2.5有理数的乘方（讲义，4个知识点6大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦有理数乘方核心知识点，系统梳理乘方的概念（底数、指数、幂）、符号法则（正数任意次幂为正，负数偶次幂正奇次幂负等）、混合运算优先级及科学记数法，前承有理数四则运算，为后续复杂运算与实际应用搭建学习支架。 该资料特色在于结合折纸、细菌分裂等生活情境引入，培养数学眼光，通过对比(-3)^2与-3^2等易混点强化符号推理（数学思维），科学记数法解决人口、距离等实际问题（数学语言）。课中随学随练助即时巩固，课后分层练习（基础到创新）帮学生查漏补缺。

第二章 有理数的运算 2.5 有理数的乘方 课标要点 1.结合折纸、分裂、倍增等生活情境，理解有理数乘方的意义，认识底数、指数、幂的概念，能正确读、写乘方算式。 2.掌握有理数乘方的运算法则，熟练判断正数、负数、0的乘方符号规律，能够准确计算整数、分数、小数的乘方。 3.精准区分(-a)n与-an、分数乘方有无括号的区别，规范书写乘方运算格式，规避常见书写错误。 4.掌握平方、立方的特殊性质，理解平方的非负性，能利用平方非负性进行简单计算与推理。 5.能运用乘方知识解决倍增、折叠等实际问题，整合有理数四则运算与乘方运算，完善有理数运算体系。 学习重难点 重点：1.乘方、底数、指数、幂的基本概念与规范书写。 2.有理数乘方的符号法则，熟练进行平方、立方的基础运算。 难点：1.区分带括号与不带括号的乘方运算的意义与计算结果。 2.负分数、小数的乘方运算，符号判断与分步计算容易出错。 3.利用平方非负性进行求值、推理，以及乘方实际应用题的求解。 知识点 乘方的相关概念（重点） 1.定义：求几个相同因数的积的运算叫做乘方；乘方的运算结果称为幂。 2.各部分名称：式子an中，a叫做底数，n叫做指数；读作a的n次方（或a的n次幂）。 3.含义展开：an=a×a×a...×a(n个a) 易错提醒 (-3)2与-32意义完全不同：(-3)2底数是-3，结果为9；-32底数是3，表示3平方的相反数，结果为-9，做题极易混淆。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）的底数是______，值为______；的底数是______，值为______． 【答案】 1 1 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义以及运算法则是解题的关键． 在中，叫做底数，叫做指数，由此判断计算即可． 【详解】解：的底数是，值为； 的底数是，值为； 故答案为：，；，． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可； （2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可； （3）先确定结果的符号为负，再计算即可； （4）根据，再计算立方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 知识点 有理数乘方符号法则（重点） 1.正数的任何次幂都是正数； 2.负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数； 3.0的任意正整数次幂都等于0； 4.1的任意次幂为1；-1的偶次幂为1，奇次幂为-1。 特别提醒 判断乘方结果符号，只看底数正负与指数奇偶，计算时遵循“先定符号，再算绝对值”的顺序。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列各组数中，计算结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方运算． 分别计算每组数的结果，再判断是否相等即可． 【详解】解：，，，A选项结果不相等； ，，，B选项结果相等； ，，C选项结果不相等； ，，，D选项结果不相等； 故选：B． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）下列各数：，，，0，在数轴上所对应的点在原点右边的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上点的分布与数的正负性，幂的符号法则．在数轴上，原点右边的点表示的数是正数，原点左边的点表示的数是负数，原点为0．正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂是负数．熟练掌握幂的符号法则是解决本题的关键．确定题目中给出每个数的正负性即可回答此题． 【详解】解：，，， ∴在数轴上所对应的点一定在原点右边的数是，共1个， 故选：A． 知识点 有理数乘除、乘方混合运算（难点） 1.运算优先级：先算乘方，再算乘除； 2.同级运算从左往右依次计算； 3.有括号先算括号内部的式子。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． （7）解：． 知识点 科学记数法（重点） 1.定义：把大于10的数写成a×10n的形式（满足1≤a<10，n为正整数）。 2.n快速确定方法：n等于原数的整数位数减1。 教材延伸 1.特殊数的幂：平方等于本身的数是0和1；立方等于本身的数是-1、0、1； 2.拓展知识：极小的小数也可使用科学记数法表示，会在后续内容学习； 3.考情补充：乘方常结合四则混合运算出计算大题，科学记数法是选择、填空高频基础考点。 随学随练 1．（2026·浙江金华·二模）金漪湖、金满湖、金澧湖，“三大湖”各具特色的玩法，让金东成为周边城市游客“微度假”的高频目的地。据统计，五一假期期间，全区全域旅游接待人次，同比增长，增速全市第一，数字用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：用科学记数法可表示为． 2．（2026·浙江温州·三模）人工智能模型的参数量越大，理解能力越强．模型参数达到个，其中数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：． 题型 乘方的概念理解 ▌例1 （25-26七年级上·浙江台州·期中）在下列表述中，能表示整式“”的意义的是（    ） A．3的倍 B．的3倍 C．3个相加 D．3个相乘 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义．根据代数式的意义逐一进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、3的倍可以用代数式“”表示，不符合题意，本选项不符合题意； B、的3倍可以用代数式“”表示，不符合题意，本选项不符合题意； C、3个相加可以用代数式“”表示，不符合题意，本选项不符合题意； D、3个相乘可以用代数式“”表示，符合题意，本选项符合题意； 故选：D． 解题贴士 · an：a是底数，n是指数，表示n个a相乘； · 区分-an与(-a)n，括号决定底数范围。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在中底数是_____，指数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据幂的定义中指数与底数的说明解答本题． 【详解】解：在中底数是，指数是， 故答案为：， ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）的底数是______，指数是______，写成积的形式是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数幂的定义，根据幂的定义，即可求解． 【详解】解：的底数是，指数是，写成积的形式是 故答案为：，，． 题型 有理数的乘方运算 ▌例2 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）下列各组数中，计算结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查多重符号的化简，绝对值，乘方，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数、绝对值、有理数乘方的运算法则，分别计算各选项中两个数的值，再比较是否相等即可． 【详解】解：A.∵， ， ∴，该选项不符合题意； B. ∵， ， ∴，该选项不符合题意； C. ∵， ， ∴，该选项符合题意； D.∵， ， ∴， 该选项不符合题意； 故选C． 解题贴士 符号规律：正数任意次幂为正；负数偶次幂正、奇次幂负。 ▌对点练2-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）计算题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． （2）解：． ▌对点练2-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型 有理数乘方的逆运算 ▌例3 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． 解题贴士 an 表示n个a相乘。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知，则x＝_______． 【答案】3 【分析】本题考查有理数乘方运算，根据有理数乘方运算计算即可． 【详解】∵， ∴ 故答案为：3． ▌对点练3-2 （25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 【答案】 【分析】先根据已知乘方等式求出的值，再将代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． 题型 乘方的应用 ▌例4 （25-26七年级上·浙江衢州·期中）某种细菌在适宜条件下每隔分钟分裂一次，假设培养皿中开始时有1个细菌，则经过3小时，细菌数量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 细菌每隔分钟分裂一次，每次分裂数量翻倍．3小时共分钟，计算分裂次数，再求2的幂次． 【详解】解：∵3小时分钟， 分裂间隔为分钟， ∴分裂次数次． ∵开始时细菌数量为1，每次分裂数量翻倍， ∴经过9次分裂后，细菌数量为． 故选：C． 解题贴士 实际问题：对折纸张、病毒扩散、倍数类问题，利用乘方表示研究变化规律。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，第5天截取后，截取木棍的总长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方的应用．每天截取剩余木棍的一半，总截取长度可用总长度减去剩余长度求得． 【详解】解：原木棍长1米，每天截取后剩余长度为前一天的．第5天截取后剩余长度为：（米）， 总截取长度为原长减去剩余长度：（米） 故第5天截取后总长度为米， 故选：D． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）拉面是一道美味佳肴，细腻爽滑的面条搭配上丰富的调料，令人回味无穷．某拉面馆的师傅用一根很粗的面条，拉一次变成根，拉次变成根，拉次变成根，照这样下去，拉次后，师傅手中的拉面的根数是__________．用幂的形式表示 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算，规律探索，正确归纳增长规律是解题关键． 由题可知，每次拉面后根数是前一次的倍，归纳出拉次的根数为，再代入得到结果． 【详解】解：根据题意，拉次变成根，即根；拉次变成根，即根；拉次变成根，即根；依此类推，拉次后根数为根． 故答案为：． 题型 用科学记数法表示绝对值大于1的数 ▌例5 （2026·浙江温州·三模）据统计，到2025年底，浙江省的常住人口约为6700万人，将数字67000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 解题贴士 n：整数位数减1或小数点移动移动位数。 ▌对点练5-1 （2026·浙江丽水·模拟预测）2025年浙江省生产总值（）达94545亿元，将数9454500000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：∵是大于10的数，将原数变为时需满足，得，原数的小数点向左移动了12位， ∴，即． ▌对点练5-2 （2026·浙江温州·三模）2026年5月1日，温州园博园单日入园人数累计超人次，刷新温州单个景点的单日接待纪录．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学记数法的定义，确定和的值即可得到结果，科学记数法要求，为整数． 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中，为整数， 将原数转变为符合要求的，可得，小数点向左移动了位， ∴， ∴用科学记数法表示为． 题型 将科学记数法表示的数还原 ▌例6 （2026·浙江温州·一模）用科学记数法表示的数 的原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是科学记数法的知识．首先根据科学记数法的定义，由的形式，可以得出原数变形为；然后再根据有理数的乘法法则进行计算即可得出结果. 【详解】解：． 故选：C． 解题贴士 原数的整数位数为指数加1。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【答案】C 【分析】根据科学记数法的意义解答即可． 本题考查了科学记数法，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：A． 航天器速度原数是（米/秒），故选项错误，不符合题意； B． 的原数为末尾有6个0，故选项错误，不符合题意； C． 根据题意，千米=米，航天器飞完这段距离需秒，故选项正确，符合题意； D． 小数点左移2位，结果为，不是向右，故选项错误，不符合题意； 故选：C． ▌对点练6-2 （24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）一个自然数用科学记数法表示为，则原数中“”的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学记数法的表示数的方法，当时，表示形式为，的值为所有整数位减，由此即可求解． 【详解】解：在中，的指数表示，小数点向左移动了位， ∴根据科学记数法可知，的后面应添加个零， ∴原数中“”的个数是， 故选：． 【点睛】本题主要考查科学记数法还原原数，掌握科学记数法表示形式，的取值方法是解题的关键． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列表示的含义的是（    ） A．9个8相乘 B．9个8相加 C．8个9相乘 D．8个9相加 【答案】A 【分析】本题主要考查乘方的定义，解题的关键是掌握有理数乘方的定义． 【详解】解：表示的是9个8相乘， 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）代数式化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法和乘方运算，解题的关键是正确理解乘法的意义．根据乘法和乘方的意义即可求解. 【详解】解：原式． 故选：C． 3．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A．25 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方运算，掌握乘方运算的运算法则是解题的关键．遵循先计算乘方再处理符号的运算顺序计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各式运算的结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．计算有理数的乘方，由此即可得． 【详解】解：A、，，则此项不相等，不符合题意； B、，，则此项相等，符合题意； C、，，则此项不相等，不符合题意； D、，，则此项不相等，不符合题意； 故选：B． 5．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）在数，，，，中，负数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了负数的定义，计算每个数的值，根据小于零的数是负数，判断负数的个数即可． 【详解】解：∵，是正数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数， ∴负数有3个， 故选B． 6．（2026·浙江绍兴·二模）北京时间年月日时08分，神舟二十三号载人飞船顺利升空．该飞船每秒飞行米，照此速度计算，1分钟可飞行米．将用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 7．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需将该数写为若干个的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为，32可以写为二进制数字100000，因为，则十进制数字88是二进制下的（    ） A．5位数 B．6位数 C．7位数 D．8位数 【答案】C 【分析】本题考查了进制问题． 将88分解为2的幂次之和，最高次幂为，因此二进制数有7位． 【详解】解：∵， ∴二进制表示为1011000，是7位数． 故选：C． 8．（25-26七年级上·浙江温州·期中）某种细胞每过分钟便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细炮由1个分裂成了______个． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方．熟练掌握有理数的乘方的计算是解题的关键． 根据细胞分裂规律，每分钟数量翻倍，计算5小时内的分裂次数，再应用乘方运算求解． 【详解】解：5小时相当于分钟，分裂间隔为分钟， 故分裂次数为次． 每次分裂后细胞数量变为原来的2倍， 因此经过10次分裂，细胞数量为个． 故答案为1024． 9．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）用“☆”、“★”定义新运算：对于任意有理数、，都有和，那么______． 【答案】512 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据新运算定义可计算出，再计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴ ， 故答案为：512． 10．（2022七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)（﹣5）4； (2)﹣54； (3)； (4)； (5)（﹣1）2013． 【答案】(1)625 (2)﹣625 (3)﹣ (4) (5)﹣1 【分析】分别根据有理数的乘方的定义法则计算即可得解． 【详解】（1）（﹣5）4=625； （2）﹣54=-625； （3）； （4）； （5）（﹣1）2013=-1． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，解决问题的关键是熟练掌握乘方的定义，有理数乘方的法则． 11．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数连接起来： ，，， 【答案】见解析， 【分析】本题考查了数轴、乘方、化简多重符号和绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先计算乘方、化简多重符号和绝对值，再将这些数在数轴上表示出来，然后根据数轴的性质比较大小即可得． 【详解】解：，，． 将这些数在数轴上表示如下： 由数轴可知，． 12．（25-26七年级上·浙江台州·期中）把下列各数填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧． 非负整数集合{___________}． 正数集合{___________}． 负分数集合{___________}． 【答案】见解析 【分析】此题考查了有理数的分类，熟练掌握非负整数、正数、负分数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据有理数的分类填写即可． 【详解】解：，，， 非负整数集合； 正数集合； 负分数集合． 素养提升 13．（2026·浙江舟山·二模）2026年5月，国内应用正式进入付费时代，大模型商业化即将落地．据悉，截至2026年3月，豆包的（月活跃用户数）达亿，将数字亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将3.15亿换算为以个为单位的数，再根据科学记数法的规则写出正确形式即可，科学记数法的形式为，要求满足，为整数． 【详解】∵ ∴ 14．（25-26七年级上·浙江金华·期中）在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或4 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的含义，平方运算的逆运算，求解代数式的值，本题先求解，的值，再根据，再分两种情况讨论计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵所表示的点在所表示的点的左边， ∴， ∴，， 当，，则， 当，，则， 故选C 15．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）若，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵且，且， ∴且， ∴且， ∴，， ∴， 故选：B． 16．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，下列五个代数式：，，，，，值为负数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘方、正负数及数轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据数轴可得，再判断即可． 【详解】解：由数轴可得， 则，，，，， 则负数的个数为3个． 故选：C 17．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）姚江，古名舜江，又称余姚江，是宁波的“母亲河”，每年的4月到11月，我们的“母亲河”经常会出现水葫芦爆发成灾的现象．同时研究表明：适量的水葫芦对水质的净化是有利的，关键是需要科学的管理和利用．假设在适宜的条件下1株水葫芦每5天就能繁殖出1株新的水葫芦（不考虑死亡、被打捞等其它因素）． (1)假设江面土现有1株水葫芦，不考虑死亡、被打捞等其它因素，第15天江面上将有____________株水葫芦，第50天江面上将有____________株水葫芦，第天江面上将有____________株水葫芦； (2)假定在某段流域内的水葫芦维持在1280株以内对水质净化是有益的，若现有10株水葫芦，请你计算下，按照上述的生长速度，多少天后会有1280株水葫芦． 【答案】(1)8，1024， (2)35天 【分析】本题考查了列代数式，有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1）根据题意，明确天数与总株数的变化情况，进而找出规律． （2）根据（1）中的规律求得30天后水葫芦的数量，再进行判断． 【详解】（1）天数为15天，总株数为． 当天数为50天时，总株数为． 当天数为天时，总株数为． 故答案为：8，，． （2）根据题意得，， 解得，即（天） 答：按照上述的生长速度，35天后会有1280株水葫芦． 18．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上点表示的数分别为，其中，是最大的负整数，满足， (1)求的值； (2)若将点向左移动个单位长度后与点的距离为2，求的值． 【答案】(1)或1 (2)的值为8或12或14或18 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数乘方、数轴上两点之间的距离等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据绝对值、有理数乘方、负数的性质即可解答； （2）由（1）可得或1，然后分和两种情况，分别根据点向左移动个单位长度后与点的距离为2，列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：， 是最大的负整数， ， ， 或， 或． 或1． （2）解：点向左移动个单位长度后与点的距离为2， ，即， 当时，，即， 或， 或； 当时，，即， 或， 或． 综上，的值为8或12或14或18． 迁移创新 19．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方的应用；根据对方运算的定义，分别求和的值，再计算它们的和． 【详解】解：因为，所以； 因为，所以； 因此． 故答案为：6． 20．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）材料1：一般地，个相同因数相乘：记为，如，此时，4叫做以2为底的16的对数，记为（即）． （1）计算：________，________； 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，⋯，在这种规定下： （2）求出满足该等式的：； （3）当为何值时，． 【答案】（1），10；（2）或；（3）或． 【分析】本题考查了新定义运算． （1）根据对数的定义直接计算； （2）由的定义得到，化简原式求解即可； （3）先计算对数值，再解绝对值方程，分情况讨论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴或 ∴或； （3）解：∵， ∴ 当时，， ∴， 即， ∴； 当时，，， ∴，无解； 当时，，， ∴， 即， ∴； ∴或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 2.5 有理数的乘方 课标要点 1.结合折纸、分裂、倍增等生活情境，理解有理数乘方的意义，认识底数、指数、幂的概念，能正确读、写乘方算式。 2.掌握有理数乘方的运算法则，熟练判断正数、负数、0的乘方符号规律，能够准确计算整数、分数、小数的乘方。 3.精准区分(-a)n与-an、分数乘方有无括号的区别，规范书写乘方运算格式，规避常见书写错误。 4.掌握平方、立方的特殊性质，理解平方的非负性，能利用平方非负性进行简单计算与推理。 5.能运用乘方知识解决倍增、折叠等实际问题，整合有理数四则运算与乘方运算，完善有理数运算体系。 学习重难点 重点：1.乘方、底数、指数、幂的基本概念与规范书写。 2.有理数乘方的符号法则，熟练进行平方、立方的基础运算。 难点：1.区分带括号与不带括号的乘方运算的意义与计算结果。 2.负分数、小数的乘方运算，符号判断与分步计算容易出错。 3.利用平方非负性进行求值、推理，以及乘方实际应用题的求解。 知识点 乘方的相关概念（重点） 1.定义：求几个相同因数的积的运算叫做乘方；乘方的运算结果称为幂。 2.各部分名称：式子an中，a叫做底数，n叫做指数；读作a的n次方（或a的n次幂）。 3.含义展开：an=a×a×a...×a(n个a) 易错提醒 (-3)2与-32意义完全不同：(-3)2底数是-3，结果为9；-32底数是3，表示3平方的相反数，结果为-9，做题极易混淆。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）的底数是______，值为______；的底数是______，值为______． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点 有理数乘方符号法则（重点） 1.正数的任何次幂都是正数； 2.负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数； 3.0的任意正整数次幂都等于0； 4.1的任意次幂为1；-1的偶次幂为1，奇次幂为-1。 特别提醒 判断乘方结果符号，只看底数正负与指数奇偶，计算时遵循“先定符号，再算绝对值”的顺序。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列各组数中，计算结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）下列各数：，，，0，在数轴上所对应的点在原点右边的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点 有理数乘除、乘方混合运算（难点） 1.运算优先级：先算乘方，再算乘除； 2.同级运算从左往右依次计算； 3.有括号先算括号内部的式子。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1) (2)． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． 知识点 科学记数法（重点） 1.定义：把大于10的数写成a×10n的形式（满足1≤a<10，n为正整数）。 2.n快速确定方法：n等于原数的整数位数减1。 教材延伸 1.特殊数的幂：平方等于本身的数是0和1；立方等于本身的数是-1、0、1； 2.拓展知识：极小的小数也可使用科学记数法表示，会在后续内容学习； 3.考情补充：乘方常结合四则混合运算出计算大题，科学记数法是选择、填空高频基础考点。 随学随练 1．（2026·浙江金华·二模）金漪湖、金满湖、金澧湖，“三大湖”各具特色的玩法，让金东成为周边城市游客“微度假”的高频目的地。据统计，五一假期期间，全区全域旅游接待人次，同比增长，增速全市第一，数字用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江温州·三模）人工智能模型的参数量越大，理解能力越强．模型参数达到个，其中数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 题型 乘方的概念理解 ▌例1 （25-26七年级上·浙江台州·期中）在下列表述中，能表示整式“”的意义的是（    ） A．3的倍 B．的3倍 C．3个相加 D．3个相乘 解题贴士 · an：a是底数，n是指数，表示n个a相乘； · 区分-an与(-a)n，括号决定底数范围。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在中底数是_____，指数是_____． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）的底数是______，指数是______，写成积的形式是______． 题型 有理数的乘方运算 ▌例2 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）下列各组数中，计算结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 解题贴士 符号规律：正数任意次幂为正；负数偶次幂正、奇次幂负。 ▌对点练2-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）计算题 (1)； (2)． ▌对点练2-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）计算题： (1)； (2)． ． 题型 有理数乘方的逆运算 ▌例3 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 解题贴士 an 表示n个a相乘。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知，则x＝_______． ▌对点练3-2 （25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 题型 乘方的应用 ▌例4 （25-26七年级上·浙江衢州·期中）某种细菌在适宜条件下每隔分钟分裂一次，假设培养皿中开始时有1个细菌，则经过3小时，细菌数量为（   ） A． B． C． D． 解题贴士 实际问题：对折纸张、病毒扩散、倍数类问题，利用乘方表示研究变化规律。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，第5天截取后，截取木棍的总长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）拉面是一道美味佳肴，细腻爽滑的面条搭配上丰富的调料，令人回味无穷．某拉面馆的师傅用一根很粗的面条，拉一次变成根，拉次变成根，拉次变成根，照这样下去，拉次后，师傅手中的拉面的根数是__________．用幂的形式表示 题型 用科学记数法表示绝对值大于1的数 ▌例5 （2026·浙江温州·三模）据统计，到2025年底，浙江省的常住人口约为6700万人，将数字67000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 解题贴士 n：整数位数减1或小数点移动移动位数。 ▌对点练5-1 （2026·浙江丽水·模拟预测）2025年浙江省生产总值（）达94545亿元，将数9454500000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． ▌对点练5-2 （2026·浙江温州·三模）2026年5月1日，温州园博园单日入园人数累计超人次，刷新温州单个景点的单日接待纪录．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 题型 将科学记数法表示的数还原 ▌例6 （2026·浙江温州·一模）用科学记数法表示的数 的原数是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 原数的整数位数为指数加1。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 ▌对点练6-2 （24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）一个自然数用科学记数法表示为，则原数中“”的个数是（    ） A． B． C． D． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列表示的含义的是（    ） A．9个8相乘 B．9个8相加 C．8个9相乘 D．8个9相加 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）代数式化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A．25 B． C．1 D． 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各式运算的结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）在数，，，，中，负数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2026·浙江绍兴·二模）北京时间年月日时08分，神舟二十三号载人飞船顺利升空．该飞船每秒飞行米，照此速度计算，1分钟可飞行米．将用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需将该数写为若干个的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为，32可以写为二进制数字100000，因为，则十进制数字88是二进制下的（    ） A．5位数 B．6位数 C．7位数 D．8位数 8．（25-26七年级上·浙江温州·期中）某种细胞每过分钟便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细炮由1个分裂成了______个． 9．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）用“☆”、“★”定义新运算：对于任意有理数、，都有和，那么______． 10．（2022七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)（﹣5）4； (2)﹣54； (3)； (4)； (5)（﹣1）2013． 11．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数连接起来： ，，， 12．（25-26七年级上·浙江台州·期中）把下列各数填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧． 非负整数集合{___________}． 正数集合{___________}． 负分数集合{___________}． 素养提升 13．（2026·浙江舟山·二模）2026年5月，国内应用正式进入付费时代，大模型商业化即将落地．据悉，截至2026年3月，豆包的（月活跃用户数）达亿，将数字亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·浙江金华·期中）在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或4 15．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）若，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 16．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，下列五个代数式：，，，，，值为负数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）姚江，古名舜江，又称余姚江，是宁波的“母亲河”，每年的4月到11月，我们的“母亲河”经常会出现水葫芦爆发成灾的现象．同时研究表明：适量的水葫芦对水质的净化是有利的，关键是需要科学的管理和利用．假设在适宜的条件下1株水葫芦每5天就能繁殖出1株新的水葫芦（不考虑死亡、被打捞等其它因素）． (1)假设江面土现有1株水葫芦，不考虑死亡、被打捞等其它因素，第15天江面上将有____________株水葫芦，第50天江面上将有____________株水葫芦，第天江面上将有____________株水葫芦； (2)假定在某段流域内的水葫芦维持在1280株以内对水质净化是有益的，若现有10株水葫芦，请你计算下，按照上述的生长速度，多少天后会有1280株水葫芦． 18．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上点表示的数分别为，其中，是最大的负整数，满足， (1)求的值； (2)若将点向左移动个单位长度后与点的距离为2，求的值． 迁移创新 19．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 20．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）材料1：一般地，个相同因数相乘：记为，如，此时，4叫做以2为底的16的对数，记为（即）． （1）计算：________，________； 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，⋯，在这种规定下： （2）求出满足该等式的：； （3）当为何值时，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $