湖北十堰市普通高中2025-2026学年高一下学期期末评价数学试卷

2025-2026学年度下学期高一年级期末评价 数学试卷 考试时间：2026年6月26日下午15:00-17:00 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时必须使用2B铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（每题5分，共8小题，总分40分，每题只有一个正确答案．） 1．复数满足（i为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 3．在中，，，角，则角大小为（ ） A． B． C． D．或 4．如图在梯形中，，，设，，则（ ） A． B． C． D． 5．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（ ） A． B． C． D． 6．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（ ） A．，，， B．，； C．， D．，． 7．已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 8．中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载： ①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一“堑堵”，如图所示，，，，则其中“阳马”与“堑堵”的体积之比为（ ） A．1∶2 B．2∶3 C．1∶4 D．4∶5 二、多选题（每题6分，共3小题，总分18分，每题有多个正确的答案，全部选对得6分，部分选对得部分分．） 9．为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（ ） A．该样本的70%分位数为7分 B．该样本的极差为5分 C．用样本均值估计总体均值，其值约为7分 D．用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 10．已知向量，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 11．正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体所得的截面周长为 D．直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题（每题5分，共3小题，总分15分．） 12．已知角满足，则________． 13．已知向量，满足，，且，则与的夹角为________． 14．在棱长为4的正方体中，点，分别是棱，的中点，点是侧面四边形内（不含边界）一点．若平面，则线段长度的最小值是________． 四、解答题（本题共5小题，满分77分，解答每题需写出必要的解题步骤．） 15．（13分）已知，，且与夹角为，求： （1）； （2）与的夹角的余弦值． 16．（15分）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． （1）求； （2）若的周长为20，面积为，求． 17．（15分）中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求这500名中国大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 18．（17分）在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求的大小； （2）若，求的面积； （3）求的最大值． 19．（17分）如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求异面直线与所成的角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学参考答案 1．答案：C 解析：由题意可得：,所以,所以复数z的共轭复数的虚部为1. 2．答案：A 解析：因为 , 所以. 3．答案：A 解析：由正弦定理，并将已知带入得sinA=又,且a<b,所以A=300 故选：A 4．答案：D 解析：因为，， 所以， 又，， 所以. 故选：D. 5．答案：B 解析：由题意可得， 令，，得，，此时， 所以图象的对称中心是. 6．答案：B 解析：选项A：由面面平行的判定定理可知， 由于m，n不一定相交，故A错误； 选项B：由面面平行的性质定理可知B正确； 选项C：由线面平行的判定定理可知， m可能在内，故C错误； 选项D：由线面平行的性质定理可知， m，n可能异面，故D错误； 故选：B. 7．答案：C 解析：已知，，， 则，解得， 在方向上的投影向量为：. 8．答案：B 解析：设,由“阳马”的定义及可知, 四边形是矩形,平面, “阳马”的体积为: , 由“堑堵”的定义可知,,且平面, “堑堵”的体积为: , 所以“阳马”与“堑堵”的体积之比为:. 故选:B. 9．答案：BCD 解析：将样本数据从小到大排序：5,6,6,6,7,7,7,8,8,10, 选项A,分位数位置：,因为为整数,所以70%分位数是第7项和第8项数据的平均值,即分位数是,A错误 选项B,极差=最大值-最小值=10-5=5,B正确； 选项C,样本均值,用样本均值估计总体均值,C正确； 选项D,样本方差,D正确. 10．答案：ABD 解析：对于A,,,所以,故A正确； 对于B,,所以,故B正确； 对于C,,则有、, 即与向量平行的单位向量有、,故C错误； 对于D,,所以向量与向量的夹角为,故D正确. 故选：ABD. 11．答案：BC 解析：对于A,三棱锥的外接球即为正方体的外接球,则该外接球的直径为, 因此三棱锥的外接球表面积为,A错误; 对于B,连接,由且,得四边形是平行四边形, 则,又,于是,四边形是平面截正方体所得的截面图形, 连接,则由G、F均为所在棱的中点,得,, 则四边形是平行四边形,,又平面,平面, 因此平面,点P到平面的距离即为到平面的距离, 为定值,即三棱锥的体积为定值,B正确; 对于C,由选项B知,平面截正方体所得的截面图形为四边形, 而,,, 平面截正方体所得的截面周长为,C正确; 对于D,连接,由平面,得是直线与平面所成的角, 又,,,, 因此直线与平面所成角的正弦值为,D错误. 故选:BC 12．答案： 解析：, . 13．答案： 解析：因为,所以,即, 设与的夹角为,则, 又,,所以,解得, 因为,所以. 14．答案： 解析：取的中点M，的中点N，连接，，，，，如图. 因为点E，F分别是棱，的中点，所以.又平面AEF，平面AEF，所以平面AEF.由正方体的性质易知ME与，平行且相等，所以四边形是平行四边形.所以.又平面，平面AEF，所以平面AEF.因为，平面，所以平面平面AEF.因为点平面，平面AEF，且平面平面，所以，即点P的轨迹是线段MN（不含端点）.由正方体的棱长为4，得，，所以线段的最小值即为底边MN上的高的长度，即为. 15．答案：（1） （2） 解析：（1）,,且与夹角为, ………………………………………3分 ;………6分 （2）,…………8分 ,……………..10分 …………13分. 16．答案：（1）; （2）7 解析：（1）在中,由及正弦定理,得,…2分 而,即,则,即,………5分 又,所以………7分 （2）由的面积为,得,解得,…….10分 由的周长为20,得,即,…….11分 由余弦定理得,即,……13分 于是,解得, 所以………………………………15分 17．答案：（1）0.015 （2）200人 （3）37.5 解析：（1）由题可知组距为10, 则: 解得:………5分 （2）这500名中国AI大模型用户的年龄在内的频率为:（0.01+0.03）10=0.4 所以这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为:5000.4=200人…….10分 （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为: ………15分 18．答案：(1) (2) (3) 解析：(1)由正弦定理得：,………3分 又,………4分 ,……5分 即,又,,, 又,………6分 (2)由余弦定理得：,解得：,……8分 ………10分 (3)由余弦定理得：,………11分 （当且仅当时取等号）,,……13分 又,； ,……………15分 令,,则在上单调递增,………16分 ,即,的最大值为………17分 19．答案：(1)见解析 (2)见解析 解析：（1）取EC中点N，连接MN，BN． 在中，M，N分别为EC，ED的中点，所以，且．……1分 由已知，，所以，且．……2分 所以四边形ABNM为平行四边形．所以．……3分 又因为平面BEC，且平面BEC， 所以平面BEC．………5分 （2）在正方形ADEF中，，又，， AD,平面BCD，平面BCD，………7分 平面BCD，， 在中，，所以，， 在中，， ，，所以，所以，……9分 又因为，BD,平面BDE， 所以平面BDE，又因为平面BEC， 所以平面平面BEC………12分 （3）取CE的中点N，连接BN、MN，易证四边形ABNM为平行四边形。……13分 由勾股定理得AM=，,所以BN= 角CBN为异面直线AM与BC所成的角。…………15分 由余弦定理得…………17分。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $