第32讲 解三角形综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 整合2025-2026年多省市模拟题，聚焦解三角形核心知识，通过基础应用、综合计算到性质探究的梯度设计，适配一轮复习查漏补缺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|正弦定理（题3）、三角形形状判断（题7）|单选巩固基础，多选综合性质辨析（如题9结合三角恒等变换）| |填空题|3题15分|边长计算（题12）、边角互化（题13）|注重基本公式直接应用，强化运算能力| |解答题|5题77分|定理应用（题15）、面积与最值综合（题17）、证明与计算结合（题18）|突出逻辑推理与数学运算，贴合高考解答题命题模式，培养几何直观与模型意识|

第32讲 解三角形 · 综合测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·山东济宁·二模）在中，内角所对的边分别为，，，则角的大小为（ 　　） A. B. C. D. 2.（2026·山东青岛·二模）在中，角所对的边分别为，，，，则边上的高为（ 　　） A. B. C. D. 3.（2026·河南周口一高·一模）已知在中，，则的外接圆半径为（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·湖南炎德英才联考·5月模拟）在中，内角的对边分别为，满足，且，若的面积为，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 5.（2026·江西南昌·一模）在中，角所对的边分别为，若，，则的面积为（ 　　） A. B. C. D. 6.（2026·浙江宁波·二模）在钝角中，，则的面积为（ 　　） A. B. C. D. 7.（2026·浙江精诚联盟·二模）记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（ 　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或直角三角形 8.（2026·湖南九校联盟·一模）在中，内角的对边分别为，，则一定为（ 　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（2025·河北沧衡八县·一模）在中，若内角满足，则（ 　　） A. B. C. D. 10.（2025·湖北楚天协作体·12月联考）已知的内角的对边分别为，，且，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. 的面积为 D. 的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 11.（2026·湖北襄阳四中·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为（ 　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2026·广东深圳·一模）在中，已知，，，则＿＿＿＿. 13.（2024·广东新南方联盟·4月联考）在中，分别为角的对边，，则的值是＿＿＿＿＿＿. 14.（2026·广东肇庆·二模）设的内角所对边的长分别为.若，，则＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（2026·江西三新协同教研共同体·4月训练）（13分） 已知的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 16.（2026·稳派智慧上进教育联考·3月检测）（15分） 记的内角的对边分别为，已知. （1）若，求的面积； （2）若，求. 17.（2026·安徽安庆·二模）（15分） 中，角所对的边分别为且. （1）若，求的值； （2）求的最大值. 18.（2025·安徽皖北协作体·一模）（17分） 已知的内角的对边分别为，的面积为，. （1）证明：； （2）若，求内角的大小. 19.（2025·江西上饶·二模）（17分） 的内角所对的边分别为，. （1）求角； （2）若，，且，求的面积. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第32讲 解三角形 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 C B C B C 6 7 8 9 10 B C A ACD ACD 11 12 13 14 15 BC （1） （2） 16 17 18 19 （1） （2） （1） （2） （1）证明见解析 （2） （1） （2） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·山东济宁·二模）在中，内角所对的边分别为，，，则角的大小为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由正弦定理得，即 ， ， ，即， ，即 ， ， ， .故选C. 【点拨】本题考查正弦定理及三角恒等变换，利用正弦定理将边化角是解题关键. 2.（2026·山东青岛·二模）在中，角所对的边分别为，，，，则边上的高为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，得 ， ， ， ，即.在中，由余弦定理得， ， 为直角三角形，且.设边上的高为，则， .故选B. 【点拨】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，通过边角互化求出角是解题关键. 3.（2026·河南周口一高·一模）已知在中，，则的外接圆半径为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 在中，， ，即， ，结合，得， 的外接圆半径为.故选C. 【点拨】本题考查余弦定理和正弦定理的应用，先求出角的余弦值是解题关键. 4.（2026·湖南炎德英才联考·5月模拟）在中，内角的对边分别为，满足，且，若的面积为，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由面积公式，解得.由余弦定理，代入，，得，即， .故选B. 【点拨】本题考查三角形面积公式及余弦定理，利用整体代换思想求是解题关键. 5.（2026·江西南昌·一模）在中，角所对的边分别为，若，，则的面积为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由正弦定理得，由余弦定理得， ， ， 的面积为.故选C. 【点拨】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，通过边角互化求出角是解题关键. 6.（2026·浙江宁波·二模）在钝角中，，则的面积为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由余弦定理得，又， ，即，解得或，当时，，则， ，则角为钝角，符合题意；当时，，则， ，不符合题意，故舍去，即， 的面积.故选B. 【点拨】本题考查余弦定理及三角形面积公式，注意根据钝角三角形的条件对解进行取舍. 7.（2026·浙江精诚联盟·二模）记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（ 　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或直角三角形 【答案】C 【解析】 ，由正弦定理得，又，故，由余弦定理得，故，得， ，得， ，或，， 为钝角三角形.故选C. 【点拨】本题考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换，通过判断的符号确定三角形形状是解题关键. 8.（2026·湖南九校联盟·一模）在中，内角的对边分别为，，则一定为（ 　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】由，得，即，由正弦定理得， ， ，即， 一定为直角三角形.故选A. 【点拨】本题考查正弦定理及三角恒等变换，利用降幂公式及正弦定理化简关系式是解题关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2025·河北沧衡八县·一模）在中，若内角满足，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】设内角的对边分别为， ， ，不妨令，对于A选项，由余弦定理得， A选项正确；对于B选项，，， ， ， B选项不正确；对于C选项， ，又， ，又， C选项正确；对于D选项， ，，又， ，又，即， ， ， D选项正确.故选ACD. 【点拨】本题考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换，通过边角互化求出各角的三角函数值是解题关键. 10.（2025·湖北楚天协作体·12月联考）已知的内角的对边分别为，，且，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. 的面积为 D. 的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 【答案】ACD 【解析】在中，对于A， ， 由正弦定理得，即，因此A正确；对于B， ，为三角形内角， ，因此， ，因此B不正确；对于C， ， ，而由A知：，因此，即，因此由解得， 的面积为，因此C正确.对于D，由正弦定理可得外接圆半径，由等面积法可得内切圆半径，二者得比值为，故D正确.故选ACD. 【点拨】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，利用正弦定理将角化边是解题关键. 11.（2026·湖北襄阳四中·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】在中，由余弦定理得，即，解得或.故选BC. 【点拨】本题考查余弦定理的应用，直接代入余弦定理公式求解一元二次方程即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2026·广东深圳·一模）在中，已知，，，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由三角形内角和得，则，又由正弦定理：，则. 【点拨】本题考查正弦定理的应用，先求出角是解题关键. 13.（2024·广东新南方联盟·4月联考）在中，分别为角的对边，，则的值是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由正弦定理得，由余弦定理得，化简得， . 【点拨】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，利用正弦定理将角化边是解题关键. 14.（2026·广东肇庆·二模）设的内角所对边的长分别为.若，，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】，由正弦定理得，即， ， ， . 【点拨】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，利用正弦定理求出边长比例关系是解题关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（2026·江西三新协同教研共同体·4月训练）（13分） 已知的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） ， . 2 分 又， ，即. 4 分 由，得. 6 分 （2）由，得， 7 分 则. 9 分 ， 由，得. 11 分 则的面积. 13 分 【点拨】本题考查正弦定理及三角形面积公式，利用正弦定理将边化角求出角是解题关键. 16.（2026·稳派智慧上进教育联考·3月检测）（15分） 记的内角的对边分别为，已知. （1）若，求的面积； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） ，由余弦定理得， 2 分 ， ， 3 分 的面积为. 5 分 （2） ， ， 7 分 由，得， . 9 分 由正弦定理得，解得， 11 分 则.又，则由正弦定理得. 15 分 【点拨】本题考查余弦定理及正弦定理的应用，利用二倍角公式化简已知条件是解题关键. 17.（2026·安徽安庆·二模）（15分） 中，角所对的边分别为且. （1）若，求的值； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） ，则， 2 分 则，即， 4 分 ， 6 分 又， . 7 分 （2）， 10 分 ， 12 分 ， 14 分 当，即时，取得最大值. 15 分 【点拨】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，利用正弦定理将边化角是解题关键. 18.（2025·安徽皖北协作体·一模）（17分） 已知的内角的对边分别为，的面积为，. （1）证明：； （2）若，求内角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）在中，， ，即， 3 分 且，则，则， 6 分 即，又 ，则，即. 9 分 （2）若，则，且，由余弦定理可得 12 分 ， 15 分 且， . 17 分 【点拨】本题考查三角形面积公式及余弦定理，利用面积公式化简已知条件是解题关键. 19.（2025·江西上饶·二模）（17分） 的内角所对的边分别为，. （1）求角； （2）若，，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由正弦定理：， 2 分 ， ，得. 4 分 为三角形内角， ， . 6 分 又， . 8 分 （2）如图： ， 为的重心.延长交与点，则为中点. ， . 10 分 ， ，即①， 12 分 在中，由余弦定理得：②， 14 分 由①②得：. 15 分 . 17 分 【点拨】本题考查正弦定理、余弦定理及向量的线性运算，利用向量的平方求出是解题关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $