第1章 反比例函数 单元复习（暑假预习讲义） 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第1章 反比例函数 知识点1：反比例函数的定义 1.定义：形如（为常数，）的函数叫做反比例函数。其中自变量的取值范围是，因变量的取值范围是。 2.三种等价表达形式 分式形式： 乘积形式： 负指数形式： 知识点2：反比例函数的图象与性质 反比例函数的图象是双曲线，其性质与的符号密切相关，具体对比如下： 项目 图象所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，随的增大而减小 在每个象限内，随的增大而增大 对称性 关于原点中心对称；关于直线、轴对称 关于原点中心对称；关于直线、轴对称 变化趋势 图象无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交 图象无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交 知识点3：反比例函数中系数的几何意义 1.矩形面积：过双曲线上任意一点分别作轴、轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积恒等于|k|。 2.直角三角形面积：过双曲线上任意一点作其中一轴的垂线，连接该点与原点，所得直角三角形的面积恒等于。 知识点4：反比例函数解析式的确定 1.待定系数法：只需已知反比例函数图象上一个点的坐标，代入即可求出的值，进而确定函数解析式。 2.实际问题建模：先根据题意找出等量关系，将其转化为的形式，再确定函数解析式；需结合实际意义标注自变量的取值范围。 知识点5：反比例函数与一次函数综合 1.交点问题：联立反比例函数与一次函数的解析式，解方程组即可得到两个函数图象的交点坐标。 2.不等式解集：以两个交点的横坐标和原点为分界点，将数轴分段，通过观察图象上下位置关系，确定一次函数值大于（或小于）反比例函数值时的取值范围。 【基础必考题型】 【题型1】反比例函数的定义与反比例关系判断 1.核心知识点: 反比例函数的三种表达形式 实际问题中反比例关系的识别 2.解题方法技巧: 函数判断：紧抓“”和“自变量次数为”两个核心条件 实际关系判断：若两个量的乘积为定值，则二者成反比例关系 【例题1】.（25-26九年级上·山东滨州·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·河北保定·期末）下列各式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【变式题1-3】.（2026·山东泰安·二模）下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【题型2】反比例函数的图象象限与增减性分析 1.核心知识点: 的符号与图象象限的对应关系 反比例函数增减性的前提条件 2.解题方法技巧: 图象在一、三象限，图象在二、四象限 增减性必须强调“在每个象限内”，跨象限比较函数值不能直接用增减性，需结合正负号判断 【例题2】.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象经过点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．图象分别位于第一、三象限 【变式题2-1】.（2026九年级下·重庆·专题练习）已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【变式题2-2】.（25-26八年级下·上海闵行·期末）已知反比例函数的解析式为（是常数），如果在每一象限内函数值随着的增大而减小，那么的取值范围是___________． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·上海杨浦·期末）已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【题型3】反比例函数图象上点的坐标特征应用 1.核心知识点: 图象上的点满足 同一直角坐标系中多个反比例函数的坐标特征 2.解题方法技巧: 利用直接计算，无需先求出的值，简化运算 多个点在同一双曲线上时，横纵坐标乘积相等，可列等式求未知参数 【例题3】.（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2026·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·北京东城·期中）已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 【变式题3-3】.（2026·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求此反比例函数的表达式； (2)将向上平移，当点落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离． 【题型4】待定系数法求反比例函数解析式 1.核心知识点: 待定系数法的基本步骤 点在函数图象上的坐标性质 2.解题方法技巧: 只需代入一个点的坐标即可求出 若给出多个点，可先通过xy是否相等验证点是否在同一双曲线上 【例题4】.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）双曲线经过点，下列各点在此双曲线上的是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（2026·重庆北碚·二模）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．6 C． D．12 【变式题4-2】.（2026·宁夏银川·三模）如图，是直角三角形，，，，已知点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，当时，求点C的坐标． 【变式题4-3】.（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数（）的图象上，纵坐标为3． (1)求反比例函数、一次函数的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【题型5】K的几何意义应用（矩形、直角三角形面积） 1.核心知识点: 矩形面积与|k|的关系 直角三角形面积与|k|的关系 2.解题方法技巧: 过双曲线上的点向坐标轴作垂线，直接用面积公式求解 注意的符号：一、三象限k为正，二、四象限k为负 【例题5】.（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴上任意一点，连接，，则的面积为________． ∵轴， ∴． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·上海徐汇·期末）如图，点 是反比例函数的图象上一点，过点作轴交反比例函数的图像于点．点是轴上任意一点，连接 、． (1)如果点的横坐标为，求的面积； (2)如果点是反比例函数的图像上任意一点，那么的面积会发生改变吗？给出你的判断并通过计算说明理由． 【变式题5-3】.（2026·河南洛阳·一模）如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求的面积． 【题型6】反比例函数的实际应用（物理/生活情境） 1.核心知识点: 反比例函数建模 自变量取值范围与实际意义 2.解题方法技巧: 结合物理公式（如杠杆原理、压强公式）或生活等量关系建立函数式 求最值时，结合自变量取值范围，利用函数增减性求解 【例题6】.（25-26八年级下·上海金山·期末）在探究通过导体的电流与电阻的关系时，小华得出如下结论：当导体两端的电压保持不变时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足关系．实验中，当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)利用关于的函数表达式，说明当电阻增大为原来的倍（）时，通过导体的电流将如何变化． 【变式题6-1】.（2026·山西运城·三模）氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 【变式题6-2】.（2026·河南驻马店·三模）如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 【变式题6-3】.（25-26八年级下·北京·阶段检测）【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成．如图1，现要利用若干长为的相同吸管制简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表（表1）： 长度x（ ） 200 150 120 100 80 60 50 振动频率y（） 435 580 725 870 1450 1740 【探索发现】 (1)通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越_________（填“高”或“低”）； (2)请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．小帆发现：振动频率y与吸管长度x的乘积为定值，请你求出y关于x的函数解析式． (3)已知频率越高，音调越高；频率越低，音调越低．表2是C调音符与频率对照表，根据表2，判断这批吸管制作的排箫最低能够吹出哪个音区的哪个音符，并说明理由． 表2：C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 262 523 1046 294 587 1175 330 659 1318 349 698 1397 392 784 1568 440 880 1760 494 988 1976 【培优高频题型】 【题型7】反比例函数的对称性综合应用 1.核心知识点: 中心对称、轴对称的坐标规律 反比例函数的对称性质 2.解题方法技巧: 关于原点对称的点：横、纵坐标均互为相反数 关于直线对称的点：横、纵坐标互换 利用对称性可快速求对称点坐标，简化面积计算 【例题7】.（2026·江苏徐州·二模）函数和函数的图象相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是________． 【变式题7-1】.（2026·重庆·二模）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大 C．点可能在该函数图象上 D．若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 【变式题7-2】.（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，请直接写出当时，的取值范围． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·江西赣州·期中）已知反比例函数与一次函数交于A，B两点，点B的纵坐标为． (1)求一次函数解析式及与y轴交点C的坐标； (2)若点B与点D关于原点对称，求的面积． 【题型8】反比例函数与一次函数的交点及不等式解集 1.核心知识点: 联立方程求交点坐标 图象法解分式不等式 2.解题方法技巧: 先求交点横坐标，再以交点和原点为分界点，将数轴分为四段 观察每段内图象的上下位置，直接写出解集；注意的限制 【例题8】.（2026·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【变式题8-1】.（2026·浙江温州·二模）已知正比例函数（）与反比例函数（）的函数图象交于点，，当时，的取值范围为（     ） A． B．或 C．或 D．或 【变式题8-2】.（2026·河南新乡·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出时x的取值范围． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·山西临汾·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．    (1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． (3)已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，在反比例函数的图象上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍．若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型9】K的几何意义进阶（不规则图形面积） 1.核心知识点: 面积的割补法 多反比例函数的面积叠加 2.解题方法技巧: 通过平移、分割、补形，将不规则图形转化为矩形或直角三角形 两条双曲线之间的阴影面积，可通过两个|k|的差计算 【例题9】.（2026·河南三门峡·二模）如图，在平面直角坐标系中，曲线C关于原点O成中心对称，点A的对称点是点，轴，轴，点A在反比例函数的图象上，则阴影部分的面积之和为____________． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为（    ） A．3 B．1.5 C．2 D．1 【变式题9-2】.（25-26九年级上·河南周口·期末）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，当点P在反比例函数的图象上运动时，轴于点C，交反比例函数的图象于点A，轴于点D，交反比例函数的图象于点B．下列结论：①；②与始终相等；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题9-3】.（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）如图，矩形与反比例函数图象交于，，与反比例函数的图象交于点，连接，，则四边形的面积为______． 【题型10】反比例函数与一次函数的图象综合判断 1.核心知识点: 一次函数的图象性质 反比例函数的图象性质 2.解题方法技巧: 先根据其中一个函数图象判断参数符号，再验证另一个函数是否一致 优先使用排除法，快速排除矛盾选项 【例题10】.（25-26八年级下·河南洛阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·福建泉州·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·河南开封·期中）一次函数和在同一平面直角坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·上海·阶段检测）函数与在同一坐标平面内的大致图象是（    ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（2）和（4） 【压轴素养题型】 【题型11】分段型反比例实际应用 1.核心知识点: 分段函数的建立 反比例函数增减性求最值 2.解题方法技巧: 根据题意划分阶段，分别写出各阶段的函数关系式 结合自变量取值范围，利用函数增减性确定最值；注意最值是否在取值范围内 【例题11】.（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25，加热到100时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要_____； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【变式题11-1】.（2026九年级下·全国·专题练习）实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 【变式题11-2】.（25-26九年级上·河北邯郸·期末）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温（）与时间（）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度（）与时间（）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于． (1)分别求出图中、所对应的函数关系式； (2)从水壶中的水烧开（）降到就可以泡茶，问从水烧开到泡茶至少需要等待多长时间？ 【变式题11-3】.（25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且持续时间不低于，才能达到有效消毒．这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 【题型12】反比例函数中的动点与存在性问题 1.核心知识点: 动点坐标表示 特殊图形（等腰三角形、平行四边形、直角三角形）的判定 2.解题方法技巧: 设动点坐标，用含参数的代数式表示线段长度 按顶点位置或直角顶点位置分类讨论，结合勾股定理、平行四边形性质列方程求解 注意检验解是否符合题意和取值范围 【例题12】.（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与x轴交于点C． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)在轴右侧坐标平面内，是否存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式题12-1】.（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式题12-2】.（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点位于点右侧，点E位于A，D两点之间． (1)求a，b和k的值； (2)当面积为3时，求点D的坐标； (3)将沿着射线的方向平移后得到，当时，是否存在两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式题12-3】.（25-26九年级上·四川巴中·期末）综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． (1)建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； (2)图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； (3)深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 0 10 20 30 30 0 40 20 易错点 1.增减性忽略前提：误表述为“时，随的增大而减小”，遗漏“在每个象限内”的前提，导致跨象限比较函数值时出错。 2.的几何意义符号混淆：计算面积时遗漏绝对值，或根据图象象限时搞错的正负，导致求出的符号错误。 3.自变量范围遗漏：解不等式时忽略；实际问题中忽略等现实限制，得出不符合实际的结果。 4.定义条件遗漏：忽略反比例函数中的条件；误将等形式判定为反比例函数。 5.交点问题漏解：联立方程求解时，只求出一个象限的交点，遗漏另一象限的交点，导致不等式解集不完整。 重点 1.反比例函数的定义、三种表达形式，以及图象的象限分布、增减性、对称性。 2.反比例函数中系数的几何意义，包括矩形、三角形面积与|k|的关系，以及不规则图形的面积转化。 3.待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数与一次函数的交点、不等式解集综合问题。 4.反比例函数的实际应用，包括建模、自变量取值范围确定和最值求解。 难点 1.的几何意义在不规则图形、多双曲线组合中的应用，需要灵活运用割补法进行面积转化。 2.反比例函数中的动点存在性问题，分类情况多，坐标运算复杂，需结合特殊图形性质列方程。 3.反比例函数中的定值、最值问题，需要较强的代数化简能力和数形结合思想。 4.反比例函数与图形变换、新定义结合的创新题型，阅读理解和知识迁移能力要求较高。 【对应练习题】 一、单选题 1．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 3．点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 二、填空题 4．如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 5．在相互啮合的齿轮的传动中，大齿轮的齿数为，每分钟转圈，如果小齿轮的齿数为，每分钟转圈，那么关于的函数表达式为________． 6．如果反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，那么的取值范围是________． 三、解答题 7．如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，若以、、为顶点的三角形面积为10，求点的坐标． 8．如图，已知一次函数的图像与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为． (1)求一次函数的表达式； (2)已知点在双曲线上．连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点记作点，当点恰好落在直线上时，求该双曲线的表达式． 9．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： (1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； (2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 10．如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 反比例函数 知识点1：反比例函数的定义 1.定义：形如（为常数，）的函数叫做反比例函数。其中自变量的取值范围是，因变量的取值范围是。 2.三种等价表达形式 分式形式： 乘积形式： 负指数形式： 知识点2：反比例函数的图象与性质 反比例函数的图象是双曲线，其性质与的符号密切相关，具体对比如下： 项目 图象所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，随的增大而减小 在每个象限内，随的增大而增大 对称性 关于原点中心对称；关于直线、轴对称 关于原点中心对称；关于直线、轴对称 变化趋势 图象无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交 图象无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交 知识点3：反比例函数中系数的几何意义 1.矩形面积：过双曲线上任意一点分别作轴、轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积恒等于|k|。 2.直角三角形面积：过双曲线上任意一点作其中一轴的垂线，连接该点与原点，所得直角三角形的面积恒等于。 知识点4：反比例函数解析式的确定 1.待定系数法：只需已知反比例函数图象上一个点的坐标，代入即可求出的值，进而确定函数解析式。 2.实际问题建模：先根据题意找出等量关系，将其转化为的形式，再确定函数解析式；需结合实际意义标注自变量的取值范围。 知识点5：反比例函数与一次函数综合 1.交点问题：联立反比例函数与一次函数的解析式，解方程组即可得到两个函数图象的交点坐标。 2.不等式解集：以两个交点的横坐标和原点为分界点，将数轴分段，通过观察图象上下位置关系，确定一次函数值大于（或小于）反比例函数值时的取值范围。 【基础必考题型】 【题型1】反比例函数的定义与反比例关系判断 1.核心知识点: 反比例函数的三种表达形式 实际问题中反比例关系的识别 2.解题方法技巧: 函数判断：紧抓“”和“自变量次数为”两个核心条件 实际关系判断：若两个量的乘积为定值，则二者成反比例关系 【例题1】.（25-26九年级上·山东滨州·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为（为常数，且），只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：是正比例函数， 不符合反比例函数定义， 故A不合题意． 符合（）的形式， 是反比例函数， 故B符合题意． 的分母是，不是单独的， 不符合反比例函数定义， 故C不合题意． 是二次函数， 不符合反比例函数定义， 故D不合题意． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·河北保定·期末）下列各式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，需依据反比例函数（为常数，）的形式逐一判断选项． 【详解】解：A选项是正比例函数，不符合定义； B选项是一次函数，不符合定义； C选项是二次函数，不符合定义； D选项符合反比例函数的定义． 故选：D． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【答案】 【分析】本题考查了列函数表达式．根据“阻力阻力臂动力动力臂”即可得到函数表达式． 【详解】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴， 即． 故答案为：． 【变式题1-3】.（2026·山东泰安·二模）下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．由，则当压力F一定时，压强P与受力面积S之间成反函数关系，即A选项不符合题意； B．由，则当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题意； C．由，则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D．由，则当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间成正比例函数，即选项D符合题意． 【题型2】反比例函数的图象象限与增减性分析 1.核心知识点: 的符号与图象象限的对应关系 反比例函数增减性的前提条件 2.解题方法技巧: 图象在一、三象限，图象在二、四象限 增减性必须强调“在每个象限内”，跨象限比较函数值不能直接用增减性，需结合正负号判断 【例题2】.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象经过点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．图象分别位于第一、三象限 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质（），判断各选项的正确性. 【详解】解：∵ 反比例函数，， ∴ 图象分别位于第一、三象限，故D正确. A、当时，，∴ 图象不经过点，A错误； B、当时，在每一象限内随的增大而减小，但未指定象限， B错误； C、 当时，，不成立，C错误； 故选D 【变式题2-1】.（2026九年级下·重庆·专题练习）已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数解析式，依次验证各选项即可得到正确结论. 【详解】解：A选项：把代入解析式， 可得：， 反比例函数的图象不经过点， 故A选项错误； B选项：反比例函数中， 反比例函数图象位于第二、四象限， 故B选项错误； C选项：反比例函数中， 当时，随的增大而增大，不是减小， 故C选项错误； D选项：当时，， ， 又，可得：， 两边同乘，不等号方向改变， 可得：， 即， ， 故D选项正确． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·上海闵行·期末）已知反比例函数的解析式为（是常数），如果在每一象限内函数值随着的增大而减小，那么的取值范围是___________． 【答案】/ 【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的比例系数时，在每一象限内随的增大而减小，据此列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数在每一象限内，函数值随的增大而减小， 解得． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·上海杨浦·期末）已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判断反比例函数的象限分布，再结合每个象限内随的变化规律即可比较大小. 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，的横坐标都小于， ∴，两点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵点的横坐标， ∴点在第一象限，可得， 综上可得. 【题型3】反比例函数图象上点的坐标特征应用 1.核心知识点: 图象上的点满足 同一直角坐标系中多个反比例函数的坐标特征 2.解题方法技巧: 利用直接计算，无需先求出的值，简化运算 多个点在同一双曲线上时，横纵坐标乘积相等，可列等式求未知参数 【例题3】.（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于点，由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，则，结合轴可得，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，作轴于点， ∵点的纵坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 【变式题3-1】.（2026·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交点的中心对称得出自变量的关系，然后根据反比例函数的性质求解． 【详解】解：∵反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点， ∴点与点关于原点对称， ∴，且， ∴． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·北京东城·期中）已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可设，然后代入求解即可； （2）把代入求出的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； （2）解：当时，则， 解得． 【变式题3-3】.（2026·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求此反比例函数的表达式； (2)将向上平移，当点落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)平移的距离为 【分析】（1）利用轴对称的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）求解，设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上，即点落在反比例函数的图象上，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴，， 设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上， 即点落在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 将向上平移2个单位，点D落在反比例函数的图象上， ∴平移的距离为． 【题型4】待定系数法求反比例函数解析式 1.核心知识点: 待定系数法的基本步骤 点在函数图象上的坐标性质 2.解题方法技巧: 只需代入一个点的坐标即可求出 若给出多个点，可先通过xy是否相等验证点是否在同一双曲线上 【例题4】.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）双曲线经过点，下列各点在此双曲线上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的值，再利用反比例函数的性质：双曲线上点的横纵坐标乘积等于，验证各选项即可得到答案． 【详解】解：∵ 双曲线经过点， ∴ ， ∴ 双曲线上任意点满足横纵坐标乘积为， 逐一验证选项： 选项，，不在双曲线上； 选项，，在此双曲线上； 选项，，不在双曲线上； 选项，，不在双曲线上； 【变式题4-1】.（2026·重庆北碚·二模）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．6 C． D．12 【答案】C 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 【变式题4-2】.（2026·宁夏银川·三模）如图，是直角三角形，，，，已知点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，当时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可设，然后根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意可设， ∵，即点C是的中点，，点D在x轴上， ∴根据中点坐标公式可得：， 解得：， ∴． 【变式题4-3】.（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数（）的图象上，纵坐标为3． (1)求反比例函数、一次函数的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)，， (2)17 【分析】（1）利用待定系数法，逐一求解即可； （2）根据，解答即可； 【详解】（1）解：反比例函数（）经过点， ， 解得， 故反比例函数的解析式为； 设的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为， 当时，， 故点B的坐标为； （2）解：点在反比例函数的图象上，且纵坐标为3， ， 解得， ， ， ． 【题型5】K的几何意义应用（矩形、直角三角形面积） 1.核心知识点: 矩形面积与|k|的关系 直角三角形面积与|k|的关系 2.解题方法技巧: 过双曲线上的点向坐标轴作垂线，直接用面积公式求解 注意的符号：一、三象限k为正，二、四象限k为负 【例题5】.（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【答案】4 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到即可求出答案． 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴上任意一点，连接，，则的面积为________． 【答案】3 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·上海徐汇·期末）如图，点 是反比例函数的图象上一点，过点作轴交反比例函数的图像于点．点是轴上任意一点，连接 、． (1)如果点的横坐标为，求的面积； (2)如果点是反比例函数的图像上任意一点，那么的面积会发生改变吗？给出你的判断并通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)解：不会，理由如下： 如图，连接、，设与轴的交点为， ∵轴， ∴，轴， 由反比例函数的几何意义可知， ，， ∴为定值． 【分析】（1）先求出点、的坐标，再求出的面积即可； （2）连接、，设与轴的交点为，由反比例函数的几何意义可知，，由等积变形可得为定值． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵点是轴上任意一点， ∴点到直线的距离为， ∴； （2）略 【变式题5-3】.（2026·河南洛阳·一模）如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）连接，设与y轴交于点D，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，，从而可知，即可求得答案． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， 双曲线的解析式为； （2）解：连接，设与y轴交于点D， 四边形为平行四边形，点C在x轴上， 轴， 点A和点B分别在双曲线和上， ，， ， ． 【题型6】反比例函数的实际应用（物理/生活情境） 1.核心知识点: 反比例函数建模 自变量取值范围与实际意义 2.解题方法技巧: 结合物理公式（如杠杆原理、压强公式）或生活等量关系建立函数式 求最值时，结合自变量取值范围，利用函数增减性求解 【例题6】.（25-26八年级下·上海金山·期末）在探究通过导体的电流与电阻的关系时，小华得出如下结论：当导体两端的电压保持不变时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足关系．实验中，当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)利用关于的函数表达式，说明当电阻增大为原来的倍（）时，通过导体的电流将如何变化． 【答案】(1) (2)电流变为原来的 【分析】（1）将已知的、数值代入，求出常数，再写出关于的函数表达式． （2）设原来电阻为，表示出原电流；再表示电阻增大为原来的倍后的电阻，求出新电流，对比得出电流变化规律． 【详解】（1）解：，，， ， ， ； （2）解：设原电阻为，原电流． 电阻增大为原来的倍后，新电阻． ， ， ， 电流变为原来的． 【变式题6-1】.（2026·山西运城·三模）氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 【答案】60 【详解】解：设该函数的表达式为， 由题意知， ∴， 所以该函数的表达式为． 当时，． 【变式题6-2】.（2026·河南驻马店·三模）如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 【答案】(1)； (2)米； (3)米． 【分析】（1）根据矩形的性质结合点在轴上，求出点的坐标，再利用待定系数法计算即可； （2）设点的坐标为点的坐标并代入解析式中，求出的值，再根据，之间的水平距离为求解即可； （3）设点的坐标为并代入解析式中，将用表示出来，根据列关于的不等式并求其解集，从而得到的最小值即可． 【详解】（1）解：∵矩形，，， ∴，，， ∵点在轴上， ∴轴， ∴轴， ∴点的坐标为， ∵设段滑梯所在的双曲线的解析式为（为常数，且）， 将坐标代入，得， 解得， ∴段滑梯所在的双曲线的解析式为． （2）解：∵点距离水面的距离为米， ∴设点的坐标为， ∵点在上， ∴将代入，解得：， ∴点的坐标为 ∴，之间的水平距离：（米）； （3）解“设点的坐标为， 将代入， 得， ， 根据题意，得， 解得， 点到水面的距离最多米． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·北京·阶段检测）【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成．如图1，现要利用若干长为的相同吸管制简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表（表1）： 长度x（ ） 200 150 120 100 80 60 50 振动频率y（） 435 580 725 870 1450 1740 【探索发现】 (1)通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越_________（填“高”或“低”）； (2)请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．小帆发现：振动频率y与吸管长度x的乘积为定值，请你求出y关于x的函数解析式． (3)已知频率越高，音调越高；频率越低，音调越低．表2是C调音符与频率对照表，根据表2，判断这批吸管制作的排箫最低能够吹出哪个音区的哪个音符，并说明理由． 表2：C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 262 523 1046 294 587 1175 330 659 1318 349 698 1397 392 784 1568 440 880 1760 494 988 1976 【答案】(1)高 (2)； (3)这批吸管制作的排箫最低能够吹出低音区的，理由如下： 根据题意，得当时，， 故这批吸管制作的排箫最低能够吹出低音区的． 【分析】（1）根据表中的函数值变化情况解答即可； （2）利用画图象的基本步骤，待定系数法求解即可． （3）当时，，对照表解答即可； 【详解】（1）解：通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高； （2）解：设，当时，， 故， 解得， 故； 图象略 （3）略 【培优高频题型】 【题型7】反比例函数的对称性综合应用 1.核心知识点: 中心对称、轴对称的坐标规律 反比例函数的对称性质 2.解题方法技巧: 关于原点对称的点：横、纵坐标均互为相反数 关于直线对称的点：横、纵坐标互换 利用对称性可快速求对称点坐标，简化面积计算 【例题7】.（2026·江苏徐州·二模）函数和函数的图象相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是________． 【答案】 【分析】两个函数的图象均关于原点中心对称，则两交点关于原点中心对称，再利用关于原点对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， 两函数图象的交点、关于原点中心对称， 关于原点中心对称的点的横、纵坐标互为相反数，点的坐标为， 点的坐标为． 【变式题7-1】.（2026·重庆·二模）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大 C．点可能在该函数图象上 D．若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，结合图象上点的坐标满足，逐一判断选项即可． 【详解】解：已知反比例函数，其中． ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，A错误． ∵， ∴只有在每个象限内，随的增大而增大，并非在整个的取值范围内随增大而增大，B错误． 若点在该函数图象上，则， 整理得， 配方得，等式左边恒大于0，无实数解， 因此该点不可能在函数图象上，C错误． 若点在函数图象上，则， 对于点，有，满足的关系， 因此点也在该函数图象上，D正确． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，请直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，可得A点坐标，把点A代入反比例函数，可得反比例函数的表达式； （2）根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标，观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：正比例函数的图象与反比例函数的图象交于， ， 点的坐标为， 将代入，得， 反比例函数的解析式为； （2）解：点与点关于原点对称，点的坐标为， ， ∴当时，的取值范围为． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·江西赣州·期中）已知反比例函数与一次函数交于A，B两点，点B的纵坐标为． (1)求一次函数解析式及与y轴交点C的坐标； (2)若点B与点D关于原点对称，求的面积． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）由点B的纵坐标为，求得点B的坐标为，再代入，求得一次函数解析式，令，则，即可求得点C的坐标； （2）根据点B与点D关于原点对称，得到，推出即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得， 把代入中，得， ∴， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解：∵点B与点D关于原点对称， ∴， ∴． 【题型8】反比例函数与一次函数的交点及不等式解集 1.核心知识点: 联立方程求交点坐标 图象法解分式不等式 2.解题方法技巧: 先求交点横坐标，再以交点和原点为分界点，将数轴分为四段 观察每段内图象的上下位置，直接写出解集；注意的限制 【例题8】.（2026·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，得到点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）求出直线与x轴交点的坐标，利用求出结果； （3）即一次函数在反比例函数的上方，根据图象直接得到不等式的解集． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴反比例函数解析式为， 将点坐标代入，得， ∴点， 将点A、B的坐标代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，设直线与x轴交于点C， 对于， 当时，，解得， ∴点， ∴， ∴ ； （3）解：观察图象得：不等式的解集为或． 【变式题8-1】.（2026·浙江温州·二模）已知正比例函数（）与反比例函数（）的函数图象交于点，，当时，的取值范围为（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题先利用正比例函数与反比例函数交点关于原点对称的性质求出交点坐标，再结合函数图像性质判断时的取值范围； 【详解】正比例函数与反比例函数的图象都是关于原点中心对称， 两个函数的交点关于原点对称， 已知交点为，，点和点关于原点对称，可得，解得， ，。 又，，两个函数图象均位于第一、三象限，结合图象分区间判断： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，。 当时，的取值范围为或． 【变式题8-2】.（2026·河南新乡·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）根据函数图象结合交点坐标即可解答． 【详解】（1）解： 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 点在反比例函数的图象上， ， ， 又 点，两点在一次函数的图象上， ， 解得， 则该一次函数的解析式为． （2）解：根据图象可知使成立的的取值范围是：或． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·山西临汾·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．    (1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． (3)已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，在反比例函数的图象上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍．若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）运用待定系数法，即可求出函数表达式； （2）反比例函数的图象分两部分，结合两个交点，分情况讨论，时，点Q右侧，；时，点P右侧，； （3）根据（1）中函数的表达式，先求出点A，点B的坐标，与都以为底，要满足要求，的高必须是的两倍，即点C纵坐标的绝对值是点B纵坐标绝对值的两倍，得到纵坐标后，代入反比例函数表达式，即可求出结果． 【详解】（1）解：过点， ， ，即． 过点， ，即，点， 过点，点， ∴ 解得， 即． （2）解：反比例函数的图象分两部分，结合两个交点，点，点，分情况讨论如下：     时，点Q右侧，即，满足； 时，点P右侧，即，满足； 综上所述或时，． （3）解： ， 与都以为底，要满足要求，的高必须是的两倍， 即点C纵坐标的绝对值是点B纵坐标绝对值的两倍， 设点C纵坐标为，点B纵坐标为，   ，即， ，即， 分别代入反比例函数，得或 所以点C的坐标为或． 【题型9】K的几何意义进阶（不规则图形面积） 1.核心知识点: 面积的割补法 多反比例函数的面积叠加 2.解题方法技巧: 通过平移、分割、补形，将不规则图形转化为矩形或直角三角形 两条双曲线之间的阴影面积，可通过两个|k|的差计算 【例题9】.（2026·河南三门峡·二模）如图，在平面直角坐标系中，曲线C关于原点O成中心对称，点A的对称点是点，轴，轴，点A在反比例函数的图象上，则阴影部分的面积之和为____________． 【答案】2026 【分析】将第三象限的阴影部分绕着点O旋转后与第一象限的阴影部分拼成矩形，然后根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：如图，将第三象限的阴影部分绕着点O旋转后与第一象限的阴影部分拼成矩形． 点A在反比例函数的图象上， ∴， 阴影部分的面积之和为2026． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为（    ） A．3 B．1.5 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵轴于点A，交于点B， ∴，， ∴． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·河南周口·期末）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，当点P在反比例函数的图象上运动时，轴于点C，交反比例函数的图象于点A，轴于点D，交反比例函数的图象于点B．下列结论：①；②与始终相等；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键． 利用反比例函数系数的几何意义即可得，故①正确；设点P的坐标为，则，，可得，故②错误；，故③正确；连接，利用反比例函数系数的几何意义可得，从而得到，故④正确． 【详解】解：∵是反比例函数上的点，轴，轴， ∴，故①正确； 设点P的坐标为，则，， ∴， ∴无法确定和的大小关系，故②错误； 根据题意得：长方形的面积是k， ∴，故③正确； 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：C． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）如图，矩形与反比例函数图象交于，，与反比例函数的图象交于点，连接，，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查矩形性质、反比例函数()中的几何意义，解题的关键是用的几何意义求相关三角形面积，再通过矩形与三角形面积关系算四边形面积．根据的几何意义得、面积均为；矩形的面积为，根据矩形面积减两三角形面积和即得四边形面积． 【详解】解：∵矩形与反比例函数图象交于，，与反比例函数的图象交于点， ∴和面积各为，矩形的面积为， ∴四边形面积． 故答案为：． 【题型10】反比例函数与一次函数的图象综合判断 1.核心知识点: 一次函数的图象性质 反比例函数的图象性质 2.解题方法技巧: 先根据其中一个函数图象判断参数符号，再验证另一个函数是否一致 优先使用排除法，快速排除矛盾选项 【例题10】.（25-26八年级下·河南洛阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； B、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； C、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象交y轴的负半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； D、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象过一、二、三象限可知，两结论一致，故本选项符合题意． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·福建泉州·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可分： 当时，则，所以一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，故B选项符合题意；A、D选项不符合题意； 当时，则，所以一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限，故C选项不符合题意． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·河南开封·期中）一次函数和在同一平面直角坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式得到其函数图象一定过定点，再根据中的k与的一次项系数相同，结合图象解答即可． 【详解】解：∵解析式， ∴的图象一定过定点， ∴排除C，D选项； 对于A、B，双曲线都经过第一、三象限，，对于直线，只有选项A满足，符合题意． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·上海·阶段检测）函数与在同一坐标平面内的大致图象是（    ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（2）和（4） 【答案】D 【分析】分两种情况讨论直线和双曲线的位置即可得出答案． 【详解】解：当时，函数经过第一，三象限，函数位于第一，三象限，则（2）符合题意； 当时，函数经过第二，四象限，函数位于第二，四象限，则（4）符合题意， 所以函数与在同一坐标平面的大致图象是（2）和（4）． 【压轴素养题型】 【题型11】分段型反比例实际应用 1.核心知识点: 分段函数的建立 反比例函数增减性求最值 2.解题方法技巧: 根据题意划分阶段，分别写出各阶段的函数关系式 结合自变量取值范围，利用函数增减性确定最值；注意最值是否在取值范围内 【例题11】.（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25，加热到100时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要_____； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． （1）根据题意列式计算即可； （2）设，结合（1）中可得点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）根据加热过程中水温不低于的时间降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，进行分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数， 设， 由（1）知，过点， ， 水温关于通电时间的函数表达式为； （3）解：由题意得，， 当时，，解得， 又， 加热一次，水温不低于的时间为． 【变式题11-1】.（2026九年级下·全国·专题练习）实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，理解题意，结合函数图像获取所需信息是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入，直线的解析式为，进而求出，再设双曲线的解析式为，将点代入，求出反比例函数解析式即可； （2）利用（1）求出的解析式，当时，解得，从晚上到第二天早上时间间隔为小时，由，即可求出答案． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 由图可知：直线过， 将代入，可得，解得， 则直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴部分双曲线的函数表达式为； （2）由可得：当时，解得， 从晚上到第二天早上时间间隔为小时， ∵， ∴第二天早上不能驾车去上班． 【变式题11-2】.（25-26九年级上·河北邯郸·期末）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温（）与时间（）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度（）与时间（）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于． (1)分别求出图中、所对应的函数关系式； (2)从水壶中的水烧开（）降到就可以泡茶，问从水烧开到泡茶至少需要等待多长时间？ 【答案】(1)； (2)分钟 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的应用； （1）将点的坐标代入反比例函数的一般形式，利用待定系数法确定反比例函数的解析式；再求得点和点的坐标，继而用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）将代入反比例函数的解析式，从而求得答案． 【详解】（1）解：停止加热时，设， 由题意得： ， 解得：， ， 当时，解得：， 点坐标为， ∵停止加热了1分钟， 点坐标为， 当加热烧水时，设， 由题意得：， 解得：， 函数关系式为； 函数关系式为； （2）解：把代入，得， 因此从水烧开到泡茶需要等待分钟． 【变式题11-3】.（25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且持续时间不低于，才能达到有效消毒．这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)这次“药熏消毒”是有效消毒，理由见解析 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法是解题的关键． （1）当时，设y与x的函数关系式为，利用待定系数法求解；当时，设y与x的函数关系式为：，利用待定系数法求解； （2）将分别代入和求解即可． （3）根据（2）中x的值，作差比较即可解答． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 当时，设y与x的函数关系式为：， 由图像可知：， ∴． ∴y与x的函数关系式为：， 综上所述：y与x的函数关系式为：． （2）解：将代入得：，解得：， 代入得，解得：． 综上，或； （3）解：这次“药熏消毒”是有效消毒， 理由如下： 根据（2）可得，当时，或， ， ∴这次“药熏消毒”是有效消毒． 【题型12】反比例函数中的动点与存在性问题 1.核心知识点: 动点坐标表示 特殊图形（等腰三角形、平行四边形、直角三角形）的判定 2.解题方法技巧: 设动点坐标，用含参数的代数式表示线段长度 按顶点位置或直角顶点位置分类讨论，结合勾股定理、平行四边形性质列方程求解 注意检验解是否符合题意和取值范围 【例题12】.（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与x轴交于点C． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)在轴右侧坐标平面内，是否存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，平行四边形的判定与性质，利用中点坐标公式列方程是关键． （1）把代入求解，得到反比例函数的解析式，再把代入求解，得到，最后把和代入即可； （2）设，分为对角线、为对角线、为对角线三种情况讨论，根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 反比例函数的解析式为； 把代入，得， ， 把和代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为或． 理由如下： 对于， 令，则， ， ， 设， 对于O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况： ①以为对角线时，， 解得， ； ②以为对角线时，， 解得， ； ③以为对角线时，， 解得， ， 点P在轴右侧坐标平面内， 不合题意，舍去； 综上所述，存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为或． 【变式题12-1】.（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）将点，坐标代入反比例函数解析式中，即可求出，，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据图像结合，，即可作答； （3）先求出，，设，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将，代入中得， ，，， 则点，坐标为，，将其代入得, ， 解得， 则一次函数解析式为； （2）解：观察函数图像可知，当时，或； （3）解：对于，当时，，当时，， 则，， 设， 则，， ， ， ， 则点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合问题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，函数与不等式的关系，三角形面积的求法，能够构建方程解决问题是解题的关键． 【变式题12-2】.（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点位于点右侧，点E位于A，D两点之间． (1)求a，b和k的值； (2)当面积为3时，求点D的坐标； (3)将沿着射线的方向平移后得到，当时，是否存在两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点E的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）作轴交直线于点F，作轴交于点G，H，根据，列方程即可解答； （3）根据点与点B重合，可得平移方向为向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，分类讨论，分别解答即可． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点， ， 解得， ， ， ； （2）解：如图，作轴交直线于点F，作轴交于点G，H， 根据（1）可得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 设，则， ， ， ， 化简得， 解得，（负值舍去）， 经检验，是原方程的解 ； （3）解：存在， 两顶点同时落在反比例函数图象上， ∴点与点B重合， ，， ∴平移方向为向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度， ①如图①，点，落在反比例函数图象上， 设，则， ， 解得：或1（舍去）， ； ②如图②，点，落在反比例函数图象上， 设，则， ， 解得：或1（舍去）， ， 设， 在反比例函数上， ， ， ∴ 化简得， ， 解得（负数舍去）， ， ∴综上所述，点E的坐标为或． 【变式题12-3】.（25-26九年级上·四川巴中·期末）综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． (1)建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； (2)图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； (3)深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 【答案】(1)，， (2)①见解析；②不存在，理由见解析 (3)①或；②原矩形长为米，宽为米，（答案不唯一） 【分析】（1）根据“新花园的周长是原花园的一半”，以及“新花园面积也是原花园的一半”建立关于的函数关系式，并求出的取值范围，即可解题； （2）①根据列表、描点、连线的步骤画出这两个函数的图象即可； ②根据所画的图象交点情况分析即可； （3）①设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半，推出有解，结合一元二次方程根的判别式列不等式求解，即可解题； ②利用①中的结论，结合条件原矩形的长和宽均为正整数，找出存在这种“减半”矩形的原矩形即可． 【详解】（1）解：根据“新花园的周长是原花园的一半，”得：， 整理得，； 根据“新花园面积也是原花园的一半，”得：， 整理得，； ， 则的取值范围为； 故答案为：，，； （2）解：①根据题意列表如下： 0 10 20 30 30 0 40 20 结合表格数据画图如下： ②所画的图象无交点， 不存在满足条件的新矩形花园； （3）解：①设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半， 由题意得：，整理得，； ，整理得，； 则，整理得， 则或， 或； 故答案为：或． ②由①题知，原矩形长为米，宽为米， 记其新矩形长为，宽为， 则 解得或， 当时，； 当时，； 长为米，宽为米的原矩形存在这种“减半”矩形（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，反比例函数解析式，画函数图象，根据图象交点情况求方程的解，一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于正确理解“减半”矩形的概念． 易错点 1.增减性忽略前提：误表述为“时，随的增大而减小”，遗漏“在每个象限内”的前提，导致跨象限比较函数值时出错。 2.的几何意义符号混淆：计算面积时遗漏绝对值，或根据图象象限时搞错的正负，导致求出的符号错误。 3.自变量范围遗漏：解不等式时忽略；实际问题中忽略等现实限制，得出不符合实际的结果。 4.定义条件遗漏：忽略反比例函数中的条件；误将等形式判定为反比例函数。 5.交点问题漏解：联立方程求解时，只求出一个象限的交点，遗漏另一象限的交点，导致不等式解集不完整。 重点 1.反比例函数的定义、三种表达形式，以及图象的象限分布、增减性、对称性。 2.反比例函数中系数的几何意义，包括矩形、三角形面积与|k|的关系，以及不规则图形的面积转化。 3.待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数与一次函数的交点、不等式解集综合问题。 4.反比例函数的实际应用，包括建模、自变量取值范围确定和最值求解。 难点 1.的几何意义在不规则图形、多双曲线组合中的应用，需要灵活运用割补法进行面积转化。 2.反比例函数中的动点存在性问题，分类情况多，坐标运算复杂，需结合特殊图形性质列方程。 3.反比例函数中的定值、最值问题，需要较强的代数化简能力和数形结合思想。 4.反比例函数与图形变换、新定义结合的创新题型，阅读理解和知识迁移能力要求较高。 【对应练习题】 一、单选题 1．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴比例系数， 解得． 2．平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 【答案】B 【分析】先根据直线过原点设出直线解析式，代入A、B坐标得到与的乘积，再根据C点坐标判断其满足哪个函数解析式． 【详解】解：∵直线经过原点， ∴设直线的解析式为， 把代入解析式得，即， ∴直线的解析式为， 把代入得，即， ∵点的坐标为， ∴点横纵坐标的乘积为， 对函数变形可得，满足点的坐标特征， ∴点一定在函数的图象上． 3．点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积可得的值，题目未说明反比例函数图象所在象限，因此有两种可能． 【详解】解：∵ 过反比例函数图象上一点作x轴垂线，该点、垂足和原点围成的三角形面积为， 又∵ 的面积为， ∴ ， 解得，即， 本题未给出函数图象所在象限，因此的值为． 二、填空题 4．如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 5．在相互啮合的齿轮的传动中，大齿轮的齿数为，每分钟转圈，如果小齿轮的齿数为，每分钟转圈，那么关于的函数表达式为________． 【答案】 【分析】根据相互啮合齿轮每分钟转过的总齿数相等，建立与的等量关系，整理后即可得到关于的函数表达式． 【详解】解：大齿轮每分钟转过的总齿数为：， 小齿轮每分钟转过的总齿数为， 根据题意得：， 整理得， 由齿数的实际意义可知， 因此，关于的函数表达式为． 6．如果反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性即可判断的取值范围． 【详解】解：反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，即随的增大而增大， ． 三、解答题 7．如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，若以、、为顶点的三角形面积为10，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出反比例函数的表达式，再求出点B的坐标，然后利用待定系数法解答即可； （2）直接观察图象解答即可； （3）设直线与x轴的交点为点C，设点D的坐标为，则，再根据以、、为顶点的三角形面积为10，即可求解． 【详解】（1）解：经过， ，解得， ∴反比例函数的表达式为， 把代入，得， 解得， ， 把代入， 得，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或； （3）解：如图，设直线与x轴的交点为点C， 对于，当时，， ∴， 设点D的坐标为，则， ∵以、、为顶点的三角形面积为10， ∴，即， 或， ∴点的坐标为或． 8．如图，已知一次函数的图像与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为． (1)求一次函数的表达式； (2)已知点在双曲线上．连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点记作点，当点恰好落在直线上时，求该双曲线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别令、，得出，，根据的面积为得出，根据点在轴的正半轴上求出，即可得出一次函数的表达式； （2）过点作轴于，过点作，交延长线于，可得，，，根据旋转的性质得出，，根据角的和差关系得出，即可证明，得出，，，，把代入，解方程可求出的值，进而可得出双曲线的表达式． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴，，， ∴，， ∵的面积为， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴一次函数的表达式为． （2）解：如图，过点作轴于，过点作，交延长线于， ∵点，在双曲线上， ∴，，，， ∵将线段绕点顺时针旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，，， ∴， ∵点恰好落在直线上，直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴， ∴该双曲线的表达式为． 9．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： (1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； (2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2) (3)该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，观察图像，结合点计算出反比例函数的，即可得到答案； （2）把代入反比例函数的解析式中即可求解； （3）浸入溶液的高度不能低于，则，从而解得的取值范围． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，代入图像上点得， ∴； （2）解：∵，， 得； （3）解：由题意可知，，即，解得， 又， ∴， 答：该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为． 10．如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】结合图像求出与的函数关系式，以及利用反比例函数的性质求解电流的取值范围． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由图2可知，图像经过点和， 代入得：， 解得：， ． 当时，（）， ，且， （）． （2）解：电流与总电阻成反比例， 设， 由（1）可知，当时，，此时， 代入得：， 解得：， 关于电阻的函数解析式为． （3）解：由（1）可知，， 当时，（）， 当时，（）， 当时，， ，且， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（）， 当时，取最小值，（）， 电流表显示电流的取值范围． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $