云南文山州马关县第一中学校2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试卷

马关县第一中学2025年秋季学期高二年级第三次月考试卷 数学参考答案 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 3 J 6 8 答案 A C A C c c D B 【解析】 1.集合A={x|2*≥22)={xx≥-2}，由2-x>0,得x<2,故B={x|x<2 A∩B=[-2,2),故选A 2.由iz=1+i两边乘以-i,得z=1-i,所以z对应点(1，-1)在第四象限，z的虚部为-1，z=1+i, |z上√P+(1)=√2，所以C选项正确，ABD选项错误，故选C. 3.因为A(0,-5),B(0,5),所以AB=10,则PA-PB=6<AB,由双曲线的定义可知，点 P的轨迹为双曲线的一支，故选A. 4.直线1：ax-y+2025=0,:(4-3a)x+y-1=0,1⊥12，则a(4-3a-a=0,解得a=0 或1，故选C. 5.因为{a}为等差数列，且凸+a6+4=元，由等差数列的性质得4+6+40=36，所以 =3,所以a+4=2a-2 ,故tan(g3+ag)=tan -√5，故选C 3 6.因为直线x=4与抛物线y2=2px(D>0)交于D,E两点，且OD⊥OE,根据抛物线的对称 任，不纺设D点在第一象限，可以确定∠DOx=∠B0=开所以D(44),代入抛物线方 程16=8p,求得p=2,所以其焦点坐标为1,0)，故选C 7.建立如图1空间直角坐标系D-xwz,则E(2,4,0),D(0,0,4),P(1,2,2),B(4,40),B4,4,4), BP=(-3,-2,2),BB,=(0,0,4),故点P到直线BB的距离 D )2 BP.BB BP √17-4=√13，故选D. BB 高二数学MG参考答案·第1页（共8页） 8如图2，改椭圆壬+？的男一个焦点为P,0,圆的圆心为 C(0,1),其半径r=1,那么|PF|+|PF=2a=4,所以 |PF=4|PF|,所以|PQ|+|PF=4+|PO1-|PF|,所以要求 |PQ|+|PF|的最大值，即求4+|PQ-|PF'I的最大值.因为 图2 |PQ-|PF|≤|OFI,所以当P,Q,F'三点共线时，|PQ-|PFI的最大值为OF|,而 |QF'曰CF'|+r=√2+1，所以4+|PQ|-|PFI的最大值为4+√5+1=5+√2，故选B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 BCD ACD ABD 【解析】 9.对于A,当x<0不成立，A错误；对于B,由8×75%=6，得数据1,3,5,7,9,11， 13,15的第75百分位数是1+13-12，B正确：对于C,充分性：不妨设x<气，则 2 5-5<0,因为)-f)>0,所以f)<f),所以f在R上单调递增。必 为-水2 要性：，为∈R,不妨设x<x,则x-x2<0,因为y=f(x)在R上单调递增，所以 f)<f),所以)-f,)<0,所以)-)>0，c正确：对于D,由单位 X-x2 向量a五c满足a-5=2c,得1-2a…万+1=4，解得a.万=-1，又cosa,万=a五 lallbl 1， 则(a,b)=180°，D正确，故选BCD 10.由题意，因为A4'=2,所以1=2，根据勾股定理42 =AB2=20,解得T=4.所 以= 产-受又国与)箱的文点为D0,),可得m0= 且图象在D点是单 2 调选减的：解得口号（舍）政甲=于，所以了)=2n(行，） 故A正确；B中， 高二数学MG参考答案·第2页（共8页） 令受+红-2流加，∈Z,解得x=+4,keZ,所以B不正确：C中，令 32 +2亚=k,keZ,解得x=-4 3 +2,k∈Z,即函数的对称中心为 +260。 keZ,所以C正确；D中，x∈3， (33 可得+（ 即函数在给定区间 内单调递增，所以D正确，故选ACD, 11.对于A:由图可知，曲线2关于y轴对称，A选项正确；对于B:明显是C,B到原点 的距离最小，最小值为22，所以B正确；对于C:CD,BC,AB所在的圆的方程分 别为(x+2)2+y2=4,x2+y-2)2=4,(x-2)2+y2=4,曲线2与x轴围成的图形是一 个半圆，一个矩形和两个寻圆，其面积为S=2π+8+2x×4=4红+8，故C错误：对于 4 D:由对称性知：2截直线y=1所得弦长可由cD所在的圆截得的弦长加上一个矩形的长 4,而CD所在的圆的方程为(x+2)2+y2=4,圆心(-2,0)，圆心到直线y=1的距离d=1, 截得的弦长为24-1=2√3，则所求弦长为4+2√3，故D正确，故选ABD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 -36 2W33 5050 【解析】 12.在等差数列}中，4=3,4=-12，所以4+4=4+4=-9,8= 8(4+)」 2 4(4+4)=-36. 13.在平行六面体ABCD-AB,C1D中，AB=4,AD=4,AA=6,∠BAD=∠BAA= ∠DM4=于，如图3，AC-西+2c+CC,则AC-AC-(西+c+C -h+Bcf+cc+2aBdos7+28dcqos7 2G网ce号=16+16+36+2x4x42x4x6x 2x4x6x21B2.4C=aC=i52=253. 图3 高二数学MG参考答案·第3页（共8页） 14.由a1=3a+2u∈N),可知a1+1=30a,+D,1+1=3,所以数列(a,+1是以3 4+1 为首项，3为公比的等比数列，所以a,+1=3”,a=3”-1,所以bn=log3(a+1)=n.因此 4+h,+,++4m=1000+100=5050,枚答案为：5050 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)由正弦定理边化角可得：2sinB+sinC=2 sin AcosC, 再利用三角形内角和可知：sinB=sin(A+C)=sin Acos C+cosAsin C, 所以有2(sin AcosC+cos AsinC)+sinC=2 sinAcosC, 整理得：2 cos Asin C+sinC=0,在三角形中sinC>0, 所以有2c0sA+1=0→c0sA=-2 1 又因为A∈(0，四，所以4=2π …(6分) 3 (2)如图4，由中线向量可得：AD=(AB+AC), D 图4 则0-+a0-4G+2ac+ac-4-2×2x4号+16)-3， 所以AD=√5 …(13分) 16.(本小题满分15分) 解：(1)因为S=2a-2, 当n=1时，可得S=24-2=4,解得4=2： 当n≥2时，可得Sn-1=2a-1-2, 两式相减得4=2a1-2a-1,即a=2a-1; 可知数列{a}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以4=2×2-1=2”. …(7分) (2)由(1)可知a4m-1=2m-1，则b=l1og2am-1=21-1,b+1=2n+1, 1 1 1 故Tn=G+C2+C3+…+cn 高二数学MG参考答案·第4页（共8页） 2n-12n+1 …(15分) 17.(本小题满分15分) 解：(1)记事件A为“甲家庭回答正确”，事件B为“乙家庭回答正确”，事件C为“丙 家庭回答正确” 已知得PL)=子PA)=PP= 9 ………(3分) 解得P(B)=3 8 设“乙、丙两个家庭至少有一家回答正确”为事件M,则M=BC, 则PM=1-P西=1-P(BC)=1-P(B)·P(O=1 41 即1--no- 解得P©=}，则PO子 3 两个家庭各自回答正确的概率分 (7分) 3 2有3个家庭回答正确的概率A=PAC)=P④·P©·PC9气×&子- (9分) 有2个家庭回答正确的概率R=P(aBC+AC+ABC=x2×2+3x乏×2+3x3x1 483483483 15 …(12分) 32 所以至少有2个家庭回答正确的概率P=B+R=16十3232 3,1521 …(15分) 18.(本小题满分17分) (1)证明：如图5所示，取DM的中点为O,连接OA,OE, 因为M为CD的中点，CD=4,所以DM=CM=2. 又因为AB∥CD,CD∥EF,AB=DE=EF=CF=2, 图5 高二数学MG参考答案·第5页（共8页） 所以AB∥CM,且AB=CM,CM∥EF,且CM=EF, 所以四边形ABCM与四边形CMEF都是平行四边形，所以AD=AM=BC=√0， 所以△EMD是边长为2的等边三角形，△ADM是等腰三角形，所以OE⊥DM,OA⊥DM 因为OD=DM=1,DE=2,所以OA=VAD'-OD=3,OB=√DB2-OD=5, 2 因为AE=2N3,且A02+OE2=32+(N3)2=12=(2N3)2=AE2,所以OA1OE 因为OE∩DM=O,OE,DMC平面CDEF,所以OA⊥平面CDEF. 又OAC平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面CDEF …(5分) (2)解：以O为坐标原点，以OE,OC,OA所在的直线分别为x,y,z轴建立如图6所 示的空间直角坐标系， 则A(0,0,3),B(0,2,3),D(0,-1,0),M0,1,0),E(V3,0,0),F(√5,2,0)， A亚=(V5,0,-3),EM=(3,1,0),DA-(0,1,3) 设平面AEM的法向量为=(x,y,z),则 n.AE=0 n.EM=0 即 「V3x-3z=0 -V3x+y=0 令z=1,则x=√5，y=3,所以=(3,3,1). 图6 设直线DA与平面AEM所成的角为O, 则sin6cos|(DA,)= DA.n 6 63V130 D4n10x13√13065 所以c0s6=3055 65 所以直线DA与平面ABM所成角的余弦值YB055 65 …(11分) (3)当点N是△ADM内一动点，且ND·M=0,则点N在以DM为直径的圆上， 当线段AN的长最小时，点N在AO与圆的交点处，所以N(0,0,1), 所以EN=（V3,01),BF=(V3,0,-3), 高二数学MG参考答案·第6页（共8页） 则E.BF=-√3×V3+0×0+1×(-3)=-6, EN=√3+0+1=2，|BF1=√3+0+9=2√5. 设直线EN与直线BF所成角为u,则cosa =cos(EN,BF= .BF1|-6|3 |ENI‖BF12×2V52 所以直线N与直线BP所成角的余弦值为 2 …(17分） 19.(本小题满分17分) 解：(1)由题意得F AF的中点M到y轴的距离为p,“x4三卫 又：点A在抛物线上，∴y1=2px4=3p,又点A在第一象限，即y4=V3p, 04=2+暖=2p=21,p>0p=2 4 .抛物线C的方程：y2=4x. …（4分) 3 (2)由(1)可知：4=p=3,4=V5p=25,F0,, 所以直线AB的斜率为√3，则直线AB的方程为y=√3(x-1). 联立抛物线可得3x2-10x+3=0,∴.x4xB=1 1 所以△AOB的面积S=三×OF|×y4-yB= x1x834V3 …(10分) 33 (3)如图7： 设D(1,y1),E(x2,y),Tt,0), D 易知直线1斜率存在，设直线：x=y-3,联立 x=w-3 y2=4x 消x得：y2-4y+12=0 .△=162-48>0，.m2>3, 图7 高二数学MG参考答案·第7页（共8页） 由韦达定理得：+y2=4,yy2=12, 当·y2 k-03-0 ViV2 [y1-(3+t)][y2-3+t] 4y2 mhy2-(3+t041+y2)+(3+)2 12 12 12m2-4m23+t)+3+t)212-43+t]m2+3+)2’ 为使得kk,为定值，则需满足[12-4(3+t)]2+(3+t)与m无关， 故12-4(3+t)=0,即t=0,∴.T(0,0) 综上，存在定点T(0,0),使得kk,为定值. …(17分) 高二数学MG参考答案·第8页（共8页）马关县第一中学2025年秋季学期高二年级第三次月考试卷 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页， 第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试 用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A=2≥4，B=x=h(2-),则AnB A.[-2,2) B.(-2,2) C.[-1,2) D.(-1,2)》 2.若复数z满足iz=1+i,其共轭复数为z,则下列说法正确的是 A.z对应的点在第一象限 B.名的虚部为-i C.=1+i D.|z|=2 3.已知A(0,-5),B(0,5),动点P满足|PA|-|PB|=6,则点P的轨迹是 A.双曲线的一支 B.双曲线 C.椭圆 D.射线 4.已知直线l1:ax-y+2025=0,l2:（4-3a)x+ay-1=0,若l1⊥l2,则实数a的值为 A.0 B.1 C.0或1 D.1或2 高二数学MG·第1页（共6页） 5.已知{an}为等差数列，若a2+a6+a1o=T,则tan(a3+ag)的值为 A.、3 B 3 C.-√3 D.√3 3 6.设0为坐标原点，直线x=4与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点，若OD⊥OE, 则C的焦点坐标为 R(分 C.(1,0) D.(2,0) 7.如图1，在棱长为4的正方体ABCD-AB,C,D1中，E为BC的中点，P为DE的中点， 则点P到直线BB,的距离为 A.5 B.3 C.22 图1 D.√/13 8.已知点P在椭圆二+ 2=1上，点Q在圆x2+y2-2y=0上，F(-1,0),则1PQ|+1PF 43 的最大值为 A.5-√2 B.5+√/2 C.22 D.5+22 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列命题正确的是 9 A.代x)=x+的最小值为6 B.数据1,3,5,7,9,11,13,15的第75百分位数为12 C.函数y=f(x)在定义域R上单调递增的充要条件是：Hx1,x2∈R,当x1≠x2时， f)-,0 X1-X2 D.若单位向量a,b,c满足a-b=2c,则a与乙的夹角为180° 高二数学MG·第2页（共6页） 10.已知函数f(x)=入sin(wx+p)(入>0，w>0,0<p<T)的图象如图2所示，A,B分别为 图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于A',且|AM'|=2,|AB|= 2W5,f(x)与y轴的交点为D(0,√3)，则下列说法正确的有 A函数x)的解折武为x)=2行到 B.函数f代x)的一个最大值点为x=弓 C函数)的对称中心为-子+2k,0kez) 图2 D.函数)在区间？，}）上单调递增 11.如图3，点A(4,0),B(2,2),C(-2,2),D(-4,0),CD是以0D为直径的圆上 一段圆弧，BC是以BC为直径的圆上一段圆弧，AB是以AO为直径的圆上一段圆弧， 三段弧构成曲线2，则 A.2关于y轴对称 B.2上的点到原点的距离最小值为22 C.2与x轴围成的图形的面积等于6π D.2截直线y=1所得弦长为4+2√3 图3 第Ⅱ卷（非选择题，共92分) 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a2=3,a,=-12,则S8= 13.如图4，在平行六面体ABCD-A,B,C1D1中，AB=4,AD=4, M,=6,∠BMD=∠BM=∠DM:=行，则AC,的长为 14.若数列{a.{的首项a1=2,且an+1=3an+2(n∈N*);令 图4 bn=log3(an+1),则b1+b2+b3+…+b1o= 高二数学MG·第3页（共6页） 四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b+c=2 acosC. (1)求A的大小： (2)D为边BC的中点，且b=4,c=2,求AD的长 16.（本小题满分15分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(n∈N). (1)求数列{an的通项公式； （2若6.=bg,产b求ic.的前n项和7 高二数学MG·第4页（共6页） 17.(本小题满分15分) 某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同 3 时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答正确的概率是4，甲、乙两个家庭 都回答正确的概率是。 ,阿两个家庭至少有一家回答正确的概 各家庭是 否回答正确相互独立. (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中至少有2个家庭回答正确的概率. 18.(本小题满分17分) 如图5，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB∥CD,CD∥EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=√10， AE=2√3，M为CD的中点. (1)证明：平面ABCD⊥平面CDEF; (2)求直线DA与平面AEM所成角的余弦值； (3)设点N是△ADM内一动点，N⑦·Ni=0,当线段AW的长最小时，求直线EN与 直线BF所成角的余弦值： 图5 高二数学MG·第5页（共6页） 19.(本小题满分17分) 已知抛物线C:y2=2px(P>0)的焦点为F,过点F的直线交C于A,B两点，其中点A 在第一象限.若AF的中点M到y轴的距离为p,且|OA|=√21(O为坐标原点). (1)求抛物线C的方程； (2)求△AOB的面积； (3)过点Q(-3,0)的直线1与抛物线C交于D,E两点，问：在x轴上是否存在定 点T,设直线DT,ET的斜率分别为k,k2,使kk2为定值，若存在，求出点T的坐 标；若不存在，请说明理由 高二数学MG·第6页（共6页）