第32讲 解三角形讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形专题，涵盖正余弦定理、面积公式、三角恒等变换、三角形形状判断及实际应用等核心考点，按“基础定理-性质拓展-综合应用-实际问题”逻辑架构知识体系，通过考情分析、知识清单梳理、典题精练（8大考点含考法与方法总结）、高考真题训练四环节，帮助学生系统构建解题框架。 讲义突出“边角互化”特色策略，如正弦定理化齐次式“边化角”、余弦定理处理平方关系“角化边”，结合三角恒等变换（如二倍角公式）与几何模型（如射影定理），培养数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念）。例如考点五中通过面积公式与余弦定理联立构造角的正切方程，高效突破综合题。设置分层练习与即时方法总结，保障复习效果，为教师精准把控节奏提供有力支撑。

第32讲 解三角形 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精讲 4 考点一：正弦定理的应用 4 考点二：余弦定理的应用 6 考点三：判断三角形的形状 7 考点四：三角形解的个数 9 考点五：正、余弦定理的综合应用 10 考点六：三角形中的面积与周长问题 13 考点七：倍角关系 15 考点八：解三角形的实际应用 15 四、高考真题 18 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第15题 解答 13分 直接 利用正余弦定理求角，结合面积公式求边长 2025 第11题 多选 6分 直接 正余弦定理、面积公式与三角恒等变换的综合应用 2025 第17题 解答 15分 间接 立体几何中利用余弦定理求空间角 2026 第16题 解答 15分 直接 正余弦定理在平面几何图形中的综合应用 近三年全国一卷对解三角形的考查比较稳定，每年均有涉及，且常以解答题或多选题的形式出现，分值占比较高.考查内容主要集中在正余弦定理、面积公式的综合应用，同时常与三角恒等变换或空间几何相结合. 2. 命题角度与特色 （1） 核心考点：重点考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，常涉及边角互化、求特定角或边长. （2） 命题趋势：命题逐渐向综合化方向发展，不仅在平面几何背景下考查，还常与三角恒等变换深度融合，或作为解决立体几何空间角问题的工具. （3） 试题特点：对代数变形能力和几何图形的分析能力要求较高，常需要通过添加辅助线或构建方程组来破局. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握正弦定理、余弦定理及面积公式的各种变形形式，做到边角互化灵活自如. （2） 强化三角恒等变换与解三角形的结合训练，特别注意二倍角公式、两角和差公式在化简过程中的应用. （3） 提升几何直观与图形分析能力，学会在复杂的平面图形或立体图形中剥离出基本的三角形模型进行求解. 二、知识清单 1. 基本定理公式 （1） 正余弦定理：在中，角，，所对的边分别是，，，为外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 ① ，，； ② ，，； ； ； ． （2） 面积公式： ① 基础公式：. ② 内切圆与外接圆相关：（是三角形内切圆的半径，并可由此计算，）. ③ 海伦公式：，其中为三角形的半周长. 2. 相关应用与性质拓展 （1） 正弦定理的应用 ① 边化角，角化边 . ② 大边对大角 大角对大边 . ③ 合分比：. （2） 内角和定理： ① . 同理有：，. ② . ③ 斜三角形中，. ④ ；. ⑤ 在中，内角，，成等差数列 ，. （3） 三角形形状的判定 ① 若，则角为锐角；若三角形三边均满足任意两边平方和大于第三边平方，则该三角形为锐角三角形. ② 若，则角为直角，该三角形为直角三角形. ③ 若，则角为钝角，该三角形为钝角三角形. 3. 三角形中的重要线段定理 （1） 射影定理：在中，；；. （2） 中线长定理（阿波罗尼斯定理）：若为边上的中线，则，即中线长. （3） 角平分线定理：若为的平分线，交于点，则. （4） 角平分线长公式：若为的平分线，交于点，则其长度满足，且有. 4. 实际应用 （1） 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）. （2） 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为（如图②）. （3） 方向角：相对于某一正方向的水平角. ① 北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向（如图③）. ② 北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向. ③ 南偏西等其他方向角类似. （4） 坡角与坡度 ① 坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角为坡角）. ② 坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，为坡度）.坡度又称为坡比. 三、典题精讲 考点一：正弦定理的应用 考法1：正弦定理求边长及比值 例1.（2026·湖南南雅中学·适应性训练）在锐角中，角，，的对边分别为，，，角，边长，则边长的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】由锐角三角形的条件，结合已知角的大小，可以求出角的取值范围.随后利用正弦定理将边长表示为关于角的三角函数，进而求出其取值范围. 【解析】∵为锐角三角形，角，∴，解得，∴.由正弦定理知，，∴.故选：A. 【规律】处理锐角三角形中的范围问题时，必须同时考虑三个内角均为锐角这一隐含条件，列出不等式组求出目标角的精确范围，再结合正弦定理进行边角转化. 考法2：正弦定理化简求角 例2.（2026·江苏栖霞区名校联盟·一模）在中，，，则的最短边与最长边之比为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】已知两个角的正切值，可利用两角和的正切公式求出第三个角的正切值，进而确定三个角的大小关系，明确最长边与最短边.最后利用正弦定理将边长之比转化为对应角的正弦值之比. 【解析】∵，，∴.又，∴，则.又，，∴，∴，则.又，解得.∴，即的最短边与最长边之比为.故选：C. 【规律】在已知三角函数值求边长比例时，正弦定理是核心工具.若已知正切值，需先通过同角三角函数关系求出正弦值，同时利用大角对大边定理准确定位最长边与最短边. 考法3：正弦定理与面积公式综合 例3.（2026·安徽皖江名校联盟·最后一卷）在中，角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【思路】第一问中的等式含有边和角的正弦值，优先考虑利用正弦定理将正弦值全部转化为边长，化简后即可得到余弦定理的形式，从而求出角.第二问在已知角和边的前提下求面积最大值，可利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值. 【解析】（1）在中，由正弦定理，得，整理得.由余弦定理，得.又，∴. （2）由（1）及余弦定理知，，故，等号成立当且仅当.即面积的最大值为. 【规律】“齐次式化边”是处理边角混合等式的常用技巧.在求三角形面积或周长的最值时，通常利用余弦定理构建关于边长的等式，再借助基本不等式求出两边乘积或两边之和的最值. 【考点一 方法总结】 1. 求解三角形的基本类型：已知两角及一边，直接利用正弦定理求解；已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理求解时需注意解的个数问题. 2. 边角互化原则：若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，进行“角化边”；若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，进行“边化角”. 3. 处理锐角三角形或钝角三角形中的范围问题时，必须同时考虑三个内角均为锐角或存在钝角这一隐含条件，列出不等式组求出目标角的精确范围，再结合正弦定理进行边角转化. 4. “齐次式化边”是处理边角混合等式的常用技巧.在求三角形面积或周长的最值时，通常利用正弦定理将边长转化为角，或利用余弦定理构建关于边长的等式，再借助基本不等式求出最值. 考点二：余弦定理的应用 考法4：余弦定理求边长 例4.（2026·山东潍坊·二模）在平面直角坐标系中，点，则的最大内角为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】题目给出了三个顶点的坐标，首先利用两点间距离公式求出三角形的三条边长.通过比较边长大小找出最大边，其对应的角即为最大内角，最后应用余弦定理求出该角的余弦值. 【解析】由两点间距离公式，，，.∵，∴最大边为，最大内角为.由余弦定理，.又，∴. 【规律】解析几何背景下的解三角形问题，核心是将坐标信息转化为边长信息.求非特殊角的度数时，常需将其拆分为两个特殊角的和或差，利用两角和差的余弦公式进行逆向匹配. 考法5：余弦定理求角 例5.（2026·安徽铜陵·模拟）在中，角，，的对边分别是，，，已知，. （1）已知为边上一点，，若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【思路】第一问中点在边上，将分为两个小三角形，利用互补角与的余弦值互为相反数，分别在两个小三角形中应用余弦定理列出方程即可求出边长.第二问已知，利用正弦定理化简可得到的值，再结合余弦定理建立关于边的方程. 【解析】（1）由题，设.∵，∴由余弦定理，，即，解得.∴.由余弦定理. （2）由正弦定理，且，得.又∵，，∴，()，∴.由余弦定理，得，解得或时，，∴由，，故矛盾，舍去.当时，，成立.故. 【规律】处理三角形内部线段问题时，“互补角余弦和为零”是构建方程的经典桥梁.遇到倍角条件时，正弦定理结合二倍角公式是求出单角三角函数值的标准流程，求解后务必检验是否符合三角形内角和定理. 考法6：余弦定理与面积公式综合 例6.（2026·浙江嘉兴·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的面积为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】已知条件具有明显的余弦定理结构特征，通过移项变形可直接求出角的余弦值.随后结合条件，代入三角形面积公式即可求解. 【解析】中，由，得.由余弦定理，，得.又，∴. 【规律】遇到包含边长平方和的等式时，应敏锐地将其向余弦定理的形式转化，从而快速锁定对应角的余弦值.面积公式与余弦定理的联立是求解边角综合题的基础模型. 【考点二 方法总结】 1. 求解三角形的基本类型：已知两边一夹角，直接利用余弦定理求第三边；已知三边求角，直接利用余弦定理的推论求角的余弦值. 2. 边角互化原则：若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，进行“角化边”. 3. 解析几何背景下的解三角形问题，核心是将坐标信息转化为边长信息.求非特殊角的度数时，常需将其拆分为两个特殊角的和或差，利用两角和差的余弦公式进行逆向匹配. 4. 处理三角形内部线段问题时，“互补角余弦和为零”是构建方程的经典桥梁. 5. 遇到包含边长平方和的等式时，应敏锐地将其向余弦定理的形式转化，从而快速锁定对应角的余弦值.面积公式与余弦定理的联立是求解边角综合题的基础模型. 考点三：判断三角形的形状 考法7：利用正余弦定理边角互化判断形状 例7.（2026·浙江温州·一模）（多选）在中，角所对的三条边分别为，则是等腰三角形的充分条件是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【思路】判断三角形形状的充分条件，需将各个选项中的等式统一化为边长关系或角度关系.利用正弦定理将边化角，或利用余弦定理将角化边，注意在三角函数变形时要全面考虑各种可能的情况，避免漏解. 【解析】选项A，根据正弦定理（为三角形外接圆半径），∵，∴，∴是等腰三角形，因此能充分推出是等腰三角形，所以A正确.选项B，根据正弦定理得，，又，则，整理为，则有，即，可得等腰三角形，或者，即，可得是直角三角形，但不一定是等腰三角形，因此不能充分推出是等腰三角形，所以B错误.选项C，根据正弦定理得，，又，则，整理为，则有，即，可得是等腰三角形，因此能充分推出等腰三角形，所以C正确.选项D，根据正弦定理得，，又，即，则，整理为，又由余弦定理得，，∴，即，整理得，则，即，∴，而，∴，即，∴是等腰三角形，因此能充分推出是等腰三角形，所以D正确.故选：ACD. 【规律】在判断三角形形状时，若采用化角法，得出时，必须考虑或两种情况；若采用化边法，需熟练运用因式分解提取公因式，从而得出边长相等的结论. 【考点三 方法总结】 1. 判断三角形形状的方法：利用正弦定理将边化角，或利用余弦定理将角化边. 2. 已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值： （1） 若余弦值大于0，则为锐角三角形. （2） 若余弦值等于0，则为直角三角形. （3） 若余弦值小于0，则为钝角三角形. 3. 在判断三角形形状时，若采用化角法，得出时，必须考虑或两种情况；若采用化边法，需熟练运用因式分解提取公因式，从而得出边长相等的结论. 考点四：三角形解的个数 考法8：判断三角形解的个数或唯一性 例8.（2026·湖北随州·三模）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，下列各组条件中，能使得存在且唯一的是（ 　　） A. ，，外接圆的半径为 B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】AD 【思路】判断三角形是否唯一存在，需逐一分析各选项给定的条件.可利用正弦定理求出边长或角的正弦值，结合“大边对大角”原则判断是否有两解；或利用余弦定理构建关于未知边的一元二次方程，通过方程正根的个数来判定. 【解析】对A：由正弦定理可得，则，，，则，故存在且唯一，故A正确.对B：由，故，又，则，故不存在这样的，故B错误.对C：由正弦定理可得，，又，则，此时有两解，故C错误.对D：由余弦定理可得，故唯一确定，即该三角形三边确定，故存在且唯一，故D正确. 【规律】已知两边及其中一边的对角（如已知）解三角形时，若且为锐角，需计算与的大小关系：若则一解，若则两解.也可统一使用余弦定理列方程，通过判别式判断解的个数. 考法9：根据解的个数求参数或边长范围 例9.在中，，，若该三角形有两个解，则边范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】已知两边及其中一边的对角时，三角形解的个数取决于已知对边与另一边在对应高线上的投影关系.根据“两解”的几何条件，直接列出关于边长的不等式即可求解. 【解析】∵三角形有两个解，∴，∴，∴.故选：D. 【规律】“已知求三角形解的个数”有固定的代数判定法则：当为锐角时，若产生两解，必须满足（此处题目已知的是，对应条件为）.熟记此结论可实现秒杀. 【考点四 方法总结】 1. 在中，已知和时，解的情况如下： （1） 当为锐角时：若，一解；若，两解；若，一解；若，无解. （2） 当为钝角或直角时：若，一解；若，无解. 2. “已知求三角形解的个数”有固定的代数判定法则：当为锐角时，若产生两解，必须满足（若已知的是，对应条件为）.也可统一使用余弦定理列方程，通过判别式判断解的个数. 考点五：正、余弦定理的综合应用 考法10：正余弦定理边角互化求值与求角 例10.（2026·河南新未来·5月测评）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】题目给出的等式是关于边长的齐次式，要求的是正弦值的乘积.可先利用正弦定理将边长关系转化为正弦值的平方关系，再利用余弦定理将展开，从而建立起与已知条件之间的联系. 【解析】依题意，由正弦定理得，，∴.由余弦定理可得，，即，∴，即，∴.故选B. 【规律】处理边角混合问题时，若已知某角的余弦值及三边平方的线性关系，通常采用“双管齐下”的策略：一方面用正弦定理将边化为正弦值，另一方面用余弦定理展开平方项，两者结合即可解出目标代数式. 考法11：正余弦定理结合三角恒等变换 例11.（2026·湖南天壹名校联盟·4月质量检测）设的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】已知等式极为复杂，需先对其两边平方，利用三角恒等变换（如降幂公式、和差化积等）将其化简，目标是提取出的值.随后结合三角形面积公式与正弦定理，求出外接圆半径，最终得出三边之积. 【解析】由得，整理得，∴，整理得，则，∴，即，∴，则.设外接圆的半径为，由正弦定理得，，，，∴，解得.则.故选B. 【规律】在高级解三角形问题中，常通过和差化积转化为.此外，牢记面积公式的拓展形式和体积公式，可大幅简化运算. 考法12：正余弦定理结合几何性质 例12.（2026·湖北省新八校·二模）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（ 　　） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【思路】题目给出了两个条件，第一个条件通过正弦定理化边为角，可直接得出角与角的关系；第二个条件将面积与边长平方和联系起来，利用面积公式和余弦定理展开化简，即可求出角的大小，进而判定三角形形状. 【解析】中，由可得，从而.利用余弦定理和面积公式可将化为，∴，从而，故是等边三角形.故选C. 【规律】遇到与边长平方和（如）的线性组合时，标准处理手法是将替换为，将平方和替换为，从而直接构造出关于角的正切方程. 考法13：正余弦定理结合代数最值与范围 例13.（2026·八省八校T8联考·4月联合测评）在锐角三角形中，角所对的边分别为，且， （1）求角的取值范围； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【思路】第一问将已知等式利用正弦定理全部转化为角的正弦和余弦，通过三角恒等变换得出角与角的倍数关系，再结合锐角三角形的隐含条件求出角的范围.第二问将目标式化为角的三角函数，利用换元法转化为二次函数在闭区间上的最值问题. 【解析】（1）由正弦定理得，∴.∵为锐角三角形，∴，∴，∴，即.∴.又，即，解得.∴，∴，即，∴角的取值范围为. （2）由正弦定理得.∵，∴.令，则.∴在上单调递增.当时，.当时，.∴的取值范围为. 【规律】在解三角形中求代数式的取值范围，核心思想是“统一变量”.通常利用正弦定理将边长转化为角，再通过三角恒等变换化为单一角的三角函数，最后结合二次函数或基本不等式求出范围.注意锐角三角形对每个内角的限制. 考法14：正余弦定理与其他知识交汇 例14.（2026·江苏南通·第一次调研）在中，角，，对应边分别是．已知成等差数列，且． （1）求的值； （2）若的外接圆半径为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【思路】第一问由等差数列的性质得到三边的加法关系，再由正弦定理将角的正弦关系转化为边的乘法关系，联立后可将三边统一用其中一边表示，最后代入余弦定理求值.第二问利用正弦定理结合外接圆半径求出具体边长，再代入面积公式计算. 【解析】（1）∵成等差数列，∴.∵，由正弦定理可得，将其代入，可得.由余弦定理可得. （2）∵，且，∴.设的外接圆半径为，则.由正弦定理可得，则.∴的面积. 【规律】当解三角形与数列交汇时，等差中项或等比中项公式是破题的切入点.通过正弦定理将条件全部转化为边长比例，设出比例系数（或用同一字母表示），即可在余弦定理中消元求出角的余弦值. 【考点五 方法总结】 1. 代数变形或者三角恒等变换前置：处理边角混合问题时，若已知某角的余弦值及三边平方的线性关系，通常采用“双管齐下”的策略，一方面用正弦定理将边化为正弦值，另一方面用余弦定理展开平方项. 2. 含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用.遇到面积与边长平方和（如）的线性组合时，标准处理手法是将替换为，将平方和替换为，从而直接构造出关于角的正切方程. 3. 同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.在高级解三角形问题中，常通过和差化积转化为. 4. 在解三角形中求代数式的取值范围，核心思想是“统一变量”.通常利用正弦定理将边长转化为角，再通过三角恒等变换化为单一角的三角函数，最后结合二次函数或基本不等式求出范围. 5. 当解三角形与数列交汇时，等差中项或等比中项公式是破题的切入点.通过正弦定理将条件全部转化为边长比例，设出比例系数，即可在余弦定理中消元求出角的余弦值. 考点六：三角形中的面积与周长问题 考法15：三角形面积的计算与最值 例15.（2026·浙江强基联盟·5月题库）在中，内角的对边分别是，且，则的面积为__． 【答案】 【思路】已知两边及两角的关系，首选正弦定理建立等式，利用二倍角公式展开后可求出角的余弦值.随后通过同角三角函数关系和两角和的正弦公式求出角的正弦值，最后代入面积公式求解. 【解析】得，解得，∴，.∴. 【规律】遇到这类倍角条件时，正弦定理是标配操作，展开后可直接得到.求第三角的正弦值时，务必使用进行展开. 考法16：三角形周长的计算与最值 例16.（2026·安徽阜阳·一模）在锐角中，角所对的边分别是，已知． （1）求； （2）记的面积为，周长为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【思路】第一问将已知等式括号内的分母利用正弦定理转化为正弦值，通分化简后可求出角.第二问要求面积与周长比值的范围，先利用余弦定理将面积转化为含边长之和的式子，再利用正弦定理将边长之和转化为关于角的三角函数，最后根据锐角三角形求出范围. 【解析】（1）由正弦定理得：.又，∴.又为锐角三角形，∴. （2）由余弦定理可知，，即，∴.由正弦定理得，又，∴.又，∴，可得，则. 【规律】处理三角形周长或面积的范围问题，最有效的方法是“角化”，即利用正弦定理将所有边长表示为外接圆直径与对应角正弦的乘积，化简为一个角的三角函数，再根据内角范围求值域. 【考点六 方法总结】 1. 遇到这类倍角条件时，正弦定理是标配操作，展开后可直接得到.求第三角的正弦值时，务必使用进行展开. 2. 处理三角形周长或面积的范围问题，最有效的方法是“角化”，即利用正弦定理将所有边长表示为外接圆直径与对应角正弦的乘积，化简为一个角的三角函数，再根据内角范围求值域. 考点七：倍角关系 考法17：倍角关系下的解三角形综合 例17.记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【思路】第一问利用正弦定理将边转化为角的正弦，展开后通过和差化积公式提取出角之间的关系.第二问利用余弦定理将第一问的条件转化为边长关系，结合已知边长解出三边，最后判断三角形形状并求面积. 【解析】（1）证明：由及正弦定理得：，整理得.∵，∴，∴或，∴或(舍)，∴. （2）由及余弦定理得：，整理得.又∵，可解得，则，∴是直角三角形，∴的面积为. 【规律】证明倍角关系时，通常利用正弦定理化边为角，构造出的形式.在求具体边长时，余弦定理的代数变形（如化简得到）是必不可少的步骤. 【考点七 方法总结】 1. 证明倍角关系时，通常利用正弦定理化边为角，构造出的形式. 2. 在求具体边长时，余弦定理的代数变形（如化简得到）是必不可少的步骤. 考点八：解三角形的实际应用 考法18：测量距离与高度问题 例18.（2026·广东东莞·二模）（多选）某数学建模活动小组为了测量山脚下两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中与水平面垂直．在已知山高的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定两点间距离的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】AD 【思路】本题考查空间几何背景下的测量问题.要唯一确定两点间的距离，必须在中已知两边及夹角，或在中已知两边及夹角.逐一分析各选项提供的角度能否推导出所需条件. 【解析】∵（山高已知），平面，平面，因此，∴、均为直角三角形.选项A：若测得，在直角三角形中可得：，；同理，.在中，长度已计算得到，夹角已测量，由余弦定理可唯一计算出，因此A符合要求.选项B：举反例，若假设已测量，∴直角三角形中有：.设，则在直角三角形中，.在中：①；在中：②.联立①②消去后，得，即，得，解得或.当时，代入①得；当时，代入①得，即.因此测得，不能确定有唯一的长度，故B错误.选项C：与选项B同理：只需把角换成，∴不能确定有唯一的长度，故C错误.选项D：若已测量，可直接算出，，长度都确定，又已测得夹角，在中由余弦定理可唯一计算出，因此D符合要求.故选：AD. 【规律】实际测量问题中，判断边长是否唯一，本质上是判断解三角形是否唯一.在立体图形中，需先利用垂直关系在直角三角形中求出相关线段，再将其转移到目标三角形中应用余弦定理. 考法19：航海与方位角问题 例19.（2026·江苏南京师范大学附属中学等校·模拟）制造一个三角形支架（如图），要求，的长度大于米，且比长米，为了增加稳定性，要求尽可能短，则最短为（ 　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【思路】题目要求某条边最短，可设出各边长，利用余弦定理建立边长之间的代数关系式.将目标边长表示为另一边长的函数，利用导数工具求出该函数的极小值，即为最短长度. 【解析】设的长度为米，的长度为米，则的长度为米.∵，根据余弦定理可得，代入可得，化简可得，即.设函数，求导可得.令，可得，即，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此的极小值为，即最短为米. 【规律】解三角形与函数导数的综合题，关键在于利用余弦定理构建目标变量的显式解析式.对于形如的函数，除了使用导数外，也可通过分离常数后利用基本不等式快速求最值. 【考点八 方法总结】 1. 实际测量问题中，判断边长是否唯一，本质上是判断解三角形是否唯一.在立体图形中，需先利用垂直关系在直角三角形中求出相关线段，再将其转移到目标三角形中应用余弦定理. 2. 解三角形与函数导数的综合题，关键在于利用余弦定理构建目标变量的显式解析式.对于形如的函数，除了使用导数外，也可通过分离常数后利用基本不等式快速求最值. 四、高考真题 1.（2025·全国一卷）（多选）已知的面积为，若，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】对由二倍角公式，，整理可得，，A选项正确.由诱导公式，，展开可得，即.若，则，可知等式成立.若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，又，，于是，与条件不符，则不成立.若，类似可推导出，则不成立.综上讨论可知，，即.由，由，则，即，则，同理.注意到是锐角，则，不妨设，则，，即，.由两角和差的正弦公式可知，C选项正确.由两角和的正切公式可得，.设，，则.由，则，则.于是，B选项正确.由勾股定理可知，，D选项错误.故选：ABC. 2.（2024·全国一卷）记内角、、的对边分别为，，，已知， （1）求； （2）若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由余弦定理有，对比已知，可得.∵，∴，从而.又∵，即，注意到，∴. （2）由（1）可得，，，从而，.而.由正弦定理有，从而，.由三角形面积公式可知，的面积可表示为.由已知的面积为，可得，∴. 3.（2026·全国一卷）已知在中，，，． （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）在中，由余弦定理得：.∴.∵，∴为等腰三角形，.∴. （2）∵，∴，.又，∴，∴为等腰三角形，.过点作于点，则.在Rt中，，∴.∴.∵，∴.在Rt中，由勾股定理得：. 4.（2025·全国一卷）如图所示的四棱锥中，平面，，． （1）证明：平面平面； （2），，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ii）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析 （ii） 【解析】（1）在四棱锥中，平面，，平面，平面，∴，.∵平面，平面，，∴平面.∵平面，∴平面平面. （2）（i）∵，，，在同一个球面上，∴球心到四个点的距离相等.在中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心，作出和的垂直平分线， 由几何知识得，，，，.∴，∴点是的外心.在Rt中，，，由勾股定理得，.∴，∴点即为点，，，所在球的球心.此时点在线段上，平面，∴点在平面上. （ii）由几何知识得，，，，∴.在Rt中，，，由勾股定理得，.过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角.∵平面，平面，，∴.在Rt中，，，由勾股定理得，.在Rt中，，由勾股定理得，.在中，由余弦定理得，，即：，解得：.∴直线与直线所成角的余弦值为：. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第32讲 解三角形 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精练 4 考点一：正弦定理的应用 4 考点二：余弦定理的应用 4 考点三：判断三角形的形状 5 考点四：三角形解的个数 6 考点五：正、余弦定理的综合应用 6 考点六：三角形中的面积与周长问题 8 考点七：倍角关系 8 考点八：解三角形的实际应用 9 四、高考真题 10 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第15题 解答 13分 直接 利用正余弦定理求角，结合面积公式求边长 2025 第11题 多选 6分 直接 正余弦定理、面积公式与三角恒等变换的综合应用 2025 第17题 解答 15分 间接 立体几何中利用余弦定理求空间角 2026 第16题 解答 15分 直接 正余弦定理在平面几何图形中的综合应用 近三年全国一卷对解三角形的考查比较稳定，每年均有涉及，且常以解答题或多选题的形式出现，分值占比较高.考查内容主要集中在正余弦定理、面积公式的综合应用，同时常与三角恒等变换或空间几何相结合. 2. 命题角度与特色 （1） 核心考点：重点考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，常涉及边角互化、求特定角或边长. （2） 命题趋势：命题逐渐向综合化方向发展，不仅在平面几何背景下考查，还常与三角恒等变换深度融合，或作为解决立体几何空间角问题的工具. （3） 试题特点：对代数变形能力和几何图形的分析能力要求较高，常需要通过添加辅助线或构建方程组来破局. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握正弦定理、余弦定理及面积公式的各种变形形式，做到边角互化灵活自如. （2） 强化三角恒等变换与解三角形的结合训练，特别注意二倍角公式、两角和差公式在化简过程中的应用. （3） 提升几何直观与图形分析能力，学会在复杂的平面图形或立体图形中剥离出基本的三角形模型进行求解. 二、知识清单 1. 基本定理公式 （1） 正余弦定理：在中，角，，所对的边分别是，，，为外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 ① ，，； ② ，，； ； ； ． （2） 面积公式： ① 基础公式：. ② 内切圆与外接圆相关：（是三角形内切圆的半径，并可由此计算，）. ③ 海伦公式：，其中为三角形的半周长. 2. 相关应用与性质拓展 （1） 正弦定理的应用 ① 边化角，角化边 . ② 大边对大角 大角对大边 . ③ 合分比：. （2） 内角和定理： ① . 同理有：，. ② . ③ 斜三角形中，. ④ ；. ⑤ 在中，内角，，成等差数列 ，. （3） 三角形形状的判定 ① 若，则角为锐角；若三角形三边均满足任意两边平方和大于第三边平方，则该三角形为锐角三角形. ② 若，则角为直角，该三角形为直角三角形. ③ 若，则角为钝角，该三角形为钝角三角形. 3. 三角形中的重要线段定理 （1） 射影定理：在中，；；. （2） 中线长定理（阿波罗尼斯定理）：若为边上的中线，则，即中线长. （3） 角平分线定理：若为的平分线，交于点，则. （4） 角平分线长公式：若为的平分线，交于点，则其长度满足，且有. 4. 实际应用 （1） 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）. （2） 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为（如图②）. （3） 方向角：相对于某一正方向的水平角. ① 北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向（如图③）. ② 北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向. ③ 南偏西等其他方向角类似. （4） 坡角与坡度 ① 坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角为坡角）. ② 坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，为坡度）.坡度又称为坡比. 三、典题精练 考点一：正弦定理的应用 考法1：正弦定理求边长及比值 例1.（2026·湖南南雅中学·适应性训练）在锐角中，角，，的对边分别为，，，角，边长，则边长的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 考法2：正弦定理化简求角 例2.（2026·江苏栖霞区名校联盟·一模）在中，，，则的最短边与最长边之比为（ 　　） A. B. C. D. 考法3：正弦定理与面积公式综合 例3.（2026·安徽皖江名校联盟·最后一卷）在中，角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值. 【考点一 方法总结】 1. 求解三角形的基本类型：已知两角及一边，直接利用正弦定理求解；已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理求解时需注意解的个数问题. 2. 边角互化原则：若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，进行“角化边”；若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，进行“边化角”. 3. 处理锐角三角形或钝角三角形中的范围问题时，必须同时考虑三个内角均为锐角或存在钝角这一隐含条件，列出不等式组求出目标角的精确范围，再结合正弦定理进行边角转化. 4. “齐次式化边”是处理边角混合等式的常用技巧.在求三角形面积或周长的最值时，通常利用正弦定理将边长转化为角，或利用余弦定理构建关于边长的等式，再借助基本不等式求出最值. 考点二：余弦定理的应用 考法4：余弦定理求边长 例4.（2026·山东潍坊·二模）在平面直角坐标系中，点，则的最大内角为（ 　　） A. B. C. D. 考法5：余弦定理求角 例5.（2026·安徽铜陵·模拟）在中，角，，的对边分别是，，，已知，. （1）已知为边上一点，，若，求的值； （2）若，求的值. 考法6：余弦定理与面积公式综合 例6.（2026·浙江嘉兴·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的面积为（ 　　） A. B. C. D. 【考点二 方法总结】 1. 求解三角形的基本类型：已知两边一夹角，直接利用余弦定理求第三边；已知三边求角，直接利用余弦定理的推论求角的余弦值. 2. 边角互化原则：若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，进行“角化边”. 3. 解析几何背景下的解三角形问题，核心是将坐标信息转化为边长信息.求非特殊角的度数时，常需将其拆分为两个特殊角的和或差，利用两角和差的余弦公式进行逆向匹配. 4. 处理三角形内部线段问题时，“互补角余弦和为零”是构建方程的经典桥梁. 5. 遇到包含边长平方和的等式时，应敏锐地将其向余弦定理的形式转化，从而快速锁定对应角的余弦值.面积公式与余弦定理的联立是求解边角综合题的基础模型. 考点三：判断三角形的形状 考法7：利用正余弦定理边角互化判断形状 例7.（2026·浙江温州·一模）（多选）在中，角所对的三条边分别为，则是等腰三角形的充分条件是（ 　　） A. B. C. D. 【考点三 方法总结】 1. 判断三角形形状的方法：利用正弦定理将边化角，或利用余弦定理将角化边. 2. 已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值： （1） 若余弦值大于0，则为锐角三角形. （2） 若余弦值等于0，则为直角三角形. （3） 若余弦值小于0，则为钝角三角形. 3. 在判断三角形形状时，若采用化角法，得出时，必须考虑或两种情况；若采用化边法，需熟练运用因式分解提取公因式，从而得出边长相等的结论. 考点四：三角形解的个数 考法8：判断三角形解的个数或唯一性 例8.（2026·湖北随州·三模）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，下列各组条件中，能使得存在且唯一的是（ 　　） A. ，，外接圆的半径为 B. ，， C. ，， D. ，， 考法9：根据解的个数求参数或边长范围 例9.在中，，，若该三角形有两个解，则边范围是（ 　　） A. B. C. D. 【考点四 方法总结】 1. 在中，已知和时，解的情况如下： （1） 当为锐角时：若，一解；若，两解；若，一解；若，无解. （2） 当为钝角或直角时：若，一解；若，无解. 2. “已知求三角形解的个数”有固定的代数判定法则：当为锐角时，若产生两解，必须满足（若已知的是，对应条件为）.也可统一使用余弦定理列方程，通过判别式判断解的个数. 考点五：正、余弦定理的综合应用 考法10：正余弦定理边角互化求值与求角 例10.（2026·河南新未来·5月测评）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（ 　　） A. B. C. D. 考法11：正余弦定理结合三角恒等变换 例11.（2026·湖南天壹名校联盟·4月质量检测）设的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，则（ 　　） A. B. C. D. 考法12：正余弦定理结合几何性质 例12.（2026·湖北省新八校·二模）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（ 　　） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 考法13：正余弦定理结合代数最值与范围 例13.（2026·八省八校T8联考·4月联合测评）在锐角三角形中，角所对的边分别为，且， （1）求角的取值范围； （2）求的取值范围. 考法14：正余弦定理与其他知识交汇 例14.（2026·江苏南通·第一次调研）在中，角，，对应边分别是．已知成等差数列，且． （1）求的值； （2）若的外接圆半径为，求的面积． 【考点五 方法总结】 1. 代数变形或者三角恒等变换前置：处理边角混合问题时，若已知某角的余弦值及三边平方的线性关系，通常采用“双管齐下”的策略，一方面用正弦定理将边化为正弦值，另一方面用余弦定理展开平方项. 2. 含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用.遇到面积与边长平方和（如）的线性组合时，标准处理手法是将替换为，将平方和替换为，从而直接构造出关于角的正切方程. 3. 同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.在高级解三角形问题中，常通过和差化积转化为. 4. 在解三角形中求代数式的取值范围，核心思想是“统一变量”.通常利用正弦定理将边长转化为角，再通过三角恒等变换化为单一角的三角函数，最后结合二次函数或基本不等式求出范围. 5. 当解三角形与数列交汇时，等差中项或等比中项公式是破题的切入点.通过正弦定理将条件全部转化为边长比例，设出比例系数，即可在余弦定理中消元求出角的余弦值. 考点六：三角形中的面积与周长问题 考法15：三角形面积的计算与最值 例15.（2026·浙江强基联盟·5月题库）在中，内角的对边分别是，且，则的面积为__． 考法16：三角形周长的计算与最值 例16.（2026·安徽阜阳·一模）在锐角中，角所对的边分别是，已知． （1）求； （2）记的面积为，周长为，求的取值范围． 【考点六 方法总结】 1. 遇到这类倍角条件时，正弦定理是标配操作，展开后可直接得到.求第三角的正弦值时，务必使用进行展开. 2. 处理三角形周长或面积的范围问题，最有效的方法是“角化”，即利用正弦定理将所有边长表示为外接圆直径与对应角正弦的乘积，化简为一个角的三角函数，再根据内角范围求值域. 考点七：倍角关系 考法17：倍角关系下的解三角形综合 例17.记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求的面积． 【考点七 方法总结】 1. 证明倍角关系时，通常利用正弦定理化边为角，构造出的形式. 2. 在求具体边长时，余弦定理的代数变形（如化简得到）是必不可少的步骤. 考点八：解三角形的实际应用 考法18：测量距离与高度问题 例18.（2026·广东东莞·二模）（多选）某数学建模活动小组为了测量山脚下两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中与水平面垂直．在已知山高的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定两点间距离的是（ 　　） A. B. C. D. 考法19：航海与方位角问题 例19.（2026·江苏南京师范大学附属中学等校·模拟）制造一个三角形支架（如图），要求，的长度大于米，且比长米，为了增加稳定性，要求尽可能短，则最短为（ 　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【考点八 方法总结】 1. 实际测量问题中，判断边长是否唯一，本质上是判断解三角形是否唯一.在立体图形中，需先利用垂直关系在直角三角形中求出相关线段，再将其转移到目标三角形中应用余弦定理. 2. 解三角形与函数导数的综合题，关键在于利用余弦定理构建目标变量的显式解析式.对于形如的函数，除了使用导数外，也可通过分离常数后利用基本不等式快速求最值. 四、高考真题 1.（2025·全国一卷）（多选）已知的面积为，若，，则（ 　　） A. B. C. D. 2.（2024·全国一卷）记内角、、的对边分别为，，，已知， （1）求； （2）若的面积为，求． 3.（2026·全国一卷）已知在中，，，． （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 4.（2025·全国一卷）如图所示的四棱锥中，平面，，． （1）证明：平面平面； （2），，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ii）求直线与直线所成角的余弦值． 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $