精品解析：湖南株洲市第一中学2025-2026学年高一下学期学科思维培养测试数学试题

2025年下学期高一学科思维培养测试 数 学 时间：120分钟 满分：150分 姓名：__________班级：__________准考证号：____________________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请把试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于 的不等式在区间上有解，则实数 的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. D. 5 5. 已知关于 的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ） A. B. ，或 C. ，或 D. 6. 已知函数 的定义域为R，值域为 ，若，函数为偶函数，，则（ ） A. 4050 B. 4552 C. 4554 D. 4556 7. 已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的最小正周期为 ，其图象关于直线对称，且对于恒成立，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度后可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 10. 定义在 上的函数同时满足①；②当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 存在，使得 D. 对任意 11. 已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 的取值与 有关 B. 为定值 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 对于一个由整数组成的集合 ， 中所有元素之和称为 的“小和数”， 的所有非空子集的“小和数”之和称为 的“大和数”.已知集合，则 的“小和数”为________， 的“大和数”为________. 13. 对于任意实数a，b定义当实数x，y变化时，令，则 的最大值为____________. 14. 已知函数和的图象相邻的两个交点为A，B，若，则 的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数 （1）求函数 的单调递增区间； （2）当时，函数 的最大值为，求实数 的值． 16. 设函数. （1）当 时，求方程的实数解； （2）当时， （ⅰ）存在，使不等式成立，求k的范围； （ⅱ）设函数，若对任意的，总存在，使，求实数b的取值范围. 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为 ，求 的取值范围； （2）解关于 的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求 的取值范围． 18. 给出定义：若函数的图象在区间 上是连续不断的曲线，对任意，都有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间 上的凸函数.若是区间 上的凸函数，则对任意和任意满足的正实数，都有当且仅当时等号成立，请利用上述定义和性质完成下列问题： （1）证明：函数在上是凸函数； （2）求函数的最大值； （3）若不等式在上恒成立，求实数 的取值范围. 19. 集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集 和 ，定义和集.记符号表示集合 中的元素个数.当时，设是集合 中所有元素按从小到大顺序的一种排列，记集合. （1）已知集合，求的值； （2）已知集合，若，求的值； （3）已知，记集合或. （ⅰ）当 时，证明：的充要条件是； （ⅱ）若，求的所有可能取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期高一学科思维培养测试 数 学 时间：120分钟 满分：150分 姓名：__________班级：__________准考证号：____________________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请把试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对原命题“改量词，否结论”即可得到命题的否定. 【详解】命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题， 所以其否定为. 故选：C. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的性质求解即可. 【详解】因为，解得， 因为，所以，故A正确. 故选：A. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，，将所求式子变形，利用基本不等式求解. 【详解】由， ，， ， 当且仅当即时等号成立. 故选：B. 4. 若关于 的不等式在区间上有解，则实数 的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】把问题转化为在区间上有解，利用基本不等式求解. 【详解】关于 的不等式在区间上有解， 等价于在区间上有解， 即在区间上有解， 又，当且仅当 时，取最小值6． 故，可得 ，则实数 的最小值为5． 故选：D． 5. 已知关于 的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ） A. B. ，或 C. ，或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集得出，再化简得出，即可得出不等式的解集. 【详解】关于 的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程 的两根， 于是，解得， 则不等式化为， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 6. 已知函数 的定义域为R，值域为 ，若，函数为偶函数，，则（ ） A. 4050 B. 4552 C. 4554 D. 4556 【答案】C 【解析】 【分析】由条件证明为周期函数，周期为 ，再证明函数 为偶函数，再结合函数性质求，利用加法的运算律求结论. 【详解】由可得，① 对任意的 ，，所以，，② 由①②可得，所以函数 是周期为4的周期函数. 因为为偶函数，则， 因为，由可得， 且，由可得， 因为，所以，，故函数 为偶函数， 因为，则，所以，， 由可得，因为，所以， 故选：C. 7. 已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数 与 的图像，得到关于 对称，化简条件，利用对勾函数的性质可求解. 【详解】作函数 与 的图像如下： 方程有4个不同的根，，，，且， 可知关于 对称，即，且， 则，即，则 即，则； 当得或，则；； 故，； 则函数，在上为减函数，在上为增函数； 故取得最小值为，而当时，函数值最大值为. 即函数取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于难题. 8. 已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式作出图象，将关于x的方程恰有两个互异的实数解，转化为 与的图象由两个不同的交点，由临界点位置得到，由直线 在与相切得到 ，综合可得答案. 【详解】作出函数的图象和 的图象 关于x的方程恰有两个互异的实数解，等价于 与的图象由两个不同的交点 平移 ，考虑直线经过点和时有两个交点，可得或 考虑直线 在时与相切，可得， 由，得 或（舍） 综上所述，m的取值范围是 故选：B 【点睛】本题考查在函数与方程的数学思想上解决函数图象的交点问题，属于难题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的最小正周期为 ，其图象关于直线对称，且对于恒成立，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度后可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，用偶函数定义证明；对于B，整体代换计算即可；对于C，运用图像变换计算判断；对于D，图像变换，结合对称中心性质计算即可. 【详解】由题意的最小正周期为 ， 得：， 对于恒成立，则， 图象关于直线对称，代入，得到， 由于，取，则， 所以为偶函数， 当时，，所以， 所以的值域为，故B错误； 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确； 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到的图象. 因为当时，， 所以得到的函数图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD. 10. 定义在 上的函数同时满足①；②当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 存在，使得 D. 对任意 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据题意令 分析运算即可；对于B，根据题意求和，结合偶函数的定义分析判断；对于C，利用累加法分析判断；对于D，设，分析可知是以1为周期的周期函数，且，结合绝对值的性质分析求解. 【详解】对于A，，令 ，则，即，又，，即， 可知，即，得即，故A正确； 对于B，由选项A可得，又令 得，解得，， 所以函数不是偶函数，故B错误； 对于C，因为，当时， ，又满足上式， ，，令，则， 所以存在，使得，故C正确； 对于D，令， 则 ，即，即是以1为周期的周期函数，因为当，， 则， 当且仅当且与 异号时等号成立，但，故与2同号， 故等号不成立，故 结合周期性可知对任意，均有， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：对于选项D，构建函数，结合题中条件分析可知是以1为周期的周期函数，且，进而可得结论. 11. 已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 的取值与 有关 B. 为定值 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】令，从而化为，不妨设的解集为，可得，由，从而得，且，化简，解得或，又是方程的两个根，利用韦达定理可得，则 ，进而求得 的取值范围. 【详解】令， 则可化为， 不妨设的解集为， 即， ，即， 故， 又，且， ，且， ，且， 故， 解得， 故选项A错误，选项B正确； ， ， 有解， ，即或， 是方程的两个根， 即是方程的两个根， 故，即， 解得：， ， 故选项C错误，选项D正确. 故答案选：BD. 【点睛】本题考查了二次不等式与二次函数、二次方程间关系的应用，以及集合间相等的应用，属于难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 对于一个由整数组成的集合 ， 中所有元素之和称为 的“小和数”， 的所有非空子集的“小和数”之和称为 的“大和数”.已知集合，则 的“小和数”为________， 的“大和数”为________. 【答案】 ①. 5 ②. 80 【解析】 【分析】根据给定定义直接求出 的“小和数”；求出集合 的所有非空子集中含有每个元素的子集个数即可求出 的“大和数”. 【详解】依题意， 的“小和数”为； 集合 的所有非空子集中，含有数的子集，可视为集合的每个子集与的并集， 因此含有数的子集个数为，同理含有数的子集个数均为， 所以 的“大和数”为. 故答案为：5；80 13. 对于任意实数a，b定义当实数x，y变化时，令，则 的最大值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意当时，必有 ， 故要使得 取得最大值，必须当， 此时， 所以， 令， 则 ， 当且仅当即 时取等号， 所以， 所以， 故答案为： 14. 已知函数和的图象相邻的两个交点为A，B，若，则 的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数图象，结合三角形的等价条件进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性质进行求解即可. 【详解】作出两个函数的图象如图，则由对称性设，且， 即 为等腰三角形，，且， 取AC的中点M，连接BM， 则 ，， 由，得， 得，得，得， 则， 即A点纵坐标为1，，， 因为，所以，解得， 即，解得，所以 的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数 （1）求函数 的单调递增区间； （2）当时，函数 的最大值为，求实数 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质求的单调区间； （2）先求的范围，令​，结合正弦函数单调性求的最值，由此可得结论. 【小问1详解】 ​​ 令​，解得​， 所以 ​的递增区间为​； 【小问2详解】 由（1）知​，其中​， 所以​，令​， 则​在​上单调递增，在​单调递减， 所以​， 所以​​， 所以 . 16. 设函数. （1）当 时，求方程的实数解； （2）当时， （ⅰ）存在，使不等式成立，求k的范围； （ⅱ）设函数，若对任意的，总存在，使，求实数b的取值范围. 【答案】（1）或 ； （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据已知有，应用绝对值方程解法及指数函数性质求解即可； （2）根据指数函数性质及解析式判断 单调性，（ⅰ）利用函数单调性，将问题化为上，即可求参数范围；（ⅱ）求出两个函数在上的值域，将问题化为求参数范围. 【小问1详解】 当 时，，由题意得， 所以或，解得或 . 【小问2详解】 当时，，该函数在 上单调递增. （ⅰ）存在，使不等式成立， 即成立，即成立，从而， 又当时，，所以. （ⅱ）当时，的值域为， 当时，的值域为， 根据题意，得，从而，解得. 故实数b的取值范围为. 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为 ，求 的取值范围； （2）解关于 的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1） （2）当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）通过分类讨论 的值即可解出不等式； （2）通过分类讨论 的范围即可解出不等式； （3）利用分参法，设 ，即可求出 的取值范围. 【小问1详解】 由题意， 当, 即 时, , 解集不为 , 不合题意; 当, 即 时, 的解集为 , ，即 故 时, . 综上，. 【小问2详解】 由题意得, 在, 即 , 当 , 即 时, 解集为 ; 当 , 即 时, , 即 解集为 ； 当 , 即 时, , 解集为 . 综上，当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为. 【小问3详解】 由题意， , 即 , 恒成立, ∴, 设 , 则 , , 当且仅当 时取等号, , 当且仅当 时取等号, 当 时, , ， ∴ 的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的解法，基本不等式，二次函数判别式。考查学生分析问题的能力，分类讨论的能力，具有很强的综合性. 18. 给出定义：若函数的图象在区间 上是连续不断的曲线，对任意，都有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间 上的凸函数.若是区间 上的凸函数，则对任意和任意满足的正实数，都有当且仅当时等号成立，请利用上述定义和性质完成下列问题： （1）证明：函数在上是凸函数； （2）求函数的最大值； （3）若不等式在上恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用基本不等式结合凸函数定义证明； （2）应用凸函数的定义求解最大值即可； （3）应用基本不等式结合凸函数定义再分和 两种情况分别求解最值列式得出参数范围即可. 【小问1详解】 对任意，， 所以，，当且仅当时等号成立， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以函数在上是凸函数. 【小问2详解】 函数在上是凸函数，令，，则由凸函数的性质有 ，其中， 即，当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最大值为. 【小问3详解】 法一：因为函数在上是凸函数，所以对任意都有， 即， 当且仅当时等号成立.因为函数在上是增函数， 所以，当且仅当时等号成立. 当时，函数在上单调递增，所以，符合题意； 当 时，因为，所以， 当且仅当，即时等号成立； 所以在上的最小值为， 由题意有，解得， 综上得实数 的取值范围为. 法二：因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 由法一可知对任意，都有 当且仅当时等号成立 所以当时， 当且仅当即时等号成立； 所以的最大值为，所以. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是对凸函数定义的理解及结合应用基本不等式. 19. 集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集 和 ，定义和集.记符号表示集合 中的元素个数.当时，设是集合 中所有元素按从小到大顺序的一种排列，记集合. （1）已知集合，求的值； （2）已知集合，若，求的值； （3）已知，记集合或. （ⅰ）当 时，证明：的充要条件是； （ⅱ）若，求的所有可能取值. 【答案】（1） （2）2 （3）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义分别求解的值即可； （2）由（1）得，从而得集合 ，先求解，从而得； （3）（ⅰ）先证充分性，设，从而得的元素，进而求得；再证必要性，设，其中，确定集合中的最小元素与最大元素，从而确定的元素，进而求解；（ⅱ）分别验证，，时，结合新定义判断即可. 【小问1详解】 当时， ；当时，；当时，； 当时， ；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 综上，结合集合中元素的互异性，. 【小问2详解】 （2）由（1）知，且， 且同时成立，解得，所以， 又， 所以. 【小问3详解】 （3）（ⅰ）先证充分性.因为，所以，且. 从而可以设，其中 ， 此时中的元素为，故. 再证必要性.设，其中. 注意到和集中的最小元素为，最大元素为， 因为， 所以中间三个元素可以是，也可以是， 它们是对应相等的，所以有， 即. 故，得证. （ⅱ）①若，由（ⅰ）小问的分析知， 设，其中 ， 此时中的元素为，这与条件矛盾. ②取，其中 ， 容易验证此时中的元素为，符合条件，所以可以取2. （注：构造方式不唯一，集合 中的元素满足有一个，其余均为 即可.） ③若，设，其中. 结合知，，其中 ， 至少存在两个不同的正整数，使得. 不妨设 是符合这一条件最小的正整数，是符合这一条件最大的正整数. 注意到 （*）， 这是中的个不同的元素. 根据 的定义我们有， 即，（★） 当时，由 的最小性知，即， 此时我们有， 因此，与（★）矛盾， 当时，有， 由此说明：是中的元素，但与（*）式中的个元素均不相等. 同理，根据的定义有是中的元素，但与（*）式中的个元素均不相等. 因为，所以，此时，矛盾. 注：个元素也可以按照其他从小到大的顺序排列，然后找出不同于这个元素的其他元素. 综上，的取值只能为2. 【点睛】关键点点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $