云南文山州马关县第一中学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

马关县第一中学2025年秋季学期高二年级第一次月考试卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． A． B． C． D． 2．已知集合，，则“”是“”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知点，，则直线的倾斜角为 A． B． C． D． 4．已知平面的一个法向量，内有一点，外有一点，则点到平面的距离为 A． B． C． D． 5．如图1，西周琱（diāo）生簋（guǐ）是贵族琱生为其祖先制作的宗庙祭祀时使用的青铜器．该青铜器可看成由上、下两部分组成，其中上面的部分可看作圆台，下面的部分可看作圆柱，且圆柱和圆台的高之比约为5∶3，圆台的上底面与圆柱的底面完全重合，圆台上、下底面直径之比约为4∶5，则圆柱与圆台的体积之比约为 A．80∶81 B．80∶61 C．9∶8 D．1∶2 6．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为 A． B． C． D． 7．已知两平行直线：与：之间的距离为，则 A． B．或 C． D．或 8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的长轴长为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数满足，则 A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递减 D．在区间上有两个零点 10．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有 A． B． C．若，且，则 D．若且，则 11．加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图2所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆：相切，则下列说法正确的是 A．椭圆的左焦点为 B．椭圆的蒙日圆方程为 C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为14 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：11，15，17，，25，26，27，34，37，38，若该组数据的40%分位数为24，则__________． 13．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 14．已知点为圆：上位于第一象限内的点，过点作圆：的两条切线，，切点分别为，，直线，分别交轴于，两点，则__________；__________．（第一空3分，第二空2分） 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 圆的圆心为，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）直线：与圆交，两点，且，求的值． 16．（本小题满分15分） 已知在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，，的角平分线交于，求的值． 17．（本小题满分15分） 如图3甲，在直角梯形中，，，，为的中点．把沿翻折，使得平面平面，如图乙． （1）求证：； （2）若为线段的中点，求与平面所成角的正弦值． 18．（本小题满分17分） 每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，（）．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）在第一轮比赛中，求甲，乙至少有一人胜出的概率； （2）若甲，乙两轮都失败的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求，的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 19．（本小题满分17分） 已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线与直线的斜率之积为．过点且不与轴重合的直线与椭圆交于、两点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与直线交于点，过作轴的垂线，垂足为，直线、分别交轴于点、，证明：为的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 马关县第一中学2025年秋季学期高二年级第一次月考试卷 数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C C B D B D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 ABD ABC BD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 23 2； 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）设圆的半径为，则，（3分） 故圆的标准方程为：．（5分） （2）设圆心到直线：的距离为，则，（7分） 由垂径定理得：，即，（10分） 解得：或．（13分） 16．（本小题满分15分） 解：（1）， 由正弦定理得，，（2分） ，（3分） ，（4分） ， ，，即，（5分） ，．（6分） （2）由余弦定理得，， ，解得或（舍去），（9分） 如图1，由，（12分） ，（14分） ．（15分） 17．（本小题满分15分） （1）证明：在中，，且为中点，则，（1分） 平面平面，平面平面，平面， 所以平面，（4分） 且平面，所以．（6分） （2）解：在直角梯形中，，， 所以，， 则，， 又，分别为，的中点， ，，（8分） 以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图2的空间直角坐标系，（9分） 则，，，，，（10分） 可得，，， 令平面的一个法向量为， 由令，则，， 可得，（12分） 令与平面所成角为， 则，（14分） 即与平面所成角的正弦值为．（15分） 18．（本小题满分17分） 解：（1）方法一：设事件“第轮比赛中甲胜出”，事件“第轮比赛中乙胜出”， 记事件“第一轮比赛中甲，乙至少有一人胜出”，则． 由题意得，相互独立，且，，，，互斥． 所以 ， 因此第一轮比赛中甲，乙至少有一人胜出的概率为．（6分） 方法二：设事件“第轮比赛中甲胜出”，事件“第轮比赛中乙胜出”， 记事件“第一轮比赛中甲，乙至少有一人胜出”，则事件． 又，相互独立，且，， 所以， 因此第一轮比赛中甲，乙至少有一人胜出的概率为．（6分） （2）①事件“甲，乙两轮都失败”，事件“甲，乙两轮都胜出”， 则， ，则，解得，．（10分） ②事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”，事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， ，，（13分） （17分） 19．（本小题满分17分） （1）解：，， ，，，解得．（4分） 又点在椭圆上， ，解得， ∴椭圆的方程为．（7分） （2）证明：不与轴重合， ∴可设：，与联立，可得． 设，，则当时， ，（10分） 令中，则， ，，（12分） 设，， 令：中， 解得， 同理可得，（14分） ， 为中点．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $