2025年湖南省初中学业水平考试数学临考金卷

2025年湖南省临考金卷·数学 学校：______________ 班级：______________ 姓名：______________ 全卷总分：120分 考试时间：1200分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.5的相反数是 (　　) A.-5 B.5 C. D.- 2.据国家医保局消息，医保码上线五年以来，截至2024年12月，累计激活量超过12亿人.将“12亿”用科学记数法可表示为 (　　) A.0.12×1010 B.1.2×1010 C.1.2×109 D.12×108 3.如图为一个青花瓷碗，其俯视图为 (　　) 4.下列运算正确的是 (　　) A.a+2b=2ab B.3a2÷a=2a C.(-3a)2=9a2 D.a(a-1)=a2-1 5.如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，且GE⊥EF，∠1=38°，则∠2的大小为 (　　) A.112° B.118° C.122° D.128° 6.为了解某品种大豆的光合作用速率，科研人员从中选取7株，在同等实验条件下，测得它们的光合作用速率(单位：μmol·m-2·s-1)分别为24，22，20，16，19，27，25.这组数据的中位数是 (　　) A.20 B.21 C.22 D.23 7.一次函数y=ax+a(a≠0)的图象大致是 (　　) 8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，连接AC，BC，OD，若∠B=52°，则∠AOD= (　　) A.104° B.109° C.114° D.119° 9.如图，用两个全等且边长为6的等边△ABD和△CDB组成四边形ABCD，连接AC交BD于点O，则下列结论中不正确的是 (　　) A.AC⊥BD B.OD=3 C.AC=3 D.AC平分∠DAB 10.在平面直角坐标系中，若点P(s，t)的坐标满足s+t=s·t，我们规定点P(s，t)为“韦达点”.例如当s=3，t= 时，3+ =3× = ，则点P(3, )为“韦达点”.当s，t均为整数时，则定义点P为“强韦达点”.下列结论正确的是 (　　) A.若点(a-2，a+4)为“韦达点”，则a= B.不存在到坐标轴的距离为1的“韦达点” C.“强韦达点”有且只有1个 D.若P(s，t)为“强韦达点”，则s=t 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分.） 11.计算： ÷ =______. 12.因式分解：m3-9m=______. 13.数学家祖冲之首次将圆周率精算到小数点后第七位，即在3.141 592 6和3.141 592 7之间，小南不知道π的小数点后第8位数字是几，则她能猜对小数点后第8位数字的概率为______. 14.若关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个不相等的实数根，则实数c可以是______. 15.如图，一个正多边形左半部分被覆盖住，其中m,n是正多边形的两条边，若m，n所在直线相交形成直角，则该正多边形的边数为______. 16.视力表中每个“”形图都是正方形结构，已知视力表中的“”形图的边长y与视力值x成反比例关系，即y= (k为常数，k≠0)，当视力值x为0.2时，测得对应行的“”形图边长y为36mm，则当视力值x为0.5时，对应行的“”形图边长y为______mm. 17.如图，在△ABC中，①以点B为圆心，任意长为半径作弧分别交AB，BC边于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧交∠ABC内部于点D，作射线BD；③E为AB的三等分点(靠近点A)，以点E为圆心，EB的长为半径作弧，交射线BD于点G，连接EG交AC于点H，已知AB=6，BC=8，则线段GH的长为______. 18.最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他用一幅“赵爽弦图”极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图①，将菱形ABCD沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的大正方形，记阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，∠ABO=α,若 = ，则tanα的值为______. 三、解答题 19.计算：(π-3)0+|2 -3|-( )-1+ . 20.解不等式组： . 21.湖南湘绣与江苏苏绣、广东粤绣、四川蜀绣并称为中国四大名绣，其起源可以追溯到2 000多年前的春秋战国时期.某工艺品店计划购买A，B两款湘绣共80件，这两款湘绣的进价、售价如下表所示： 进价(元/件) 售价(元/件) A款湘绣 150 200 B款湘绣 110 150 (1)若该工艺品店进货共花费10 000元，则A，B两款湘绣各购进多少件？ (2)若该工艺品店计划销售完A，B两款湘绣所获得的利润不少于3800元，则A款湘绣至少购进多少件？ 22.近年来，湖南省多个地市持续开展校园体育，举办体育竞赛，推动青少年积极参与体育健身，同时也挖掘、培养竞技体育后备人才.某中学积极响应，现就“学生最喜爱的田径运动项目”问题在全校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图. 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次一共调查了______名学生； (2)请补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，“标枪”部分所对应扇形的圆心角度数是______°； (4)若该校共有2700名学生，请你估计该校学生最喜爱的田径运动项目是跳高的学生人数. 23.【综合与实践】某校数学小组为了测量某村宅基地房屋的高度，进行了以下实践活动： a.准备测量工具：测角仪、皮尺等.b.实地测量数据. ①画出房屋侧面示意图如图: 示意图说明：该房屋示意图是由等腰△ABC(∠BAC=120°)和矩形DEFG构成的轴对称图形，对称轴为房屋的高AP所在的直线. ②确定测量方案: 在地面上的点M处架设测角仪，测C点的仰角∠CMF，然后将测角仪沿FM方向前进一段距离到达点N处，测C点的仰角∠CNF. ③测量数据： EF=6m，FM=10m，MN=3m，∠CMF=45°，∠CNF=37°，点E，P，F，M，N在同一条直线上，测角仪的高度忽略不计. 请你根据上述测量数据，计算该宅基地房屋的高度AP.(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73) 24.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC边上一点，且AB=AD，以AD为直径作⊙O，过点D作⊙O的切线交AC于点F. (1)求证：DF=CF； (2)若⊙O的半径为5，BD=12，求BC的长. 25.如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(1，0)，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，K是第三象限抛物线上一动点，连接AK. (1)求a，b的值； (2)如图①，连接BC，AK与BC相交于点D，设DK=t·AD，试探究：当t取最大值时，点K的坐标； (3)如图②，抛物线的对称轴分别与AK，直线BK及x轴交于点Q,F,E，令W=S△AQE+S△BEF，当点K在对称轴左侧时，求证：W为定值. 26.如图，在△ABC中，AB=AC=25，BC=30，在△ADE中，AD=AE=15，DE=18. 【探索发现】 (1)如图①，若AD平分∠BAC，求证：AB⊥DE； 【拓展迁移】 (2)如图②，将△ADE绕点A旋转，连接BD，CD，M，N分别是BD，DE的中点，连接MN. ①试猜想线段MN与CD的数量关系并证明； ②求线段MN的取值范围； (3)若Q为BC的中点，连接CD，将△ADE从图①所示的位置绕点A按顺时针方向旋转α(0°＜α＜360°)的过程中，当以A，D，Q，C为顶点的四边形是平行四边形时，请你求出α的大小及此时CD的长. 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖南省临考金卷·数学 详解详析 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.A 2.C 【解析】12亿=1.2×10×108=1.2×109. 3.C 【解析】从上面往下看，“碗口”是可以看到的“圆形”轮廓线，用实线表示，而“圆柱形底座”是看不见的，用虚线表示.故看到的是两个同心圆，外面的圆画成实线，里面的圆画成虚线. 4.C 【解析】逐项分析如下： 选项 逐项分析 正误 A a与2b不是同类项，不能合并 × B 3a2÷a=3a≠2a × C (-3a)2=9a2 √ D a(a-1)=a2-a≠a2-1 × 5.D 【解析】∵GE⊥EF，∠1=38°，∴∠AEF=90°-38°=52°，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠2=180°，∴∠2=180°-52°=128°. 6.C 【解析】将这组数据按照从小到大的顺序排列：16，19，20，22，24，25，27，则处于最中间位置的数是22，故这组数据的中位数是22. 7.D 【解析】当a＞0时，一次函数y=ax+a的图象呈上升趋势且与y轴交于正半轴，故B，C选项均不正确；当a＜0时，一次函数y=ax+a的图象呈下降趋势且与y轴交于负半轴，故A选项不正确，D选项正确. 8.A 【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°.∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B=52°，∴∠AOD=2∠ACD=104°. 9.C 【解析】根据题意可知AB=BC=CD=AD=6，∴四边形ABCD是菱形，且∠DAB=60°，∴AC⊥BD，AC平分∠DAB，且AC，BD互相平分，∴OD= BD=3，∴AO= =3 ，∴AC=6 ,故C选项错误，符合题意. 10.D 【解析】∵点(a-2，a+4)是“韦达点”，∴a-2+a+4=(a-2)(a+4)，∴a=± ，∴选项A错误；设点P到x轴的距离为1，则|t|=1，∴t=±1，当t=1时，s+1=s，此时方程无解;当t=-1时，-1+s=-s，解得s= ，则P( ，-1)，存在符合条件的点，∴选项B错误；∵点P(s,t)的坐标满足s+t=st,∴t= =1+ ，∵s,t为整数，∴s-1只能是1的约数，即s-1=1或s-1=-1，解得s=2或s=0，当s=2时，代入得t=2；当s=0时，代入得t=0，∴s,t都是整数，∴符合条件的点一共有2个，分别为(2，2)，(0，0),∴选项C错误，选项D正确，故选D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分.） 11.2 12. 13. 　 【解析】∵小数点后第8位数字有0～9共10种等可能的结果，其中能猜出小数点后第8位的数字的只有1种结果，∴P(她能猜对小数点后第8位数字)= . 14.3(答案不唯一)　 【解析】∵关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(-4)2-4c＞0，解得c＜4.∴实数c可以是3. 15.8 【解析】如答案图，延长边m,n交于点C，∵m⊥n，∴∠C=90°，∴正多边形的一个外角为 =45°，∴该正多边形的边数为 =8. 答案图 16.14.4　 【解析】∵y= ，x=0.2,y=36,∴k=xy=0.2×36=7.2，∴当x=0.5时，y= =14.4(mm). 17. 　 【解析】由题意可知，AE= AB=2,BG平分∠ABC，EB=EG，∴∠ABG=∠CBG，∠EBG=∠EGB，∴∠CBG=∠EGB，∴EG∥BC，∴ = ，即 = ，解得EH= ，∵EG=EB=AB-AE=4，∴GH=EG-EH=4- = . 18. 　 【解析】∵AC,BD为菱形ABCD的对角线，∴∠ABO=∠ADO,设AO=a，DO=b，∴DF=a，OF=DO-DF=b-a，∴阴影部分面积S1=4S△DFA=4× AO·DF=4× a2=2a2，在Rt△AOD中，由勾股定理得S正方形=AD2=a2+b2，∴S2=S正方形-S1=b2-a2，∴ = = ，解得25a2=9b2，∴ = ，∵a＞0，b＞0，∴ = ，∴tanα=tan∠ABO=tan∠ADO= = . 三、解答题 19.解：原式=1+3-2 -2+2 =2. 20.解：令 ， 解不等式①得x≥1， 解不等式②得x＜2, ∴不等式组的解集为1≤x＜2. 21.解：(1)设该工艺品店购进A款湘绣x件，购进B款湘绣y件， 由题意可得 ， 解得 ， 答：该工艺品店购进A款湘绣30件，购进B款湘绣50件； (2)设该工艺品店购进A款湘绣m件，则购进B款湘绣(80-m)件， 由题意可得(200-150)m+(150-110)(80-m)≥3800， 解得m≥60， 答：A款湘绣至少购进60件. 22.解：(1)150； 【解法提示】由条形统计图可知，学生最喜爱的田径运动项目是跳远的有54人，由扇形统计图可知，学生最喜爱的田径运动项目是跳远的人数占总人数的36%，∴54÷36%=150（名），故本次一共调查了150名学生. (2)补全条形统计图如答案图； 答案图 【解法提示】由(1)知，本次一共调查了150名学生，结合条形统计图可得，学生最喜爱的田径运动项目是铅球的有150-54-24-30=42(名). (3)72； 【解法提示】 ×360°=72°. (4)2700× =432(名)， ∴估计该校学生最喜爱的田径运动项目是跳高的学生人数为432名. 23.解：如答案图，过点C作CH⊥FM于点H，设CH=x， ∵在Rt△CHM中，∠CMH=45°， ∴CH=HM=x， ∵MN=3， ∴HN=HM+MN=x+3， ∵在Rt△CHN中，tan∠CNH= ， ∴tan37°= ≈0.75， 解得x=9， ∴CH=HM=9， ∵FM=10， ∴FH=FM-HM=1， 易知四边形CGFH是矩形， ∴CG=FH=1， 由题意知四边形DEFG是矩形， ∴DG=EF=6， 设AP与BC交于点Q， 由该房屋示意图关于AP所在直线对称可知，QG=QD= DG=3， ∴CQ=CG+QG=4， ∵在等腰△ABC中，∠BAC=120°， ∴∠ACQ=∠ABC=30°， ∴在Rt△ACQ中，AQ=CQ·tan 30°=4× ≈2.3， ∴AP=AQ+QP=AQ+CH=2.3+9=11.3≈11(m), 答：该宅基地房屋的高度AP约为11m. 答案图 24.(1)证明：∵∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∵DF为⊙O的切线，OD为⊙O的半径， ∴AD⊥DF，即∠ADF=90°， ∴∠ADB+∠FDC=90°， ∵AB=AD， ∴∠B=∠ADB， ∴∠FDC=∠C， ∴DF=CF； (2)解：如答案图，设⊙O与AB交于点E，连接DE， ∵⊙O的半径为5， ∴AB=AD=10， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠AED=90°， 在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE2=AD2-AE2， 在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2=BD2-BE2， ∴AD2-AE2=BD2-BE2， ∵AE+BE=AB=10， ∴102-(10-BE)2=122-BE2， 解得BE= ， ∵∠BAC=90°，∠AED=90°， ∴∠BAC+∠AED=180°， ∴DE∥AC， ∴ = ， ∴ = , ∴BC= . 答案图 25.(1)解：∵抛物线y=ax2+bx-3与y轴交于点C， ∴C(0，-3)，即OC=3, 又∵OB=OC， ∴OB=3， ∵抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A（1，0），B两点，点B在点A左侧， ∴B(-3,0), 把A(1，0)，B(-3，0)代入y=ax2+bx-3中， 得 ， 解得 ， ∴a=1，b=2； (2)解：由(1)得抛物线的解析式为y=x2+2x-3， 设直线BC的解析式为y=kx+n（k≠0）， 将B(-3，0)，C(0，-3)代入y=kx+n中， 得 ，解得 ， ∴直线BC的解析式为y=-x-3， 如解图，过点K作KL∥x轴，交直线BC于点L， 则点K，L的纵坐标相等，即yK=yL, 设K(m，m2+2m-3)， ∴L(-m2-2m，m2+2m-3)， ∴KL=(-m2-2m)-m=-m2-3m， 又∵DK=t·AD， ∴t= ， ∵KL∥x轴， ∴△KDL∽△ADB，∴ = , ∵AB=4, ∴t= = = =- m2- m(-3＜m＜0)， ∵- <0, ∴当m=- =- 时，t取得最大值， ∴m2+2m-3=(- )2+2×(- )-3=- , ∴当t取最大值时，点K的坐标为(- ，- )； 答案图 (3)证明：由y=x2+2x-3得抛物线的对称轴为直线x=-1， 易得点Q,F在x轴下方， ∵B(-3,0),A(1,0), ∴AE=BE= AB=2, 设K(p，p2+2p-3)， 设直线AK的解析式为y=k1x+b1(k1≠0)，将A(1，0)，K(p，p2+2p-3)代入y=k1x+b1中， 得 ，解得 ， ∴直线AK的解析式为y=(p+3)x-p-3， 把x=-1代入y=(p+3)x-p-3中，得y=-2p-6， ∴点Q的坐标为(-1，-2p-6)， ∴QE=0-（-2p-6）=2p+6， 设直线BF的解析式为y=k2x+b2(k2≠0)， 将B(-3，0)，K(p，p2+2p-3)代入y=k2x+b2中， 得 ，解得 ， ∴直线BF的解析式为y=(p-1)x+3p-3， 把x=-1代入y=(p-1)x+3p-3中，得y=2p-2， ∴点F的坐标为(-1，2p-2)， ∴FE=0-（2p-2）=2-2p， ∴W=S△AQE+S△BEF= AE·QE+ BE·FE=QE+FE=(2p+6)+(2-2p)=8， ∴W为定值. 26.(1)证明：∵AB=AC=25，BC=30，AD=AE=15，DE=18， ∴ = = = ， ∴△ADE∽△ACB， ∴∠DAE=∠CAB， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD= ∠BAC= ∠DAE， ∵AD=AE， ∴△ADE是等腰三角形， ∴AB⊥DE； (2)解：①MN= CD； 证明如下：如答案图①，连接BE， 由(1)知△ADE∽△ACB， ∴∠EAD=∠BAC，∴∠EAB=∠DAC， ∵AE=AD，AB=AC， ∴△AEB≌△ADC，∴BE=CD， ∵M是BD的中点，N是DE的中点， ∴MN是△BDE的中位线， ∴MN= BE， ∴MN= CD； 答案图① ②由①得MN= CD， ∴要求MN的取值范围，只要求出CD的取值范围即可， 由题可知，点D的运动轨迹是以点A为圆心，AD长为半径的圆， 当点D在CA的延长线上时，CD的值最大， ∴CD最大值为AC+AD=25+15=40， ∴MN最大值为20， 当点D在AC边上时，CD的值最小， ∴CD最小值为AC-AD=25-15=10， ∴MN最小值为5， ∴线段MN的取值范围为5≤MN≤20； (3)解：∵AB=AC,Q为BC的中点， ∴BQ=CQ= BC=15， ∵AD=15，∴AD=CQ， 分两种情况讨论： ①当AC为边时，如答案图②，连接DQ，AQ，BD,此时四边形ADQC为平行四边形， ∴AD∥BC， ∵AB=AC,Q为BC的中点， ∴AQ⊥BC, ∴α=∠DAQ=∠AQC=90°， ∵AD=BQ=CQ，AD∥BQ， ∴四边形ADBQ是平行四边形， ∴BD∥AQ， ∴∠DBC=∠AQC=90°， ∵AB=AC=25，BC=30，BQ=CQ=15， ∴BD=AQ= =20， ∴CD= =10 ; ②当AC为对角线时，如答案图③，连接AQ，此时四边形AQCD为平行四边形， ∴CD=AQ=20，AD∥CQ， ∴∠QAD=∠AQB=90°， ∴α=270°. 综上所述，当α=90°时，以A，D，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，此时CD的长为10 ;当α=270°时，以A，D，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，此时CD的长为20. 答案图 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $