第十一章 一元一次不等式 易错必刷题型专项训练 2025-2026学年苏科版七年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦一元一次不等式从概念性质到实际应用的全链条训练，12类题型覆盖易错点与核心考法 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念性质|题型1-4（每题4题）|考查不等式性质、一元一次不等式（组）概念及整数解|从概念生成到性质应用，构建基础认知体系| |综合应用|题型5-12（每题4题）|含参数问题、与方程组结合及行程/经济等实际问题|通过参数推理与模型构建，发展运算能力与推理意识，体现数学思维与语言的应用|

专题5 第十一章 一元一次不等式易错必刷题型专项训练 题型1 不等式的性质 题型7 不等式组的行程问题 题型2 一元一次不等式的概念相关 题型8 不等式组的经济问题 题型3 一元一次不等式的整数解 题型9 不等式组的分配问题 题型4 一元一次不等式组的概念相关 题型10 不等式组的方案选择问题 题型5 含参数的一元一次不等式组 题型11 不等式组的阶梯收费问题 题型6 不等式组和方程组结合的问题 题型12 一元一次不等式与实际问题 题型1 不等式的性质 1．若，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式性质逐个验证选项，结合特殊值排除错误选项，即可得到正确答案． 【详解】解：A选项，举反例：当，时，满足，即，但，不满足，故A错误； B选项，当时，，不等式两边同除以负数，不等号方向改变，得，故B错误； C选项，，不等式两边同时减，得， 又，，故C错误； D选项，，不等式两边同时加，得， 又，一定成立，故D正确． 2．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合不等式的基本性质逐一判断选项即可． 【详解】解：已知 对于选项A ∵不等式两边加同一个整式，不等号方向不变，且 ∴，A错误． 对于选项B ∵不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，且， ∴，B正确． 对于选项C 取反例：，，，满足 此时，，，不满足，C错误． 对于选项D ∵，两边乘得，又，不等式两边除以同一个负数，不等号方向改变 ∴，D错误． 3．已知，，是三个非负数，且满足，，设，则的最大值为________． 【答案】 【分析】将和用表示，将用表示，求出的取值范围，然后根据不等式的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵，，是三个非负数， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴的最大值为12． 4．已知，则________（填“”“”或“”）． 【答案】< 【详解】解：， 不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得， 不等式两边同时加上，不等号方向不变，得． 题型2 一元一次不等式的概念相关 5．下列不等式中是一元一次不等式的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义逐一判断选项，即可得到答案，一元一次不等式需满足：只含有一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式． 【详解】解：选项A：，只含1个未知数，的次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式定义； 选项B：含有两个未知数，不符合定义； 选项C：不含未知数，不符合定义； 选项D：中未知数的次数为2，不符合定义． 6．如图表示的是关于的不等式的解集，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据数轴确定不等式的解集为，根据不等式的性质可知的系数为负数，从而求出的取值范围． 【详解】由数轴可知，原不等式的解集为 ． 原不等式可变形为：， 解集的不等号方向与原不等式相反， ，解得， 此时，即 ，符合题意． 的取值范围是． 7．若关于x的不等式是一元一次不等式，则m的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的不等式是一元一次不等式， ∴， ∴． 8．已知，要使成立，那么a的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：已知，要使成立，那么， 解得：． 题型3 一元一次不等式的整数解 9．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（     ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】解题时无需分别解出，直接将方程组两个方程相加得到目标式，再代入不等式求出的取值范围，即可得到最小整数解． 【详解】解：， 由①+②得：， 方程组的解满足， ， 解得， 为整数， 的最小整数解为，故选C． 10．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解，．类似地，方程的正整数解的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将方程变形，用表示，再根据均为正整数的条件，列举所有符合条件的解，即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵ 方程为，且为正整数， ∴ 变形得， ∵是正整数， ∴， 解得， 又∵是正整数， ∴的取值为，对应得到： 当时，； 当时，； 当时，，均满足条件， 因此方程共有个正整数解． 11．若关于x的不等式只有4个正整数解，则m的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：∵关于的不等式只有个正整数解， ∴正整数解是：， ∴的取值范围是． 12．解不等式，并写出此不等式的非正整数解． 【答案】 ，非正整数解为，， 【详解】解： ， ∴不等式的解集为， ∴该不等式的非正整数解是，，． 题型4 一元一次不等式组的概念相关 13．下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③，其中x的最高次数是2，不是一元一次不等式组； ④，第二个不等式中分母含有未知数，不是一元一次不等式组； ⑤，含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ⑥是一元一次不等式组； ⑦，整理得，其中x的最高次数是2，不是一元一次不等式组； 综上，是一元一次不等式组的有3个． 14．下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断选项，一元一次不等式组需满足：由几个含同一个未知数的一元一次不等式组成，一元一次不等式要求未知数个数为1，未知数次数为1，不等号两边均为整式． 【详解】解：A选项不等式含两个未知数，不符合要求； C选项第一个式子是等式，且未知数次数为2，不符合要求； D选项第二个不等式中是分式，不是整式，不符合要求； B选项两个不等式都只含一个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式组的定义． 15．下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 16．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 题型5 含参数的一元一次不等式组 17．若不等式组的解集为，则的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的求解，利用解集的对应关系求未知参数，再代入计算幂的值，先解出不等式组的解集，再结合已知解集得到a和b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， 解不等式①得； 解不等式②得， ∵不等式组的解集为 ∴， 解得：， 将代入得． 18．已知关于的不等式组的正整数解有三个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式组正整数解的个数确定参数的取值范围，先解出不等式组的解集，再结合正整数解的个数列出关于的不等式即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的正整数解有三个， ∴三个正整数解为， ． 19．若不等式组的解集为，则的取值范围是_________________． 【答案】 【详解】解：由题意，，解得. 20．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） (2)若不等式组的一个“相依方程”的解是整数，求这个关于的“相依方程”中的值； (3)若方程和都是关于的不等式组的“相依方程”，则的取值范围是 ． 【答案】(1)②③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求出三个一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集即可得到答案； （2）先求出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解，进而把所求的整数解代入一元一次方程中求出a的值即可； （3）先求出两个“相依方程”的解，然后求出不等式组的解，然后根据“相依方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ①， 解得：，不是一元一次不等式组的解， ②， 解得：，是一元一次不等式组的解， ③， 解得：，是一元一次不等式组的解， ∴不等式组的“相依方程”是②③； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为或， 若是的解，则 ，解得：； 若是的解，则 ，解得：； 综上所述，或； （3）解：解方程得：， 解方程得：， 解关于的不等式组得：， ∵方程和都是关于的不等式组的“相依方程”， ∴和是的解， ∴， ∴的取值范围是． 题型6 不等式组和方程组结合的问题 21．如果关于x、y的方程组的解都是负数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】将看作已知数，求出方程组的解，根据方程组的解都是负数列出关于的不等式组，求解不等式组即可得到结果. 【详解】解：解方程组，得， ∵方程组的解是负数，即，， ∴， 解第一个不等式得，解第二个不等式得； ∴不等式组无解. 22．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，进一步进行计算，即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 23．阅读理解： 定义：若一个未知数的值使方程（组）与不等式（组）同时成立，则称这个未知数的值是该方程（组）与不等式（组）的“关联公共解”．例如：当时，方程与不等式同时成立，则称“”是方程与不等式的“关联公共解”． 问题解决： (1)方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“关联公共解”_________ ①    ②    ③ (2)若方程组与不等式存在“关联公共解”，求的取值范围． (3)当时，方程的解都是此方程与不等式的“关联公共解”．若且满足条件的整数有且只有2个，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】（1）先解方程得到的值，再逐一验证不等式（组）； （2）通过方程组变形得到的表达式，代入不等式求解的范围； （3）先根据条件得到的取值范围，再根据整数的个数列出不等式组求解的范围． 【详解】（1）解方程 解得 ① 解不等式得，不满足，不是“关联公共解” ② 解不等式得，，满足，是“关联公共解” ③ 解不等式组 得，解集为，满足，是“关联公共解” （2）解：已知 得： 因为方程组与不等式存在“关联公共解” 所以 即 解得． （3）解：解方程得 因为，所以， ∴，即所有满足条件的方程的解都小于4 解不等式， ∴， ∵， ∴， 要使恒成立，则 ∵， ∴，即整数满足且整数有且只有2个，这两个整数为、，因此： ∴ 24．已知方程组的解满足为负数，为非正数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当取何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) 和 【分析】（1）求出方程组的解，根据方程组的解的情况，列出不等式组，进行求解即可； （2）根据不等式的性质，得到，结合（1）中的取值范围，进行求解即可. 【详解】（1）解：解方程组， 两式相加得，解得. 两式相减得，解得. 根据题意可得，代入得. 解得； （2）解：对不等式整理得， 不等式的解集为，不等号方向改变. ，解得； 由（1）知， ∴， 该范围内的整数为和， 即符合条件的整数为和. 题型7 不等式组的行程问题 25．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 26．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 【答案】17.5 【分析】首先设汽车的速度，根据题意分别表示汽车绿灯通过B，C两个路口应满足的时间范围，进而确定出速度的取值范围． 【详解】设汽车的绿波速度为v m/s，设车辆从A路口出发的时刻为0，则到达B路口的时间为 s，到达C路口的时间为 s． 红绿灯的循环周期为． 根据各路口绿灯亮起的时间规律，则有 B路口的绿灯时间段满足，其中k为非负整数， C路口的绿灯时间段满足，其中n为非负整数． 要求v的最大值，由于v越大，tB，tC越小，因此从最小的非负整数开始讨论： 当时，解不等式得， 当时，不等式得． 所以“绿波速度”的取值范围为10 ≤ v ≤ 17.5， 所以的最大值是17.5 m/s． 27．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 28．如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒．各路口红绿灯随时间 （秒）的变化情况如图②所示，例如当 时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯．已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计） 请根据上述信息，解决下列问题： (1)甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即 ）通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由； (2)乙驾驶汽车在道路上以速度 （米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即 ）通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度 的取值范围； (3)对于匀速行驶的汽车，是否存在速度 （米/秒），使得该车在 秒内（含0秒和20秒）任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口．若存在，请直接写出 的取值范围；若不存在，请说明理由． （说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．） 【答案】(1)能不停车通过B路口，理由如下： 甲到达B路口的时间是（秒）， 由图②可知，路口B处于绿灯状态， ∴甲驾驶汽车能不停车通过B路口； (2) (3)或 【分析】（1）求出甲到达B路口的时间，根据图②判断即可； （2）设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s，要使其在100秒前能不停车连续通过B，C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口，据此列出不等式组，求解即可； （3）分汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口；和在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，两种情况，分别列出不等式组求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s， ∴． ∵要使其在100秒前能不停车连续通过B，C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口， ∴，且， 解得 且 ， ∴满足条件的行驶速度v的取值范围为； （3）解：当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得 ； ∴汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满足． 当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； ∴汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满足． 综上所述，v的取值范围为或． 题型8 不等式组的经济问题 29．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 30．学校计划购买办公椅和会议桌共件，以改善教师办公环境．计划中，办公椅每把元，会议桌每张元，总预算元．实际采购时，商家给予优惠：办公椅打九折，会议桌降价出售且降价幅度不超过原价的．最终，办公椅的购买量增加，会议桌数量不变，实际支出比计划多元．则学校实际购买了办公椅___________把． 【答案】或或或或 【分析】先列方程求出原计划办公椅和会议桌的购买数量，再设实际购买办公椅把，会议桌每张实际价格为元，根据题意列出等式，变形得，由题意可知，从而得到关于的不等式，求解并判断其中的整数解即可． 【详解】解：设原计划购买办公椅把，则计划购买会议桌张， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴会议桌购买数量为（张）， 设实际购买办公椅把，会议桌每张实际价格为元， 根据题意可得：， ∴， ∵会议桌降价幅度不超过原价的， ∴，即， ∴， 解得， ∵是整数， ∴， ∴，，，，， ∴学校实际购买了办公椅为或或或或把． 31．为响应苏超联赛“绿茵筑梦，少年同行”校园推广活动，丰富校园足球文化生活，某校准备采购足球训练器材和赛事宣传展板，用于足球社团训练及校园文化展示．已知：购买2套训练器材和3块宣传展板共需300元；购买4套训练器材和1块宣传展板共需260元． (1)求每套训练器材、每块宣传展板的单价； (2)学校计划购进两种物品共12件，宣传展板数量不少于训练器材数量的一半，总采购资金不超过680元，求共有几种可行购买方案． 【答案】(1)每套训练器材单价48元，每块宣传展板单价68元； (2)共有2种可行购买方案. 【分析】（1）设每套训练器材需要元，每块宣传展板需要元，可得，进一步解方程组即可； （2）设购买训练器材个，则购买宣传展板个，可得，进一步解不等式组即可. 【详解】（1）解：设每套训练器材需要元，每块宣传展板需要元， 由题意得：， 解得：， 答：每套训练器材单价48元，每块宣传展板单价68元； （2）解：设购买训练器材个，则购买宣传展板个， ∵宣传展板数量不少于训练器材数量的一半，总采购资金不超过680元， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的值可为7，8， ∴共有2种可行购买方案． 32．某早餐店主营牛奶、面包和饭团，其店内海报如图，请根据海报信息解答如下问题： (1)若某同学购买3杯牛奶和2个饭团，则他最低需花费______元； (2)某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，通过零售和套餐销售两种方式全部售出，当天总收入超过1500元．若两种套餐售出数量恰好相等，则每种套餐最多售出多少份？ 【答案】(1)20 (2)每种套餐最多售出39份 【分析】（1）购买两个套餐①，再买一杯牛奶即可； （2）设每种套餐售出x份，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：（元） 答：若某同学购买3杯牛奶和2个饭团，则他最低需花费20元； （2）解：设每种套餐售出x份， 根据题意得， 解得 ∵x是整数 ∴x的最大值为39 ∴每种套餐最多售出39份． 题型9 不等式组的分配问题 33．把若干支钢笔分给班级同学，若每人分支，剩余支；若每人分支，则最后一名同学也分到了钢笔，但钢笔数量不足支．设班级共有名学生，据此列出不等式组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意得到钢笔总数，再表示出最后一名同学分得的钢笔数量，结合数量范围列出不等式组即可. 【详解】解：班级共有名学生，每人分支剩余支， 钢笔总数为支， 若每人分支，只有最后一名同学分得的数量不足支，则前名同学共分得支， 最后一名同学分得的钢笔数量为支， 最后一名同学分到钢笔数量大于，且不足支， ． 34．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分本，则多本；若每人分本，则最后一人分到了书但不到本书．共有________学生． 【答案】 【分析】设一共有名学生，根据每人分本，则多本，可知图书共有本，根据每人分本，则最后一人分到了书但不到本书，列不等式组求解． 【详解】解：设一共有名学生，则图书共有本， 由题意得：， 解得：， 又学生人数为正整数， ， 学生人数为． 35．某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 【答案】 共有名同学 【分析】结合题意列出一元一次不等式组即可得解． 【详解】解：设共有名同学，则这些书有本， ， 解得， 为整数， ， 共有名同学． 36．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 【答案】(1)解：3；4 (2)解：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； (3)解：最多可以制作横式纸盒20个． 【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可； （1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可； （3）设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个，根据题意列不等式组，求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型， 故答案为：3，4； （2）解：设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得， ，解得， 答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； （3）解：设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个， ∴， 由①得， 代入③得：， ∴， ∴（）， 由， 则， 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵t是整数， 解得t的最大值为20， 在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒20个． 题型10 不等式组的方案选择问题 37．已知温柑一个要4文钱，绿橘一个要2文钱，匾橘一个只要1文钱．现在拿70文钱买这三种橘子（都买），总共买60个．请根据以上内容计算总共有（    ）种购买方案． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意设未知数列出方程，结合三种橘子都买即，，均为正整数的条件，枚举得到符合要求的方案数即可． 【详解】设购买温柑个，绿橘个，匾橘个，由题意得均为正整数， 用第二个方程减去第一个方程消去得：，即 三种橘子都买， ，解得 为正整数， 可取： 当时，，满足，符合要求； 当时，，满足，符合要求； 当时，，满足，符合要求； 因此总共有种购买方案． 38．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 39．综合与实践： 【背景】夏季来临之际，某电器商城想通过市场调研了解如何采购电风扇才能获取最大销售利润． 【素材】素材1：市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为140元，B型号的进价为120元；素材2：该电器商城在销售过程中发现：销售2台A型号电风扇和3台B型号电风扇，共获得销售收入810元；销售5台A型号电风扇和1台B型号电风扇，共获得销售收入1050元． 【任务】 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若A种型号的电风扇购买数量不超过31台，则该电器商城销售完这50台电风扇能否实现利润超过1780元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为180元、150元． (2)能，采购方案有三种：方案一：采购A型号电风扇29台，B型号电风扇21台；方案二：采购A型号电风扇30台，B型号电风扇20台；方案三：采购A型号电风扇31台，B型号电风扇19台． 【分析】（1）设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）根据题意求得，且m为正整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为x元、y元， 由题意，得， 解得， 答：A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为180元、150元； （2）解：根据题意，得， 解得， 又，且m为正整数， ∴，且m为正整数， 所以m可以取29、30、31， 故采购方案有三种： 方案一：采购A型号电风扇29台，B型号电风扇21台； 方案二：采购A型号电风扇30台，B型号电风扇20台； 方案三：采购A型号电风扇31台，B型号电风扇19台． 40．开学初，小芳和小亮去商店购买中性笔和笔记本，小芳用17元钱买了1支中性笔和3本笔记本，小亮用元买了同样的中性笔支和笔记本本； (1)求每支中性笔和每本笔记本的价格； (2)运动会结束后，班主任把奖励金交给班长，购买上述价格的中性笔和笔记本共件作为奖品，叮嘱他使用这笔钱购买不能超过180元的奖品，并要求笔记本数不少于中性笔数，共有多少种购买方案？ 【答案】(1)每支中性笔元，每本笔记本元 (2)共有5种购买方案 【分析】（1）设每支中性笔的价格为 元，每本笔记本的价格为元，根据“小芳用元买了支中性笔和本笔记本；小亮用元买了同样的中性笔支和笔记本本”，即可得出关于 、的二元一次方程组，解方程组可得出结论． （2）设中性笔支，笔记本本，根据笔记本数不少于中性笔数，总费用不超过，列出不等式组，再进行求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设每支中性笔和每本笔记本的价格分别为元，元，根据题意得： 解得： 答：每支中性笔元，每本笔记本元． （2）解：设中性笔支，笔记本本，则根据题意，得 解得： ∵ 为正整数， ∴a可取20，21，22，23，24， ∴共有5种购买方案，分别是： 方案1：购买中性笔20支，笔记本28本． 方案2：购买中性笔21支，笔记本27本． 方案3：购买中性笔22支，笔记本26本． 方案4：购买中性笔23支，笔记本25本． 方案5：购买中性笔24支，笔记本24本． 题型11 不等式组的阶梯收费问题 41．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 42．大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 【答案】 【详解】根据该名乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 43．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 44．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 题型12 一元一次不等式与实际问题 45．某品牌的饮料有大瓶装和小瓶装两种型号，进价与售价如下表所示，已知超市花3000元购进了该品牌的饮料共800瓶． 大瓶装 小瓶装 进价（元/瓶） 5 3 售价（元/瓶） 8 5 (1)该超市分别购进大瓶装和小瓶装多少瓶？ (2)在售出小瓶装200瓶后，该超市开展“”促销活动，决定把一定数量的小瓶装作为赠品与大瓶装捆绑销售，并将剩余小瓶装的售价降低1元．如果这批饮料全部售完后，超市所获利润不低于1500元，那么小瓶装最多赠出多少瓶？ 【答案】(1)该超市购进大瓶装300瓶，小瓶装500瓶 (2)小瓶装最多赠出25瓶 【分析】（1）设该超市购进大瓶装x瓶，小瓶装y瓶，根据超市花3000元购进了该品牌的饮料共800瓶建立方程组求解即可； （2）设小瓶装赠出m瓶，根据利润不低于1500元建立不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设该超市购进大瓶装x瓶，小瓶装y瓶， 由题意得，， 解得， 答：该超市购进大瓶装300瓶，小瓶装500瓶； （2）解：设小瓶装赠出m瓶， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为25， 答：小瓶装最多赠出25瓶． 46．辐射诱变育种，又称辐射育种或核能育种，是指利用X射线、γ射线、中子、离子束或电子束等电离辐射源照射植物种子、植株或其他生物材料，诱发其遗传物质 发生可遗传的突变，进而从中筛选和培育具有高产、早熟、抗病、抗逆、优质等优良性状新品种的一种育种方法．我国培育成功的辐射诱变育种盆栽新品彩叶草价格为29元/盆，精品盆栽菊花价格为99元/盆． (1)某公司计划购买这两种辐射诱变育种盆栽共200盆，若购买这两种盆栽的总价为10000元，请计算购买新品彩叶草和精品盆栽菊花的盆数． (2)若该公司购买这两种辐射诱变育种盆栽的预算资金不超过9000元，所需购买两种盆栽的总数仍为200盆，则最多可购买精品盆栽菊花多少盆? 【答案】(1)购买新品彩叶草140盆，购买精品盆栽菊花60盆 (2)45盆 【分析】（1）设购买新品彩叶草x盆，购买精品盆栽菊花y盆．公司计划购买这两种辐射诱变育种盆栽共200盆，若购买这两种盆栽的总价为10000元，据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购买精品盆栽菊花m盆，则购买新品彩叶草盆，该公司购买这两种辐射诱变育种盆栽的预算资金不超过9000元，据此列出不等式并解不等式即可． 【详解】（1）解：设购买新品彩叶草x盆，购买精品盆栽菊花y盆． 由题意得 解得 答：购买新品彩叶草140盆，购买精品盆栽菊花60盆． （2）解：设购买精品盆栽菊花m盆，则购买新品彩叶草盆， 由题意得， 解得． 答：最多可购买精品盆栽菊花45盆． 47．学校准备了A，B两种食品作为午餐，这两种食品营养成分表如下： A营养成分表 B营养成分表 项目 每 项目 每 热量 热量 蛋白质 蛋白质 脂肪 脂肪 碳水化合物 碳水化合物 钠 钠 (1)从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)运动量大的人对蛋白质的摄入量较多，若每份午餐选用这两种食品共7包，其中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】(1)应选用A食品2包，B食品4包 (2)应选用A食品4包，B食品3包 【分析】（1）根据摄入的总热量和总蛋白质含量列二元一次方程组求解即可； （2）先根据蛋白质的摄入量要求列一元一次不等式得到A食品数量的取值范围，再列出总热量关于A食品数量的一次函数，利用一次函数的性质求解最低热量对应的选取方案． 【详解】（1）解：设选用A食品x包，B食品y包， 根据题意得， 解得：， ∴应选用A食品2包，B食品4包． （2）解：设选用A食品a包，则选用B食品包， ∵a为非负整数， 根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴，且a为整数， 设总热量为， 则， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w最小，此时， 即应选用A食品4包，B食品3包． 48．根据以下素材，探究并完成任务． 背景 目前，无人机外卖已在深圳、北京、上海、广州、香港实现常态化运营，其中深圳覆盖范围最广． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动： ①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 问题解决 (1)任务1：该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元？ (2)任务2：某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买件（），①若使用无人机配送商品，则共需要 元；②若不使用无人机配送商品，则共需要 元．（结果用含的代数式表示，要求化简） (3)任务3：请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买A商品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？ 【答案】(1)该商店在无促销活动时，A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元 (2)， (3)当时，使用无人机配送商品更合算 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）先确定购买B商品的数量为件，再根据两种促销方案的折扣规则，结合任务1求得的单价，分别计算使用无人机配送和不使用无人机配送时的总费用，用含a的代数式表示； （3）根据使用无人机配送更合算，建立一元一次不等式，求解不等式并结合a的范围，确定购买A商品数量的范围． 【详解】（1）解：设该商店在无促销活动时，商品的销售单价是元，商品的销售单价是元， 由题意得，， 解得：． 答：该商店在无促销活动时，商品的销售单价是160元，商品的销售单价是200元． （2）解：由题意得，A商品购买件，B商品购买件， ①若使用无人机配送商品，共需要（元）； ②若不使用无人机配送商品，共需要（元）． （3）解：由题意得：， 解得：， ， ． 答：当时，使用无人机配送商品更合算． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5 第十一章 一元一次不等式易错必刷题型专项训练 题型1 不等式的性质 题型7 不等式组的行程问题 题型2 一元一次不等式的概念相关 题型8 不等式组的经济问题 题型3 一元一次不等式的整数解 题型9 不等式组的分配问题 题型4 一元一次不等式组的概念相关 题型10 不等式组的方案选择问题 题型5 含参数的一元一次不等式组 题型11 不等式组的阶梯收费问题 题型6 不等式组和方程组结合的问题 题型12 一元一次不等式与实际问题 题型1 不等式的性质 1．若，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，是三个非负数，且满足，，设，则的最大值为________． 4．已知，则________（填“”“”或“”）． 题型2 一元一次不等式的概念相关 5．下列不等式中是一元一次不等式的是（） A． B． C． D． 6．如图表示的是关于的不等式的解集，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．若关于x的不等式是一元一次不等式，则m的值为_______． 8．已知，要使成立，那么a的取值范围是__________． 题型3 一元一次不等式的整数解 9．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（     ）． A．4 B．3 C．2 D．1 10．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解，．类似地，方程的正整数解的个数是（     ） A． B． C． D． 11．若关于x的不等式只有4个正整数解，则m的取值范围为______． 12．解不等式，并写出此不等式的非正整数解． 题型4 一元一次不等式组的概念相关 13．下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 15．下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 16．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是_________． 题型5 含参数的一元一次不等式组 17．若不等式组的解集为，则的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 18．已知关于的不等式组的正整数解有三个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 19．若不等式组的解集为，则的取值范围是_________________． 20．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） (2)若不等式组的一个“相依方程”的解是整数，求这个关于的“相依方程”中的值； (3)若方程和都是关于的不等式组的“相依方程”，则的取值范围是 ． 题型6 不等式组和方程组结合的问题 21．如果关于x、y的方程组的解都是负数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D．无解 22．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 23．阅读理解： 定义：若一个未知数的值使方程（组）与不等式（组）同时成立，则称这个未知数的值是该方程（组）与不等式（组）的“关联公共解”．例如：当时，方程与不等式同时成立，则称“”是方程与不等式的“关联公共解”． 问题解决： (1)方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“关联公共解”_________ ①    ②    ③ (2)若方程组与不等式存在“关联公共解”，求的取值范围． (3)当时，方程的解都是此方程与不等式的“关联公共解”．若且满足条件的整数有且只有2个，求的取值范围． 24．已知方程组的解满足为负数，为非正数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当取何整数时，不等式的解集为？ 题型7 不等式组的行程问题 25．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 26．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 27．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 28．如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒．各路口红绿灯随时间 （秒）的变化情况如图②所示，例如当 时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯．已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计） 请根据上述信息，解决下列问题： (1)甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即 ）通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由； (2)乙驾驶汽车在道路上以速度 （米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即 ）通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度 的取值范围； (3)对于匀速行驶的汽车，是否存在速度 （米/秒），使得该车在 秒内（含0秒和20秒）任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口．若存在，请直接写出 的取值范围；若不存在，请说明理由． （说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．） 题型8 不等式组的经济问题 29．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 30．学校计划购买办公椅和会议桌共件，以改善教师办公环境．计划中，办公椅每把元，会议桌每张元，总预算元．实际采购时，商家给予优惠：办公椅打九折，会议桌降价出售且降价幅度不超过原价的．最终，办公椅的购买量增加，会议桌数量不变，实际支出比计划多元．则学校实际购买了办公椅___________把． 31．为响应苏超联赛“绿茵筑梦，少年同行”校园推广活动，丰富校园足球文化生活，某校准备采购足球训练器材和赛事宣传展板，用于足球社团训练及校园文化展示．已知：购买2套训练器材和3块宣传展板共需300元；购买4套训练器材和1块宣传展板共需260元． (1)求每套训练器材、每块宣传展板的单价； (2)学校计划购进两种物品共12件，宣传展板数量不少于训练器材数量的一半，总采购资金不超过680元，求共有几种可行购买方案． 32．某早餐店主营牛奶、面包和饭团，其店内海报如图，请根据海报信息解答如下问题： (1)若某同学购买3杯牛奶和2个饭团，则他最低需花费______元； (2)某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，通过零售和套餐销售两种方式全部售出，当天总收入超过1500元．若两种套餐售出数量恰好相等，则每种套餐最多售出多少份？ 题型9 不等式组的分配问题 33．把若干支钢笔分给班级同学，若每人分支，剩余支；若每人分支，则最后一名同学也分到了钢笔，但钢笔数量不足支．设班级共有名学生，据此列出不等式组为（     ） A． B． C． D． 34．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分本，则多本；若每人分本，则最后一人分到了书但不到本书．共有________学生． 35．某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 36．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 题型10 不等式组的方案选择问题 37．已知温柑一个要4文钱，绿橘一个要2文钱，匾橘一个只要1文钱．现在拿70文钱买这三种橘子（都买），总共买60个．请根据以上内容计算总共有（    ）种购买方案． A．2 B．3 C．4 D．5 38．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 39．综合与实践： 【背景】夏季来临之际，某电器商城想通过市场调研了解如何采购电风扇才能获取最大销售利润． 【素材】素材1：市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为140元，B型号的进价为120元；素材2：该电器商城在销售过程中发现：销售2台A型号电风扇和3台B型号电风扇，共获得销售收入810元；销售5台A型号电风扇和1台B型号电风扇，共获得销售收入1050元． 【任务】 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若A种型号的电风扇购买数量不超过31台，则该电器商城销售完这50台电风扇能否实现利润超过1780元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 40．开学初，小芳和小亮去商店购买中性笔和笔记本，小芳用17元钱买了1支中性笔和3本笔记本，小亮用元买了同样的中性笔支和笔记本本； (1)求每支中性笔和每本笔记本的价格； (2)运动会结束后，班主任把奖励金交给班长，购买上述价格的中性笔和笔记本共件作为奖品，叮嘱他使用这笔钱购买不能超过180元的奖品，并要求笔记本数不少于中性笔数，共有多少种购买方案？ 题型11 不等式组的阶梯收费问题 41．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 42．大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 43．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 44．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 题型12 一元一次不等式与实际问题 45．某品牌的饮料有大瓶装和小瓶装两种型号，进价与售价如下表所示，已知超市花3000元购进了该品牌的饮料共800瓶． 大瓶装 小瓶装 进价（元/瓶） 5 3 售价（元/瓶） 8 5 (1)该超市分别购进大瓶装和小瓶装多少瓶？ (2)在售出小瓶装200瓶后，该超市开展“”促销活动，决定把一定数量的小瓶装作为赠品与大瓶装捆绑销售，并将剩余小瓶装的售价降低1元．如果这批饮料全部售完后，超市所获利润不低于1500元，那么小瓶装最多赠出多少瓶？ 46．辐射诱变育种，又称辐射育种或核能育种，是指利用X射线、γ射线、中子、离子束或电子束等电离辐射源照射植物种子、植株或其他生物材料，诱发其遗传物质 发生可遗传的突变，进而从中筛选和培育具有高产、早熟、抗病、抗逆、优质等优良性状新品种的一种育种方法．我国培育成功的辐射诱变育种盆栽新品彩叶草价格为29元/盆，精品盆栽菊花价格为99元/盆． (1)某公司计划购买这两种辐射诱变育种盆栽共200盆，若购买这两种盆栽的总价为10000元，请计算购买新品彩叶草和精品盆栽菊花的盆数． (2)若该公司购买这两种辐射诱变育种盆栽的预算资金不超过9000元，所需购买两种盆栽的总数仍为200盆，则最多可购买精品盆栽菊花多少盆? 47．学校准备了A，B两种食品作为午餐，这两种食品营养成分表如下： A营养成分表 B营养成分表 项目 每 项目 每 热量 热量 蛋白质 蛋白质 脂肪 脂肪 碳水化合物 碳水化合物 钠 钠 (1)从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)运动量大的人对蛋白质的摄入量较多，若每份午餐选用这两种食品共7包，其中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 48．根据以下素材，探究并完成任务． 背景 目前，无人机外卖已在深圳、北京、上海、广州、香港实现常态化运营，其中深圳覆盖范围最广． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动： ①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 问题解决 (1)任务1：该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元？ (2)任务2：某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买件（），①若使用无人机配送商品，则共需要 元；②若不使用无人机配送商品，则共需要 元．（结果用含的代数式表示，要求化简） (3)任务3：请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买A商品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $