精品解析：湖南衡阳市衡阳县第四中学2025-2026学年下学期高一6月检测数学试卷

衡阳县四中2025-2026年下期高一6月检测卷 数学 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 2. 若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知△ABC的周长为11，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，，则b=（ ） A. 3 B. 3或5 C. 4或5 D. 4 4. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 在正四棱台中， ，则该四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 已知函数的周期为T，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 8. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：.即有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题错误的是（ ） A. 周长为 B. 三个内角满足2C=A+B C. 外接圆的直径为 D. 内切圆的半径为 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 已知为非零向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则为锐角 D. 若，则 11. 已知函数的部分图象如图所示，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 D. 把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是减函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是虚数单位，复数_____________． 13. 已知，则___________. 14. 在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，． （1）求； （2）若，且，求． 16. 如图，四棱锥的底面为梯形，，，点在棱上，且． （1）证明：平面； （2）设平面与棱交于点，证明：． 17. 已知函数，. （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求在区间上的最大值和最小值. 18. 已知△ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB＋bcosA＝2ccosC． （1）求角C； （2）若c＝2，求△ABC的周长的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. （1）平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． （2）若，为线段的三等分点，求多面体的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县四中2025-2026年下期高一6月检测卷 数学 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】. 2. 若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出的值，可得的值． 【详解】因为角的终边经过点，，，， 所以， 则. 故选：C. 3. 已知△ABC的周长为11，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，，则b=（ ） A. 3 B. 3或5 C. 4或5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理列出方程，求解作答. 【详解】依题意，，在中，由余弦定理得： ，整理得，解得或， 所以或. 故选：B 4. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用向量数量积运算和向量的模即可求解. 【详解】因为，，所以. 由，得，即， 整理得， 解得，或（舍去）． 故选：C． 5. 在正四棱台中， ，则该四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出轴截面，过点作，结合等腰梯形的性质得高，再计算体积即可. 【详解】解：作出轴截面如图所示，过点作，垂足为， 因为正四棱台中， 所以，，，即梯形为等腰梯形， 所以，， 所以，该四棱台的体积为 故选：B 6. 设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，若，，，则，故正确； 对于B，若，，，则与相交或者，故错误； 对于C，若，，，则，故错误； 对于D，若，，，则与相交，不一定垂直，故错误. 故选:A 7. 已知函数的周期为T，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由函数的最大值和最小值，列式求，再根据和之间的距离求，最后根据“五点法”中的一个特殊点求. 【详解】由题图得 得，所以. 又，得.又，所以. 故选：C 【点睛】本题考查根据三角函数的图象求函数的解析式，属于基础题型，本题的关键是根据图象，明确每个参数的求解方法. 8. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：.即有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题错误的是（ ） A. 周长为 B. 三个内角满足2C=A+B C. 外接圆的直径为 D. 内切圆的半径为 【答案】D 【解析】 【分析】由题意设，结合已知面积公式求a、b、c，即知周长，再根据正余弦定理求△的、外接圆半径、内切圆的半径. 【详解】对于A，由题意，设， ∴，则， ∴，故，则周长为，A正确. 对于B，，，则，故，B正确. 对于C，∴，若外接圆半径为，则，C正确. 对于D，若内切圆半径为，则，即，D错误. 故选：D 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用和差公式和同角三角函数关系计算得到ABD正确，计算得到，C错误，得到答案. 【详解】对选项A：，正确； 对选项B： ，正确； 对选项C：，错误； 对选项D：，则， 故，故，正确. 故选：ABD 10. 已知为非零向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则为锐角 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，由两边取平方得：， 展开得：，即， 即，因未知与是否相等， 故不能判断是否成立，故而无从判断是否成立，即A错误； 对于B，由为非零向量，可知， 则可得，所以，故B正确； 对于C，因为当时，，但不是锐角，故C错误； 对于D，因为，则， 又因，则， 因，则或，即,故D正确. 11. 已知函数的部分图象如图所示，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 D. 把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是减函数 【答案】AD 【解析】 【分析】由求得后可得周期，从而求得，再代入点（或）的坐标求得，判断AB，然后由三角函数图象变换判断CD． 【详解】解析：设点在轴上的投影为，则，， . ， ， ， ， ，又， ，即，A正确；B错误； ，C错误； 把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数为，当时，，故函数在时为减函数，D正确， 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是虚数单位，复数_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦的两角和公式对题设等式化简整理求得的值，利用同角三角函数基本关系及的范围求得的值，进而利用正弦的两角差公式求得答案． 【详解】 ． 故答案为： 14. 在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合三角形面积公式和正弦定理可得，结合两角和余弦公式求，再结合余弦定理及三角形面积公式求，由此可求的周长. 【详解】因为的面积，， 所以， 所以，又， 所以，又， ， 所以， 又，所以， 由余弦定理可得， 由，，可得， 所以， 所以， 所以， 所以的周长为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，． （1）求； （2）若，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式即可求解； （2）根据（1）的结论及同角三角函数的平方关系，结合两角和的正弦公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解. 【小问1详解】 由，得． ， ． 【小问2详解】 由，得， 由，得， ． 又 16. 如图，四棱锥的底面为梯形，，，点在棱上，且． （1）证明：平面； （2）设平面与棱交于点，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，通过证明与相似得即可； （2）先证明平面，再通过线面平行的性质得，得即可. 【小问1详解】 连接，交于点，连接 因为，且， 则， 又， 则， 所以， 又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以， 则有，即． 17. 已知函数，. （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）， （3）最小值为；最大值为 【解析】 【分析】(1) 根据正弦型函数周期公式直接计算最小正周期； (2) 换元转化为基础正弦函数单调性，解不等式还原自变量范围； (3) 先确定相位的取值区间，结合正弦函数值域缩放得到原函数在闭区间上的最值. 【小问1详解】 的最小正周期为 【小问2详解】 令，，解得，， 故函数的单调递增区间为，. 【小问3详解】 当时，，则，根据正弦函数的性质， 可知当，即时，函数取得最小值为； 当，即时，函数取得最大值为. 18. 已知△ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB＋bcosA＝2ccosC． （1）求角C； （2）若c＝2，求△ABC的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合两角和差公式化简整理得，进而得到角C； （2）由正弦定理得，结合，得的周长，由三角函数的性质求解取值范围即可． 【小问1详解】 由正弦定理，得， 即，即， 又，所以， 所以，故． 【小问2详解】 由正弦定理，得， 所以的周长 由为锐角三角形可知，，得， 所以，所以． 所以的周长的取值范围为． 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. （1）平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． （2）若，为线段的三等分点，求多面体的体积． 【答案】（1）互相垂直，证明见解析（2）或. 【解析】 【分析】(1)证明平面中的即可. (2)利用多面体的体积为,分为线段的两个不同的三等分点进行求解即可. 【详解】解法一：（1）平面与平面互相垂直, 理由如下： 因为底面,平面, 所以． 因为为正方形,所以 又,且平面, 所以平面． 因为平面,所以 因为,为线段的中点,所以, 又,且平面, 所以平面, 因为平面,所以平面平面． （2）因为底面,为线段的中点, 所以点到底面的距离为, 则, 又为线段的三等分点, 当时,, 所以多面体的体积为； 当时,, 所以多面体的体积为． 综上,多面体的体积为或. 解法二：（1）平面与平面互相垂直, 理由如下： 因为底面,平面,所以平面底面, 又平面底面,,平面, 所以平面． 因为平面,所以 因为,为线段的中点,所以, 又,且平面, 所以平面, 因为平面, 所以平面平面 （2）同解法一． 【点睛】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等,考查的数学素养主要有逻辑推理、直观想象等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $