安徽省颍上第一中学2025-2026学年高一下学期六月份学情检测数学试题

高一年级六月份学情检测 数 学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教版必修第二册第六章～第十章第一节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，且，则 A． B． C． D． 2．若复数（）为纯虚数，则 A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是 A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 4．给出下列四种说法： ①对立事件一定是互斥事件； ②若，为两个事件，则； ③若事件，，彼此互斥，则； ④若事件，满足，则，是对立事件． 其中错误的个数是 A．3 B．2 C．1 D．0 5．已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中，真命题是 A．若，，则与必异面 B．若点，点，则直线 C．若，，则 D．若点，点，则直线与相交 6．如图，点在二面角的棱上，分别在，内引射线，，使得，若，，则二面角的大小为 A．45° B．60° C．90° D．120° 7．已知有20个数，平均数为10，方差为9.4，从中取出个数，若取出的数的平均数为10，方差为8，剩余的数的方差为12，则 A．11 B．12 C．13 D．14 8．在正四棱柱中，，为棱的中点，点为侧面内一动点，且平面，则线段的长度的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数（为虚数单位），则 A．在复平面内对应的点位于第二象限 B．的共轭复数为 C． D．若复数，则 10．在中，，，，则 A． B． C． D．外接圆半径是 11．已知正方体，，点满足，，，则下列说法正确的是 A．的最小值为1 B．当，时，平面截得正方体的截面面积为 C．当时，平面 D．当（）时，平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是________． 0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 13．司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米． 14．如图，底面半径为2的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则该圆锥的外接球表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知向量，，，． （1）若，求的值； （2）若与垂直，求实数． 16．（本小题满分15分） 燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查．现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）求样本数据的第60百分位数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率． 17．（本小题满分15分） 由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，为与的交点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）设平面与底面的交线为，求证：． 18．（本小题满分17分） 在中，角，，的对边分别为，，，且，． （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 19．（本小题满分17分） 三余弦定理是空间角的重要结论之一，如图1：设点为平面外一点，过点的斜线在平面上的射影为，为平面上的任意直线，则． （1）证明以上三余弦定理； （2）如图2，在平行六面体中，，，． ①证明：平面平面； ②若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级六月份学情检测・数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A D C C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 CD AC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．11 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．解：（1）因为，， 所以， 所以．即， 解得或． 6分 （2）因为， 又与垂直，， 所以，解得． 13分 16．解：（1），解得． 3分 （2）样本数据的第60百分位数落在第四组，且第60百分位数为． 7分 （3）与两组的频率之比为1∶2，现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为，，组抽取4人，记为1，2，3，4． 9分 所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15种． 11分 其中至少有1人的年龄在的情况有，，，，，，，，，共9种， 13分 故所求概率． 15分 17．证明：（1）取的中点，连接，，如图． 1分 ∵几何体是直四棱柱，，且， 2分 ∴四边形为平行四边形， 3分 ， 4分 又平面，平面， 5分 平面． 6分 （2）， ∴四边形是平行四边形， 7分 ，8分 平面，平面， 9分 平面． 10分 由（1）得平面，又，，平面， ∴平面平面． 12分 （3）∵平面平面， 13分 平面平面， 14分 平面平面， ． 15分 18．解：（1）由正弦定理可知，， ， 3分 又，， ，， ，． 5分 （2）由（1）及余弦定理得，即，① 6分 又因为，则， 7分 所以，② 8分 由②×4-①得， 9分 所以． 10分 （3）由（1）得，则，即， 11分 由正弦定理可知，， 12分 所以． 14分 因为为锐角三角形，所以，， 即，，则，即， 16分 则，故的周长的取值范围为． 17分 19．（1）证明：在上任取一点，作，垂足为点，作，垂足为点， 连接，则平面， 1分 又，，所以平面，则， 3分 ． 5分 （2）①证明：依题意知四边形为菱形，连接，，且，则， 6分 连接，，，， ，则． 所以为等腰三角形，， 8分 又，平面，且， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 10分 ②解：设直线与平面所成角为，已知，则，又， 由三余弦定理得：，12分 所以，平行六面体中，平面平面， 故点到平面的距离等于点到平面的距离， 13分 设点到平面的距离为， 已知点到平面的距离， 14分 由于，即， ， 15分 ，解得， 因此点到平面的距离为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $