第16讲 极值与最值·综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦极值与最值综合应用，通过多地区模拟题构建导数应用逻辑链，强化数学思维与推理能力 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|14题|极值点个数判断、参数范围求解、最值计算|从导数概念到极值判定，构建“求导-单调性分析-极值/最值求解”逻辑链| |解答题|5题|切线方程、极值证明、不等式恒成立|结合函数性质与导数工具，体现从具体问题到数学模型的抽象过程|

第16讲 极值与最值 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 D B B B D 6 7 8 9 10 D A B ABC BC 11 12 13 14 15 ACD （1） （2）见解析 16 17 18 19 （1） （2）极小值为，无极大值 （3）见解析 （1）极小值为，无极大值 （2）证明见解析 （1） （2） （1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） （3）证明见解析 逐题详解 1.（2026·福州·4月适应）已知函数 有且仅有3个极值点 、、，且 ，则（ 　　） A. 为奇数 B. 为奇数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】求导得出 ， 由 可得 或 或 ， 因为函数 有且仅有3个极值点 、、，且 ， 则 且 ，符合题意， ①若 ，则 ，， 则 ，所以 ，，， 若 、 都为奇数，则 、 都为偶数， 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增； 当 时，， 单调递增. 此时函数 只有一个极值点，不符合题意； 当 为奇数， 为偶数，则 为偶数， 为奇数，同理可得函数 有两个极值点，不符合题意； 当 为偶数， 为奇数时，同理可知，函数 有两个极值点，不符合题意； 当 、 均为偶数时，、 均为奇数， 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增； 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增. 此时函数 有3个极值点，符合题意，且 ，，， 此时 ，则 ； ②当 时，同理可知 、 均为偶数，且 ，，， 此时 ，则 . 故D选项正确. 【点拨】本题考查利用导数研究函数的极值，难点在于对参数的分类讨论，需结合极值点个数确定参数的奇偶性并比较大小. 2.（2025·江西上进·5月练兵）函数 在区间 上的极值点个数为（ 　　） A. 675 B. 676 C. 2027 D. 2028 【答案】B 【解析】由题意可得 . 当 时，显然 ，于是 ， 易知符合条件的解为 的变号零点，即 的极值点， 于是 的极值点均可视作 的图象与直线 交点的横坐标， 由 可知交点必在第四象限. 当 时，由图象可知 的解集为 . 故 的图象与直线 在每一个区间 上有且仅有一个交点. 由 解得 ，故满足条件的区间共676个， 于是 的图象与直线 在区间 上共有676个交点，即 在区间 上共有676个极值点. 【点拨】将极值点个数问题转化为导函数零点个数问题，进而转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合思想是关键. 3.（2026·湖南衡阳·一模）已知函数 ，记 的非零极值点为 ，则取 最大值时，（ 　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】， 令 ，得 或 ，则 . 设 ，，则 ， 当 时，， 单调递增， 当 时，， 单调递减， 由 的单调性可知，当 为整数时，最大值在 或 处取得， 又 ， 故 ，. 【点拨】求导后找到非零极值点 关于 的表达式，再构造新函数利用导数研究其单调性，注意 为正整数的限制. 4.（2026·杭州二中·5月测试）已知函数 ，若 ，则 的最小值为（ 　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】函数 的定义域为 ，， 可得函数 在 上单调递增， 又 ， 由 ，得 ， 因为函数 在 上单调递增，所以 ，所以 ， 所以 ，当且仅当 时取等号， 所以 的最小值为2. 【点拨】观察函数解析式的结构特征，发现 ，结合函数的单调性得到 ，再利用基本不等式求最值. 5.（2026·浙江绍兴·二模）已知函数 在 上单调递增，则下列各式有最大值的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为 ， 由于 在 上单调递增，所以 恒成立，即 恒成立. 若 ，则 ，此时 显然不能恒成立，故 . 要使 恒成立，则 与 必须同时变号，故 ，即 . 对于A，，无最大值； 对于B，，设 ，，当 时，，当 时，，故 有最小值，无最大值； 对于C，，当 时，，无最大值； 对于D，，设 ，，当 时，，当 时，，故 在 处取得最大值 . 故选D. 【点拨】将函数的单调性转化为导函数恒大于等于零，利用两因式同时变号得出参数之间的等量关系是解题的关键. 6.（2026·湖南天壹·5月模拟）已知函数 ，若 ，则 的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】. 而 ，则 时，， 单调递减， 时，， 单调递增， 故 ， 于是 ， ，， 故选D. 【点拨】利用导数求出函数的最小值，得到关于 的不等式，再利用对数的运算性质转化为所求代数式的范围. 7.（2025·广东上进·5月测评）已知函数 ，则 的极小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】， 当 时，，，故 ，所以 ； 当 时，，，所以 . 综上，当 时 恒成立，故 在区间 上单调递增， 又因为 ，所以 的图象关于直线 对称， 故 在区间 上单调递减， 故 为 的极小值点， 的极小值为 . 【点拨】求导后直接判断符号较难，可结合函数的对称性或分段放缩来判断导函数的符号变化，从而确定极值. 8.已知函数 ， ，则函数 的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为 ， 所以 ， 记 ，， 则 ，因为 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，所以 ， 所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递增， 故当 时，函数 有最小值为 . 【点拨】利用导数研究三角分式函数的单调性，求导后分子部分再次构造函数判断符号是常用的处理技巧. 9.（2026·山东济南·二模）已知函数 ，则（ 　　） A. 有两个极值点 B. 当且仅当 C. 当 时， D. 若 ，则 【答案】ABC 【解析】对于A选项，由 ，令 解得 或 ，当 或 时，，函数 单调递增，当 时，，函数 单调递减，所以 有两个极值点，A选项正确； 对于B选项，，令 ，解得 ，B选项正确； 对于C选项，当 时，，所以 ，因为函数 在 上单调递增，所以 ，C选项正确； 对于D选项，若 ，取 ，，满足 ，但 ，D选项错误. 【点拨】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性以及零点，结合因式分解与特殊值法可快速判断选项正误. 10.（2025·江苏四市·一模）已知函数 ，其导函数为 ，则（ 　　） A. 直线 是曲线 的切线 B. 有三个零点 C. D. 若 在区间 上有最大值，则 的取值范围为 【答案】BC 【解析】因为 ，则 ，，所以 ，C正确； 因为 ，令 ，得 ，解得 或 ，当 或 时，，当 时，，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，且 ，，，，故 有两个极值点，三个零点，故B正确； 设切点的坐标为 ，则切线斜率为 ，则 ，所以不存在斜率为 的切线，直线 不是曲线 的切线，故A错误； 因为 ，所以若 在区间 上有最大值，则 ，所以 ，故D错误. 【点拨】通过求导分析函数的单调性与极值，画出函数的大致图象，数形结合是解决零点问题和最值区间问题的有效方法. 11.（2026·湖南雅礼·模拟）已知函数 ，则（ 　　） A. B. 有4个极值点 C. 在区间 上有零点 D. 在区间 上单调递增 【答案】ACD 【解析】对于A选项，由 ，所以选项A正确； 对于B选项，令函数 ， 则 ， 所以 为偶函数，， 令函数 ，则 ， 易知 在 上单调递增，且 ， 所以 在 上有唯一零点 ， 则 在 上单调递减，在 上单调递增， 又 ，所以 ，又 时 ， 所以 在 上有唯一零点 ， 即 在 上有唯一零点 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 因为 为偶函数，则 在 上单调递减，在 上单调递增， 因为 ， ， ， 所以 恒大于0， 所以 在 上单调递增，无极值点，所以选项B错误； 对于C选项，由于 ，， 又 ， 由零点存在性定理可知 在区间 上有零点，但在 上无零点，所以选项C错误； 对于D选项，因为 恒成立， 所以 在区间 上单调递增，所以选项D正确. 【点拨】本题考查导数在研究函数性质中的综合应用，利用函数的奇偶性简化求导过程，通过多次求导确定导函数的符号变化是解题的关键. 12.（2026·河北沧州·二模）设 ，函数 的极小值为 ，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为 的极小值为 ，令 ，则 或 ，故 或 为 的极小值点. 若 ，即 为 的极小值点. 由题设 ， 令 ，则 ， 当 时，，当 时，， 故 在 上递减， 上递增， 而 且 ，故 时 ， 时 ， 而 时，， 时 ， 故 时，， 时 ， 此时 不是 的极小值点，与题设矛盾； 若 ， 若 为 的极小值点，故 ， 由题设 ， 因 ，故必有 ，故 即 ，与 矛盾； 若 为 的极小值点， 因为 ，且 时，， 时 ， 故 在 的附近总有 ， 由局部保号性可得 即 . 综上，. 【点拨】本题考查利用导数研究函数的极值，分类讨论极小值点可能的情况，并结合局部保号性求解参数范围. 13.已知函数 ，则 的最大值是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为 ， 所以 . 当 时，， 所以 在 单调递增； 当 时，， 所以 在 单调递减； 所以 . 【点拨】将三角函数求导后转化为关于 的二次函数，进而判断导数的符号，求出函数的最大值. 14.若存在实数 ，使得关于 的不等式 对 恒成立，则 的最大值是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】当 ，且 时，由 ，得 . 设 ，则 . 当 时，， 在 上单调递增， 当 时，， 在 上单调递减. 所以 ，得 ， 等价于 ，而 ， 当且仅当 时等号成立. 所以 ，则 ， 所以 ， 解得 ，所以 的最大值是 . 【点拨】采用分离参数法，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数和基本不等式分别求出参数 的上下界，进而求出 的范围. 15.（13分）（2026·广东汕头·二模）已知函数 . （1） 若曲线 在点 处的切线过点 ，求 的值； （2） 求 的极值点. 【答案】（1） （2） 见解析 【解析】（1） 求导得 ，则 ， 又有 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为：， 4 分 又由切线过点 ，则 ； 6 分 （2） 由（1）可知，， 令 ，则 . ①当 时，对 ，有 ， 单调递增，无极值点. 8 分 ②当 时， 的图象开口向下，且对称轴为直线 ， 又 ，则 在 时有一根 ， 时， 单调递增， 时， 单调递减. 所以 在 处取得极大值，极大值点为 ，无极小值点. 10 分 ③当 时， 的图象开口向上，. i. 当 ，即 时，有 ，所以当 时， 有 单调递增，无极值点. 11 分 ii. 当 ，即 时，在 时，， 有两个根 . 时， 单调递增； 时， 单调递减； 时， 单调递增. 有极大值点 ，极小值点 . 综上所述， 当 时， 单调递增，无极值点； 当 时， 的极大值点为 ，无极小值点； 当 时， 的极大值点为 ，极小值点为 . 13 分 【点拨】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值，难点在于对参数 的分类讨论，需结合二次函数的图象特征进行分析. 16.（15分）（2025·燕博园·3月检测）已知函数 . （1） 求曲线 在点 处的切线方程； （2） 求函数 的极值； （3） 讨论函数 在 上的单调性. 【答案】（1） （2） 极小值为 ，无极大值 （3） 在 上单调递减 【解析】（1） 由于 定义域为 ， ， 2 分 ，， 故曲线 在点 处的切线方程为：，即 . 5 分 （2） 令 ，则 ， 令 ，则 ， 则函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增. 8 分 故函数 的极小值为 ，无极大值. 10 分 （3） 由于函数 ， 令 ， 则 在区间 上单调递减， 12 分 且 ，， 故 ，使 ，即 ， 当 时，，当 时，， 故 在 上递增，在 上递减. 14 分 故 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，显然，等号不成立， 故 ，故 在 上是减函数. 15 分 【点拨】第（3）问中，通过两次求导研究函数的单调性，并利用隐零点代换结合基本不等式证明导函数恒小于0是解题的关键. 17.（15分）（2025·广东衡水·5月联考）已知函数 . （1） 求 的极值； （2） 证明：. 【答案】（1） 极小值为 ，无极大值 （2） 证明见解析 【解析】（1） ， 1 分 可知当 时，， 单调递减； 2 分 当 时，， 单调递减； 3 分 当 时，， 单调递增， 4 分 故 有极小值 ， 5 分 无极大值. 7 分 （2） 当 时，有 恒成立. 8 分 当 时，构造函数 ，则 ， 10 分 当 时，，故 在 上单调递增， 11 分 于是 ，即 ， 12 分 于是此时 ， 13 分 由（1）可知 ，故 ，故 . 15 分 【点拨】利用导数求出函数的极小值，再通过构造函数 证明 ，结合第（1）问的结论进行放缩证明. 18.（17分）（2026·湖南长郡·二模）函数 . （1） 时，求 在 处的切线方程； （2） 若 有两个极值点，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 时，，， 又 ， 3 分 ， 所以 在 处的切线方程为 ， 即 . 7 分 （2） ， 由题可知 在 有两个变号零点， 10 分 由 ，得 ， 令 ，， 13 分 当 时，， 在 上单调递增， 当 时，， 在 上单调递减， 又 ，，，， 所以 ， 15 分 由 有两个极值点，则 ， 故 . 17 分 【点拨】将极值点个数问题转化为导函数的变号零点个数问题，通过分离参数构造函数，利用导数研究新函数的单调性与最值是解决此类问题的通法. 19.（17分）（2026·安徽铜陵·一模）已知函数 . （1） 若 ，求 的单调区间； （2） ， 成立，求实数 的取值范围； （3） 若 时， 与 的图象有三个交点，横坐标分别为 ，求证：. 【答案】（1） 单调递减区间为，单调递增区间为 （2） （3） 证明见解析 【解析】（1） 当 时，可得 ，可得 ， 令 ，可得 ， 2 分 当 时，，可得 ，即 ， 单调递减； 当 时，，所以 ， 单调递增， 则 ，即 ， 单调递增， 所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 5 分 （2） 令 ， 可得 ， 令 ， 则 ， 7 分 当 时，，，，故 ， 当 时，，，故 ， 所以当 时，可得 ， 单调递增，即 单调递增， ， 当 时，，则 ， 在 上单调递增， 所以 ，所以 成立，满足题意； 10 分 当 时，存在 ，使得 ， 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增， 当 时，，不满足题意， 综上可得，实数 的取值范围为 . 11 分 （3） 当 时，，可得 ， 设 ，可得 ， 设 ，可得 ， 设 ，可得 ， 13 分 当 时，，可得 ， 则 在 上单调递增， 因为 ， 所以存在唯一 ，使得 ， 可得 在 上单调递减，在 上单调递增， ， 所以存在唯一的 ，使得 ， 且 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 由 ，，， 又由 ， 因为 ，可得 ， 可得 ，，所以 ， 则存在唯一 ，使得 ， 15 分 且 在 上单调递增，在 上单调递减， 当 时，，，则 在 上单调递增， 则 ，则存在唯一 ，使得 ， 当 时，，当 时，， 当 时，，可得 ， 在 上单调递增，，， 综上可得，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 要使得 与 的图象有三个交点， 则 ， ，则 ， 又因为 ，则 ，则 ， 所以 ，得证. 17 分 【点拨】本题综合考查了导数在研究函数单调性、极值以及不等式证明中的应用.第（3）问中，通过多次求导确定极值点的大致范围，并结合函数值的大小关系进行放缩是证明的关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 极值与最值·综合测试 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·福州·4月适应）已知函数 有且仅有3个极值点 、、，且 ，则（ 　　） A. 为奇数 B. 为奇数 C. 若，则 D. 若，则 2.（2025·江西上进·5月练兵）函数 在区间 上的极值点个数为（ 　　） A. 675 B. 676 C. 2027 D. 2028 3.（2026·湖南衡阳·一模）已知函数 ，记 的非零极值点为 ，则取 最大值时，（ 　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.（2026·杭州二中·5月测试）已知函数 ，若 ，则 的最小值为（ 　　） A. 1 B. 2 C. D. 5.（2026·浙江绍兴·二模）已知函数 在 上单调递增，则下列各式有最大值的是（ 　　） A. B. C. D. 6.（2026·湖南天壹·5月模拟）已知函数 ，若 ，则 的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 7.（2025·广东上进·5月测评）已知函数 ，则 的极小值为（ 　　） A. B. C. D. 8.已知函数 ， ，则函数 的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·山东济南·二模）已知函数 ，则（ 　　） A. 有两个极值点 B. 当且仅当 C. 当 时， D. 若 ，则 10.（2025·江苏四市·一模）已知函数 ，其导函数为 ，则（ 　　） A. 直线 是曲线 的切线 B. 有三个零点 C. D. 若 在区间 上有最大值，则 的取值范围为 11.（2026·湖南雅礼·模拟）已知函数 ，则（ 　　） A. B. 有4个极值点 C. 在区间 上有零点 D. 在区间 上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2026·河北沧州·二模）设 ，函数 的极小值为 ，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 13.已知函数 ，则 的最大值是＿＿＿＿＿＿. 14.若存在实数 ，使得关于 的不等式 对 恒成立，则 的最大值是＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）（2026·广东汕头·二模）已知函数 . （1） 若曲线 在点 处的切线过点 ，求 的值； （2） 求 的极值点. 16.（15分）（2025·燕博园·3月检测）已知函数 . （1） 求曲线 在点 处的切线方程； （2） 求函数 的极值； （3） 讨论函数 在 上的单调性. 17.（15分）（2025·广东衡水·5月联考）已知函数 . （1） 求 的极值； （2） 证明：. 18.（17分）（2026·湖南长郡·二模）函数 . （1） 时，求 在 处的切线方程； （2） 若 有两个极值点，求 的取值范围. 19.（17分）（2026·安徽铜陵·一模）已知函数 . （1） 若 ，求 的单调区间； （2） ， 成立，求实数 的取值范围； （3） 若 时， 与 的图象有三个交点，横坐标分别为 ，求证：. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $