2.1 认识有理数 课件 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

该初中数学课件围绕有理数的概念、分类，相反数、绝对值的意义及数轴三要素展开，通过温度、竞赛得分等现实情境复习小学数知识，搭建从旧知到负数、有理数的学习支架，逐步引入分类及数轴表示。 其亮点是情境化与探究式结合，用气温、海拔等实例培养数学眼光，通过归纳有理数分类、绝对值性质发展数学思维，借助数轴和符号强化数学语言。典例和检测助学生巩固，教师可直接使用提升教学效率。

第1课时 有理数 2.1 认识有理数 1.在具体情境中，进一步认识负数，理解有理数的意义(重点)； 2. 经历用正负数表示具有相反意义的量的过程，体会负数是实际生活的需要(重点)； 3.会判断一个数是正数还是负数，能按一定的标准对有理数进行分类(难点)。 学 习 目 标 零上5ºC 零下5ºC 1.小学我们学过的数包括哪些？ 自然数、整数、分数、小数。 2.数学中仅有这些数够用了吗？用小学学过的数能表示下列数吗？ 复 习 导 入 答对 答错 不回答 某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加1分，答错一题扣1分，不回答得0分；每个队的基本分均为0分．两个代表队答题情况如下表： 答题情况 第一队 第二队 讲 授 新 课 答对题的得分 答错题的得分 未回答题的得分 第一队 第二队 答对 答错 不回答 （1）你能用适当的方式表示每个队答题得分的情况吗？试完成下表。 答题情况 第一队 第二队 （2）如果用“＋1”表示答对1题的得分，用“－1”表示答错1题的得分，那么你如何填写（1）中的表？ ＋6 －3 0 ＋8 －2 0 讲 授 新 课 （1）下表是2023年1月1日四个城市的气温情况。你能说出表中各数的实际意义吗？ 城市 北京 昆明 西安 哈尔滨 气温 －7℃～5℃ 7℃～13℃ －2℃～2℃ －19℃～－14℃ （2）珠穆朗玛峰的海拔大约是8 848.86m，吐鲁番盆地最低处的海拔大约是－154.31m。8 848.86m，－154.31m两数的实际意义分别是什么？ －7℃指零下7摄氏度，5℃指零上5摄氏度。 8 848.86m指高于海平面8848.86m；－154.31m指低于海平面154.31m。 相反 相反 合 作 探 究 （3）下图展示了2021年7月我国居民消费价格分别同比涨跌情况。说说－1.8%，0.4%等数的实际意义，并与同伴进行交流。 －1.8%指下跌量为1.8%，0.4%指上涨量为0.4%。 相反 合 作 探 究 为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，把与这个量意义相反的量规定为负的，并分别“＋”“－” 来表示。 例如，“加3分”记为＋3分，“扣2分”就记为－2分。 像＋3,＋15,＋6.9%,…都是正数，正数前面的“＋”可以省略不写。 像－2,－8,－1.8%,…都是负数。 0既不是正数，也不是负数。 负数与对应的正数 在数量上相等，表示的 意义相反。 新 知 小 结 例1 下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ ＋0.005，－100，，－ ，0.333…，－4，5，0. 解：正数：＋0.005，，0.333…，5； 负数：－100，－，－4. ☀归纳 判断正数、负数的方法：首先要确定它不为0；其次看它的“＋”“－”号的呈现形式：若不含“＋”“－”号，或只含“＋”号，则均为正数，否则为负数. 新 知 小 结 例2 (1)某人转动转盘，如果用＋5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示? (2)在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g，记作＋0.02 g,那么－0.03 g表示什么? (3)某大米包装袋上标注着“净含量：10 kg±50 g”,这里的“10 kg±50 g”表示什么? 解:(1)沿顺时针方向转了12圈记作－12圈； (2)－0.03g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03g; (3)每袋大米的标准质量应为10kg,但实际每袋大米可能有50g的误差,即每袋大米的净含量最多是10kg＋50g,最少是10kg－50g。 新 知 小 结 用正数和负数表示具有相反意义的量的“三步法”： (1)确定问题中存在具有相反意义的量。 (2)明确具有相反意义的量的“基准”，把一种意义的量规定为 正，另一种和它意义相反的量则为负。 (3)用符号、数和单位分别表示出问题中具有相反意义的量。 新 知 小 结 (1)选定一个身体高度作为标准，用正负数和0表示你们班每名同学的身高与选定的身高标准的差。你是怎样表示的?从你的表示能看出谁最高吗? 如把160cm作为本班同学的标准身高，超过160cm的部分用正数表示，如170cm，超过10cm表示为“＋10cm”，不足160cm的部分用负数表示，如158cm,差2cm表示为“－2cm”. ☀归纳 (1)0既不是正数，也不是负数。 (2)0是整数与负数的分界线。 (3)0不仅可以表示“没有”，还可以表示特定意义。 思 考 例3 (1)一个月内，李明体重增加1.2 kg，张华体重减少0.5 kg,刘伟体重无变化，写出他们这个月的体重增长值。 (2)四种品牌的手机今年的销售量与去年相比，变化率如下： A品牌减少2%,B品牌增长4%,C品牌增长1%,D品牌减少3% 写出今年这些品牌的手机销售量的增长率 解：(1)这个月李明体重增长1.2 kg,张华体重增长-0.5 kg,刘伟体重增长0 kg。 (2)四种品牌的手机今年销售量的增长率是： A品牌 -2%,B品牌 4%,C品牌 1%，D品牌 -3%。 典 例 精 析 (2)你能将所学的数进行分类吗?与同伴进行交流。 有理数（按定义） 整数 分数 负分数 正分数 负整数 正整数 零 如1,2,3,… 0 如－1,－2,－3,… 如,，5.2… 整数和分数统称为有理数。 如－,－3.5,－… 思 考 有理数还可以进行其他分类吗？ 正有理数 负有理数 正分数 负分数 负整数 正整数 0 有理数 （按性质） 思 考 小学学过的小数是不是有理数？属于分类中的哪一类？ 有限小数和无限循环小数都是有理数，属于分数，是有理数；无限不循环小数不是有理数,比如π。 思 考 16 例4 所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合。请把下列各数填在表示相应的集合中： 3，－7，－，5.,0，－，15， 正数集合； 负数集合； 整数集合； 分数集合； 3，5.,15， －，5.,－，， －7，－，－， 3，－7，0，15， 典 例 精 析 1．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”。如果把收入5元记作＋5元，那么支出5元记作（    ） A．0元 B．－5元 C．＋5元 D．＋10元 2．在这四个数－1,0,1,2中，既不是正数，也不是负数的是（  ） A．－1 B．0 C．1 D．2 3．若x是正数，则x 0。（填“＞”或“＜”或“＝”） 4．如果温度上升3℃，记作＋3℃，那么温度下降2℃记作 ℃。 B B ＞ －2 随 堂 检 测 5．将下列各数填入相应的集合内： －2,3.5,0，－，4，，0.010010001…，31% (1)整数集合：{                  } (2)正分数集合：{             } (3)有理数集合：{              } －2,0，4 3.5,31% －2,3.5,0，－，4，31% 随 堂 检 测 用正数和负数表示具有相反意义的量 有理数 有理数的概念 有理数的分类 按定义分类 按性质分类 课 堂 总 结 2.1 认识有理数 第2课时 相反数、绝对值 1.理解相反数的概念，会求一个数的相反数。(重点) 2.初步理解绝对值的意义，掌握求有理数的绝对值的方法，体会数形结合的思想方法。(重点) 3.会利用绝对值比较两个负数的大小。(难点) 学 习 目 标 情 境 导 入 如图，两位同学背靠背站好(分左右),规定向右为正，以两位同学未走时的位置为原点，两人各自向前走3步。则：右边同学所在位置，记作 ,左边同学所在位置，记作 。 0 原点 ＋3 －3 －3 ＋3 正方向 请观察＋3和－3这两个数，它们有什么异同点？你还能列举两个这样的数吗？ 数字相同 符号不同 ＋ － 3 3 合 作 探 究 像3与－3，与－，5与－5这样的两个数，它们的符号不同，数量相等。我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。 特别地，0的相反数是0。 数字相同 符号不同 + - 数字相同 符号不同 ＋ － 5 5 合 作 探 究 如何求一个数的相反数呢？ －a a (1)如果a＝13，那么－a＝____；(2)如果a＝－5.4，那么－a＝____；(3)如果－x＝－6，那么x＝____；(4)如果－x＝9，那么x＝_____。 针对练习： －13 5.4 6 －9 求一个数的相反数，就是在这个数的前面添上“－”号。 一般地，a的相反数是 ；－a的相反数是 。 即a和－a互为相反数。 思 考 容易看出，在正数前面添上“－”号，就得到这个正数的相反数，在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数， 例如，－(＋5)＝ , －(－5)＝ , －0＝ 。 －5 ＋5 0 合 作 探 究 例1 根据相反数的意义化简下列各数： （1）－(＋36)； (2)－(－5)； （3）－(－)； (4)－(＋14.8)。 解：（1）－(＋36)＝－36； （2）－(－5)＝5； （3）－(－)＝； （4）－(＋14.8)＝－14.8。 典 例 精 析 两辆出租汽车，第一辆沿公路向东行驶了3千米，第二辆向西行驶了5千米，为了表示行驶的方向(规定向东为正)和所在位置，分别记作 千米和 千米.这样，利用有理数就可以明确表示每辆汽车在公路上的位置了。 我们知道，出租汽车是计程收费的，这时我们只需要考虑汽车行驶的距离，不需要考虑方向，当不考虑方向时，两辆汽车行驶的距离就可以记为 千米和 千米，这里的3叫做＋3的绝对值，5叫做－5的绝对值。 3 －5 3 5 合 作 探 究 一个数的数量大小叫作这个数的绝对值,0的绝对值等于0。 通常用|a|表示数a的绝对值。 如：3的绝对值记作|3|＝3, －5的绝对值记作|－5|＝5。 新 知 小 结 一个数的绝对值与这个数有什么关系？ 例如：|3|＝3，|＋7|＝7 …… ①正数的绝对值是它本身。 例如：|－3|＝3，|－2.3|＝2.3 …… ②负数的绝对值是它的相反数。 ③0的绝对值是0，即 |0|＝0。 0呢？ 思 考 想一想：因为正数可用a＞0表示，负数可用a＜0表示，那么上述三条可怎么表述呢？　　 ①如果a＞0，那么|a|＝a ②如果a＜0，那么|a|＝－a ③如果a＝0，那么|a|＝0　　 由此可得，绝对值具有非负性，即|a|≥0。 合 作 探 究 例2 求下列各数的相反数和绝对值： －2，，0，－3.8，30。 解：－2，，0，－3.8，30的相反数分别是 2，－，0，3.8，－30； |－2|＝2，||＝，|0|＝0； |－3.8|＝3.8；|30|＝30。 典 例 精 析 (1)下表呈现了2023年1月1日四个城市的最低气温和最高气温。你能将这四个城市的最低气温从低到高进行排列吗?你是怎么比较的? (2)你能仿照气温的比较将下列这组数按照从小到大的顺序进行排列吗? －1，0，－3，2.5，－1.5，4。 －19℃＜－14℃＜－7℃＜－2℃＜2℃＜5℃＜7℃＜13℃ －3＜－1.5＜－1＜0＜2.5 典 例 精 析 (3)你认为负数和正数应怎样比较大小?负数和0呢?两个负数呢?与同伴进行交流。 正数大于0,负数小于0,正数大于负数。 两个负数，绝对值大的反而小。 典 例 精 析 例3 比较下列每组数的大小： (1)－2，6； (2)0，－1.8； (3)－，－4。 解：(1)因为正数大于负数，所以－2＜6; (2)因为负数小于0,所以0＞－1.8; (3)因为两个负数，绝对值大的反而小， |－|＝，|－4|＝4，＜4， 所以－＞－4。 典 例 精 析 1．－的绝对值为（  ） A．－ B．－ C． D． 2．有理数的相反数是（     ） A． B．－ C．2024 D．－2024 3．若|2024x＋2024|＝30×2024，则x的值等于（    ） A．30或－31 B．－30或31 C．－29或31 D．29或－31 C C D 典 例 精 析 4．当时x＞2时，化简|2－x|＝ ． 5．已知a，b互为相反数，则a＋b＝ ． 6．比较大小：－|－| －(－)．（用“＞”、“＜”或“＝”填空） x－2 0 ＜ 典 例 精 析 相反数 相反数、绝对值 两个数，它们的符号不同，数量相等。我们称其中一个数为另一个数的相反数。 |a|＝ 由此可得，绝对值具有非负性，即|a|≥0. 绝对值的性质 比较两个数的大小 正数大于0,负数小于0,正数大于负数。 两个负数，绝对值大的反而小。 课 堂 总 结 2.1 认识有理数 第3课时 数轴 1.了解数轴的概念及其三个要素，会画数轴.(重点) 2.理解数轴上的点和有理数的对应关系，会利用数轴比较有理数的大小.(难点) 学 习 目 标 (1)图中温度计上显示的温度各是多少? (2)温度计上的刻度有什么特点? 解：(1)温度计上的温度分别表示： 5，0，－10。 (2)温度计上的刻度有正数、负数和0，刻度之间的距离是均匀的。 (3)你能用直线上的点表示有理数吗? 情 境 导 入 0 活动：把温度计平放，我们能从中发现什么？ 零下 零上 分刻度 思考：你能借鉴温度计,用一条直线上的点表示有理数吗? 合 作 探 究 在一条水平直线上取一点(称为原点)表示0,选取某一长度作为单位长度，规定这条直线上向右的方向为正方向，那么相反方向就是负方向。原点右边的点可以表示正数，原点左边的点可以表示负数。这样，所有有理数就都可以用直线上的点表示了。 0 1 2 3 4 －1 －2 －3 －4 正方向 像这样，规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴。 合 作 探 究 数轴的概念包含三层含义： ①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸，但直线不一定是数轴； ②数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 ③原点的选定，正方向的选取（一般规定向右为正），单位长度大小的确定，都是根据实际需要规定的，但同一数轴上的单位长度必须一致. 原点 正方向 单位长度 合 作 探 究 数轴的画法： 2.定原点：在这条直线上的适当位置取一点作为原点(如图)，原点表示0. 0 3.定方向：确定正方向，用箭头表示出来（一般规定从原点向右的方向为正方向）。 4.定单位长度：确定单位长度，用细短线画出，并对应地标注各数.  0 0 1 2 3 -1 -2 -3   1.画一条水平的直线； 合 作 探 究 1、下列选项中，表示数轴正确的是( ) D 2.在数轴上表示数－3，0，5，2，0.4，的点中，在原点右边的有 。 A. B. C. D. 5,2,0.4 针 对 练 习 用数轴上的哪个点表示?－1.5呢?其他数呢? 0 1 2 3 4 －1 －2 －3 －4 解：如图所示: · · －1.5 ☀归纳 任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示. 思 考 例1 （1）如图,数轴上点A,B,C,D分别表示什么数? 0 1 2 3 4 －1 －2 －3 －4 A D C B · · · · （2）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数: ,－3,0,5，－4，－,3,－5。 解:（1）点A 表示－2；点B 表示2;点C 表示0；点D 表示－1。 （2）如图所示: 典 例 精 析 例2 如图，数轴上点A表示的数为＋3，把点A先向右平移5个单位，再向左平移10个单位到点B，则点B表示的数为 . －2 0 1 2 3 4 －1 A · 典 例 精 析 观察图中表示3与－3的两个点，它们在数轴上的位置有什么关系?表示与－的两个点呢?表示5与－5的两个点呢? 表示3的点在数轴上原点右侧，距离原点3个单位长度； 表示－3的点在数轴上原点左侧，距离原点3个单位长度； 0 1 2 3 4 －1 －2 －3 －4 －5 5 － · · · · · · 表示的点在数轴上原点右侧，距离原点个单位长度； 表示－的点在数轴上原点左侧，距离原点个单位长度。 思 考 例3 在数轴上距离原点2.5个单位长度的点所表示的数是         . ±2.5 ☀归纳 一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离。 典 例 精 析 将下列各数按照从小到大的顺序排列，并用“＜”连接起来。 ,－3,0,5，－4，－,3,－5。 0 1 2 3 4 －1 －2 －3 －4 －5 5 － · · · · · · 解：－5＜－4＜－3＜－＜0＜＜3＜5 如上图，观察它们在数轴上对应点的位置，你有什么发现？与同伴交流。 结论：(1)数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大. (2)正数大于0，负数小于0，正数大于负数. 思 考 例4 比较下列每组数的大小： （1）－2和＋6；　（2）0和－1.8； （3）－和－4。 解:（1）－2＜＋6 (正数大于负数）； （2）0＞－1.8 (负数小于零）； （3）－＞－4(数轴上，－所对应的点在－4所对应点的侧） 0 1 2 3 4 －1 －2 －3 －4 －4 － · · 典 例 精 析 1．下列图形表示数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点表示的数是（     ） A．2 B．－1 C．－2 D．－3 B C 随 堂 检 测 3．数轴上点表示的数是－3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表示的数是（   ） A．4 B．－4或10 C．－10 D．4或－10 4．数轴上一个点到原点的距离为6，则这个点表示的数为 ．  D   ±6  随 堂 检 测 5．画出数轴，先在数轴上表示出下列各数，再用“＜”把它们连接起来： －1，0，－，2 解：如图所示 ∴－＜－1＜0＜2。 随 堂 检 测 数轴三要素 数轴 原点、正方向、单位长度 数轴上原点右边的数表示正数，原点左边的数表示负数 表示有理数 比较有理数的大小 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大 课 堂 总 结 $