安徽亳州市第四中学2025—2026学年度下学期期中阶段性检测数学

**基本信息** 亳州四中2025-2026下学期期中数学试卷，以代数核心知识为载体，融入芯片制程、“和谐数”定义等情境，通过基础巩固（如分式意义）、能力提升（含参数不等式组）、创新应用（新运算规则）的梯度设计，考查抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|分式识别、科学记数法、不等式性质|第2题以芯片0.000000042米考查科学记数法，体现科技前沿情境| |填空题|4/20|分式有意义条件、二次方程根与系数|第14题含参数不等式组求偶数解，考查分类讨论能力| |解答题|8/100|因式分解、实际应用、数形结合|22题书柜购买方案设计，融合方程与不等式，培养模型意识；23题通过图形剪拼探究乘法公式几何意义，发展几何直观|

亳州四中2025—2026学年度下学期期中阶段性检测 数学试卷 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1．下列式子中，属于分式的是（ ） A． B． C． D． 2．在半导体产业飞速发展的当下，国产高端芯片的制程工艺不断突破．某款自研芯片的晶体管栅极绝缘层厚度仅为0.000000042米．其中数据0.000000042用科学记数法表示为（ ） A．4.2×108 B．4.2×10﹣8 C．4.2×10﹣7 D．0.42×10﹣7 3．若m＜n＜0，则下列结论错误的是（ ） A．m﹣3＜n﹣3 B． C．﹣m＞﹣n D． 4．下列运算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 5．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变 6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 7．下列因式分解正确的是（ ） A．2x2﹣4x＝2x（x﹣4） B．2x2+2x﹣6＝2x（x+1）﹣6 C． D．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2 8．若（a﹣b）2＝9，a2﹣b2＝15，且a＜b，则ab的值为（ ） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 9．某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 10．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①a12＝96； ②a1+a2+…+a8是8的倍数； ③m，n为正整数，且m＞n，若（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn是“和谐数”，则m﹣n＝7， 其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．分式有意义的条件是　 ． 12．比较大小：　 　 ．（填“＞”“＜”或“＝”）． 13．若a≠b，且a2﹣a＝3，b2﹣b＝3，则a+b的值为 . 14．已知关于x的不等式组有且仅有3个偶数解： (1)a的最小值为 ； (2)若关于y的一元一次方程y－2a＝＋6－a的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．解不等式：x+7≤6（x﹣1）+8． 16．先约分，再求值：，其中x＝2，y＝3． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知2a﹣7和a+1是某个正数的两个不相等的平方根，b﹣6的立方根为﹣2．求5a﹣3b的算术平方根． 18. 观察以下等式： 第1个等式：32﹣1×4＝22+1； 第2个等式：52﹣2×7＝32+2； 第3个等式：72﹣3×10＝42+3； 第4个等式：92﹣4×13＝52+4； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　 　； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为（4a+2b）米，宽为（3a+2b）米的长方形，卧室用地是长为（2a+b）米，宽为（3a﹣b）米的长方形． （1）求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（用含a，b的代数式表示） （2）当a＝2，b＝2时，求厨房的用地面积． 20．定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b．如：3⊕32＝31×2+31+2＝32+33＝9+27＝36．请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求22⊕23的值； （2）若2p＝3，2q＝4，3q＝9，求2p⊕2q的值． 六、(本题满分12分) 21．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），再结合课堂所学就可以对多项式x3﹣5x2+x+10彻底因式分解．以上这种因式分解的方法叫“试根法”． （1）求式子中m，n的值； （2）用“试根法”分解多项式x3﹣5x2+8x﹣4． 七、(本题满分12分) 22．在实验中学春季阅读月“书香校园”活动中，七年级计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，购买书柜的预算为4400元．调查发现，若购买甲种书柜1个，乙种书柜1个，共需资金360元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜5个，共需资金1480元． （1）求甲、乙两种书柜的单价分别是多少元； （2）若购买的甲种书柜不超过10个，在购买预算全部用完的情况下，购买乙种书柜至少有多少个？ （3）若七年级计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，在不超出购买预算的情况下，请问有几种购买方案供学部选择？并说明哪种方案花费最少． 八、(本题满分14分) 23．在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；如图2可以得到：(a－b)2＝a2－2ab＋b2；现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为　　 ，小正方形的面积可表示为　 　； ②结合图3的拼接方式，直接写出(a＋b)2与(a－b)2之间的关系：　　 ；(用含a，b的代数式表示出来) (2)【解决问题】 ①若x2＋y2＝25，x－y＝－7，则xy＝　 　； ②已知长方形的长和宽分别为m，n，m－n＝3，mn＝12，求m2＋n2的值； (3)【拓展提升】 ①若t满足(5－t)(t－2)＝2，求(5－t)2+(t－2)2的值； ②如图4，在正方形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的点，已知DE＝4，BF＝12，长方形EMFC的面积是48，分别以MF，CF为边作正方形MNRF、正方形GHCF，求阴影部分的面积． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 亳州四中2025—2026学年度下学期期中阶段性检测 数学答案 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C A D D A B C 10.C【解析】①观察“和谐数列”可知，设下标为n，则被减数的底数为2n+1，减数的底数为2n﹣1， 即an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，所以a12＝（2×12+1）2﹣（2×12﹣1）2＝96，故①正确；②根据①找出的规律知an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，所以a1+a2+…+a8＝8×1+8×2+…+8×8＝8×（1+2+…+8）＝8×36，所以a1+a2+…+a8是8的倍数，故②正确；③（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn＝m2﹣49+n2﹣2mn ＝（m﹣n）2﹣49＝（m﹣n）2﹣72，由“和谐数”的定义得m﹣n可为9，故③错误. 故选C. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．x≠3 12．＜　 13．1 14．(1)－7；（2分） （2）－12.（3分） 【解析】（1），由不等式①，得x≥－3，由不等式②，得x＜，因为关于x的一元一次不等式组有且仅有3个偶数解，所以24，解得－7≤a＜－1，所以a的最小值为－7； (2) 由（1）知－7≤a＜－1，所以整数a的值为－7，－6，－5，－4，－3，－2，解方程y－2a＝＋6－a，得y＝，因为该方程的解为非负整数，所以a＝－6，－4，－2，故所有满足条件的整数a的值之和为－6－4－2＝－12． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．解：去括号，得x+7≤6x﹣6+8，………………（2分） 移项，得x﹣6x≤﹣6+8﹣7，………………（4分） 合并同类项，得﹣5x≤﹣5，………………（6分） x系数化成1，得x≥1．………………（8分） 16．解：因为（x﹣y）＝y﹣x，………………（6分） 所以当x＝2，y＝3时，原式＝y﹣x＝3﹣2＝1．………………（8分） 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 解：由题意得（2a﹣7）+（a+1）＝0， 所以3a﹣6＝0，解得a＝2， 因为b﹣6的立方根为﹣2， 所以b﹣6＝（﹣2）3＝﹣8，解得b＝﹣2， 所以5a﹣3b＝5×2﹣3×（﹣2）＝16， 所以a﹣b的算术平方根为4．………………（8分） 18. 解：（1）132﹣6×19＝72+6；………………（3分） （2）第n个等式为（2n+1）2﹣n（3n+1）＝（n+1）2+n．理由如下： 左边＝4n2+4n+1﹣3n2﹣n＝n2+3n+1＝n2+2n+1+n＝（n+1）2+n＝右边， 所以此等式成立．………………（8分） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．解：（1）（4a+2b+3a﹣b）（3a+2b）＝21a2+14ab+3ab+2b2＝（21a2+17ab+2b2）平方米， 答：这块长方形土地的总面积是（21a2+17ab+2b2）平方米；………………（5分） （2）（3a﹣b）[（3a+2b）﹣（2a+b）]＝（3a2+2ab﹣b2）平方米， 当a＝2，b＝2时，原式＝3×22+2×2×2﹣22＝16平方米， 答：厨房的用地面积为16平方米．………………（10分） 20．解：（1）因为xa⊕xb＝xab+xa+b， 所以22⊕23＝22×3+22+3＝26+25＝64+32＝96；………………（4分） （2）根据题意可知，2p⊕2q＝2pq+2p+q＝（2p）q+2p×2q＝3q+3×4＝9+12＝21．………………（10分） 六、(本题满分12分) 21．解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n）中， 分别令x＝0，x＝1，代入得， 解得；………………（6分） （2）把x＝1代入x3﹣5x2+8x﹣4，得其值为0， 所以多项式可分解为（x﹣1）（x2+ax+b）的形式， 分别令x＝0，x＝﹣1，代入得， 解得，所以x3﹣5x2+8x﹣4＝（x﹣1）（x2﹣4x+4）＝（x﹣1）（x﹣2）2．………………（12分） 七、(本题满分12分) 22．解：（1）设甲种书柜的单价是x元，乙种书柜的单价是y元， 根据题意得，解得． 答：甲种书柜的单价是160元，乙种书柜的单价是200元；………………（4分） （2）设购买a个甲种书柜，b个乙种书柜， 根据题意得160a+200b＝4400，所以b＝22a， 又因为a，b均为正整数，且a≤10， 所以或，所以b的最小值为14． 答：购买乙种书柜至少有14个；………………（8分） （3）设购买m个甲种书柜，则购买（24﹣m）个乙种书柜， 根据题意得，解得10≤m≤12， 又因为m为正整数，所以m可以为10，11，12， 所以共有3种购买方案， 方案1：购买10个甲种书柜，14个乙种书柜，总花费为160×10+200×14＝4400（元）； 方案2：购买11个甲种书柜，13个乙种书柜，总花费为160×11+200×13＝4360（元）； 方案3：购买12个甲种书柜，12个乙种书柜，总花费为160×12+200×12＝4320（元）， 因为4400＞4360＞4320，所以方案3花费最少．………………（12分） 八、(本题满分14分) 23. 解：(1)①(a＋b)2，(a－b)2 ；………………（2分） ②(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；………………（4分） (2)①－12；………………（5分） ②因为(m－n)2＝m2＋n2－2mn， 所以9＝m2＋n2－2×12， 解得m2＋n2＝33；………………（7分） (3)①因为(5－t)+(t－2)＝3， 所以(5－t)2+(t－2)2＝[(5－t)+(t－2)]2－2(5－t)(t－2)＝32－2×2＝5；………………（9分） ②设CD＝BC＝x，则MF＝CD－DE＝x－4，CF＝BC－BF＝x－12， 所以S长方形EMFC＝MF×CF＝(x－4)(x－12)＝48，MF－CF＝(x－4)－(x－12)＝8， 设x－4＝p，x－12＝q，则pq＝48，p－q＝8， 因为(p+q)2－4pq＝(p－q)2， 所以(p+q)2－4×48＝82，解得p+q＝16， 所以S阴影＝MF2－CF2＝p2－q2＝(p+q)(p－q)＝16×8＝128. ………………（14分） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $