专题01解一元二次方程（50题）（小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以“小模块-微专题-大压轴”为框架，系统整合一元二次方程解法，从基础方法到综合应用再到压轴突破，提炼实用解题技巧，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模块1-4（基础解法）|每模块1典例+3变式|直接开平方法“左平方右非负”等步骤口诀|从具体解法到步骤规范，构建基础运算体系| |模块5（适当方法）|1典例+3变式|“先考虑直接开平和因式分解，再用公式和配方”|方法选择策略，提升解题灵活性| |微专题1（换元法）|1典例+3变式|整体换元降次，转化为一元二次方程|复杂方程转化思想，培养创新意识| |压轴1（含绝对值）|1典例+3变式|绝对值分类讨论与换元结合|综合应用解法，发展推理能力|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题01解一元二次方程（50题）》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 一元二次方程的解法---直接开平方法 微专题1一元二次方程的解法---换元法 模块2 一元二次方程的解法---配方法 压轴1 解含绝对值的一元二次方程 模块3 一元二次方程的解法---公式法 基础通关练 模块4 一元二次方程的解法---因式分解法 重难突破练 模块5 用适当的方法解一元二次方程 知识梳理 · 基础溯源 知识点01一元二次方程的解法 一、解一元二次方程---直接开平方法 ◆1、用直接开平方法解一元二次方程 （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意事项： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 二、解一元二次方程---配方法 ◆1、将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法． ◆2、用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 ； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此 方程无实数解． 三、解一元二次方程---公式法 ◆1、对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0，它的实数根可以写成x的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． ◆2、在解一元二次方程中，把方程化成一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0），如果b2﹣4ac≥0，那么把a，b，c的值代入求根公式，就可以求得方程的实数根；如果b2﹣4ac＜0，那么原方程没有实数根.这种解一元二次方程的方法称为公式法． ◆3、用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 四、解一元二次方程---因式分解法 ◆1、用因式分解法解一元二次方程： （1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． ◆2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解 模块通关·举一反三 【模块一】一元二次方程的解法---直接开平方法 方｜法｜点｜拨 左平方，右非负，先把系数化为1，再开平方取正负，二次方程有实根，两根分别写清楚. 【典例1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 【变式1-1】解下列方程： (1)； (2)． 【变式1-2】解方程 (1)； (2)． 【变式1-3】解方程： 【模块二】 一元二次方程的解法---配方法 方｜法｜点｜拨 用配方法解题过程中的灵活应用：常数项可被二次项系数整除的，可先将系数化为1；常数项不能被二次项系数整除的，先移项更加简单. 【典例2】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【变式2-1】用配方法解方程时，原方程变形正确的是(　　) A． B． C． D． 【变式2-2】将一元二次方程通过配方转换成的形式（，为常数），则的值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【变式2-3】解方程：．（用配方法解） 【模块三】 一元二次方程的解法---公式法 方｜法｜点｜拨 运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式，再确定a，b，c的值，并且不要出现符合错误． 【典例3】用公式法解方程，所得解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】解是的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】用公式法解方程：． 【变式3-3】解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【模块四】 一元二次方程的解法---因式分解法 方｜法｜点｜拨 因式分解法适用的条件，若一元二次方程右边为0，左边比较容易分解为两个一次式乘积的形式，则常用因式分解法解方程． 【典例4】一元二次方程的解________． 【变式4-1】方程的根是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】一元二次方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 【变式4-3】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【模块五】用适当的方法解一元二次方程 方｜法｜点｜拨 选择适当的方法解一元二次方程时，要根据方程的特点选择适当的方法，先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法和配方法，公式法是解一元二次方程的通用法，可以解所有的一元二次方程． 【典例5】（25-26九年级上·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式5-1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用适当方法解下列方程 (1)； (2) 【变式5-2】19．用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【变式5-3】．解方程 (1)； (2)． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】 一元二次方程的解法---换元法 方｜法｜点｜拨 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例6】降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式6-1】若关于x的一元二次方程的解是，，则关于y的一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D．． 【变式6-3】若关于的一元二次方程的两根分别为，，则关于的一元二次方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 压轴突破·素养提升 【压轴一】 解含绝对值的一元二次方程 方｜法｜点｜拨 解含绝对值的一元二次方程时 1.根据 将换为 用一个变量去代替，从而转化为一元二次方程进行求解． 2、对中的x分和两种情况讨论，去掉绝对值，从而转化为一元二次方程进行求解；当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到去掉绝对值的目的． 【典例7】解方程：． 【变式7-1】（24-25九年级上·江苏南京·月考）解方程 【变式7-2】（25-26九年级上·重庆万州·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【变式7-3】阅读理解以下内容，解决问题 解方程：． 解：∵， ∴方程即为：， 设，原方程转化为： 解得，，， 当时，即，∴，； 当时，即，不成立． ∴综上所述，原方程的解是，． 以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）． (1)该题主要运用了以下哪些数学思想___________（多选）； A．方程思想           B．数形结合思想    C．整体思想 (2)已知方程：，若设，请利用“换元法”将原方程化为关于的方程； (3)仿照上述方法，解方程：． 巩固训练·通关检测 基础通关练 1.关于的一元二次方程的根是（    ） A． B．， C．， D．， 2．一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D． 3．方程的解是   ． 4．用配方法解方程：； 5．（1）解方程：； （2）用配方法解方程：． 6．配方法解下列方程 (1) (2) 7．解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）. 8．用公式法解一元二次方程 9．用公式法解方程 (1)． (2)． 10．按要求解下列方程． (1)（用配方法解） (2)（用公式法解） 11.用因式分解法解一元二次方程的解为 ． 12解方程： (1) (2) 13．解方程： (1)； (2) 14.下列一元二次方程最适合用因式分解来解的是(　　) A． B． C． D． 15．请选择适当方法解下列方程： (1) (2) 重难突破练 1（25-26九年级上·江苏扬州·月考）解方程． 2.解方程； 3．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 4.解方程． 5．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）． 6.解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为____①____， 解得，． 当时，，；当时，，； 原方程有四个根：，，，． (1)①中填写的方程是________，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数x，y满足，求的值； (3)解方程． 7..阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设． 则原方程可转化为，即． ， ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程：； (3)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数：______ ． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题01解一元二次方程（50题）》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 一元二次方程的解法---直接开平方法 微专题1一元二次方程的解法---换元法 模块2 一元二次方程的解法---配方法 压轴1 解含绝对值的一元二次方程 模块3 一元二次方程的解法---公式法 基础通关练 模块4 一元二次方程的解法---因式分解法 重难突破练 模块5 用适当的方法解一元二次方程 知识梳理 · 基础溯源 知识点01一元二次方程的解法 一、解一元二次方程---直接开平方法 ◆1、用直接开平方法解一元二次方程 （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意事项： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 二、解一元二次方程---配方法 ◆1、将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法． ◆2、用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 ； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此 方程无实数解． 三、解一元二次方程---公式法 ◆1、对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0，它的实数根可以写成x的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． ◆2、在解一元二次方程中，把方程化成一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0），如果b2﹣4ac≥0，那么把a，b，c的值代入求根公式，就可以求得方程的实数根；如果b2﹣4ac＜0，那么原方程没有实数根.这种解一元二次方程的方法称为公式法． ◆3、用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 四、解一元二次方程---因式分解法 ◆1、用因式分解法解一元二次方程： （1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． ◆2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解 模块通关·举一反三 【模块一】一元二次方程的解法---直接开平方法 方｜法｜点｜拨 左平方，右非负，先把系数化为1，再开平方取正负，二次方程有实根，两根分别写清楚. 【典例1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了解一元二次方程——直接开平方法，根据直接开平方法进行解方程即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】解： ， ∴，， 故选：． 【变式1-1】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，直接开方法解一元二次方程，对于（1），根据先配方，再开方，求出解即可；对于（2），直接开方，求出解即可． 【详解】（1）移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， 解得，； （2）开方，得或， 解得，． 【变式1-2】解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）移项，再直接开平方法进行计算，即可作答． （2）运用配方法解一元二次方程，先移项再配方，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ， 则； （2）解： ； 【变式1-3】解方程： 【答案】， 解：两边除以4得，， 开平方， 则，． 【模块二】 一元二次方程的解法---配方法 方｜法｜点｜拨 用配方法解题过程中的灵活应用：常数项可被二次项系数整除的，可先将系数化为1；常数项不能被二次项系数整除的，先移项更加简单. 【典例2】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 解得， ∴． 故选：D． 【变式2-1】用配方法解方程时，原方程变形正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，方程移项，配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程变形得：， 配方得：，即， 故选：A． 【变式2-2】将一元二次方程通过配方转换成的形式（，为常数），则的值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再利用完全平方公式配方，求出n，p的值，即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 整理，得， 配方，得， 即， ，， ， 故选C． 【变式2-3】解方程：．（用配方法解） 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．根据配方法解一元二次方程的一般步骤解出方程，即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【模块三】 一元二次方程的解法---公式法 方｜法｜点｜拨 运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式，再确定a，b，c的值，并且不要出现符合错误． 【典例3】用公式法解方程，所得解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握公式法；因此此题可根据公式法求解方程． 【详解】解： ∴， ∴， ∴； 故选A． 【变式3-1】解是的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的求根公式进行作答即可． 【详解】解：A、因为，所以，故不符合题意； B、因为，所以，故不符合题意； C、因为，所以，故不符合题意； D、因为，所以，故符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，难度较小，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 【变式3-2】用公式法解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，先把方程整理成一般式，确定的值，算出的值，代入求根公式即可求解，掌握公式法是解题的关键． 【详解】解：方程整理得，， ，，， ∴， ∴， ∴，． 【变式3-3】解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤． 【详解】（1），，， ， ∴， ∴，； （2），，， ， ∴， ∴，． 【模块四】 一元二次方程的解法---因式分解法 方｜法｜点｜拨 因式分解法适用的条件，若一元二次方程右边为0，左边比较容易分解为两个一次式乘积的形式，则常用因式分解法解方程． 【典例4】一元二次方程的解________． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；观察方程两边均有公因式，采用因式分解法求解即可． 【详解】解： ， ， 或， 解得，； 故答案为：或． 【变式4-1】方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程．先移项，再根据因式分解法，可得答案． 【详解】解：， 移项得， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式4-2】一元二次方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键熟练掌握因式分解法解方程，灵活选取适当的方法解方程． 【详解】， ， ， 或， ∴，； 故选：． 【变式4-3】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）方程分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）整理后，利用配方法，求出方程的解即可； （4）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：， 移项得， ∴， ∴或， 解得：，； （3）解：， 整理得， 配方得：，即， ， 解得：，； （4）解：， 整理得：， ∴， ∴或， 解得：，． 【模块五】用适当的方法解一元二次方程 方｜法｜点｜拨 选择适当的方法解一元二次方程时，要根据方程的特点选择适当的方法，先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法和配方法，公式法是解一元二次方程的通用法，可以解所有的一元二次方程． 【典例5】（25-26九年级上·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程. （1）根据直接开平方法求解即可； （2）根据配方法求解即可. 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： 【变式5-1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用适当方法解下列方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可求解； （）先把方程整理成一般式，再利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：方程整理成一般形式，得， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：去括号得 方程整理成一般形式，得， ∴，，， ∵， ∴， 即，． 【变式5-2】用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用公式法求解． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得，； （2）解：， 其中，，， 则， ， 解得，． 【变式5-3】．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程即可． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用公式法解方程； 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解： ， ∴方程有两个不相等的实数根，用求根公式： ∴， ． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】 一元二次方程的解法---换元法 方｜法｜点｜拨 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例6】降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． （2）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． （2）解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：． 【变式6-1】若关于x的一元二次方程的解是，，则关于y的一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设，则原方程可化为，根据关于x的一元二次方程的解为，，得到，，于是得到结论． 【详解】解：设， 则原方程可化为， ∵关于x的一元二次方程的解为，， ∴，， ∴或， 解得，． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系． 【变式6-2】用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D．． 【答案】A 【分析】设，原方程中用代替，这样原方程转化为：，然后把方程两边乘以y得到整式方程． 【详解】解：设，原方程转化为， 方程两边乘以y得，． 故选：A． 【点睛】本题考查了换元法解分式方程：用一个字母代替分式方程中某一个的整体，使原分式方程转化为简单的分式方程或整式方程，从而达到解决原方程的目的． 【变式6-3】若关于的一元二次方程的两根分别为，，则关于的一元二次方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】把关于x的一元二次方程看作为关于的一元二次方程，则根据题意得或，然后解一次方程即可． 【详解】解：把关于x的一元二次方程看作为关于的一元二次方程， ∵关于x的一元二次方程的两根分别为，， ∴或， 解得：，， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——换元法，利用换元法解方程是解题的关键． 压轴突破·素养提升 【压轴一】 解含绝对值的一元二次方程 方｜法｜点｜拨 解含绝对值的一元二次方程时 1.根据 将换为 用一个变量去代替，从而转化为一元二次方程进行求解． 2、对中的x分和两种情况讨论，去掉绝对值，从而转化为一元二次方程进行求解；当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到去掉绝对值的目的． 【典例7】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程、绝对值的性质及一元二次方程的解法，解题的关键是通过换元法将含绝对值的复杂方程转化为普通的一元二次方程，再结合绝对值的非负性对解进行取舍． 先根据，将原方程化为；令，将方程转化为关于的一元二次方程，求解得，；根据绝对值的非负性，舍去；解，得，进而求出，． 【详解】解：原方程化为， 令，原方程化成， 解得：，， 当， ， 解得：，； 当时（舍去）． 则原方程的解是，． 【变式7-1】（24-25九年级上·江苏南京·月考）解方程 【答案】，． 【分析】本题考查了绝对值的意义，换元法解一元二次方程，当所给方程的指数较大，又有倍数关系时，可考虑用换元法降次求解，掌握相关知识是解题的关键． 原方程可化为，设，原方程可化为，求出方程的解，再求出即可． 【详解】解：原方程可化为， 设，原方程可化为， 解得，， 由，得，， 由，此时方程无解， ∴原方程的解为，． 【变式7-2】（25-26九年级上·重庆万州·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）分和两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可； （2）分和两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得或； 当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得或； 综上所述，原方程的解为或或； （2）解：当时，原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 当时，原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，原方程的解为或． 【变式7-3】阅读理解以下内容，解决问题 解方程：． 解：∵， ∴方程即为：， 设，原方程转化为： 解得，，， 当时，即，∴，； 当时，即，不成立． ∴综上所述，原方程的解是，． 以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）． (1)该题主要运用了以下哪些数学思想___________（多选）； A．方程思想           B．数形结合思想    C．整体思想 (2)已知方程：，若设，请利用“换元法”将原方程化为关于的方程； (3)仿照上述方法，解方程：． 【来源】广西壮族自治区南宁市高新区高新初级中学教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 【答案】(1)A，C (2) (3) 【分析】本题主要考查了换元法解方程， （1）根据题意可得运用了方程思想，整体思想； （2）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可； （3）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可． 解题的关键是运用整体思想-换元法解方程． 【详解】（1）解：由题意得，本题运用了整体思想和方程思想； 故选：A，C； （2）设， 则， 可化为：， 即， 故答案为：； （3）设，则， 原方程可化为：， 整理得， ， 或， 或， 当时，， ， ， 解得（经检验是此方程的解，符合题意）， 当时，（无解，不符合题意）， 检验，当时，左边右边， 是原方程的解， 故原方程的解为：． 巩固训练·通关检测 基础通关练 1.关于的一元二次方程的根是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】用直接开方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2．一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】B 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键 3． 方程的解是  【答案】， 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 解得，，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．解题的关键在于正确的运算．  ． 4． 用配方法解方程：； 【答案】， 【详解】解： 整理得：， ， 或 解得：，； 5．（1）解方程：； （2）用配方法解方程：． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了直接开平方、配方法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方、配方法是解题的关键． （1）直接开平方解一元二次方程即可； （2）配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 或， 解得，，； （2）解：， ， ， ， ∴， 解得，，． 6．配方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程； （1）利用配方法求解可得； （2）利用配方法求解可得． 解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 7．解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）. 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程，掌握解一元二次方程的配方法、公式法的一般步骤是解决本题的关键． （1）先把常数项移到等号的另一边，配方后利用直接开平方法求解； （2）先确定二次项、一次项系数及常数项，代入求根公式即可． 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， ． ． ， （2），，． ． ，． 8．用公式法解一元二次方程 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程公式法，先计算根的判别式的值，然后利用求根公式写出方程的解．熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 9．用公式法解方程 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法并结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先化为一般形式，再利用公式法解方程即可； （2）先化为一般形式，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 10．按要求解下列方程． (1)（用配方法解） (2)（用公式法解） 【答案】(1)，； (2)原方程无解 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）根据配方法即可求出答案； （2）根据公式法即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ，； （2）解：， ，，， ， 原方程无解； 11.用因式分解法解一元二次方程的解为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解： 或 解得或， 故答案为：或． 12解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) ， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法，公式法解一元二次方程是解本题的关键； （1）先把方程化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可； （2）先计算，再利用求根公式解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， ∴， 即， 则，； （2）， 则， ∴， 即 ，； 13．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)，． (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法．观察方程选择合适的方法求解即可． （1）化简方程，然后利用平方差公式计算即可． （2）运用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解： 化为： ， 移项得： ， 展开得：， 即， 则或， 解得：， （2） 因式分解为： 则或， 解得：， 14.下列一元二次方程最适合用因式分解来解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程根据解一元二次方程的方法直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适的方法，进行判断即可． 【详解】解：A. 适合用直接开平方法，符合题意； B. ，适合用因式分解法，符合题意； C. 适合用公式法，符合题意；     D. 适合用配方法法，符合题意； 故选：B． 15．请选择适当方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：“提公因式法、公式法”是解题的关键，（1）利用提公因式法即可得解；（2）利用公式法即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 重难突破练 1（25-26九年级上·江苏扬州·月考）解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 2.解方程； 【答案】(1)B (2)，，， 【分析】本题主要考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 设，则原方程化为，求出y，再求出x即可． 【详解】解：原方程变形为 设，那么，于是原方程可变为， 解得，． 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程有四个根，，，． 3．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，，， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，利用换元降次求解一元高次方程． （1）设，则原方程化为，进而求解； （2）设，则原方程化为，进而求解； （3）设，则原方程化为，进而求解； 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； （2）设，则原方程化为， 解得， 当时，，，，； 所以原方程的解为，； （3）. 设，则原方程化为， 解得， 当时，，， 解得：，； 当时，， 解得，； 所以原方程的解为，，0， 4.解方程． 【答案】 【分析】仿照例题，分与，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解． 【详解】当，即时， 原方程可化为： 整理得： 解得： 当，即时， 原方程可化为： 整理得 ∵ ∴此方程无实数解， 综上所述，原方程的解为： 【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键． 5．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），，，；（2），． 【分析】（1）根据阅读材料利用换元法降次，令，即原方程=，求解即可． （2）同理，令，即原方程=，求解即可． 【详解】（1）设， 得：， 解得：，． 当时，，解得：， 当时，，解得：，． ∴原方程的解为，，，． （2）设，则方程可变成， ∴， ，． 当时，，所以无解． 当时，， ∴， ∴，． 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键． 6.解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为____①____， 解得，． 当时，，；当时，，； 原方程有四个根：，，，． (1)①中填写的方程是________，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数x，y满足，求的值； (3)解方程． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）将原方程中的用代替，用y代替，即可解答； （2）设，方程可化为，求解n的值后根据进行取舍； （3）设，则原方程可化为：，求解得，，从而或，求解即可． 【详解】（1）∵设，那么， ∴原方程变形为． 故答案为：． （2）设， 原方程可化为， 解得： 即， ∵，， ∴． （3）， 设，则原方程可化为：， 解得：，， 当时，， 解得：，． 当时，，即， ∵， ∴该方程无解． ∴原方程的解为：，． 【点睛】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．读懂材料，理解换元法的转化思想是解题的关键． 7..阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设． 则原方程可转化为，即． ， ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程：； (3)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数：______ ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知等式设，得出，结合可得答案； （2）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案； （3）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． 【详解】（1）∵， 设， 则， （2）， ， 设，则， 或 或 （3）设最小数为，则， 即， 设，则， ∵为正整数， （舍去）， 这四个整数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，多项式的乘法，平方差公式，关键把代数式看作一个整体，通过换元求解． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $