2026-2027学年浙教版数学七升八暑假专练：因式分解

**基本信息** 聚焦因式分解定义辨析、方法应用及综合拓展，构建“定义-基础方法-进阶技巧-实际应用”的完整训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义辨析|1题|因式分解与整式乘法的区别|从概念本质出发，建立判断标准| |提公因式法|3题|公因式确定（系数、字母、指数）|基础方法，为后续公式法铺垫| |公式法|5题|平方差/完全平方公式特征及参数计算|在提公因式基础上，深化公式应用| |综合应用|4题|提公因式与公式法结合、十字相乘法|多方法融合，培养解题灵活性| |实际应用|3题|因式分解在代数式求值中的整体代入|体现应用意识，连接知识与问题解决|

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2026-2027学年浙教版七升八暑假专练：因式分解 一、单选题 1.下列从左到右的变形中是因式分解的有（   ） ①（p﹣2）（p+2）＝p2﹣4，②a2+2ab+b2﹣1＝a（a+2b）+（b+1）（b﹣1），③4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 ， ④（a+b）（a﹣b）+（b﹣a）＝（a﹣b）（a+b﹣1）. A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个 2.把多项式a2﹣a分解因式，结果正确的是（   ） A. a（a﹣1）               B. （a+1）（a﹣1）               C. a（a+1）（a﹣1）               D. ﹣a（a﹣1） 3.下列添括号正确是（   ） A.           B.  C.                                D.  4.下列等式成立的是（   ） A.        B.        C.        D.  5.将多项式2a2-4ab因式分解应提取的公因式是(   ) A. a                                       B. 2a                                       C. 2ab                                       D. 4a2b 6.如果 是完全平方式，那么k的值是(  ) A. -12                                        B. 6                                        C. ±12                                        D. ±6 7.已知x2+mx+6=（x+a）（x+b），m、a、b都是整数，那么m的可能值的个数为（        ） A. 4                                           B. 3                                           C. 2                                           D. 5 8.分解因式2x2﹣8结果正确的是（　　） A. 2（x+2）（x﹣2）                   B. 2（x﹣2）2                   C. 2（x2﹣8）                   D. 2（x+2）2 9.整式x2+kx+16为某完全平方式展开后的结果，则k的值为（   ） A. 4                                         B. ﹣4                                         C. ±4                                         D. ±8 10.已知下列多项式：① ；② ；③ ；④ 其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（   ） A. ②③④                                 B. ①③④                                 C. ②④                                 D. ①②③ 二、填空题 11.若关于x的多项式x2﹣mx+n能因式分解为：（x﹣2）（x+3），则m+n＝________ 12.因式分解4（a﹣b）2﹣8a+8b的结果是________. 13.关于x的二次多项式x2+6x+m恰好是另一个多项式的平方，则常数项m＝________． 14.已知m-n=100，x+y=-2，则代数式（n+x）-（m-y）的值是________． 15.设 ， ，若 ，则 的值为________. 16.如果二次三项式 是一个整式的平方，则k的值是________． 三、解答题 17.因式分解： （1）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）； （2）2ax2﹣2ay2； （3）（x2+9）2﹣36x2 ． 18.因式分解： （1）2x3﹣8xy2； （2）（m2﹣4m）2+8（m2﹣4m）+16. 19.综合题。 （1）单项式﹣12x12y3与8x10y6的公因式是________； （2）3ab4﹣6ab3+9ab2各项的公因式是________； （3）﹣4a2b+8ab﹣4a各项的公因式是________． 20.解下列各题： （1）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）； （2）甲，乙两同学分解因式x2+mx+n，甲看错了n，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了m，分解结果为（x+1）（x+9），请分析一下m，n的值及正确的分解过程． 21.若a+b＝3，ab＝1. 求 （1）a2+b2； （2）（a﹣b）2； （3）ab3+a3b. 22.在求代数式的值时，当单个字母不能或不用求出时，可把已条件作为一个整体，通过整体代入，实现降次、消元、归零、约分等，快速求得其结果．如：已知 ， ，求代数式 的值．可以这样思考： 因为 ， 所以 即 所以 举一反三： （1）已知 ， ，求 的值． （2）已知 ，则 的值． （3）已知 ，求 的值． 23.阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝﹣4，ab＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10． 已知a+b＝6，ab＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值． （1）a2+b2； （2）（a﹣b）2； （3）a2﹣ab+b2 ． 24.阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）． 例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． 运用上述方法分解因式： （1）x2+6x+8； （2）x2﹣x﹣6； （3）x2﹣5xy+6y2； （4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式． 答案解析部分 一、单选题 1. B 考点：因式分解的定义 解：①（p﹣2）（p+2）＝p2﹣4，从左到右的变形是整式乘法，不合题意； ②4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 ， 从左到右的变形是因式分解，符合题意； ③a2+2ab+b2﹣1＝a（a+2b）+（b+1）（b﹣1），从左到右的变形不符合因式分解的定义，不合题意 ④（a+b）（a﹣b）+（b﹣a）＝（a﹣b）（a+b﹣1），从左到右的变形是因式分解，符合题意； 故答案为：B. 分析：根据因式分解定义"把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式"并结合各选项即可判断求解. 2. A 考点：提公因式法因式分解 解：原式＝a（a﹣1）， 故答案为：A 分析：观察多项式可知：每一项都有公因式a，所以可提公因式a分解因式. 3. C 考点：添括号法则及应用 解：A. ，故此选项不符合题意； B. ，故此选项不符合题意； C. ，符合题意； D. ，故此选项不符合题意 故答案为：C 分析：根据添括号的法则逐个进行判断，即可. 4. D 考点：有理数的加减乘除混合运算，添括号法则及应用，合并同类项法则及应用 解：A、 有理数除法没有分配律，故A选项不正确； B、 ，由 不是同类项，不能合并，故B选项不正确； C、 ，由 不是同类项，不能合并，故C选项不正确； D、利用添括号法则知 ，故D选项正确. 故答案为：D. 分析：根据有理数混合运算法则计算可对A判断；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序及系数没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的不能合并，从而可对B、C判断；根据添括号的法则（括号前面是负号，括到括号里面的各项都要改变符号）可对D判断. 5. B 考点：提公因式法因式分解 解： 2a2-4ab =2a(a-2b); 故答案为：B. 分析：公因式的概念是：一个多项式中的各项都含有的因式叫公因式. 这道题的公因式的确认方法是：2和4的最大公约数是4，相同字母a的最低次数为1，则它们的公因式是：2a. 6. C 考点：完全平方式 解：∵ 如果 是完全平方式， ∴9a2-ka+4=（3a±2）2=9a2±12a+4 ∴-ka=±12a 解之：k=±12. 故答案为：C. 分析：利用完全平方式可得到9a2-ka+4=9a2±12a+4，由此可推出-ka=±12a，即可求出k的值. 7. A 考点：因式分解﹣运用公式法 解：根据题意可知， （x+2）（x+3）=x2+5x+6 （x-2）（x-3）=x2-5x+6 （x+1）（x+6）=x2+7x+6 （x-1）（x-6）=x2-7x+6 故答案为：A. 分析：根据十字相乘法进行因式分解，得到答案即可。 8. A 考点：提公因式法与公式法的综合运用 解：2x2﹣8 ＝2（x2﹣4） ＝2（x+2）（x﹣2）． 故答案为：A． 分析：直接提取公因式2，再利用公式法分解因式得出答案． 9. D 考点：完全平方式 解：∵x2+kx+16是一个完全平方式， ∴x2+kx+16＝（x+4）2或x2+kx+16＝（x﹣4）2 ， ∴k＝﹣8或k＝8. 故答案为：D. 分析：由题意可得：x2+kx+16＝(x+4)2或x2+kx+16＝(x-4)2 ， 据此可得k的值. 10. C 考点：完全平方公式及运用，因式分解﹣运用公式法 解： 与 不是完全平方式，故①③不能用完全平方公式进行因式分解； ，故②能用完全平方公式进行因式分解； ，故④能用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：C. 分析： 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的２倍，可以表示为(a±b)2=a2±2ab+b2 ， 据此判断即可. 二、填空题 11. -7 考点：多项式乘多项式，因式分解的定义 解：∵多项式x2﹣mx+n能因式分解为（x﹣2）（x+3）， ∴x2﹣mx+n＝x2+x﹣6， ∴m＝﹣1，n＝﹣6， ∴m+n＝﹣1﹣6＝﹣7． 故答案是：﹣7． 分析：化简因式分解的式子，然后可以求出m和n的值，即可求出m+n的值. 12. 4（a﹣b）（a﹣b﹣2） 考点：提公因式法因式分解 解：原式＝4（a﹣b）2﹣（8a﹣8b）， ＝4（a﹣b）•（a﹣b）﹣4（a﹣b）×2， ＝4（a﹣b）（a﹣b﹣2）， 故答案为：4（a﹣b）（a﹣b﹣2） 分析：观察多项式可知，可将（a-b）看作一个整体，再用提公因式法分解因式即可求解. 13. 9 考点：完全平方式 解：∵二次多项式x2+6x+m恰好是另一个多项式的平方， ∴x2+6x+m=x2+6x+9 ∴m＝9． 故答案为：9． 分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 14. -102 考点：去括号法则及应用，添括号法则及应用 解：∵ ， ，  ∴原式= ， 故答案为：-102． 分析：先去括号，再添括号进行整理，最后整体代入计算即可. 15. 3 考点：因式分解﹣运用公式法 解：∵ ， ， ， ∴ ， 即 =0， ∴x=3y ∴ =3. 故答案为：3 分析：根据P=Q，得出x=3y，在代入约分即可. 16. 考点：完全平方式 解：∵二次三项式 是一个整式的平方且 = ， ， 故答案为： ． 分析：根据完全平方公式的形式 解题即可． 三、解答题 17. （1）解：原式＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）＝3（a﹣b）（x+2y） （2）解：原式＝2a（x2﹣y2）＝2a（x+y）（x﹣y） （3）解：原式＝（x2+9+6x）（x2+9﹣6x）＝（x+3）2（x﹣3）2 考点：完全平方公式及运用，平方差公式及应用，提公因式法因式分解 分析：（1）原式变形后，提取公因式即可；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（3）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可． 18. （1）解：原式＝2x（x2﹣4y2） ＝2x（x+2y）（x﹣2y） （2）解：原式＝（m2﹣4m+4）2 ＝（m﹣2）4 考点：提公因式法与公式法的综合运用 分析：（1）观察多项式可知各项有公因式“2x”，提公因式后得括号内符合平方差公式特征，再用平方差公式分解即可求解； （2）观察多项式可将（m2-4m）看作一个整体，再两次根据完全平方公式“a2+2ab+b2=（a+b）2”分解即可求解.   19. （1）4x10y3 （2）3ab2 （3）﹣4a 考点：公因式 解：（1）单项式﹣12x12y3与8x10y6的公因式是4x10y3；（2）3ab4﹣6ab3+9ab2各项的公因式是3ab2；（3）﹣4a2b+8ab﹣4a各项的公因式是﹣4a． 故答案为：4x10y3；3ab2；﹣4a． 分析：根据找公因式的规律：系数找最大公因数，字母找指数最低次幂，找出即可． 20. （1）解：原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y） ＝（x﹣y）（9a2﹣4b2） ＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b） （2）解：∵（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，甲看错了n， ∴m＝6． ∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，乙看错了m， ∴n＝9， ∴x2+mx+n＝x2+6x+9＝（x+3）2 ． 考点：多项式乘多项式，提公因式法与公式法的综合运用 分析：（1）用提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答；（2）根据已知条件分别求出m和n的值，然后进行因式分解即可解答. 21. （1）解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×1＝7； （2）解：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝32﹣4×1＝5； （3）解：ab3+a3b＝ab（a2+b2）＝1×7＝7. 考点：完全平方公式及运用，提公因式法因式分解 分析：（1）根据完全平方公式可得a2+b2＝(a+b)2-2ab，然后将已知条件代入计算即可； （2）根据完全平方公式可得(a-b)2＝(a+b)2-4ab，然后将已知条件代入计算即可； （3）对待求式子因式分解可得ab3+a3b＝ab(a2+b2)， 然后代入计算即可. 22. （1）解：因为（a-b）2=12, （a+b）2=18 所以（a+b）2-（a-b）2＝28-12 所以a2+b2+2ab-(a2+b2-2ab)＝16 即4ab=16 ab=4 （2）解：因为 所以 所以 所以 所以 所以 所以 所以 （3）解：因为 ，所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝-1+2019 ＝2018 考点：代数式求值，完全平方公式及运用，提公因式法因式分解 分析：（1）用完全平方公式展开，然后两式做减法可得到4ab=16，即ab=4；（2）根据 可得到 ，然后再根据 得到 ；（3）把 局部进行提取公因式，然后将 整体代入即可 23. （1）解：∵a+b＝﹣4，ab＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×2＝32； （2）解：原式=a2-2ab+b2=（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×2＝28 （3）解：a2﹣ab+b2 =a2+2ab+b2-3ab =（a+b）2-3ab =（-4）2-3×3 =16-9 =7． 考点：完全平方公式及运用，完全平方式 分析：（1）根据已知的思路，先配方，再代值计算即可得出结果； （2）先将完全平方式展开，再配成 （a+b）2﹣4ab的形式，最后代值计算即可； （3）先将原式配成（a+b）2-3ab的形式，然后代值计算即可.  24. （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 考点：提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法 分析：(1)常数项8=2×4，它的一次项系数6=2+4；(2)常数项-6=-3×2，它的一次项系数-1=-3+2；(3)将6y2看成常数项，-5y看成一次项系数，6y2=(-2y)·(-3y)，-5y=(-2y)+(-3y)；(4)先提出公因式x，再按材料介绍的方法分解因式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $