第29讲 三角恒等变换 讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角恒等变换核心考点，涵盖两角和差公式、二倍角公式、辅助角公式等，按公式内在逻辑与考频分层梳理知识清单。通过考点精讲、方法总结、典题精练、真题演练四环节，帮助学生突破公式逆用、角的变换等难点，构建系统复习框架。 讲义采用“技巧提炼-分层突破”教学策略，如在给值求值考点中设计“凑角”专项训练，引导学生用数学思维分析角度关系，通过切化弦、降幂扩角等技巧培养运算能力。设置基础到综合分层练习，结合高考真题即时反馈，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第29讲 三角恒等变换 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精练 4 考点一：两角和与差的三角函数公式及其变形 4 考点二：给角求值 5 考点三：给值求值与角的变换 5 考点四：给值求角 6 考点五：正切恒等式及求非特殊角 7 考点六：三角恒等变换的综合应用 7 四、高考真题 8 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第4题 单选 5分 直接 两角和与差的余弦公式、同角三角函数基本关系的应用 2024 第15题 解答 13分 间接 在解三角形中运用两角和的正弦公式求正弦值 2025 第11题 多选 6分 间接 在解三角形中综合运用二倍角公式、两角和差公式进行推导 2025 第19题 解答 17分 间接 在研究函数最值与证明三角不等式中，运用二倍角公式及和差角公式进行化简变形 2026 第16题 解答 15分 间接 在解三角形中运用二倍角余弦公式求值 近三年全国一卷对三角恒等变换的考查较为稳定，既有直接考查公式变形的客观题，也有将其作为核心工具融入解三角形、导数与不等式等解答题中的间接考查，整体呈现出基础与综合并重的特点. 2. 命题角度与特色 （1） 核心考点：重点考查两角和与差的正余弦公式、二倍角公式以及同角三角函数基本关系. （2） 命题趋势：单纯考查三角恒等变换的客观题依然存在，但更多地是作为一种核心工具，与解三角形、三角函数性质、导数与不等式等知识深度融合，在解答题中进行综合考查. （3） 试题特点：对公式的熟练度要求极高，不仅要求正用，还强调逆用和变形应用（如切化弦、降幂扩角等），在复杂代数变形中考验学生的运算求解能力. 3. 备考策略 （1） 熟练记忆并掌握两角和差公式、二倍角公式及辅助角公式，深刻理解公式间的内在联系，做到正用、逆用、变形用自如. （2） 强化“凑角”与“化归”思想的训练，在面对复杂三角式时，能敏锐捕捉角度之间的和差倍半关系，灵活运用“切化弦”“升幂降角”等技巧. （3） 注重三角恒等变换与解三角形、导数等板块的交汇训练，提升在综合问题中准确、快速进行三角代数变形的能力. 二、知识清单 1. 两角和与差的正余弦与正切 （1） . （2） . （3） . 2. 二倍角公式 （1） . （2） . （3） . 3. 降次（幂）公式 （1） . （2） . （3） . 4. 半角公式 （1） . （2） . （3） . 5. 辅助角公式 （其中 ，，）. 6. 两角和与差正切公式变形 （1） . （2） . 7. 降幂公式与升幂公式 （1） ；；. （2） ；；；. 8. 其他常用变式 （1） . （2） . （3） . 9. 万能公式 （1） . （2） . （3） . 10. 三倍角公式 （1） . （2） . （3） . 11. 积化和差与和差化积公式 （1） 积化和差： ① . ② . ③ . ④ . （2） 和差化积： ① . ② . ③ . ④ . 【易错提醒】 1. 在使用半角公式 和 时，根号前的正负号由角 所在的象限决定，切忌盲目取正或漏掉符号讨论. 2. 在使用两角和与差的正切公式 时，必须保证 、 以及 都不等于 （）.若存在等于 的情况，需改用诱导公式或化切为弦处理. 3. 在使用辅助角公式 时，辅助角 的终边所在象限必须由点 的坐标符号唯一确定，即满足 且 ，不可仅凭 草率判断. 三、典题精练 考点一：两角和与差的三角函数公式及其变形 考法1：利用和差角与倍角公式展开化简 例1.（2026·沧州十二校·一模）（多选）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 考法2：逆用和差角公式与辅助角公式 例2.（2026·皖江名校·模考）已知，且，则（ 　　） A. B. C. D. 考法3：公式的变形与综合应用 例3.（2026·德州·二模）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【考点一 方法总结】 1. 处理涉及两角和差及乘积的综合判断题，核心在于“知二求一”：利用和差角公式将未知量（如正弦乘积）解出.在求正切乘积或二倍角乘积时，统一转化为正弦与余弦的乘积形式进行代入计算. 2. 遇到正弦与余弦的混合等式且目标为正切时，若等式两端均为一次齐次式，直接同除以余弦的乘积即可快速转化为正切的代数方程，进而利用整体代换求出目标式. 3. 处理多项三角函数求和为零的问题，通常需要寻找角度之间的特殊关系（如互余、互补或差为特殊角）.通过展开并合并同类项，最终化简为的形式，进而求出正切值. 考点二：给角求值 考法4：非特殊角的化简求值 例4.式子化简的结果为（ 　　） A. B. C. D. 考法5：切化弦与弦化切技巧求值 例5.若，则实数的值为（ 　　） A. B. C. D. 【考点二 方法总结】 1. 非特殊角的化简求值题，核心思想是“消角”.常见手段包括：利用二倍角公式升角或降角、利用辅助角公式合并同名函数、利用诱导公式统一角度.最终目标是使分子分母出现相同的项以实现约分. 2. 在三角恒等变换中，“切化弦”是处理正切与正余弦混合式的首选策略.通分后，分子常会出现的形式，此时提取逆用和差角公式是化简的标准化流程. 考点三：给值求值与角的变换 考法6：利用同角关系与诱导公式求值 例6.（2026·临泉田家炳·二模）若，则（ 　　） A. B. C. D. 考法7：利用和差角与倍角公式求值 例7.（2024·深圳高级·二诊）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 考法8：齐次式化简求值 例8.（2026·滁州·一模）若，则（ 　　） A. B. C. D. 考法9：角的变换与凑角技巧求值 例9.（2026·青岛·二模）已知角的终边不重合，且，则___. 【考点三 方法总结】 1. “知和差求积”或“知积求和差”是同角三角函数关系的经典考法.核心公式为.在开方求时，务必根据给定角的范围严格判定符号，避免增根或漏解. 2. 处理正切比值或乘积问题时，将其转化为正弦与余弦的表达式是通用方法.通过和差角公式的展开式，可以建立正余弦交叉乘积项与整体和差值之间的代数联系，实现未知向已知的转化. 3. 当条件等式中同时出现与时，平方法是建立两者联系的唯一桥梁.平方后务必检验所得结果是否在三角函数的值域范围内，及时舍去无效解. 4. 遇到的对称结构时，移项并利用辅助角公式化为是标准动作.随后需根据正弦相等的性质（两角相等或互补）结合题目限制条件（如终边不重合）确定角的关系. 5. 拆分角问题的构造技巧： （1） ；. （2） . （3） . （4） . （5） . 考点四：给值求角 考法10：常规给值求角 例10.已知，且，则的值是__． 考法11：结合凑角技巧求角 例11.若为锐角，，则角__． 【考点四 方法总结】 1. 给值求角问题的标准步骤为：一求值，二定界，三定角.在定界时，若已知两角均为锐角，求和角时优先计算余弦值（因余弦在上单调，可唯一确定角）；求差角时优先计算正弦值. 2. 凑角技巧是三角恒等变换的核心灵魂.常见的凑角模式包括：、等.在展开前，务必先根据已知条件精确缩小各个角的取值范围，确保开方时符号判断准确无误. 考点五：正切恒等式及求非特殊角 考法12：正切和差公式的变形应用 例12.（2025·唐山·一模）已知，则__． 考法13：结合几何与方程求正切值 例13.（2025·九江·一模）已知角的终边在直线上，则（ 　　） A. B. C. D. 【考点五 方法总结】 1. 处理正切的恒等式变形时，若目标是求和差角的正切值，核心目标是提取出与的比例关系.通过交叉相乘、移项分组，往往能直接暴露出公式的整体结构. 2. 角终边所在直线的斜率即为该角的正切值（当直线不垂直于x轴时）.将几何条件转化为代数正切值后，所有关于该角的齐次式或倍角问题均可迎刃而解. 考点六：三角恒等变换的综合应用 考法14：三角恒等变换与三角函数性质综合 例14.（2026·南通·一模）已知均为锐角，，则取得最大值时，的值为（ 　　） A. B. C. D. 考法15：三角恒等变换与代数综合 例15.（2025·淮北淮南·二模）在中，记，则（ 　　） A. 存在，使 B. 存在，使 C. 的最小值为 D. 的最大值为 考法16：三角恒等变换与其他知识交汇 例16.（2026·枣庄·五月模拟）已知，且，则（ 　　） A. B. C. D. 【考点六 方法总结】 1. 在三角函数中求最值，若能将目标式化为形如的分式结构，上下同除以后利用基本不等式是极其高效的手段.注意在应用基本不等式时，必须严格验证“一正、二定、三相等”的条件. 2. 三角形内角和定理是处理三角形中三角恒等变换的隐藏条件，常用于实现的转化.当三角函数式可化为关于某个三角函数值的一元二次方程时，利用判别式求参数范围或最值是代数综合题的经典解法. 3. 三角函数与平面向量交汇时，向量的模长平方公式是核心纽带.将坐标代入数量积后，必然会产生的结构，直接对接两角和差的余弦公式. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 2.（2024·全国一卷）记内角、、的对边分别为，，，已知， （1）求； （2）若的面积为，求． 3.（2025·全国一卷）（多选）已知的面积为，若，则（ 　　） A. B. C. D. 4.（2025·全国一卷） （1）设函数，求在的最大值； （2）给定，设为实数，证明：存在，使得； （3）若存在使得对任意，都有，求的最小值． 5.（2026·全国一卷）已知在中，，，． （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 第 2 页，共 17 页 $第29讲 三角恒等变换 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精讲 4 考点一：两角和与差的三角函数公式及其变形 4 考点二：给角求值 6 考点三：给值求值与角的变换 7 考点四：给值求角 9 考点五：正切恒等式及求非特殊角 10 考点六：三角恒等变换的综合应用 11 四、高考真题 13 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第4题 单选 5分 直接 两角和与差的余弦公式、同角三角函数基本关系的应用 2024 第15题 解答 13分 间接 在解三角形中运用两角和的正弦公式求正弦值 2025 第11题 多选 6分 间接 在解三角形中综合运用二倍角公式、两角和差公式进行推导 2025 第19题 解答 17分 间接 在研究函数最值与证明三角不等式中，运用二倍角公式及和差角公式进行化简变形 2026 第16题 解答 15分 间接 在解三角形中运用二倍角余弦公式求值 近三年全国一卷对三角恒等变换的考查较为稳定，既有直接考查公式变形的客观题，也有将其作为核心工具融入解三角形、导数与不等式等解答题中的间接考查，整体呈现出基础与综合并重的特点. 2. 命题角度与特色 （1） 核心考点：重点考查两角和与差的正余弦公式、二倍角公式以及同角三角函数基本关系. （2） 命题趋势：单纯考查三角恒等变换的客观题依然存在，但更多地是作为一种核心工具，与解三角形、三角函数性质、导数与不等式等知识深度融合，在解答题中进行综合考查. （3） 试题特点：对公式的熟练度要求极高，不仅要求正用，还强调逆用和变形应用（如切化弦、降幂扩角等），在复杂代数变形中考验学生的运算求解能力. 3. 备考策略 （1） 熟练记忆并掌握两角和差公式、二倍角公式及辅助角公式，深刻理解公式间的内在联系，做到正用、逆用、变形用自如. （2） 强化“凑角”与“化归”思想的训练，在面对复杂三角式时，能敏锐捕捉角度之间的和差倍半关系，灵活运用“切化弦”“升幂降角”等技巧. （3） 注重三角恒等变换与解三角形、导数等板块的交汇训练，提升在综合问题中准确、快速进行三角代数变形的能力. 二、知识清单 1. 两角和与差的正余弦与正切 （1） . （2） . （3） . 2. 二倍角公式 （1） . （2） . （3） . 3. 降次（幂）公式 （1） . （2） . （3） . 4. 半角公式 （1） . （2） . （3） . 5. 辅助角公式 （其中 ，，）. 6. 两角和与差正切公式变形 （1） . （2） . 7. 降幂公式与升幂公式 （1） ；；. （2） ；；；. 8. 其他常用变式 （1） . （2） . （3） . 9. 万能公式 （1） . （2） . （3） . 10. 三倍角公式 （1） . （2） . （3） . 11. 积化和差与和差化积公式 （1） 积化和差： ① . ② . ③ . ④ . （2） 和差化积： ① . ② . ③ . ④ . 【易错提醒】 1. 在使用半角公式 和 时，根号前的正负号由角 所在的象限决定，切忌盲目取正或漏掉符号讨论. 2. 在使用两角和与差的正切公式 时，必须保证 、 以及 都不等于 （）.若存在等于 的情况，需改用诱导公式或化切为弦处理. 3. 在使用辅助角公式 时，辅助角 的终边所在象限必须由点 的坐标符号唯一确定，即满足 且 ，不可仅凭 草率判断. 三、典题精讲 考点一：两角和与差的三角函数公式及其变形 考法1：利用和差角与倍角公式展开化简 例1.（2026·沧州十二校·一模）（多选）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【思路】已知两角和的余弦值与两角余弦的乘积，观察选项涉及正弦乘积、两角差的余弦、正切乘积以及二倍角的正弦乘积.切入点在于利用两角和的余弦公式展开已知条件，分离出正弦的乘积，从而为后续逐项判断提供基础数据. 【解析】∵，且，∴，故A错误.∵，故B正确.∵，故C正确.∵，故D错误. 【规律】处理涉及两角和差及乘积的综合判断题，核心在于“知二求一”：利用和差角公式将未知量（如正弦乘积）解出.在求正切乘积或二倍角乘积时，统一转化为正弦与余弦的乘积形式进行代入计算，可有效避免复杂的角变换. 考法2：逆用和差角公式与辅助角公式 例2.（2026·皖江名校·模考）已知，且，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】已知条件包含正余弦的和差关系以及正切的乘积，目标是求两角和的正切.突破口在于将第一个等式利用两角和差的公式展开，并转化为正切的关系式，再结合已知的正切乘积，整体构造出两角和正切公式的分子部分. 【解析】由题意得，即，故，从而. 【规律】遇到正弦与余弦的混合等式且目标为正切时，“切化弦”或“弦化切”是常规手段.若等式两端均为一次齐次式，直接同除以余弦的乘积即可快速转化为正切的代数方程，进而利用整体代换求出目标式. 考法3：公式的变形与综合应用 例3.（2026·德州·二模）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】已知等式包含三个不同角的正弦值，且角度之间存在明显的数值联系（50度、10度）.解题关键是利用两角和差的正弦公式将50度拆分为60度减10度，从而提取公因式，将复杂的三角和式转化为关于目标角的简单方程. 【解析】由，得，即，即，即，即，即，∵，∴，若，则，不符合题意，∴，∴. 【规律】处理多项三角函数求和为零的问题，通常需要寻找角度之间的特殊关系（如互余、互补或差为特殊角）.通过展开并合并同类项，最终化简为的形式，进而求出正切值. 【考点一 方法总结】 1. 处理涉及两角和差及乘积的综合判断题，核心在于“知二求一”：利用和差角公式将未知量（如正弦乘积）解出.在求正切乘积或二倍角乘积时，统一转化为正弦与余弦的乘积形式进行代入计算. 2. 遇到正弦与余弦的混合等式且目标为正切时，若等式两端均为一次齐次式，直接同除以余弦的乘积即可快速转化为正切的代数方程，进而利用整体代换求出目标式. 3. 处理多项三角函数求和为零的问题，通常需要寻找角度之间的特殊关系（如互余、互补或差为特殊角）.通过展开并合并同类项，最终化简为的形式，进而求出正切值. 考点二：给角求值 考法4：非特殊角的化简求值 例4.式子化简的结果为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】待化简式子中包含9度、18度、6度等非特殊角，分子中存在平方差的形式.切入点是利用二倍角余弦公式将9度的平方差降幂转化为18度，分母则可通过提取常数构造辅助角公式，将其转化为特殊角与6度的和角正弦. 【解析】原式. 【规律】非特殊角的化简求值题，核心思想是“消角”.常见手段包括：利用二倍角公式升角或降角、利用辅助角公式合并同名函数、利用诱导公式统一角度.最终目标是使分子分母出现相同的项以实现约分. 考法5：切化弦与弦化切技巧求值 例5.若，则实数的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】已知等式中同时含有正弦和正切，且角度分别为160度和20度.首先需利用诱导公式将160度转化为20度统一角度，然后将正切化为正弦与余弦的比值，通分后观察分子结构，逆用两角差的正弦公式进行化简，从而解出参数. 【解析】由已知可得. 【规律】在三角恒等变换中，“切化弦”是处理正切与正余弦混合式的首选策略.通分后，分子常会出现的形式，此时提取逆用和差角公式是化简的标准化流程. 【考点二 方法总结】 1. 非特殊角的化简求值题，核心思想是“消角”.常见手段包括：利用二倍角公式升角或降角、利用辅助角公式合并同名函数、利用诱导公式统一角度.最终目标是使分子分母出现相同的项以实现约分. 2. 在三角恒等变换中，“切化弦”是处理正切与正余弦混合式的首选策略.通分后，分子常会出现的形式，此时提取逆用和差角公式是化简的标准化流程. 考点三：给值求值与角的变换 考法6：利用同角关系与诱导公式求值 例6.（2026·临泉田家炳·二模）若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】已知正弦与余弦的差值，要求正切值.突破口是将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系求出正弦与余弦的乘积.结合角所在的象限判断正余弦的符号，进而求出正弦与余弦的和，最后联立方程组解出具体的正余弦值. 【解析】由，则，∴，又∵，∴，则，即，联立，解得，∴. 【规律】“知和差求积”或“知积求和差”是同角三角函数关系的经典考法.核心公式为.在开方求时，务必根据给定角的范围严格判定符号，避免增根或漏解. 考法7：利用和差角与倍角公式求值 例7.（2024·深圳高级·二诊）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】已知两角和的正弦值以及其中一项的乘积，目标是求两角正切的比值.切入点是将两角和的正弦公式展开，代入已知项求出另一项的乘积，再将目标正切比值转化为正弦与余弦乘积的比值进行代换. 【解析】∵，，∴，则. 【规律】处理正切比值或乘积问题时，将其转化为正弦与余弦的表达式是通用方法.通过和差角公式的展开式，可以建立正余弦交叉乘积项与整体和差值之间的代数联系，实现未知向已知的转化. 考法8：齐次式化简求值 例8.（2026·滁州·一模）若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】已知等式包含正切和正弦，目标是求二倍角的正弦.首先需将正切化为正弦与余弦的比值，去分母后将等式转化为仅含正弦和余弦的一次式.随后通过两边平方，利用同角关系将余弦转化为正弦，最终构造出关于二倍角正弦的一元二次方程. 【解析】由，可得，即，即，平方可得：，即，解得或（舍去）. 【规律】当条件等式中同时出现与时，平方法是建立两者联系的唯一桥梁.平方后务必检验所得结果是否在三角函数的值域范围内，及时舍去无效解. 考法9：角的变换与凑角技巧求值 例9.（2026·青岛·二模）已知角的终边不重合，且，则___. 【答案】 【思路】已知等式两边结构相似，均包含正弦和余弦的线性组合.突破口是移项重组，将同角的三角函数放在同一侧，利用辅助角公式将其化简为两个正弦函数相等的形式.再结合两角终边不重合的条件，挖掘出两角之间的和差关系，进而求出目标正切值. 【解析】由，得，即，∵角的终边不重合，∴，即，∴. 【规律】遇到的对称结构时，移项并利用辅助角公式化为是标准动作.随后需根据正弦相等的性质（两角相等或互补）结合题目限制条件（如终边不重合）确定角的关系. 【考点三 方法总结】 1. “知和差求积”或“知积求和差”是同角三角函数关系的经典考法.核心公式为.在开方求时，务必根据给定角的范围严格判定符号，避免增根或漏解. 2. 处理正切比值或乘积问题时，将其转化为正弦与余弦的表达式是通用方法.通过和差角公式的展开式，可以建立正余弦交叉乘积项与整体和差值之间的代数联系，实现未知向已知的转化. 3. 当条件等式中同时出现与时，平方法是建立两者联系的唯一桥梁.平方后务必检验所得结果是否在三角函数的值域范围内，及时舍去无效解. 4. 遇到的对称结构时，移项并利用辅助角公式化为是标准动作.随后需根据正弦相等的性质（两角相等或互补）结合题目限制条件（如终边不重合）确定角的关系. 5. 拆分角问题的构造技巧： （1） ；. （2） . （3） . （4） . （5） . 考点四：给值求角 考法10：常规给值求角 例10.已知，且，则的值是__． 【答案】 【思路】已知两个锐角的余弦和正弦值，求两角之和.切入点是先利用同角三角函数关系求出各自未知的正弦和余弦值，然后选择合适的和角公式（正弦或余弦）进行展开计算.选择公式时需预判和角的范围，以避免多解的干扰. 【解析】∵，且，∴，且，则，∴. 【规律】给值求角问题的标准步骤为：一求值，二定界，三定角.在定界时，若已知两角均为锐角，求和角时优先计算余弦值（因余弦在上单调，可唯一确定角）；求差角时优先计算正弦值. 考法11：结合凑角技巧求角 例11.若为锐角，，则角__． 【答案】 【思路】已知单角的正弦与和角的余弦，要求单角.关键在于观察角之间的代数关系，发现，从而将未知角转化为已知角的差.随后求出所需的所有正余弦值，代入两角差的余弦公式即可. 【解析】由于为锐角，∴，∴，∴，∴. 【规律】凑角技巧是三角恒等变换的核心灵魂.常见的凑角模式包括：、等.在展开前，务必先根据已知条件精确缩小各个角的取值范围，确保开方时符号判断准确无误. 【考点四 方法总结】 1. 给值求角问题的标准步骤为：一求值，二定界，三定角.在定界时，若已知两角均为锐角，求和角时优先计算余弦值（因余弦在上单调，可唯一确定角）；求差角时优先计算正弦值. 2. 凑角技巧是三角恒等变换的核心灵魂.常见的凑角模式包括：、等.在展开前，务必先根据已知条件精确缩小各个角的取值范围，确保开方时符号判断准确无误. 考点五：正切恒等式及求非特殊角 考法12：正切和差公式的变形应用 例12.（2025·唐山·一模）已知，则__． 【答案】 【思路】已知等式给出了与的分式关系，目标是求两角差的正切.切入点是将已知等式去分母展开，重新组合各项，设法构造出两角差的正切公式的分子与分母结构. 【解析】由，得，即，∴. 【规律】处理正切的恒等式变形时，若目标是求和差角的正切值，核心目标是提取出与的比例关系.通过交叉相乘、移项分组，往往能直接暴露出公式的整体结构. 考法13：结合几何与方程求正切值 例13.（2025·九江·一模）已知角的终边在直线上，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】已知角终边所在的直线方程，要求二倍角的正切.突破口是利用直线的斜率与倾斜角正切值的关系，或者在直线上任取一点利用三角函数定义求出单角的正切值，随后直接代入二倍角正切公式进行计算. 【解析】依题意，在直线上任取一点（），可得，∴. 【规律】角终边所在直线的斜率即为该角的正切值（当直线不垂直于x轴时）.将几何条件转化为代数正切值后，所有关于该角的齐次式或倍角问题均可迎刃而解. 【考点五 方法总结】 1. 处理正切的恒等式变形时，若目标是求和差角的正切值，核心目标是提取出与的比例关系.通过交叉相乘、移项分组，往往能直接暴露出公式的整体结构. 2. 角终边所在直线的斜率即为该角的正切值（当直线不垂直于x轴时）.将几何条件转化为代数正切值后，所有关于该角的齐次式或倍角问题均可迎刃而解. 考点六：三角恒等变换的综合应用 考法14：三角恒等变换与三角函数性质综合 例14.（2026·南通·一模）已知均为锐角，，则取得最大值时，的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】已知等式包含两角和的余弦，目标是探究正切的最值.切入点是将已知等式展开，两边同除以将正弦转化为正切，从而得到关于的表达式.随后利用基本不等式求出最值及取等条件，最后代入和角正切公式. 【解析】由，两边同时除以得，再将用表示，，∵均为锐角，∴，则，当且仅当，即时取等号，∴取得最大值时，. 【规律】在三角函数中求最值，若能将目标式化为形如的分式结构，上下同除以后利用基本不等式是极其高效的手段.注意在应用基本不等式时，必须严格验证“一正、二定、三相等”的条件. 考法15：三角恒等变换与代数综合 例15.（2025·淮北淮南·二模）在中，记，则（ 　　） A. 存在，使 B. 存在，使 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】D 【思路】题目给出了两个结构对称的复杂三角表达式和，要求判断它们的大小关系及最值.突破口是提取公因式，利用和差化积或展开公式将括号内的部分化简，发现和实际上是相等的.随后将问题转化为关于的一元二次方程，利用判别式求出的最值. 【解析】由题意可得，，，则，故AB错误.若，则，因，则，则，得，则，故C错误.，即，则方程在上存在根，则，即，等号成立时，因，则，则，此时变为，得，则，故当时，取最大值，故D正确. 【规律】三角形内角和定理是处理三角形中三角恒等变换的隐藏条件，常用于实现的转化.当三角函数式可化为关于某个三角函数值的一元二次方程时，利用判别式求参数范围或最值是代数综合题的经典解法. 考法16：三角恒等变换与其他知识交汇 例16.（2026·枣庄·五月模拟）已知，且，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】已知两个单位向量的坐标以及它们和向量的模长，要求两角差的余弦.切入点是将和向量模长的等式两边平方，转化为向量数量积的形式，再将坐标代入展开，利用两角差的余弦公式逆向化简即可. 【解析】∵，∴，∵，∴，解得. 【规律】三角函数与平面向量交汇时，向量的模长平方公式是核心纽带.将坐标代入数量积后，必然会产生的结构，直接对接两角和差的余弦公式. 【考点六 方法总结】 1. 在三角函数中求最值，若能将目标式化为形如的分式结构，上下同除以后利用基本不等式是极其高效的手段.注意在应用基本不等式时，必须严格验证“一正、二定、三相等”的条件. 2. 三角形内角和定理是处理三角形中三角恒等变换的隐藏条件，常用于实现的转化.当三角函数式可化为关于某个三角函数值的一元二次方程时，利用判别式求参数范围或最值是代数综合题的经典解法. 3. 三角函数与平面向量交汇时，向量的模长平方公式是核心纽带.将坐标代入数量积后，必然会产生的结构，直接对接两角和差的余弦公式. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，∴.而，∴.故，即.从而，故.故选A. 2.（2024·全国一卷）记内角、、的对边分别为，，，已知， （1）求； （2）若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由余弦定理有，对比已知，可得.∵，∴.从而.又∵，即.注意到，∴. （2）由（1）可得，，，从而，.而.由正弦定理有，从而，.由三角形面积公式可知，的面积可表示为.由已知面积为，可得，∴. 3.（2025·全国一卷）（多选）已知的面积为，若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】，由二倍角公式，，整理可得，，A选项正确. 由诱导公式，，展开可得，即. 若，则可知等式成立. 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理.又，于是，与条件不符，则不成立. 若，类似可推导出，则不成立. 综上讨论可知，，即. 由算出.由，则，即，则.同理.注意到是锐角，则.不妨设，则，即.由两角和差的正弦公式可知，C选项正确. 设，则.由，则，则.于是，B选项正确.由勾股定理可知，，D选项错误.故选ABC. 4.（2025·全国一卷） （1）设函数，求在的最大值； （2）给定，设为实数，证明：存在，使得； （3）若存在使得对任意，都有，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明略 （3） 【解析】（1）我们有. ∴.这得到.同时又有，故在上的最大值为. （2）由余弦函数的性质得的解为，.若任意，与交集为空，则且，此时无解，矛盾，故无解.故存在，使得，故存在，使得成立. （3）记.∵，∴为周期函数且周期为，故只需讨论的情况.当时，.当时，，此时.令，则.而，，故.当，在（2）中取，则存在，使得.取，则.取即，故，故.综上，可取，使得等号成立.综上，. 5.（2026·全国一卷）已知在中，，，． （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）在中，由余弦定理得：.∴. ∵，∴为等腰三角形，. ∴. （2）∵，∴，.又，∴，∴为等腰三角形，.过点作于点，则.在中，，∴.∴.∵，∴.在中，由勾股定理得：. 第 2 页，共 17 页 $