3.1 代数式 课件 2026-2027学年数学北师大版七年级上册

该初中数学课件围绕“代数式”展开，涵盖概念、数量关系表示、求值及整式分类，通过“青蛙儿歌”“拼摆正方形”等生活实例导入，搭建从具体数量到字母表示的学习支架，衔接数与代数式的过渡。 其亮点在于以生活情境培养抽象能力（数学眼光），如拼摆正方形多解法推导公式发展推理意识（数学思维），用代数式表示运算律、BMI指数强化模型意识（数学语言）。分层小结梳理知识，助力学生提升思维与应用能力，为教师提供结构化教学资源。

3.1 代数式 第1课时 代数式 1.理解用字母表示数的意义.（重点) 2.能用字母表示一些简单问题中的数量关系和变化规律.（难点） 学 习 目 标 一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，一声扑通跳下水； 两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，两声扑通跳下水； 三只青蛙三张嘴，六只眼睛……； a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿． ➽➽由此看出a是一个字母，它代表“很多只”的数量。用字母a可以清楚地表示出青蛙、嘴、眼睛、腿和跳水声之间的数量关系。 新 课 导 入 用长度相同的小棒按下图所示的方式拼摆正方形。 … (1)按这种方式，拼摆2个正方形需要( )根小棒。拼摆3个正方形需要( )根小棒。 (2)拼摆5个这样的正方形需要( )根小棒? 7 10 16 讲 授 新 课 (3)拼摆100个这样的正方形需要多少根小棒? 第1个 4根 第2个 第100个 3根 3根 … 有没有其他计算方法？ 合 作 探 究 先摆 1根 第1个 3根 第100个 … 第2个 3根 3根 还可以这样 合 作 探 究 (4) 拼摆x个这样的正方形需要多少根小棒? 第1个 4根 第2个 第x个 3根 3根 … 4＋3×(x－1) 第x个 3根 1＋3×x 先摆 1根 第1个 3根 … 第2个 3根 或者这样 合 作 探 究 在上面的活动中，我们借助字母描述了正方形的个数和火柴棒的根数之间的关系。 字母可以表示任何数，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来。 你能否举出一些字母表示数和数量关系的例子? 新 知 小 结 运算定律 字母表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ab＝ba (ab)c＝a(bc) (a＋b)c＝ac＋bc 用字母表示数的运算律 思 考 (1)今年李华m岁，去年李华_ ____岁，5年后李华__ __岁。 (2)a个人n天完成一项工作，那么平均每人每天的工作量为____。 (3)某商店上月的收入为a元，本月的收入比上月收入的2倍还多10元，本月的收入是________元。 (4)如果一个正方体的棱长是a－1,那么这个正方体的体积 是_ _ _,表面积是__ __ 。 (m－1) (m＋5) (2a＋10) (a－1)3 6(a－1)2 用字母表示下列问题： 典 例 精 析 ① 数与字母、字母与字母相乘时省略乘号，数与字母相乘时数字在前； ② 出现多个字母时，字母按照26个字母顺序排列； ③ 相同字母相乘时应写成幂的形式； ④ 1或-1与字母相乘时，1通常省略不写； ⑤ 式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写，带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数. 字母表示数注意事项 3×x 3x ba ab nn n2 1n n n÷3 1n 合 作 探 究 像4＋3(x－1),x＋x＋(x＋1),m－1,m＋5,1,2a＋10,(a－1)³, 6(a－1)²等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，这样的式子叫作代数式。 单独一个数或一个字母也是代数式。 代数式的定义： 新 知 小 结 2.为了庆祝六一儿童节，某幼儿园矩形用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示，按照图中的规律，摆n个“金鱼”需要用火柴棒的根数为（ ） A.2＋6n B.6n＋8 C.8n D.4n＋4 B A 1．如果甲数为x，且乙数为甲数的3倍，那么乙数是(　　) A.x B．3x C．x＋3 D．x＋ 随 堂 检 测 5.如图, 用字母表示图中 阴影部分的面积是_________。 m n p q 3.某市某日的温差为11 ℃，最高气温为t ℃，则最低气温可表示为 ℃。 4.假设k是一个奇数，则比k大且与k相邻的一个奇数是 。 mn－pq (t－11) k＋2 6.超市卖了x瓶啤酒和y瓶矿泉水，已知啤酒每瓶5元，矿泉水每瓶1.5元，则超市共卖了 元。 （5x＋1.5y） 随 堂 检 测 用字母表示规律 代数式 用字母表示数量关系 课 堂 总 结 3.1 代数式 第2课时 代数式的意义与代数式求值 1.能熟练地求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或一个算法.（重点） 2.通过感受字母取值的变化与代数式值的变化之间的联系，能利用代数式的值推断一些代数式所反映的规律，提高应用知识的能力.（难点） 学 习 目 标 周末，妈妈为小明买了双舒适又美观的运动鞋，但小明在鞋的标识上并没有找到自己的鞋码. 你能读懂标识上的信息吗？你知道这双鞋是多大尺码的吗？ 新 课 导 入 18 爱学习爱钻研的小明上网搜到了两条信息。 265表示脚长265 mm 我国制定的鞋码（单位：码）计算方法：脚长×2-10（脚长单位：厘米） 如果脚长为x（厘米），你能用代数式表示鞋码吗？能计算出小明的鞋码吗？ 新 课 导 入 19 解:（1）该旅游团应付的门票费是(10x＋5y)元。 例1 某公园的门票价格是：成人10元/张；学生5元/张. （1）一个旅游团有成人x人、学生y人，那么该旅游团应付多少门票费？ 代数式10x＋5y还可以表示哪些生活中的问题？ 如果用x(元/kg)表示大米的价格，用y(元/kg)表示食油的价格，那么10x＋5y就表示小强的妈妈购买10 kg大米和5 kg食油所用的费用； 典 例 精 析 解:（2）把x＝37，y＝15代入代数式，得 10x＋5y =10×37＋5×15 ＝445. 因此，他们应付445元门票费. 例1 某公园的门票价格是：成人10元/张；学生5元/张. （2）如果该旅游团有37个成人、15个学生，那么他们应付多少门票费？ 一般地，用具体数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 典 例 精 析 解：他的身体质量指数为。 营养学家用身体质量指数(简称BMI)衡量人体胖瘦程度，这个指数等于人体体重（单位:kg）与人体身高（单位:m）平方的商。对于成年人来说，BMI在18.5与24之间，体重适中；BMI低于18，体重过轻；BMI高于24，体重超重。 （1）设一个人的体重为w(千克)，身高为h(米)，请用含w,h的代数式表示这个人的BMI。 思 考 （2）张老师的身高是1.75m，体重是65kg，他的体重是否适中？ 解：（2）把w＝65，h＝1.75代入代数式，得 ＝≈21.22 由于18.5＜21.22＜24之间，因此，他的体重适中。 （3）你的身体质量指数是多少？自己算一算。 思 考 n 1 2 3 4 5 6 7 8 5n＋6 n2 11 （1）随着n的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？ （2）估计一下，哪个代数式的值先超过100. 16 21 26 31 36 41 46 1 4 9 16 25 36 49 64 逐渐增大 n2先超过100 填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况. 合 作 探 究 思考：若2x－y＝3，求4x－3－2y＝_ _. ＝4x－2y－3 ＝2(2x－y)－3 ＝2×3－3 ＝3 例2 若a＋2b－7＝0,求a＋2b－3的值？ 解：由题知： a＋2b＝7 a＋2b－3＝7－3＝4 －2a－4b＋1＝? 　 整体代值法 ①对已知代数式或所求代数式进行适当变形； ②整体代入求值。 典 例 精 析 2026/6/27 25 探究新知 例3 若|a|＝2，|b|＝3且ab＜0，a＞b，求(a＋b)a的值． 解：因为ab＜0，a＞b，所以a＞0，b＜0， 又|a|＝2，则a＝2；|b|＝3，则b＝－3. 所以a＋b＝－1， 所以(a＋b)a＝(－1)2＝1. 间接代值法： 用间接代入法求代数式的值，要先计算出相关字母的值，再把求得的值代入代数式，计算出结果。 典 例 精 析 2026/6/27 26 1．“x的与y的和”，列代数式为( ) A.(x＋y) B．x＋＋y C．x＋y D.x＋y 2．下图是一个“数值转换机”的示意图，若输入x，y的值分别为4，－2，则输出的结果是(　　) A．15 B．5 C．－5 D．－15 D D 随 堂 检 测 4.已知a＋b＝5,ab＝6 ,则ab－(a＋b)＝___. 1 3．已知轮船在静水中的速度为a km/h，水流的速度为2 km/h，则轮船顺流而下时的速度为 km/h，逆流而上时的速度为 km/h. (a＋2) (a－2) 随 堂 检 测 5．人在运动时，心跳速率通常和人的年龄有关，如果用x表示一个人的年龄，用y表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，经研究y与x存在关系式:y＝(220－x)。一个50岁的人运动时，30秒钟心跳的次数为60次，他有危险吗？请说明你的理由。 解：他没有危险． 理由：当x＝50时，y＝(220－x)＝×(220－50)＝136(次)。 因为他30秒心跳的次数是60次， 所以他每分钟心跳的次数约是120次， 因为136＞120，所以他没有危险。 随 堂 检 测 直接代入求值 代数式 (求值) 用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值。 将一个代数式看成一个整体，然后将整体的值代入求值。 整体代入求值 间接代入求值 要先计算出相关字母的值，再把求得的值代入代数式求值。 课 堂 总 结 3.1 代数式 第3课时 整式 1.通过具体实例理解单项式、多项式、整式的概念。 2.理解单项式的系数、次数，多项式的项数、次数等概念。（重点、难点） 学 习 目 标 一个组合柜如图所示，内部用隔板纵向分隔成5个独立的小柜子(如图),柜门由5个完全相同的长方形组成。 (1)若要在5个柜门的周边都贴上装饰条，则所需装饰条的总长度是多少? 10a＋10b 情 境 导 入 (2)若要给柜门外表面喷漆，则需要喷漆的面积是多少(边框缝隙忽略不计)? (3)设柜子的进深为c(如图1),则整个柜子的容积是多少(柜门、隔板及背板的厚度忽略不计)? （图1） （图2） 5ab 5abc 合 作 探 究 像5ab,5abc,3v,6p等，它们都是数与字母的乘积，这样的代数式叫作单项式。 单独一个数或一个字母也是单项式。 单项式的定义： 新 知 小 结 ，5a，－xy2z，a，x－y， ，3.14，－my,－m2＋2m－1 下列式子中哪些是单项式? √ √ √ √ √ √ ☀归纳 判断单项式的方法： 1.单独一个数或一个字母也是单项式。 2.不含加减运算，单项式只含有乘积运算。 3.单项式数字因数与字母可能一个或多个。 4.可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算。 针 对 练 习 单项式中的数字和字母各有何意义呢? 6 系数 次数 －ab 系数 定义：单项式中数与字母相乘,通常把数字因数叫做系数；所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 二次 次数 － －＝ 思 考 例1 判断下列说法是否正确： ① －7xy2的系数是7；（ ） ② －x2y3与x3没有系数；（ ） ③ －ab3c2的次数是0＋3＋2；（ ） ④ －a3的系数是－1； （ ） ⑤ －32x2y3的次数是7；（ ） ⑥ πr2h的系数是。（ ） × × × × × √ π是系数的一部分 －32是系数 勿遗漏a的指数1 系数包含前面的符号 任何单项式都有系数；系数分别为－1和1。 典 例 精 析 1.单项式的系数：单项式中的数字因数。若一个单项式只含有字母因数，那么它的系数就是1或－1；若单项式是单独一个数，则系数就是它本身。 2.单项式的次数应是该单项式中所有字母的指数和，与系数的指数没关系，如24x2y3的次数是5，而不是9；单独一个数的次数是0。 3.不要把π当成字母。 新 知 小 结 5a＋5a＋10b，10x＋5y＋2z，ab－ 它们是单项式吗？这些式子有什么共同特点？与单项式有什么关系？ 单项式 单项式 ＋ 上述几个式子都是两个或者多个单项式相加的形式。 定义：几个单项式的和叫作多项式。 ab－ 带符号 思 考 多项式：3x3＋5x＋8 1.在多项式中，每个单项式叫作多项式的项； 2.不含字母的项叫作常数项； 3.多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数。 单项式与多项式统称为整式。 常数项 次数 与多项式有关的概念： 新 知 小 结 请列出下列问题中的代数式，并指出其中：①哪些是单项式？单项式的系数和次数分别是多少?②哪些是多项式?多项式的次数是多少? (1)如图,一个十字形花坛铺满了草皮，这个花坛草地面积是多少？ 这个花坛草地面积是ab－4c2。 ab－4c2是多项式，次数是2。 思 考 (2)当水结冰时，其体积大约会比原来增加,x m³的水结成冰后体积是多少? (3)如图,一个长方体的箱子紧靠墙角，它的长、宽、 高分别是a,b,c。这个箱子露在外面的表面积是多 少？ (4)某件商品的成本价为a元，按成本价提高 15% 标价，后又以八折(即按标价的80%)销售，这件商品的售价为多少元？ 体积是x m2; x是单项式，系数是，次数是1。 表面积是ac＋bc＋ab; 是多项式，次数是2。 售价是(1＋15%)a×0.8＝0.92a元; 0.92a是单项式，系数是0.92，次数是1。 新 知 小 结 下列式子中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？ a，ax2＋bx＋c，－5，π，，。 解:单项式：a，－5，π。 多项式：ax2＋bx＋c，。 整式：a，ax2＋bx＋c，－5，π，。 ☀归纳 (1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算。 针 对 练 习 解：(1) x3－x＋1是三次三项式。 (2) x3－2x2y2＋3y2是四次三项式。 补充：多项式x3－2x2y2＋3y2 的项有____项，分别是___________________，其中四次项的系数是_____，二次项是______，次数最高的项是_________. 三 x3、－2x2y2、3y2 －2 3y2 －2x2y2 例2 指出下列多项式是几次几项式： (1) x3－x＋1； (2) x3－2x2y2＋3y2。 典 例 精 析 例3 已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式. 解：由题意得m＋2＝6， 解得 m＝4， ∴此多项式是－5x4＋104x4－4x4y2. 典 例 精 析 1.下列说法中，正确的是(　　) A．－的系数是 B.的系数是 C．3ab2的系数是3a D.－的系数是－ 2.下列式子中不是多项式的是(　　) A．2x＋3 B. C．5－ D．3x2－2x＋2 D C 随 堂 检 测 3.已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以 是(　　) A．－2xy2 B．3x2 C．2xy3 D．2x3 4.多项式－3x2＋2x的二次项系数、一次项系数和常数项分别 为(　　) A．3，2，1 B．－3，2，0 C．－3，2，1 D．3，2，0 D B 随 堂 检 测 5.若关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，求m、n的值。 解:∵关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1 不含二次项和一次项，∴m＝0，n－1＝0，则m＝0，n＝1。 ☀归纳 多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0。 随 堂 检 测 单项式 整式 系数：单项式中的数字因数。 次数:所有字母的指数的和。 多项式 项：式中的每个单项式叫多项式的项。（其中不含字母的项叫做常数项） 次数：多项式中次数最高的项的次数。 课 堂 总 结 $