安徽省2025-2026学年高一数学下学期期末自建模拟卷02

**基本信息** 以人教A版必修二为核心，通过人口普查统计图表、立体几何动态问题等真实情境，融合复数、统计、向量、立体几何等知识，考查数学眼光观察现实世界、数学思维逻辑推理及数学语言表达数量关系的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数共轭虚部、正六棱柱外接球、正方体截面判断、统计图表分析|结合人口普查数据考查统计分析，体现数学眼光；正方体截面问题考查空间观念| |填空题|3题15分|概率事件关系、向量运算、正四棱台侧棱长与高|向量运算结合平行四边形背景，考查数学语言表达| |解答题|5题77分|统计频率分布直方图、立体几何线面垂直及空间角计算、解三角形面积最值|统计案例分析考查数据意识，立体几何动态问题考查逻辑推理，体现数学思维|

安徽省2026年高一数学下学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．人口普查的主要目的是全面查清我国人口数量、结构、分布等方面的情况，为完善我国人口发展战略和政策体系、制定经济社会发展规划、推动高质量发展提供准确统计信息支持．根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果，全国人口共141178万人，全国共有家庭户49416万户，家庭户人口为129281万人．如图所示的为历次人口普查中的全国人口及年均增长率，根据该统计图，下列说法正确的是（   ）    A．我国人口近10年来继续保持低速增长态势 B．我国人口的年平均增长率持续下降 C．2020年的全国人口相比2010年增加了 D．我国人口出生率仍然持续上升 3．一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 4．在正方体中，过点作一个截面，则截面不可能是（ ） A．正三角形 B．平行四边形 C．五边形 D．六边形 5．如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 6．甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆O的半径为2，弦AB的长度为.若动点P在圆O上运动，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则面积的最大值为（ ） A．无最大值 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 10．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果，可以判断该同学掷得的点数一定有6的是（     ） A．甲：极差为4，平均数为4.4 B．乙：中位数为3，平均数为3.4 C．丙：平均数为3，方差不小于4 D．丁：中位数为2，方差大于2.5 11．已知正方体的棱长为1，，其中，，且，则下列选项正确的是（    ） A．平面 B．异面直线与所成的角为 C．的轨迹长度为 D．取最小值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 13．如图，在平行四边形中， ，，， 是对角线的交点，点、满足．则的值为________． 14．一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为，则该正四棱台的侧棱长为_______，高为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设复数，，. (1)若是纯虚数，为实数，求； (2)若，设，求的值. 16．在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，． (1)试用，表示； (2)试用，表示； (3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线． 17．近日，“滇超”联赛（云南省城市足球联赛）正如火如荼进行．某校团委组织了一次“足球知识问答”竞赛，现从全校参赛的1000名学生中随机抽取了100名统计他们的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并绘制了如图所示的频率分布直方图： 已知成绩在的频数是30，则： (1)求图中的值，并估计这100名学生成绩的平均数； (2)根据频率分布直方图，估计样本数据的第85百分位数； (3)学校拟从竞赛成绩在和两组内的学生中，按分层抽样抽取5人进行详细访谈，再从这5人中随机抽取2人进行“全民健身”主题演讲，求这2人来自不同组的概率． 18．在中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且． (1)求的值． (2)若为锐角三角形． ①求的取值范围； ②当，求周长的取值范围． 19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省2026年高一数学下学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得， 所以的共轭复数， 所以的虚部为. 2．人口普查的主要目的是全面查清我国人口数量、结构、分布等方面的情况，为完善我国人口发展战略和政策体系、制定经济社会发展规划、推动高质量发展提供准确统计信息支持．根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果，全国人口共141178万人，全国共有家庭户49416万户，家庭户人口为129281万人．如图所示的为历次人口普查中的全国人口及年均增长率，根据该统计图，下列说法正确的是（   ）    A．我国人口近10年来继续保持低速增长态势 B．我国人口的年平均增长率持续下降 C．2020年的全国人口相比2010年增加了 D．我国人口出生率仍然持续上升 【答案】A 【详解】我国人口近10年的年平均增长率为，保持低速增长态势，故A正确，C错误； 1964年年，我国人口的年平均增长率上升，故B错误； 从图中不能判定我国人口出生率的情况，故D错误． 3．一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为，球心为O，一个顶点为A，可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积. 【详解】作出六棱柱的最大对角面与外接球的截面，如下图， 则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边， 设球心为，正六棱柱的上下底面中心分别为， 则球心是的中点， 由正六棱柱底面边长为，侧棱长为， 所以中，， 可得， 因此，该球的体积为. 4．在正方体中，过点作一个截面，则截面不可能是（ ） A．正三角形 B．平行四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【详解】截面可能情况如图所示，因此，截面不可能是六边形，故D正确. 5．如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点F，连接，，根据异面直线定义结合余弦定理计算即可求解. 【详解】取的中点F，连接，， 在中，是的中点，F是的中点，． 同理可得． 为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，，又，， ， ，即异面直线与所成的角为． 6．甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论满足“前4次中甲恰好射击3次”的所有三种不同射击顺序，利用相互独立事件的乘法公式分别计算出每种情况的概率，最后相加求和. 【详解】设前4次中甲射击3次的概率为，共有三种情况： 甲中-乙中-甲没中-甲，概率为； 甲没中-甲没中-甲中-乙：； 甲没中-甲中-乙中-甲：， 所以. 7．已知圆O的半径为2，弦AB的长度为.若动点P在圆O上运动，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取弦的中点为辅助点，将向量数量积转化为与该中点到动点的距离相关的表达式，结合圆的性质求距离范围即可得解. 【详解】取的中点为，由垂径定理可知， 已知圆半径，，故， 所以， 所以 ， 又，即， 故，则.    8．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则面积的最大值为（ ） A．无最大值 B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意结合正弦定理可得，从而可得，又，可得，再利用勾股定理与基本不等式及面积公式计算即可得解. 【详解】由及，得， 在中，由正弦定理将边化为角得， 即， 即， ，由，得，因此，即， 所以，当且仅当时取等号， 又由题知，故不能取等号，即有，所以， 故的面积无最大值． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】ABC 【分析】根据斜二测画法求解. 【详解】如图1，过点，分别作，垂直于轴于点，， 因为等腰梯形中，，， 所以，， 又，所以，故A正确； 由斜二测画法知，故B正确； 作出其原图如图2，，，，， 则四边形的面积为，故C正确； 过点作于点，则，， 则， 于是四边形的周长为，故D错误． 10．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果，可以判断该同学掷得的点数一定有6的是（     ） A．甲：极差为4，平均数为4.4 B．乙：中位数为3，平均数为3.4 C．丙：平均数为3，方差不小于4 D．丁：中位数为2，方差大于2.5 【答案】AC 【分析】根据极差，中位数的定义，假设5个数据不含6，确定固定的数，其余数字按平均数或方差构造合理数字检验假设是否成立. 【详解】选项A，假设没有6，则必有1，5，平均数为4.4，所以其余三个数之和应为16，所以假设不成立； 选项B，当5个数字为2，2，3，5，5时，中位数为3，平均数为3.4，满足条件； 选项C，假设没有6，方差最大时5个数字为1，1，3，5，5时， 平均数是3，方差为，假设不成立； 选项D， 当五个数字为1，2，2，5，5时，中位数是2，平均数3， 方差为，满足题意. 11．已知正方体的棱长为1，，其中，，且，则下列选项正确的是（    ） A．平面 B．异面直线与所成的角为 C．的轨迹长度为 D．取最小值 【答案】AC 【分析】由题意可得在线段上，通过面面平行的判断定理可得平面平面，再由性质定理即可判断A；由异面直线所成角，可知直线与所成的角为，根据是边长为的等边三角形，即可判断B；由A可知的轨迹为线段，即可判断C；将矩形与正三角形展开在同一平面内，利用余弦定理求解后，即可判断D． 【详解】因为，其中，，且， 所以在线段上， 在正方体中，， 又因为平面,平面， 所以平面， 同理可得平面， 又因为，平面,， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面，故A正确； 因为， 所以异面直线与所成的角为， 易知是边长为的等边三角形， 所以， 即异面直线与所成的角为，故B错误； 由A可知的轨迹为线段，其长度为，故C正确； 将矩形与正三角形展开在同一平面内，如图所示： 当为与的交点时，取最小值， 此时在中，，，, 由余弦定理可得 ， 即取最小值为，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】利用概率的性质结合已知即可推出①正确；再利用和事件的概率公式，即可得出判断． 【详解】对于①，， ， 又，所以， 故，①正确； 对于②③④，，结合， 可得，而， 所以，②正确，③错误，④正确． 13．如图，在平行四边形中， ，，， 是对角线的交点，点、满足．则的值为________． 【答案】 【分析】先选取合适的基底向量和，将题目中未知的向量和用基底向量表示出来，再运用向量数量积计算公式进行计算即可. 【详解】设，，由题意得，，， 由平面向量数量积公式，则. ∵四边形是平行四边形，是对角线的交点， ∴，，. 由，则. 由，则， ∴， ∴. 14．一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为，则该正四棱台的侧棱长为_______，高为____________. 【答案】 4 【分析】先由两底面周长之差求出上、下底面边长之差．在一个侧面等腰梯形中，侧棱、侧面梯形的高和半个底边差构成直角三角形，由勾股定理求侧棱长；再作过两底面中心和一组对应边中点的截面，利用侧面梯形的高、棱台的高和两底面边心距之差构成的直角三角形求棱台的高． 【详解】设正四棱台的下底面边长为 ，上底面边长为 ，其中 ． 由题意，得所以 先求侧棱长． 正四棱台的每个侧面都是等腰梯形． 如图，在一个侧面等腰梯形中，从上底边的一个端点向下底边作垂线，则垂足到同侧下底面顶点的距离为 设侧棱长为 ．侧面梯形的高为 ，由勾股定理，得 再求正四棱台的高． 设下、上底面的中心分别为 ，下、上底面一组对应边的中点分别为 ，正四棱台的高为 ． 过 作截面，则连接对应边中点的线段 就是侧面梯形的高，因此 又因为所以截面中水平方向的长度差为 由勾股定理，得 所以，该正四棱台的侧棱长为 ，高为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设复数，，. (1)若是纯虚数，为实数，求； (2)若，设，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的概念及复数的模求解即可. （2）根据复数的乘法及复数相等求解即可. 【详解】（1）因为是纯虚数，为实数，所以，， 解得，，所以. 所以. （2）若，则，， 所以. 又，所以， 所以，解得， 所以. 16．在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，． (1)试用，表示； (2)试用，表示； (3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线． 【答案】(1) (2) (3)由，得， 所以， 所以，所以， 因为与有公共点， 所以三点共线． 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）设，，分别用参数和，表示，再根据平面向量基本定理求出即可； （3）用，表示，根据平面向量共线定理证明即可. 【详解】（1）由题意，； （2）设，由题意， 所以， ①， 设，则， 则②， 由①②得，， 所以，解得， 所以； （3）略 17．近日，“滇超”联赛（云南省城市足球联赛）正如火如荼进行．某校团委组织了一次“足球知识问答”竞赛，现从全校参赛的1000名学生中随机抽取了100名统计他们的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并绘制了如图所示的频率分布直方图： 已知成绩在的频数是30，则： (1)求图中的值，并估计这100名学生成绩的平均数； (2)根据频率分布直方图，估计样本数据的第85百分位数； (3)学校拟从竞赛成绩在和两组内的学生中，按分层抽样抽取5人进行详细访谈，再从这5人中随机抽取2人进行“全民健身”主题演讲，求这2人来自不同组的概率． 【答案】(1)，平均数为73； (2)87.5； (3). 【分析】（1）由频率求出，利用频率分布直方图各小矩形面积和求出，再估计平均数. （2）利用第85百分位数的意义，结合频率分布直方图列式求解. （3）求出给定两组的人数，再利用列举法求出概率. 【详解】（1）由成绩在的频数是30，得成绩在的频率为，则， 由，得， 这100名学生成绩的平均数为. （2）由频率分布直方图知，样本数据在的频率为， 在的频率为，则样本数据的第85百分位数， 由，解得， 所以样本数据的第85百分位数为87.5. （3）竞赛成绩在和的频率分别为0.3和0.2，则按分层抽样抽取5人中， 成绩在中的有人，记为，成绩在中的有2人，记为， 从这5人中随机抽取2人的样本空间，共10个， 这2人来自不同组的事件，共6个， 所以所求概率. 18．在中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且． (1)求的值． (2)若为锐角三角形． ①求的取值范围； ②当，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1)通过三角形面积公式与余弦定理化简求出. （2）①通过正弦定理转换后进行化简求出只与有关的三角函数并求出范围.②通过①求得的比值表示出的范围后，利用余弦定理求出相对应的的范围并求出周长范围. 【详解】（1）因为， ， 根据余弦定理得，即， ，又因为， 所以，解得或，但是， 所以. （2）①因为，所以， 根据正弦定理. 因为为锐角三角形．，且单调递减，单调递增， 所以， 因此. ②因为，所以， 因为， 所以，且在时单调递增， 所以， 因为周长，所以. 19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以， 因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以. 由为线段的中点，可知， 因为且平面，所以平面． （2）取的中点，连接．    因为为中点，为中点，所以是的中位线， 故，且． 又底面，所以底面， 因此是在底面内的射影，即为直线与平面所成的角． 由题意，是的四等分点，，故． 又是中点，，故． 在中，． 在中，． 因此，． （ii）利用等体积法，设点到平面的距离为． 由(1)知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故． 因此，． 由(1)知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由，得：，，解得． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $