m+2）x＝﹣3， 解得 ， ①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解， ②∵关于x的分式方程 ﹣1＝ 无解， ∴ 或 ， 即m+2＝0或3（m+2）＝﹣3， 解得m＝﹣2或﹣3. ∴m的值是﹣2或﹣3. 故答案为：A. 分析：分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0. 9. D 考点：分式方程的解及检验 解：当 时， A. 中， 的分母等于0，分式无意义，A不符合题意； B. 中， ，分母等于0，分式无意义，B不符合题意； C. 中， 的分母等于0，分式无意义，C不符合题意； D. 中， ，D符合题意. 故答案是：D 分析：根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可. 10. B 考点：列式表示数量关系，分式方程的实际应用 解：设A、B两种糖的单价为x、y,  “什锦糖”甲 混合时所谓的相同质量是m,  “什锦糖”乙 混合时所谓的相同金额是n,  “什锦糖”甲单价为a, “什锦糖”甲单价为b, 则： , 把y=40+x代入上式解得：x=60. 故答案为：B 分析：根据题意设单价、数量和金额等未知量，注意有些未知量是为解题需要，但设而不求，分别计算两种情况下的“什锦糖”单价，结合已知的单价关系，解出x即可。 二、填空题 11. 考点：解分式方程 解： 去分母得 解得x=±3 ∵分母x+3≠0，∴x≠-3 故x=3． 故答案为：x=3． 分析：去分母，解之即可。 12. 4 考点：分式方程的增根 解：方程两边都乘 ，得： 根据题意有增根， 所以最简公分母 ，即增根是 把 代入 ，解得 故答案为：4. 分析：先去分母，将分式方程转化为整式方程，再根据方程有增根，可知增根为x=3，然后将x=3代入整式方程，可求出m的值. 13. 4 考点：分式方程的实际应用 解：设全程为2S千米，甲速度为x千米/时，乙速度为y千米/时， 由题意得 ， ∴ ， ∴ ， ∴S2=4×9=36， 又S＞0，∴S=6，2S=12． ∵甲走完一半路程时乙走了4千米． ∴甲走完完全程时乙走了8千米，12-8=4千米． ∴甲走完全程时，乙未走完的路程为4千米． 故答案为：4． 分析：可设全程为2S，以及两个人的速度分别为x，y．等量关系为：甲走全程一半的时间=乙走4千米用的时间；乙走全程一半的时间=甲走9千米用的时间，把相关数值代入化简可得路程的一半长，进而求得全程长，进而可求乙未走完的路程长． 14. 4或-6或-1 考点：分式方程的增根 解： ，       当 时，方程无解，   又因为方程的增根为： 把 代入     把 代入     综上：原方程无解时， 或 或 ． 故答案为：4或-6或-1 分析：先把分式方程转化为整式方程，分情况讨论，即方程无解与方程有增根两种情况，从而可得答案． 15. 3 考点：解分式方程 解：∵ 分式 与 互为相反数. ∴ 解之：x=3 经检验x=3是方程的解. 故答案为：3. 分析：根据互为相反数的两数之和为0，建立关于x的分式方程，再去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验可得x的值。 16. 6 考点：分式方程的实际应用 解：设规定日期是x天，则甲单独做需要x天,乙单独做需要(x+3)天，根据题意得： ， 两边同乘以x(x+3)，约去分母得， 2(x+3)+2x+x(x−2)=x(x+3)， 解这个整式方程，得：x=6， 经检验，x=6是原方程的根. 答：规定的日期是6天. 分析：首先设工作总量为1，未知的规定日期为x．则甲单独做需x天，乙队需x+3天．由工作总量=工作时间×工作效率这个公式列方程易求解． 三、解答题 17. 解：去分母得： ， 整理得： ， 即： ， 解得： ， ， 经检验：当 时，分母 ， 是增根（舍去）， 是原方程的解， 原方程的解是 ． 考点：解分式方程 分析：先去分母，再整理即可得出。 18. （1）解： 得 . 经检验， 是原方程的解. ∴原方程的解为 . （2）解：把 代入下面的方程得： ， 解得 ， 把 代入 中得 ， 所以原方程组的解是 . 考点：解二元一次方程组，解分式方程 分析： (1) 解分式方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验 (2) 本题考查代入消元法解二元一次方程组，首先将x-2y=1变形为x=2y+1，再将变形后的方程代入另一个方程即可. 19. （1）解：设原来每分钟扫卫生 ，由题可得 ，解得， 经检验： 是原分式方程的解， 答：原来每分钟打扫卫生 （2）解：当 时， 答：现在完成卫生任务要4分钟. 考点：分式方程的实际应用 分析：（1）抓住关键已知条件：根据在打扫卫生时每分钟比原来少打扫15平方米，可以辅助设未知数；再根据结果现在完成卫生任务的时间与原来的一样，由此已知条件建立方程，然后求出方程的解即可； （2）利用已知条件列式取出现在完成卫生打扫的时间. 20. 解：设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积， 根据题意得： ＝ ， 解得：x＝25， 经检验，x＝25是分式方程的解， 答：乙工程队每小时能完成25平方米的绿化面积. 考点：分式方程的实际应用 分析：设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，据此结合“甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成200平方米的绿化面积少用2h”即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论. 21. （1）解：∵ +5=0是关于y的一元一次方程， ∴a+b=0， a+2=1， ∴a=-2，b=2 （2）解：把y=a=-2，代入 ， ∴m= ， ∴|a-b|-|b-m|=- ． 考点：一元一次方程的定义，解分式方程 分析：（1）根据一元一次方程中系数、次数的定义，可解出a、b的两个值。 （2）将y的值代入方程，可得出关于m的方程，解出m的值，求出结果。 22. 解：圆圆的解答过程有不符合题意， 正确的解答过程如下： 3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6． 去括号，得3x+3﹣2x+6＝6． 移项，合并同类项，得x＝﹣3． 考点：解分式方程 分析：如果方程含有分母，则等号两边每一项均乘上分母的最小公倍数，不重不漏 23. （1）240 （2）解：企业规定的天数为x天，由题意可列方程： 解得x=10 经检验x=10是原方程的解，且符合题意. 则改造后的日产量为 吨 答：企业改造后熔喷布的日产量为14吨，规定的天数为10天 考点：分式方程的实际应用 解：（1）设这批熔喷布全部用来生产KN95口罩则可以生产m万只， 由题意得105:60=420：m， 解得m=240. 分析：（1）设这批熔喷布全部用来生产KN95口罩则可以生产m万只，由题意可得105:60=420：m，求出m值即可； （2）设企业规定的天数为x天， 根据改造前口罩数量 24. （1）解：设原计划每天x平方米；则： ， 解得：x=16 经检验，x=16是原方程的解， 所以，原计划每天修16平方米； （2）解：由题可得： ， ∴x+y=22 解得： 则出口宽度：80-2x=48（米） 考点：分式方程的实际应用，二元一次方程组的应用-几何问题 分析：（1）设原计划每天修x平方米，根据“结果提前4天完成任务”列出方程，求解并检验即可； （2）设直角三角形较长边为x米，较短边为y米，根据出口宽度相同，阴影部分面积为192平方米可列出方程组整理得出x-y与xy的值，进而根据完全平方公式的恒等变形求解即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $