云南文山州马关县第一中学校2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试卷

马关县第一中学2025年秋季学期高二年级第三次月考试卷 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若复数满足，其共轭复数为，则下列说法正确的是 A．对应的点在第一象限 B．的虚部为 C． D． 3．已知，，动点满足，则点的轨迹是 A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 4．已知直线：，：，若，则实数的值为 A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 5．已知为等差数列，若，则的值为 A． B． C． D． 6．设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为 A． B． C． D． 7．如图1，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为 A． B． C． D． 8．已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列命题正确的是 A．的最小值为6 B．数据1，3，5，7，9，11，13，15的第75百分位数为12 C．函数在定义域上单调递增的充要条件是：，，当时， D．若单位向量，，满足，则与的夹角为 10．已知函数（，，）的图象如图2所示，，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，且，，与轴的交点为，则下列说法正确的有 A．函数的解析式为 B．函数的一个最大值点为 C．函数的对称中心为（） D．函数在区间上单调递增 11．如图3，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则 A．关于轴对称 B．上的点到原点的距离最小值为 C．与轴围成的图形的面积等于 D．截直线所得弦长为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知是等差数列的前项和，，，则________． 13．如图4，在平行六面体中，，，，，则的长为________． 14．若数列的首项，且；令，则________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）为边的中点，且，，求的长． 16．（本小题满分15分） 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，，求的前项和． 17．（本小题满分15分） 某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少有一家回答正确的概率是．各家庭是否回答正确相互独立． （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中至少有2个家庭回答正确的概率． 18．（本小题满分17分） 如图5，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，M为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）设点N是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值． 19．（本小题满分17分） 已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． （1）求抛物线的方程； （2）求的面积； （3）过点的直线与抛物线交于，两点，问：在轴上是否存在定点，设直线，的斜率分别为，，使为定值，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 马关县第一中学2025年秋季学期高二年级第三次月考试卷 数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A C C C D B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 BCD ACD ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 5050 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）由正弦定理边化角可得：， 再利用三角形内角和可知：， 所以有， 整理得：，在三角形中， 所以有． 又因为，所以． （6分） （2）如图4，由中线向量可得：， 则， 所以． （13分） 16．（本小题满分15分） 解：（1）因为， 当时，可得，解得； 当时，可得， 两式相减得，即； 可知数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以． （7分） （2）由（1）可知，则，， 可得， 故 ． （15分） 17．（本小题满分15分） 解：（1）记事件为“甲家庭回答正确”，事件为“乙家庭回答正确”，事件为“丙家庭回答正确”． 由已知得，， （3分） 解得． 设“乙、丙两个家庭至少有一家回答正确”为事件，则， 则， 即， 解得，则． 所以乙、丙两个家庭各自回答正确的概率分别为和． （7分） （2）有3个家庭回答正确的概率， （9分） 有2个家庭回答正确的概率， （12分） 所以至少有2个家庭回答正确的概率． （15分） 18．（本小题满分17分） （1）证明：如图5所示，取的中点为，连接，，因为为的中点，，所以．又因为，，，所以，且，，且， 所以四边形与四边形都是平行四边形，所以，所以是边长为2的等边三角形，是等腰三角形，所以，． 因为，，所以，， 因为，且，所以． 因为，，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （5分） （2）解：以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立如图6所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，，． 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值． （11分） （3）当点是内一动点，且，则点在以为直径的圆上，当线段的长最小时，点在与圆的交点处，所以， 所以，， 则， ，． 设直线与直线所成角为，则． 所以直线与直线所成角的余弦值为． （17分） 19．（本小题满分17分） 解：（1）由题意得， 的中点到轴的距离为，． 又∵点在抛物线上，，又点在第一象限，即， ，，． ∴抛物线C的方程：． （4分） （2）由（1）可知：，，， 所以直线的斜率为，则直线的方程为． 联立抛物线可得，． 又，，那么． 所以的面积． （10分） （3）如图7： 设，，， 易知直线斜率存在，设直线：，联立， 消得：． ，， 由韦达定理得：，， ， 为使得为定值，则需满足与无关， 故，即，． 综上，存在定点，使得为定值． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $