第17讲 幂指对比较大小综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦幂指对比较大小专项，通过19题分层训练构建从基础比较到综合推理的逻辑体系，强化运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择（单+多）|11题|结合函数性质、参数关系比较大小|以幂指对函数单调性为核心，关联中间值法、构造函数等推导路径| |填空|3题|直接判断多变量大小关系|深化概念间转化，体现模型意识| |解答|5题|含证明与单调性讨论的综合题|整合函数性质与逻辑推理，构建“性质应用-推理论证”完整链条|

第17讲 幂指对比较大小·综合测试 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·山东聊城·二模）已知正数 满足 ，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. D. 2.（2026·郑州四中·检测）设 ，，，则（ 　　） A. B. C. D. 3.（2026·长沙雅礼·模拟）设 ，，，则 ，， 的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 4.若 ，，，则 ，， 的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 5.已知 ，，，若 ，则 、、 的大小关系是（ 　　） A. B. C. D. 6.（2025·山东名校·二模）已知 ，则 的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 7.（2026·山东济南·二模）已知正实数 满足 ，则（ 　　） A. B. C. D. 8.已知 ，，，则 ，， 大小为（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（2025·河北·模拟）设 ，则下列结论正确的是（ 　　） A. B. 若 ，则 的最小值为 4 C. D. 10.若 ，则下列结论错误的是（ 　　） A. B. C. D. 11.（2026·浙江联盟·模拟）已知 ，，，，，则（ 　　） A. 当 时， B. 存在实数 ，使得 C. 对任意 ，都有 D. 当 时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知 ，，，则 、、 的大小关系为＿＿＿＿＿＿. 13.（2025·郑州外国语·5月调研）已知 ，，设 ，，，则 的大小关系为＿＿＿＿＿＿. 14.，则 的大小关系为＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）（2025·山东名校·二模）已知函数 ． （1） 当 ，求 的取值范围； （2） 当 时． （i） 设 ，讨论函数 在 上的单调性； （ii） 证明：对任意 ，有 ． 16.（15分）已知 ，，，比较 ，， 的大小，并说明理由. 17.（15分）（2026·山东济宁·二模）设 ，比较 ，， 的大小，并说明理由. 18.（17分）已知实数 、 满足 ，比较 、 的大小，并说明理由. 19.（17分）已知 ，，，比较 的大小，并说明理由. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 幂指对比较大小 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 D C D B B 6 7 8 9 10 A A D ACD ACD 11 12 13 14 15 ABD （1） （2）（i）单调递增 （ii）证明见解析 16 17 18 19 1.（2026·山东聊城·二模）已知正数 满足 ，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 ，可得 .若 ，则 ，所以 ，即 ，所以 ；若 ，则 ，所以 ，即 ，所以 .对于A， 不一定大于1，故A错误；对于B，若 ，则 ，故B错误；对于C，若 ，，则 ，若 ，，则 ，故C错误；对于D，若 ，，则 ，即 ，若 ，，则 ，即 ，所以无论哪种情况，都有 ，故D正确. 【点拨】本题考查对数函数的性质及底数、真数的变化规律.利用换底公式将不同底的对数转化为同底对数，并分类讨论底数与1的关系是比较大小的常用方法. 2.（2026·郑州四中·检测）设 ，，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设 ，则 ，∵ 在 上单调递减，，∴ ，∴ 在 上单调递减，∴ ，∴ ，∴ ；∵ ，，∴ ；综上所述：. 【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性进而比较大小，同时考查了指数函数与对数函数的性质. 3.（2026·长沙雅礼·模拟）设 ，，，则 ，， 的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，对数函数 在定义域内单调递增，且 ，因此 ，即 ；，对数函数 在定义域内单调递减，且 ，因此 ，即 ；，指数函数 在定义域内单调递增，因此 ，即 .综上， 的大小关系为 . 【点拨】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，寻找中间量0和1进行分段比较是解题的关键. 4.若 ，，，则 ，， 的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】依题意，，，而 ，即 ，所以 ，， 的大小关系为 . 【点拨】本题考查指数与对数数值的估算，通过引入媒介值1和2进行分段比较是常用的技巧. 5.已知 ，，，若 ，则 、、 的大小关系是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】取 ，则 ，，，所以 . 【点拨】本题考查不同类型函数值的大小比较，对于给定范围内的变量，采用特殊值法可快速得出结论. 6.（2025·山东名校·二模）已知 ，则 的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵ ，构造函数 ，，则 ，当 时，；当 时，，故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，由于 ，，且 ，则 ，即 ，又 ，所以 . 【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性来比较大小，构造函数 是解决此类问题的核心. 7.（2026·山东济南·二模）已知正实数 满足 ，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由 ，且 为正实数，可得 ，则 .令 ，则 在 上单调递增.因为 ，所以 ，即 .因为 ，所以 ，即 .又 ，所以 .设 ，则 ，设 ，则 .当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增.所以 ，故 在 上单调递增，，即 恒成立.所以 ，即 .又 ，设 ，，所以 在 上单调递增，，即 恒成立.所以 ，即 .综上所述，. 【点拨】本题考查利用同构思想比较大小，通过构造函数 得到 与 的关系是解题的突破口. 8.已知 ，，，则 ，， 大小为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 可以看成 与 图象的交点的横坐标为 ， 可以看成 与 图象的交点的横坐标为 ， 可以看成 与 图象的交点的横坐标为 ，画出函数的图象，由图象可知，. 【点拨】本题考查方程根的大小比较，将其转化为函数图象交点的横坐标大小比较，利用数形结合思想可直观得出结论. 9.（2025·河北·模拟）设 ，则下列结论正确的是（ 　　） A. B. 若 ，则 的最小值为 4 C. D. 【答案】ACD 【解析】对于 A，∵ ，由指数函数 单调递增，∴ ，即 ，故 A 正确；对于 B，，等号成立条件 ，由于 ，显然等式不成立，故最大值比 0 小，所以最小值不可能为 4，故 B 错误；对于 C，由已知 ，，∴ ，即 ，故 C 正确；对于 D，∵ ，由幂函数 单调递增，∴ ，即 ，故 D 正确. 【点拨】本题考查不等式的性质及基本不等式的应用，利用指数函数和幂函数的单调性是判断选项A和D的关键. 10.若 ，则下列结论错误的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】设 ，则 为增函数，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，故 B 正确；，当 时，，此时 ，有 ；当 时，，此时 ，有 ，所以 A、C、D 均错误. 【点拨】本题考查利用函数的单调性比较大小，通过构造函数 将等式转化为函数值的关系是解题的核心. 11.（2026·浙江联盟·模拟）已知 ，，，，，则（ 　　） A. 当 时， B. 存在实数 ，使得 C. 对任意 ，都有 D. 当 时， 【答案】ABD 【解析】对于选项 A，当 （即 ）时，，所以 ，选项 A 正确.对于选项 B，当 时，，选项 B 正确.对于选项 C，由题意，设 ，则 ，则 .故 ，当 时， 单调递减，.故 使 ，故选项 C 错误.对于选项 D 由题意：，因为 ，所以 ，另一方面：，因为 ，即 ，所以 ，选项 D 正确. 【点拨】本题考查指数函数的性质及不等式的应用，对于C选项，通过构造函数并利用导数研究其在 附近的单调性是判断的关键. 12.已知 ，，，则 、、 的大小关系为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为 ，所以 ，则 .因为 ，所以 ，则 ，所以 .又 ，，因为 ，而 ，所以 .综上所述，. 【点拨】本题考查对数与指数数值的比较，通过寻找中间媒介值 和 进行放缩是解题的有效手段. 13.（2025·郑州外国语·5月调研）已知 ，，设 ，，，则 的大小关系为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由 ，得 ，即 ，则 ，由 ，得 ，即 ，则 ，，则 ，因此 ，所以 ，即 . 【点拨】本题考查对数大小的比较，利用已知的不等式关系提取出对数的范围，并结合基本不等式进行放缩是解题的关键. 14.，则 的大小关系为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】，因为 在 上单调递增，且 ，所以 .令 ，则 ，所以 在 上单调递增，，即 .又 .令 ，则 ，，所以 在 上单调递增，，所以 在 上单调递增，，所以 .所以 . 【点拨】本题考查利用泰勒展开式或构造函数比较数值大小，通过精确到足够位数的小数进行比较是处理微小差异的有效方法. 15.（13分）（2025·山东名校·二模）已知函数 ． （1） 当 ，求 的取值范围； （2） 当 时． （i） 设 ，讨论函数 在 上的单调性； （ii） 证明：对任意 ，有 ． 【答案】（1） （2）（i）单调递增 （ii）证明见解析 【解析】（1） 由 ，则 ， 2 分 令 且 ，则 ， 4 分 令 且 ，则 ，即 在 上单调递增， 所以 ，即 ，故 在 上单调递增，则 ， 6 分 综上，. 7 分 （2）（i） 时， 且 ，则 ， 9 分 故 在 上单调递增； 10 分 （ii） 令 ，则 ， 12 分 由 ，则 ， 由（i）知，，即 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增，故 ， 14 分 因为 ，所以 在 上单调递增，则 ， 所以 ， 综上，对任意的 ，有 . 15 分 【点拨】本题考查利用导数求参数范围及证明不等式.参变分离法是处理恒成立问题的常用手段，构造双变量函数并固定一元是证明双变量不等式的有效策略. 16.（15分）已知 ，，，比较 ，， 的大小，并说明理由. 【答案】 【解析】由 ，，可知 ， 3 分 又由 ，从而 ，可得 ， 7 分 因为 ，所以 ； 10 分 因为 ，从而 ，即 ， 由对数函数单调性可知，， 13 分 综上所述，. 15 分 【点拨】本题考查无理数与对数数值的比较，通过乘方运算和寻找合适的有理数媒介值（如 ）进行放缩是解题的关键. 17.（15分）（2026·山东济宁·二模）设 ，比较 ，， 的大小，并说明理由. 【答案】 【解析】比较 与 ：令 ，当 时，. 3 分 所以 . 6 分 所以 .因为 ，所以 . 8 分 比较 与 ：令 ，当 时，，所以 . 11 分 所以 . 14 分 因为 ，所以 . 综上所述，. 15 分 【点拨】本题考查利用常见的不等式放缩比较大小，熟练掌握 和 是快速解题的捷径. 18.（17分）已知实数 、 满足 ，比较 、 的大小，并说明理由. 【答案】 【解析】由 可得 ，因为 ，，所以 ， 所以 ，则 ，所以 ， 3 分 令 ，则 ， 当 时，，所以函数 在 上单调递增； 6 分 则当 时，，即 ，一定有 ， 所以 ， 9 分 则 ，又因为 ，所以 ， 12 分 令 ，则 ， 当 时，，所以函数 在 上单调递增； 因为 ，，所以 . 17 分 【点拨】本题考查利用同构思想和函数的单调性比较大小，将等式转化为同构形式并利用不等式放缩是解题的关键. 19.（17分）已知 ，，，比较 的大小，并说明理由. 【答案】 【解析】要比较 ，， 等价于比较 的大小， 等价于比较 ， 即比较 ， 3 分 构造函数 ，， 令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 在 单调递增， 单调递减. 6 分 所以 ， 因为 ， 所以 最大，即 中 最大， 9 分 设 ， 结合 的单调性得，， 先证明 ，其中 ， 即证 ， 令 ，，其中 ， 则 ， 所以，函数 在 上为增函数，当 时，， 所以，当 时，， 12 分 则有 ， 由 可知 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，即 ， 15 分 因为 ， 在 单调递增， 所以 ，即 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 即 ，， 因为 ， 在 单调递减. 所以 ， 即 ，即 ， 综上，. 17 分 【点拨】本题考查利用导数比较大小，涉及同构法、对数平均不等式及极值点偏移问题，综合性强，难度较大. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $