2026年暑假苏科版七年级数学上册新生预习手册13《第3章代数式第3节整式的加减》预习讲义

数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册13 《第3章代数式第3节整式的加减》预习讲义 一．预习目标 ( 1.能准确区分单项式、多项式，识别整式，掌握单项式的系数、次数与多项式的项、次数。 2.精准判断同类项，熟练运用法则合并同类项。 3.牢记去括号法则，能正确处理括号前带负号、带数字系数的去括号运算。 4.掌握整式加减的完整步骤：去括号 → 合并同类项，会进行化简求值。 5.能解决 “ 多项式的值与字母无关 ” 等常见题型，规避符号类易错问题。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点：同类项识别、合并同类项、去括号运算、整式加减化简求值。 （二） 难点： 1.括号前面是负号时，括号内各项变号； 2.括号前有数字因数时，分配律不能漏乘； 3.化简求值时代入负数、分数添加括号； 4. “ 与某个字母取值无关 ” 题型的处理方法。 ) 三．自主探究 （一）整式 1.单项式： 用代数式表示下列问题中的数量: (1)正方体的棱为a，正方体的体积和表面积分别是多少? (2)列车以300km/h的速度行驶了th，行驶了多少路程? (3)圆柱的底面半径和高分别为r，h，圆柱的底面积和体积分别是是多少? 【解析】（1）体积：a3，表面积：6a2； （2）路程：300t； （3）底面积：πr2，体积：πr2h； 上面列出的代数式有什么特征? 【解析】都是数与字母的积，属于单项式。 【归纳】 （1）定义：由数与字母的积组成的代数式叫作单项式。单独一个数、单独一个字母也是单项式。 （2）相关概念 ①系数：单项式中的数字因数（π是常数，属于系数）； ②次数：所有字母的指数之和； （3）注意： ①分母含字母的式子不是单项式。 ②如果一个单项式不含字母，就称它的次数是0。 2.多项式： 如图，要在长方形和环形地块中的设草坪，长方形草坪的长，宽分别为a，b，环形草坪的外图，内图的单径分别为R，r，求共需草皮的面积。 【解析】长方形草坪的面积为ab，环形草坪的面积为πR2一πr2，所以共需草皮的面积为ab+πR2-πr2。 代数式ab+πR2-πr2可以看作单项式ab，rR2，-πr2的和。像这样可以看作几个单项式的和的代数式叫作多项式(polrymhioal)。 【归纳】 （1）多项式定义：几个单项式的和叫作多项式。 （2）多项式的项：多项式中的每个单项式叫作多项式的项；不含字母的项叫做常数项。 例：3x2+2x-5，项为3x2、2x、-5，常数项是-5。 （3）多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 例：3x2+2x-5，最高次项是3x2，次数为2，所以这是二次三项式。 3.整式：单项式与多项式统称整式。 4.单项式与多项式对比 代数式 名称 核心特征 6a2，300t，πr2 单项式 数与字母的积 a2+2a，πr2+πrh 多项式 多个单项式相加 5.易错点 （1）写项的时候必须连带前面的正负号； （2）多项式次数≠所有字母次数相加，只看最高次项； （3）分母中含有字母的式子既不是单项式，也不是多项式，不是整式。 例：指出多项式 2x3 - 5x2 + 7x - 1 的项、常数项、次数，并说出是几次几项式。 解：项：2x3、-5x2、7x、-1（常数项），最高次项次数是3，结论：三次四项式。 例：若多项式 xm-1+3x-2 是二次三项式，则m=____。 解：最高次数为2，m-1=2，得m=3。答案：3 （二）同类项与合并同类项 1.同类项 如图某菜地的四个区域种植了四种蔬菜，试计算这个菜地的总占地面积。 小丽先求出四个长方形的面积，再将它们相加。小明把上下两个区域分别合并为两个大长方形，求出它们的面积后再相加。他们的计算结果相等，即 80a+160a+190b+50b=(80+160)a+(190+50)b, 其中，计算80a十160a时，可以先利用乘法分配律把它们的系数相加，再乘a。同样，计算190b十50b时，也可以先把它们的系数相加，再乘b。 从单项式的定义看，80a和160a，190b和50b分别有什么共同特点? 【解析】对于80a和160a：所含字母都是a，且a的次数都是1。对于190b和50b：所含字母都是b，且b的次数都是1。 类似地，一9x2y2和5x2y，5ab2和一13ab2呢? 【解析】对于-9x2y2和5x2y：所含字母相同，但y的次数不同（前者是2，后者是1）。对于5ab2和-13ab2：所含字母都是a和b，且a的次数都是1，b的次数都是2。 一般地，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项(like terms)。 2.合并同类项 代数式中的字母表示的是数，因此数的运算律也适用于代数式.根据运算律把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项(unitelike tecmns). 把下列各式中的同类项合并成一项: (1)7a-3a: (2)4x2+2x2; (3)-9x3y2+5x3y2; (4)5a2b+1ab2-13ab2 【解析】(1)7a-3a=4a: (2)4x2+2x2=6x2; (3)-9x3y2+5x3y2=-3x3y2; (4)5a2b+1ab2-13ab2=-7ab2 【归纳】 （1）同类项 ①定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的单项式，叫做同类项。另外：所有常数项都是同类项（如 3 和 -7）。 ②判断要点（两相同、两无关） 两相同：字母完全一样；相同字母的次数相同 两无关：与系数大小无关；与字母顺序无关 ③举例： 是同类项：80a 与 160a、190b 与 50b、5ab2 与 -13ab2 不是同类项：-9x2y2 与 5x2y（y 的次数不同） （2）合并同类项 ①法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 ②运算步骤 找：找出多项式里所有同类项，标记区分 移：利用加法交换律、结合律，把同类项放一起 并：系数相加减，字母与指数不变 写：整理成最简多项式 ③例题演示 例1：80a+160a 解：80a+160a=(80+160)a=240a 例2：190b+50b 解：190b+50b=(190+50)b=240b 例3：5ab2-13ab2 解：5ab2-13ab2=(5-13)ab2=-8ab2 例4：综合多项式 80a+160a+190b+50b 解：80a+160a+190b+50b=(80+160)a+(190+50)b=240a+240b （3）常见易错点 ①只有同类项才能合并，不是同类项不能合并（如 x 和 x2、xy 和 x） ②合并时只加系数，字母、指数完全不动，不能改变次数 ③项的符号跟着系数走，移动同类项时不要丢负号 ④系数互为相反数的同类项合并后结果为 0，如 3x-3x=0 （三）去括号法则 按下图的方式，用火柴棒搭“小鱼” 搭n条“小鱼”需要火柴棒的总根数，它们是相等的，可以通过运算来验证。整式的运算本质上是数的运算，利用运算可以得到： 所以小明、小丽、小亮得到的三个代数式是相等的。在进行整式的运算时，我们可以利用运算把括号去掉，即 a+(b-c)=a+b-c a-(b-c)=a+(-1)(b-c)=a-b+c. 【归纳】 1、核心两条法则 （1）括号前是“+”号 去掉括号和前面的“+”，括号里各项符号不变。例：a+(b-c)=a+b-c （2）括号前是“−”号 去掉括号和前面的“−”，括号里每一项符号全部变号（正变负，负变正）。 例：a-(b-c)=a-b+c 2、括号前有数字因数（分配律） 先用数字乘括号内每一项，再去括号，注意符号： 例：2(a+3b)=2a+6b； -3(x-2y)=-3x+6y 3、多层括号顺序 一般由内向外去，也可由外向内，逐层变号：a-[b-(c-d)]=a-b+c-d 4、易错提醒 （1）减号去括号时，括号内所有项都要变号，不能只变第一项； （2）括号外有乘数时，乘数要乘括号里每一项，不能漏乘； （3）单独括号前无符号，默认是+。 例：（1）x+(2y-3)=________, （2）m-(5-4n)=________, （3）4(2a-b)=________, （4）-2(3x+y)=________, 【答案】：（1）x+2y-3；（2）m-5+4n；（3）8a-4b；（4）-6x-2y （四）整式加减运算 1、核心步骤：去括号 → 合并同类项 （1）去括号（注意符号、不漏乘） （2）找出所有同类项，分组摆放 （3）合并同类项 （4）结果按降幂排列（规范书写） 例：化简 (3x2-2x+1)-(x2+5x-2) 解：原式=3x2-2x+1-x2-5x+2 （去括号） =(3x2-x2)+(-2x-5x)+(1+2) （分组同类项） =2x2-7x+3 （合并） 2、求值题型（先化简，再代入） 例：求 2(x2-xy)-3(2x2-xy)，其中 x=-1,y=2 解：原式=2x2-2xy-6x2+3xy=-4x2+xy 代入：-4×(-1)^2 + (-1)×2 = -4-2=-6 3、常见易错点 （1）括号前为负号，只变第一项，其余不变（错误） （2）括号外乘数漏乘括号内某一项 （3）不是同类项强行合并（如x+x2不能合并） （4）代入负数求值时，忘记加括号导致符号出错 四．经典例题 例1.（2025·盐城建湖县期末）下列代数式中，属于整式的是（ ） A. B. x+y C. D. 【答案】：B 【解析】：分母中含有字母的式子不是整式，只有B是多项式，属于整式。 例2.（2025·盐城阜宁县期末）下列各组单项式，属于同类项的是（） A. 2x与2y B. 3x2与2x3 C. 5ab与-2ab D. 4x2y与4xy2 【答案】：C 【解析】：同类项要求字母相同、相同字母指数相同，只有C满足条件。 例3.（2026·东台市一模）去括号：-2(x-3)，结果正确的是（ ） A. -2x-3 B. -2x+3 C. -2x+6 D. -2x-6 【答案】：C 【解析】：用分配律，-2×x + (-2)×(-3)=-2x+6，既要变号又不能漏乘。 例4.（2025·泰州姜堰区期末）多项式3x2-2x-4的项与次数分别是（ ） A. 3项，2次 B. 3项，3次 C. 2项，2次 D. 2项，3次 【答案】：A 【解析】：多项式一共有3x2、-2x、-4三项，最高次项是二次，所以是二次三项式。 例5.（2025·射阳县期末）单项式-3πxy2的系数是________。 【答案】：-3π 【解析】：π是常数，属于数字系数，不能把π当成字母。 例6.（2026·滨海县二模）合并同类项：5a-3a=________。 【答案】：2a 【解析】：系数相减5-3=2，字母不变。 例7.（2025·大丰区期末）化简：a-(b+1)=________。 【答案】：a-b-1 【解析】：括号前是负号，去掉括号后，b变-b，+1变-1。 例8.（2026·县区联考）若单项式2xmy与-3xyn是同类项，则m+n=________。 【答案】：2 【解析】：同类项则m=1，n=1，所以m+n=2。 例9.（2025·建湖县期末）化简：3(2a-b)-2(a+b) 【答案】：4a-5b 【解析】：原式=6a-3b-2a-2b=(6a-2a)+(-3b-2b)=4a-5b，第一步去括号，分配律不能漏乘，第二步再合并同类项。 例10.（2026·如皋市一模）先化简，再求值：(2x2-x)-(x2-2x)，其中x=-2 【答案】：2 【解析】：原式=2x2-x-x2+2x=x2+x，代入x=-2：(-2)^{2}+(-2)=4-2=2，负数代入必须添加括号。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025·盐城市阜宁县期末）下列式子中，不是单项式的是（ ） A. 0 B. -a C. D. x+1 【答案】：D 【解析】：x+1含有加法，是多项式，不是单项式。 2.（2025·宿迁沭阳县期末）下列运算正确的是（ ） A. 3a+2b=5ab B. 5y2-3y2=2 C. 7a+a=8a D. 4x2y-2xy2=2x2y 【答案】：C 【解析】：只有同类项才能合并，A、D不是同类项不能合并；B合并后应为2y2。 3.（2026·射阳县一模）去括号3-(m+2)，结果是（ ） A. 3-m+2 B. 3-m-2 C. 3+m+2 D. 3+m-2 【答案】：B 【解析】：括号前是负号，括号内两项全部变号。 4.（2025·扬州江都区期末）多项式x3-2x2+1的次数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】：C 【解析】：最高次项是x3，次数为3。 5.（2026·淮安涟水县模拟）若3xky与-x2y是同类项，则k=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】：B 【解析】：相同字母x的指数必须相等，所以k=2。 6.（2025·镇江丹徒区期末）化简a+b-(a-b)的结果是（ ） A. 2b B. 2a C. 0 D. 2a+2b 【答案】：A 【解析】：原式=a+b-a+b=2b，去括号时-b要变成+b。 7.（2025·徐州铜山区期末）整式2x2-3x+1是（ ） A. 一次二项式 B. 二次三项式 C. 三次二项式 D. 二次二项式 【答案】：B 【解析】：一共有三项，最高次数为2，所以是二次三项式。 8.化简(9x-3)-2(x+1)的结果是(　　) A.2x-2　　　　　　　B.x+1 C.5x+3　　　　　　　D.x-3 【答案】D　 【解析】原式=3x-1-2x-2=x-3.故选D. （二）填空题 9.（2025·东台市期末）在、x、x+y、中，整式有________个。 【答案】：3 【解析】：分母含字母不是整式，剩余3个都是整式。 10.（2026·大丰区二模）合并同类项：-7m+5m=________。 【答案】：-2m 【解析】：系数相加-7+5=-2，字母不变。 11.（2025·建湖县期末）化简：2(x-1)=________。 【答案】：2x-2 【解析】：分配律，2乘括号内每一项，不要漏乘常数项。 12.（2026·阜宁县三模）多项式5x2-3x-1的常数项是________。 【答案】：-1 【解析】：不含字母的项是常数项，要带上前面的符号。 13.（2025·宝应县期末）若m-2n=3，则代数式2m-4n=________。 【答案】：6 【解析】：整体代入，原式=2(m-2n)=2×3=6。 14.（2026·兴化模拟）去括号：-(3a-2b)=________。 【答案】：-3a+2b 【解析】：括号前是负号，两项全部变号。 15.（2025·沭阳县期末）写出一个与ab2是同类项的单项式：________。 【答案】：3ab2（答案不唯一） 【解析】：保证字母和指数不变，只改变数字系数即可。 16.（2026·姜堰区模拟）化简：3a-(2a-1)=________。 【答案】：a+1 【解析】：原式=3a-2a+1=a+1。 （三）解答题 17.（2025·盐城市射阳县期末） （1）化简：4a-2b+5a-b； （2）化简：2(x2-xy)-3(2x2-xy)。 【答案】：（1）9a-3b；（2）-4x2+xy 【解析】：（1）原式=(4a+5a)+(-2b-b)=9a-3b； （2）原式=2x2-2xy-6x2+3xy=-4x2+xy，去括号严格使用分配律。 18.（2026·如皋市一模）先化简，再求值：(3x2-xy)-2(x2-xy)，其中x=-1,y=2 【答案】：0 【解析】：原式=3x2-xy-2x2+2xy=x2+xy，代入：(-1)2+(-1)×2=1-2=-1。 19.（2025·兴化市期末）已知多项式A=2x2+x，B=x2-x。 （1）求A+B； （2）求A-2B。 【答案】：（1）3x2；（2）-x2+3x 【解析】：（1）A+B=2x2+x+x2-x=3x2； （2）A-2B=2x2+x-2(x2-x)=2x+2x-2x2+2x=3x。 20.嘉淇准备完成题目:化简:(x2+6x+8)-(6x+5x2+2),发现系数“”印刷不清楚. (1)她把“”猜成3,请你化简:(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2); (2)她妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是常数.”通过计算说明原题中“”是几. 解：(1)(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2)=3x2+6x+8-6x-5x2-2=-2x2+6. (2)设“”是a,则原式=(ax2+6x+8)-(6x+5x2+2)=ax2+6x+8-6x-5x2-2=(a-5)x2+6. 因为标准答案的结果是常数,所以a-5=0,解得a=5.所以原题中“”是5. 21.如图所示,1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形,它恰能被分成10个大小不同的正方形.请你计算: (1)如果标注A,B的正方形的边长分别为5,6,则标注G的正方形的边长=　　　　;  (2)如果标注A,B的正方形的边长分别为x,y(x<y),则标注E的正方形的边长=　　　　.(用含x,y的代数式表示)  解：(1)观察题图可知,标注C的正方形的边长=5+6=11,所以标注G的正方形的边长=6+11+6=23. (2)因为标注A,B的正方形的边长分别为x,y,所以标注C的正方形的边长是x+y,所以标注D的正方形的边长是x+y+y=x+2y.所以标注G的正方形的边长是x+2y+y=x+3y.所以标注H的正方形的边长是(x+3y)+(y-x)=4y.所以标注M的正方形的边长是4y-x.所以标注E的正方形的边长是(4y-x)-x-(x+y)=3y-3x. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·阜宁县期末）下列代数式中，属于多项式的是（ ） A. -5 B. 3x C. x-2y D. 【答案】：C 【解析】：A、B是单项式，D不是整式，C是多项式。 2.（2026·建湖县一模）下列各组是同类项的是（ ） A. a2与2a B. ab与-ba C. x2y与xy2 D. 3与x 【答案】：B 【解析】：字母顺序不影响同类项判断，ab=ba，符合同类项条件。 3.（2025·东台市期末）去括号：-3(2x-4)，结果为（ ） A. -6x-12 B. -6x+12 C. 6x-12 D. 6x+12 【答案】：B 【解析】：-3×2x + (-3)×(-4)=-6x+12，既要分配又要变号。 4.（2026·射阳县二模）计算5a2-3a2的结果是（ ） A. 2 B. 2a2 C. 2a D. 8a2 【答案】：B 【解析】：合并同类项，系数相减，字母与指数保持不变。 5.（2025·金湖县期末）多项式2x3-x2+3x-1的项数和次数是（ ） A. 3项，3次 B. 4项，3次 C. 4项，2次 D. 3项，2次 【答案】：B 【解析】：一共4个项，最高次项为三次。 6.（2026·赣榆区模拟）化简m-(n-p)的结果是（ ） A. m-n-p B. m-n+p C. m+n-p D. m+n+p 【答案】：B 【解析】：去掉负括号，-n+p。 7.（2025·兴化市期末）单项式-x3y的次数是（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】：B 【解析】：字母指数相加3+1=4。 8.（2026·泗洪县三模）若代数式mx+nx合并后结果为0，则（ ） A. m=n B. m+n=0 C. m-n=0 D. m=0,n=0 【答案】：B 【解析】：(m+n)x=0，所以系数m+n=0。 9.（2025·高邮市期末）整式加减运算：(2a-b)-(a+b)=（ ） A. a-2b B. a C. a+2b D. 3a 【答案】：A 【解析】：原式=2a-b-a-b=a-2b。 10.（2026·县区联考）多项式的值与x无关，则含x项的系数（ ） A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 无法确定 【答案】：C 【解析】：系数为0时，该项消失，取值不受x影响。 （二）填空题 11.（2025·滨海县期末）单项式5x的系数是________。 【答案】：5 【解析】：数字因数就是系数。 12.（2026·大丰区一模）合并同类项：-x+3x=________。 【答案】：2x 【解析】：(-1+3)x=2x。 13.（2025·建湖县期末）化简：3-(a-1)=________。 【答案】：4-a 【解析】：原式=3-a+1=4-a。 14.（2026·阜宁县二模）多项式x2-5的项是________。 【答案】：x2、-5 【解析】：项必须自带前面的符号。 15.（2025·宝应县期末）若xay2与xyb是同类项，则a+b=________。 【答案】：3 【解析】：a=1,b=2，和为3。 16.（2026·东台市三模）化简：4(m-n)=________。 【答案】：4m-4n 【解析】：分配律，不要漏乘-n。 17.（2025·涟水县期末）写出一个二次单项式：________。 【答案】：2x2（答案不唯一） 【解析】：字母指数之和等于2即可。 18.（2026·县区统考）化简：5a-(3a-2b)=________。 【答案】：2a+2b 【解析】：原式=5a-3a+2b=2a+2b。 19.（2025·铜山区期末）已知a+b=2，则2a+2b=________。 【答案】：4 【解析】：整体代入，2(a+b)=4。 20.（2026·姜堰区模拟）整式3x2y-xy+2是________次三项式。 【答案】：三 【解析】：最高次项3x2y次数为2+1=3。 （三）解答题 21.（2025·射阳县期末）化简： （1）3m+4n-2m-n； （2）2(a2-ab)-3(2a2-ab)。 【答案】：（1）m+3n；（2）-4a2+ab 【解析】：（1）原式=(3m-2m)+(4n-n)=m+3n； （2）原式=2a2-2ab-6a2+3ab=-4a2+ab。 22.（2026·如皋市二模）先化简，再求值：2(x2-y)-(x2-2y)，其中x=-2,y=1 【答案】：4 【解析】：原式=2x2-2y-x2+2y=x2，代入x=-2，得(-2)2=4。 23.（2025·兴化市期末）已知A=3x2-2x，B=x2+5x。 （1）求A-B； （2）当x=-1时，求A-B的值。 【答案】：（1）2x2-7x；（2）9 【解析】：（1）A-B=3x2-2x-x2-5x=2x2-7x； （2）代入：2×(-1)^{2}-7×(-1)=2+7=9。 24.（2026·洪泽区三模）若多项式(2x2+ax-y+6)-(2bx2-3x+5y-1)的值与字母x的取值无关。 （1）求a、b的值； （2）求代数式3(a^{2}-ab+b^{2})的值。 【答案】：（1）a=-3，b=1；（2）39 【解析】：先化简原式：2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y+1=(2-2b)x2+(a+3)x-6y+7，因为与x无关，所以含x项系数为0：2-2b=0，a+3=0，解得b=1，a=-3。代入求值：3[(-3)2-(-3)×1+12]=3(9+3+1)=3×13=39。 25．有一种放铅笔的V形槽，如图所示，第一层放1支，第二层放2支，依次每层增放1支，只要数一数顶层的支数n就可用公式算出槽内铅笔的支数． (1)根据图示你能推出这个公式吗？ (2)你还有没有其他方法推出这个公式？ (3)利用公式分别计算当n＝6，n＝11时，槽内铅笔的支数． 解：(1)由题意和图可知：铅笔总数1＋2＋…＋n＝. (2)可以看作上底为1，下底为n，高为n的梯形，照梯形的面积公式计算． (3)当n＝6时，槽内铅笔的总数为＝21(支)； 当n＝11时，槽内铅笔的总数为＝66(支)． 26.定义:若a+b=m,则称a与b是关于m的平衡数. 例如:若a+b=3,则称a与b是关于3的平衡数. (1)①2与　　　　是关于3的平衡数;  ②4-x与　　　　是关于3的平衡数(用含x的代数式表示);  (2)若a=2x2-3(x2+x)+4,b=5x-[3x-(x+x2)+1],判断a与b是不是关于0的平衡数,并说明理由. 解：(1)①∵2+1=3,∴2与1是关于3的平衡数. ②∵4-x+x-1=3,∴4-x与x-1是关于3的平衡数. (2)∵a=2x2-3(x2+x)+4,b=5x-[3x-(x+x2)+1], ∴a+b=2x2-3(x2+x)+4+5x-[3x-(x+x2)+1]=2x2-3x2-3x+4+5x-(3x-x-x2+1) =-x2+4+2x-(2x-x2+1)=-x2+4+2x-2x+x2-1=3≠0,∴a与b不是关于0的平衡数. 27．阅读下面材料，完成问题探究： 【问题提出】：将正方形的四条边都n等分，连接各边对应的等分点，则图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：、 (1)探究一：将一条线段n等分，图中一共可以形成多少条线段？ 如图1：将线段二等分，图中线段共有条； 如图2：将线段三等分，图中线段共有条； 如图3：将线段四等分，图中线段共有条； ……将线段 n等分，图中线段共有________条． (2)探究二：将正方形的四条边都n等分，连接各边对应的等分点，则图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 如图4：将正方形的四条边都2等分，连接各边对应的等分点，图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 我们发现，边上有3线段，边上也有3条线段，则图中长方形（包括正方形）个数是个； 如图5：将正方形的四条边都3等分，连接各边对应的等分点，图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 因为边上有6条线段，边上也有6条线段， 则图中长方形（包括正方形）个数是个； 如图6：将正方形的四条边都4等分，连接各边对应的等分点，图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 则图中长方形个数（包括正方形）是________个． (3)【问题解决】：将正方形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，则图中一共有_________个长方形（包括正方形）． (4)【拓展延伸】：将长8宽5高7的长方体的各边等分成1的线段，连接各边对应的等分点，则一共可以形成________个长方体（包括正方体），其中长5宽4高4的长方体的个数是________． 解：(1)将线段二等分，图中线段共有条；将线段三等分，图中线段共有条；将线段四等分，图中线段共有条，…… 根据上边的规律，得出将线段 n等分，图中线段共有条． (2)由第（1）小问可知，将正方形的四条边都4等分，连接各边对应的等分点，边上有10条线段，边上也有10条线段，则图中长方形（包括正方形）个数是个． (3)由题意可知，将正方形的四条边都n等分，连接各边对应的等分点，我们发现，边上有条线段，边上也有条线段，则图中长方形（包括正方形）个数是个． (4)题中长方体的长边上有条线段；宽边上有条线段；高上有条线段，所以图形中的长方体（包含正方体）的总数有（个）， 其中长边上长为5cm的线段有4条，宽边上长为4cm的线段有4条，高上长为4cm的线段有2条，所以长5宽4高4的长方体个数是个． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册13 《第3章代数式第3节整式的加减》预习讲义 一．预习目标 ( 1.能准确区分单项式、多项式，识别整式，掌握单项式的系数、次数与多项式的项、次数。 2.精准判断同类项，熟练运用法则合并同类项。 3.牢记去括号法则，能正确处理括号前带负号、带数字系数的去括号运算。 4.掌握整式加减的完整步骤：去括号 → 合并同类项，会进行化简求值。 5.能解决 “ 多项式的值与字母无关 ” 等常见题型，规避符号类易错问题。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点：同类项识别、合并同类项、去括号运算、整式加减化简求值。 （二） 难点： 1.括号前面是负号时，括号内各项变号； 2.括号前有数字因数时，分配律不能漏乘； 3.化简求值时代入负数、分数添加括号； 4. “ 与某个字母取值无关 ” 题型的处理方法。 ) 三．自主探究 （一）整式 1.单项式： 用代数式表示下列问题中的数量: (1)正方体的棱为a，正方体的体积和表面积分别是多少? (2)列车以300km/h的速度行驶了th，行驶了多少路程? (3)圆柱的底面半径和高分别为r，h，圆柱的底面积和体积分别是是多少? 上面列出的代数式有什么特征? 【归纳】 （1）定义：由数与字母的积组成的代数式叫作单项式。单独一个数、单独一个字母也是单项式。 （2）相关概念 ①系数：单项式中的数字因数（π是常数，属于系数）； ②次数：所有字母的指数之和； （3）注意： ①分母含字母的式子不是单项式。 ②如果一个单项式不含字母，就称它的次数是0。 2.多项式： 如图，要在长方形和环形地块中的设草坪，长方形草坪的长，宽分别为a，b，环形草坪的外图，内图的单径分别为R，r，求共需草皮的面积。 代数式ab+πR2-πr2可以看作单项式ab，rR2，-πr2的和。像这样可以看作几个单项式的和的代数式叫作多项式(polrymhioal)。 【归纳】 （1）多项式定义：几个单项式的和叫作多项式。 （2）多项式的项：多项式中的每个单项式叫作多项式的项；不含字母的项叫做常数项。 例：3x2+2x-5，项为3x2、2x、-5，常数项是-5。 （3）多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 例：3x2+2x-5，最高次项是3x2，次数为2，所以这是二次三项式。 3.整式：单项式与多项式统称整式。 4.单项式与多项式对比 代数式 名称 核心特征 6a2，300t，πr2 单项式 数与字母的积 a2+2a，πr2+πrh 多项式 多个单项式相加 5.易错点 （1）写项的时候必须连带前面的正负号； （2）多项式次数≠所有字母次数相加，只看最高次项； （3）分母中含有字母的式子既不是单项式，也不是多项式，不是整式。 例：指出多项式 2x3 - 5x2 + 7x - 1 的项、常数项、次数，并说出是几次几项式。 例：若多项式 xm-1+3x-2 是二次三项式，则m=____。 （二）同类项与合并同类项 1.同类项 如图某菜地的四个区域种植了四种蔬菜，试计算这个菜地的总占地面积。 小丽先求出四个长方形的面积，再将它们相加。小明把上下两个区域分别合并为两个大长方形，求出它们的面积后再相加。他们的计算结果相等，即 80a+160a+190b+50b=(80+160)a+(190+50)b, 其中，计算80a十160a时，可以先利用乘法分配律把它们的系数相加，再乘a。同样，计算190b十50b时，也可以先把它们的系数相加，再乘b。 从单项式的定义看，80a和160a，190b和50b分别有什么共同特点? 类似地，一9x2y2和5x2y，5ab2和一13ab2呢? 一般地，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项(like terms)。 2.合并同类项 代数式中的字母表示的是数，因此数的运算律也适用于代数式.根据运算律把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项(unitelike tecmns). 把下列各式中的同类项合并成一项: (1)7a-3a: (2)4x2+2x2; (3)-9x3y2+5x3y2; (4)5a2b+1ab2-13ab2 【归纳】 （1）同类项 ①定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的单项式，叫做同类项。另外：所有常数项都是同类项（如 3 和 -7）。 ②判断要点（两相同、两无关） 两相同：字母完全一样；相同字母的次数相同 两无关：与系数大小无关；与字母顺序无关 ③举例： 是同类项：80a 与 160a、190b 与 50b、5ab2 与 -13ab2 不是同类项：-9x2y2 与 5x2y（y 的次数不同） （2）合并同类项 ①法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 ②运算步骤 找：找出多项式里所有同类项，标记区分 移：利用加法交换律、结合律，把同类项放一起 并：系数相加减，字母与指数不变 写：整理成最简多项式 ③例题演示 例1：80a+160a 例2：190b+50b 例3：5ab2-13ab2 例4：综合多项式 80a+160a+190b+50b （3）常见易错点 ①只有同类项才能合并，不是同类项不能合并（如 x 和 x2、xy 和 x） ②合并时只加系数，字母、指数完全不动，不能改变次数 ③项的符号跟着系数走，移动同类项时不要丢负号 ④系数互为相反数的同类项合并后结果为 0，如 3x-3x=0 （三）去括号法则 按下图的方式，用火柴棒搭“小鱼” 搭n条“小鱼”需要火柴棒的总根数，它们是相等的，可以通过运算来验证。整式的运算本质上是数的运算，利用运算可以得到： 所以小明、小丽、小亮得到的三个代数式是相等的。在进行整式的运算时，我们可以利用运算把括号去掉，即 a+(b-c)=a+b-c a-(b-c)=a+(-1)(b-c)=a-b+c. 【归纳】 1、核心两条法则 （1）括号前是“+”号 去掉括号和前面的“+”，括号里各项符号不变。例：a+(b-c)=a+b-c （2）括号前是“−”号 去掉括号和前面的“−”，括号里每一项符号全部变号（正变负，负变正）。 例：a-(b-c)=a-b+c 2、括号前有数字因数（分配律） 先用数字乘括号内每一项，再去括号，注意符号： 例：2(a+3b)=2a+6b； -3(x-2y)=-3x+6y 3、多层括号顺序 一般由内向外去，也可由外向内，逐层变号：a-[b-(c-d)]=a-b+c-d 4、易错提醒 （1）减号去括号时，括号内所有项都要变号，不能只变第一项； （2）括号外有乘数时，乘数要乘括号里每一项，不能漏乘； （3）单独括号前无符号，默认是+。 例：（1）x+(2y-3)=________, （2）m-(5-4n)=________, （3）4(2a-b)=________, （4）-2(3x+y)=________, （四）整式加减运算 1、核心步骤：去括号 → 合并同类项 （1）去括号（注意符号、不漏乘） （2）找出所有同类项，分组摆放 （3）合并同类项 （4）结果按降幂排列（规范书写） 例：化简 (3x2-2x+1)-(x2+5x-2) 解：原式=3x2-2x+1-x2-5x+2 （去括号） =(3x2-x2)+(-2x-5x)+(1+2) （分组同类项） =2x2-7x+3 （合并） 2、求值题型（先化简，再代入） 例：求 2(x2-xy)-3(2x2-xy)，其中 x=-1,y=2 3、常见易错点 （1）括号前为负号，只变第一项，其余不变（错误） （2）括号外乘数漏乘括号内某一项 （3）不是同类项强行合并（如x+x2不能合并） （4）代入负数求值时，忘记加括号导致符号出错 四．经典例题 例1.（2025·盐城建湖县期末）下列代数式中，属于整式的是（ ） A. B. x+y C. D. 例2.（2025·盐城阜宁县期末）下列各组单项式，属于同类项的是（ ） A. 2x与2y B. 3x2与2x3 C. 5ab与-2ab D. 4x2y与4xy2 例3.（2026·东台市一模）去括号：-2(x-3)，结果正确的是（ ） A. -2x-3 B. -2x+3 C. -2x+6 D. -2x-6 例4.（2025·泰州姜堰区期末）多项式3x2-2x-4的项与次数分别是（ ） A. 3项，2次 B. 3项，3次 C. 2项，2次 D. 2项，3次 例5.（2025·射阳县期末）单项式-3πxy2的系数是________。 例6.（2026·滨海县二模）合并同类项：5a-3a=________。 例7.（2025·大丰区期末）化简：a-(b+1)=________。 例8.（2026·县区联考）若单项式2xmy与-3xyn是同类项，则m+n=________。 例9.（2025·建湖县期末）化简：3(2a-b)-2(a+b) 例10.（2026·如皋市一模）先化简，再求值：(2x2-x)-(x2-2x)，其中x=-2 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025·盐城市阜宁县期末）下列式子中，不是单项式的是（ ） A. 0 B. -a C. D. x+1 2.（2025·宿迁沭阳县期末）下列运算正确的是（ ） A. 3a+2b=5ab B. 5y2-3y2=2 C. 7a+a=8a D. 4x2y-2xy2=2x2y 3.（2026·射阳县一模）去括号3-(m+2)，结果是（ ） A. 3-m+2 B. 3-m-2 C. 3+m+2 D. 3+m-2 4.（2025·扬州江都区期末）多项式x3-2x2+1的次数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.（2026·淮安涟水县模拟）若3xky与-x2y是同类项，则k=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 6.（2025·镇江丹徒区期末）化简a+b-(a-b)的结果是（ ） A. 2b B. 2a C. 0 D. 2a+2b 7.（2025·徐州铜山区期末）整式2x2-3x+1是（ ） A. 一次二项式 B. 二次三项式 C. 三次二项式 D. 二次二项式 8.化简(9x-3)-2(x+1)的结果是(　　) A.2x-2　　　　　　　B.x+1 C.5x+3　　　　　　　D.x-3 （二）填空题 9.（2025·东台市期末）在、x、x+y、中，整式有________个。 10.（2026·大丰区二模）合并同类项：-7m+5m=________。 11.（2025·建湖县期末）化简：2(x-1)=________。 12.（2026·阜宁县三模）多项式5x2-3x-1的常数项是________。 13.（2025·宝应县期末）若m-2n=3，则代数式2m-4n=________。 14.（2026·兴化模拟）去括号：-(3a-2b)=________。 15.（2025·沭阳县期末）写出一个与ab2是同类项的单项式：________。 16.（2026·姜堰区模拟）化简：3a-(2a-1)=________。 （三）解答题 17.（2025·盐城市射阳县期末） （1）化简：4a-2b+5a-b； （2）化简：2(x2-xy)-3(2x2-xy)。 18.（2026·如皋市一模）先化简，再求值：(3x2-xy)-2(x2-xy)，其中x=-1,y=2 19.（2025·兴化市期末）已知多项式A=2x2+x，B=x2-x。 （1）求A+B； （2）求A-2B。 20.嘉淇准备完成题目:化简:(x2+6x+8)-(6x+5x2+2),发现系数“”印刷不清楚. (1)她把“”猜成3,请你化简:(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2); (2)她妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是常数.”通过计算说明原题中“”是几. 21.如图所示,1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形,它恰能被分成10个大小不同的正方形.请你计算: (1)如果标注A,B的正方形的边长分别为5,6,则标注G的正方形的边长=　　　　;  (2)如果标注A,B的正方形的边长分别为x,y(x<y),则标注E的正方形的边长=　　　　.(用含x,y的代数式表示)  六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·阜宁县期末）下列代数式中，属于多项式的是（ ） A. -5 B. 3x C. x-2y D. 2.（2026·建湖县一模）下列各组是同类项的是（ ） A. a2与2a B. ab与-ba C. x2y与xy2 D. 3与x 3.（2025·东台市期末）去括号：-3(2x-4)，结果为（ ） A. -6x-12 B. -6x+12 C. 6x-12 D. 6x+12 4.（2026·射阳县二模）计算5a2-3a2的结果是（ ） A. 2 B. 2a2 C. 2a D. 8a2 5.（2025·金湖县期末）多项式2x3-x2+3x-1的项数和次数是（ ） A. 3项，3次 B. 4项，3次 C. 4项，2次 D. 3项，2次 6.（2026·赣榆区模拟）化简m-(n-p)的结果是（ ） A. m-n-p B. m-n+p C. m+n-p D. m+n+p 7.（2025·兴化市期末）单项式-x3y的次数是（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 8.（2026·泗洪县三模）若代数式mx+nx合并后结果为0，则（ ） A. m=n B. m+n=0 C. m-n=0 D. m=0,n=0 9.（2025·高邮市期末）整式加减运算：(2a-b)-(a+b)=（ ） A. a-2b B. a C. a+2b D. 3a 10.（2026·县区联考）多项式的值与x无关，则含x项的系数（ ） A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 无法确定 （二）填空题 11.（2025·滨海县期末）单项式5x的系数是________。 12.（2026·大丰区一模）合并同类项：-x+3x=________。 13.（2025·建湖县期末）化简：3-(a-1)=________。 14.（2026·阜宁县二模）多项式x2-5的项是________。 15.（2025·宝应县期末）若xay2与xyb是同类项，则a+b=________。 16.（2026·东台市三模）化简：4(m-n)=________。 17.（2025·涟水县期末）写出一个二次单项式：________。 18.（2026·县区统考）化简：5a-(3a-2b)=________。 19.（2025·铜山区期末）已知a+b=2，则2a+2b=________。 20.（2026·姜堰区模拟）整式3x2y-xy+2是________次三项式。 （三）解答题 21.（2025·射阳县期末）化简： （1）3m+4n-2m-n； （2）2(a2-ab)-3(2a2-ab)。 22.（2026·如皋市二模）先化简，再求值：2(x2-y)-(x2-2y)，其中x=-2,y=1 23.（2025·兴化市期末）已知A=3x2-2x，B=x2+5x。 （1）求A-B； （2）当x=-1时，求A-B的值。 24.（2026·洪泽区三模）若多项式(2x2+ax-y+6)-(2bx2-3x+5y-1)的值与字母x的取值无关。 （1）求a、b的值； （2）求代数式3(a^{2}-ab+b^{2})的值。 25．有一种放铅笔的V形槽，如图所示，第一层放1支，第二层放2支，依次每层增放1支，只要数一数顶层的支数n就可用公式算出槽内铅笔的支数． (1)根据图示你能推出这个公式吗？ (2)你还有没有其他方法推出这个公式？ (3)利用公式分别计算当n＝6，n＝11时，槽内铅笔的支数． 26.定义:若a+b=m,则称a与b是关于m的平衡数. 例如:若a+b=3,则称a与b是关于3的平衡数. (1)①2与　　　　是关于3的平衡数;  ②4-x与　　　　是关于3的平衡数(用含x的代数式表示);  (2)若a=2x2-3(x2+x)+4,b=5x-[3x-(x+x2)+1],判断a与b是不是关于0的平衡数,并说明理由. 27．阅读下面材料，完成问题探究： 【问题提出】：将正方形的四条边都n等分，连接各边对应的等分点，则图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：、 (1)探究一：将一条线段n等分，图中一共可以形成多少条线段？ 如图1：将线段二等分，图中线段共有条； 如图2：将线段三等分，图中线段共有条； 如图3：将线段四等分，图中线段共有条； ……将线段 n等分，图中线段共有________条． (2)探究二：将正方形的四条边都n等分，连接各边对应的等分点，则图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 如图4：将正方形的四条边都2等分，连接各边对应的等分点，图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 我们发现，边上有3线段，边上也有3条线段，则图中长方形（包括正方形）个数是个； 如图5：将正方形的四条边都3等分，连接各边对应的等分点，图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 因为边上有6条线段，边上也有6条线段， 则图中长方形（包括正方形）个数是个； 如图6：将正方形的四条边都4等分，连接各边对应的等分点，图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 则图中长方形个数（包括正方形）是________个． (3)【问题解决】：将正方形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，则图中一共有_________个长方形（包括正方形）． (4)【拓展延伸】：将长8宽5高7的长方体的各边等分成1的线段，连接各边对应的等分点，则一共可以形成________个长方体（包括正方体），其中长5宽4高4的长方体的个数是________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $