精品解析：江苏扬州市邗江区2025-2026学年第二学期七年级期末数学试题

2025-2026学年第二学期七年级期末数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项 1．答卷前，考生务必把姓名、学校、准考证号在答题纸上填涂清楚． 2．选择题答案用2B铅笔填涂．非选择题用0.5mm黑水笔在每题对应答题框内作答，超出答题框作答无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2026年3月30日是第31个全国小学生安全教育日．下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 当心淹溺 B. 当心落水 C. 禁止翻越 D. 急救站 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 2. 下列命题中的真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 若，满足，则 C. 若两个角的和为，则这两个角互补 D. 同位角相等 【答案】C 【解析】 【分析】结合对顶角定义、绝对值的性质、补角的定义、同位角的性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A 、相等的角不一定是对顶角，故A是假命题，不符合题意； B、若，可得或，故B是假命题，不符合题意； C、根据补角的定义，若两个角的和为，则这两个角互补，故C是真命题，符合题意； D、只有两直线平行时，同位角才相等，缺少前提条件，故D是假命题，不符合题意． 3. 如图，左、右托盘中黑球的质量分别为a，b，白球的质量为c，图中体现的数学原理可表示为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 4. 已知则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别计算出的值，再比较大小即可得到结果. 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴. 5. 将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直角三角板的性质求出，再利用三角形的内角和为求出，进行求解即可． 【详解】解：如图： 和是两个直角三角板， ， ， ． 6. 若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式的法则计算两个多项式的乘积，合并同类项后，由乘积不含项可知项的系数为，据此列方程求解的值 【详解】解： 又∵ 乘积中不含项， ∴ 项的系数为，即 解得 7. 如图，的边长为，把沿方向平移个单位长度，得到，连接，，若的面积为，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平移的性质可得，，根据三角形的面积计算公式得到在边上的高，进而计算的面积即可． 【详解】解：设在边上和在边上的高为， ∵沿方向平移个单位长度得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 已知是不等式的解，不是该不等式的解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式解的定义，将已知的x值代入不等式，得到关于a的不等式组，求解不等式组即可得到a的取值范围. 【详解】解：∵是不等式 的解， ∴将代入不等式得， 化简得：，即， 解得； 又∵不是该不等式的解， ∴不满足不等式， ∴，化简得，即， 解得； 综上，的取值范围是. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若诗中苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据科学记数法的定义，将原数表示为 的形式，其中 ， 为整数 【详解】解：． 故答案为 ． 10. 若，，则＝_____． 【答案】 6 【解析】 【分析】根据计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 11. 请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． 【答案】如果，那么 【解析】 【详解】解：原命题的题设为，结论为， 交换原命题的题设与结论，可得逆命题为：如果，那么． 12. 若是关于的二元一次方程的解，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：把代入，得， 解得. 13. 若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式以及外角和为建立一个关于边数的方程，解方程即可． 【详解】设多边形边数为n， 根据题意有， 解得 ， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键． 14. 已知关于x、y的方程组的解满足，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】通过对原方程组两个方程作差，构造出的表达式，结合已知条件建立关于的一元一次方程，即可求解的值. 【详解】解： ①②得：， 整理得 ， ， ， ∴. 15. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得到，平行线的性质，得到，即可得出结果. 【详解】解：∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴. 16. 现规定一种新运算，，其中、为常数．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据得出，求出不等式的解集是，根据数轴得出，再求出即可． 【详解】解：， ， 解得： 从数轴可知：， 解得． 17. 如图，将边长为的正方形和边长为的正方形叠放在一起，三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先用含有，的式子表示阴影部分的面积，通过配方法，整理为含有，的式子，代入求解即可得到阴影部分的面积． 【详解】解： ， 把，代入上式，原式． 18. 如图，锐角中，，，的面积为，为上一动点，将，分别沿，向外翻折得到，，连接，则面积的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，先求出，由翻折性质得，，，，进而得，则，由此得当为最小时，的面积最小，根据“垂线段最短”得，则当点与点重合时，的值最小，最小值为，据此可得的面积． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴，， ∵，的面积为， ∴， ∴， ∵将，分别沿，向外翻折得到，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴当点与点重合时，的值最小，最小值为， ∴面积的最小值为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 20. 用乘法公式计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先将转化为，再根据完全平方公式展开后计算即可． （2）将转化为，再根据平方差公式去括号，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ． 21. 解方程组或不等式组∶ （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入消元法解二元一次方程组即可求解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ， 由①得： ③， 将③代入②得：， 得： ， 将代入①得： ， ∴该方程组的解为 ； 【小问2详解】 解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为． 22. 如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地． （1）用含有的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） （2）若，，求出绿化部分的总面积． 【答案】（1） （2）平方米 【解析】 【分析】（1）根据图形可知，绿化部分的总面积等于长方形的面积减去两个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案； （2）把，，代入（1）中算出的式子即可得出答案． 【小问1详解】 解：绿化部分的总面积为： ； 【小问2详解】 解：当，时， 绿化部分的总面积 （平方米）． 23. 如图，中，，，且． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质与判定、垂线的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，进而得到，从而证明； （2）根据平行线的性质求出的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ， ， 平分， ， 由（1）知，， ， ． 24. 如图，长方形． （1）尺规作图：在边上找一点E，将长方形沿折叠，使得点关于直线的对称点落在边上，并作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （2）在（1）所作图形中，若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由于折叠后点的对称点为F，则，因此先以B为圆心，长为半径画弧，与边的交点即为F点，再作的角平分线，与的交点即为E点； （2）由折叠的性质可知、，进而求出的度数，利用三角形内角和定理求出的度数，最后利用求解即可． 【小问1详解】 解：①以为圆心，为半径画弧，交于点； ②作的角平分线，交于点； 【小问2详解】 解：由折叠的性质可知：、， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 25. 我国古代数学的许多发现都位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中之一．如图2，杨辉三角给出了（为正整数）的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序排列）．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数． （1）按上述规律，展开式中共有 项，第三项是 ； （2）若，求的值； （3）当代数式的值为1，则的值为 ． 【答案】（1）5； （2）63 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据题干得出规律，展开式中共有5项，其展开式中各项的系数为1，4，6，4，1，据此求解即可； （2）对进行赋值，分别令和，据此求解即可； （3）根据“杨辉三角”将所求式子转化为，再利用其代数式的值为1列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：按题干规律，展开式中共有5项，其展开式中各项的系数为1，4，6，4，1， ， 因此，展开式中第三项为； 【小问2详解】 解：令得：， 令得：， ； 【小问3详解】 解：根据题意得：， ， ， ． 26. 2026年苏超联赛，点燃了球迷的热情，拉动了区域消费．为了抓住这股消费热潮，某商店计划购进“加油”棒和“助威”牌进行销售，相关进价和售价情况如表所示： “加油”棒 “助威”牌 进价（元/个） 25 26 售价（元/个） 30 30 （1）该商店购进“加油”棒和“助威”牌共个，由于“加油”棒和“助威”牌很受欢迎全部销售完，共获利元，求“加油”棒和“助威”牌分别购进多少个（请列方程组求解）． （2）该商店决定再采购“加油”棒和“助威”牌若干个用于销售（“加油”棒和“助威”牌均有采购），购货资金恰好为元，在销售完这批“加油”棒和“助威”牌后，其获利不少于元，求最多能购买多少个“助威”牌？ 【答案】（1）“加油”棒购进60个，“助威”牌购进40个 （2）最多能购买50个“助威”牌 【解析】 【分析】（1）设“加油”棒购进个， “助威”牌购进个，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设“加油”棒购买个， “助威”牌买个，根据题意，列出二元一次方程和一元一次不等式，求出的最大整数解，即可. 【小问1详解】 解：设“加油”棒购进个， “助威”牌购进个， 解得： 答：“加油”棒购进60个，“助威”牌购进40个 【小问2详解】 解：设“加油”棒购买个， “助威”牌买个，由题意，得， ∴ 又∵ 解得； 都为整数， ∴最大为50， 答：最多能购买50个“助威”牌. 27. 如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，因此，，都是“和谐数”． （1）特例感知： “和谐数”， “和谐数”．（填“是”或“不是”） （2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． （3），为正整数，且，若是“和谐数”． 求的值； 若是“和谐数”，请说明是“和谐数”． 【答案】（1）是，不是 （2）能，理由如下： 设两个正奇数分别是和， ， “和谐数”能被整除； （3）； 是“和谐数”， （为正整数）， 由知，， ， ， ， ， ， ， 是“和谐数”． 【解析】 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，进而表示出，再将和分别代入求解，据此判断即可； （2）根据“和谐数”的定义及完全平方公式进行说明即可； （3）先利用平方差公式化简的表达式，再利用“和谐数”的定义求解即可；利用中的结论将、转化为关于的表达式，再利用“和谐数”的定义判断即可． 【小问1详解】 解：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数， ， 令，解得，是正整数，正整数，是， 是和谐数； 令， 解得，不是正整数， 不是和谐数； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 是“和谐数”， ； 略． 28. 【问题情境】 在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．其中，，，，，在同一直线上． （1）如图1， ； 【操作探究】 （2）如图2，如果把图1所示的以为中心逆时针旋转得到，当转到与直线首次重合时，停止转动．当时，为多少度？ 【拓展延伸】 （3）如图3，作关于直线的对称，保持不动，绕点逆时针旋转，在转到与直线首次重合过程中，当与的一边所在直线垂直时，请直接写出旋转角的度数 ． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据平角的定义列式计算即可； （2）先求出的度数，然后分在内部和在外部两种情况，根据角的和差关系列式求解； （3）分旋转后与所在直线垂直、与所在直线垂直、与所在直线垂直三种情况求解． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， 如图，当在内部时， 由旋转可知， ， ； 如图，当在外部时， 由旋转可知， ， ； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：如图，当旋转得到的边所在的直线时，垂足为， ， 四边形是矩形， ， 由折叠可知， ； 如图，当旋转得到的边所在的直线时，此时在线段上， 由折叠可知， ； 如图，当旋转得到的边所在的直线时， ， ． 综上所述，当与的一边所在直线垂直时，旋转角的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期七年级期末数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项 1．答卷前，考生务必把姓名、学校、准考证号在答题纸上填涂清楚． 2．选择题答案用2B铅笔填涂．非选择题用0.5mm黑水笔在每题对应答题框内作答，超出答题框作答无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2026年3月30日是第31个全国小学生安全教育日．下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 当心淹溺 B. 当心落水 C. 禁止翻越 D. 急救站 2. 下列命题中的真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 若，满足，则 C. 若两个角的和为，则这两个角互补 D. 同位角相等 3. 如图，左、右托盘中黑球的质量分别为a，b，白球的质量为c，图中体现的数学原理可表示为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 如图，的边长为，把沿方向平移个单位长度，得到，连接，，若的面积为，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知是不等式的解，不是该不等式的解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若诗中苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法表示为________． 10. 若，，则＝_____． 11. 请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． 12. 若是关于的二元一次方程的解，则的值为_______． 13. 若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是________． 14. 已知关于x、y的方程组的解满足，则的值为_______． 15. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数为_______． 16. 现规定一种新运算，，其中、为常数．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为______． 17. 如图，将边长为的正方形和边长为的正方形叠放在一起，三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，则阴影部分的面积为_______． 18. 如图，锐角中，，，的面积为，为上一动点，将，分别沿，向外翻折得到，，连接，则面积的最小值为_______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 用乘法公式计算： （1）； （2）． 21. 解方程组或不等式组∶ （1）； （2）． 22. 如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地． （1）用含有的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） （2）若，，求出绿化部分的总面积． 23. 如图，中，，，且． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 24. 如图，长方形． （1）尺规作图：在边上找一点E，将长方形沿折叠，使得点关于直线的对称点落在边上，并作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （2）在（1）所作图形中，若，求的度数． 25. 我国古代数学的许多发现都位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中之一．如图2，杨辉三角给出了（为正整数）的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序排列）．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数． （1）按上述规律，展开式中共有 项，第三项是 ； （2）若，求的值； （3）当代数式的值为1，则的值为 ． 26. 2026年苏超联赛，点燃了球迷的热情，拉动了区域消费．为了抓住这股消费热潮，某商店计划购进“加油”棒和“助威”牌进行销售，相关进价和售价情况如表所示： “加油”棒 “助威”牌 进价（元/个） 25 26 售价（元/个） 30 30 （1）该商店购进“加油”棒和“助威”牌共个，由于“加油”棒和“助威”牌很受欢迎全部销售完，共获利元，求“加油”棒和“助威”牌分别购进多少个（请列方程组求解）． （2）该商店决定再采购“加油”棒和“助威”牌若干个用于销售（“加油”棒和“助威”牌均有采购），购货资金恰好为元，在销售完这批“加油”棒和“助威”牌后，其获利不少于元，求最多能购买多少个“助威”牌？ 27. 如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，因此，，都是“和谐数”． （1）特例感知： “和谐数”， “和谐数”．（填“是”或“不是”） （2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． （3），为正整数，且，若是“和谐数”． 求的值； 若是“和谐数”，请说明是“和谐数”． 28. 【问题情境】 在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．其中，，，，，在同一直线上． （1）如图1， ； 【操作探究】 （2）如图2，如果把图1所示的以为中心逆时针旋转得到，当转到与直线首次重合时，停止转动．当时，为多少度？ 【拓展延伸】 （3）如图3，作关于直线的对称，保持不动，绕点逆时针旋转，在转到与直线首次重合过程中，当与的一边所在直线垂直时，请直接写出旋转角的度数 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $