湖北省十堰市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试卷

十堰市2024一2025学年度下学期期末调研考试 高一数学参考答案 1.B由题意可得z=(2一5i)·(一i)=一5-2i,则乏=-5十2i. 2.C 函数ysim(受r一君)的最小正周期为票-2x 3,A由题意可得2X3+4=0,解得k二2 4.D设1,22在复平面内对应的向量分别为OZ,OZ,由题意可知OZ1=1,OZ21=2. OZ,一OZ21=|2-i=√5，则以O21,O22为邻边的平行四边形中，∠Z,OZ2=60°.在 △OZ1Z2中，由余弦定理可得引z1+x2|=√1OZ12+1OZ212-21OZ11OZ21cos120°=7. 5.B取棱CC,的中点H,连接D,H,EH,C,E(图略).易证D,HCF,则∠EDH是异面直 线D,E与CF所成的角或补角.设AD-1,则D,H=√（心）'+CD-5,D,E= √A,D十A,E=√2，EH√C,H十CE=5.在△D,EH中，由余弦定理可得 m∠D1=DP开-西，即异面直线D,E与0CF所角的杂孩的 2DE·D1H 6.A因为a,B均为锐角，所以0<a十B<π，所以sim(a十B)=√个-cos(a+B)= 25 ,即 sin acos B+cos asin 5 5.因为sin(a-g)二5，所以sin acos B-cos asin月=5，历 5 sin acos 8-5,cos asin B37.angcos asin -3 'tan a sin acos B 5 7.C如图，设O1,O2分别是该圆台容器上、下底面圆的圆心，四边形 D ABCD是该圆台容器的轴截面，圆O是球形创意冰激凌的截面，E,F 分别为圆O切AD,BC的切点，则DE=DO1=8,EA=AO2=2.作 AH⊥CD,垂足为H,则O1H=O2A=2,AH=O,O2,DH A O2 B IDO,-O,H=6.因为AD=DE+EA=10,所以AH=√AD2-DH产=8，则OO1=OO2 20,O,=4,即该球形创意冰激凌的半径为4，故该球形创意冰激凌的休积为3π×43一 2的“立方屋米 【高一数学·参考答案第1页（共7页）】 &B因为f(x)的图象关于直线x=乏对称，所以f(x一x)=f(x,所以sin(x一x)十 3sinw(π-x)=sinx十3sin.x,即sinx十3sin(wπ一mx)=sinx+3 sin or,所以3sin(wπ- ax)=3sint,则awπ一x十x=π十2kπ(k∈)，即a=1十2k(k∈).因为f(x)的图象关 于点（π，0）中心对称，所以f(2x-x)十f(x)=0,即sin(2π一x)十3sinw(2x一x)十sinx十 3 sin or=0,即3sin(2wπ一ar)十3sinx=0,则2wπ一au.x十ax=2tπ(t∈Z),解得w=1(t∈ 7).综上，w-1十2k(k∈Z).因为o>1,所以o的最小值为3. 9.ACD当z=1一i时，|z|=√2，符合题意，A正确.由z为纯虚数，且|z|=√2，得x=土√2i, 其虚部为士√2，B错误.设z=a十bi(a,b∈Z),则乏=a一bi,所以之·乏=a2+b2,因为z| √2，所以√a2+b2=√2，所以a2十b2=2,则x·乏=a2+b2=2,C正确.h复数的运算性质可 如对任意复数…一恒成立，D正确 10.ABD由题意可得3X(-）十9=kxk∈D,解得gkx十平(k∈刀，因为0<<，所 以不，A正确.因为f(）-os(3×牙+)=ems暂-0，所以f(x)的图象关于 点（子0）对称，B正确Hx(臣）得3江+∈(，)，则f)在（臣，）上单调递 增，C错误由x∈（臣，），得3x+∈(，4x,则fx)在（侣，）上有3个零点，D 正确 11.BCD连接CF,O为线段CF的中点.连接OB,易证四边形 ABOF,ABCO均为平行四边形，则BC-AO=AB十AF.连接 EM,则A,M,E三点共线，且AM-=2M正，所以AM-子A正 导+面)号A矿+号C=号A+号A,A错误由正六 边形的性质可得ED-A店，D示-=一A正，则A爪-A正+E币+ D示-二A它+A店-A店+A产，B正确.作HN⊥AM,垂足为N.当P与H重合时， AM·A户取得最小值.因为AB1=3,所以AM=2√3.因为H为线段BG的中点，所以 N为线段AG的中点，所以1AN-,则(a.A户)-iA矿-3，C正确，延长 AO,交线段K1.于点Q,则Q为线段KL,的中点因为K=3,所以O1=三.因为 【高一数学·参考答案第2页（共7页）】 A=3,所以1Ad=3,所以1Aà=号，当P在线段1K上时，Ad·A市取得最大值， 0.A前)=A01à-受D正确 12(0,]因为x∈[0，]，所以2x一9∈[-9，号-小因为fx)在[0，]上单调递增， 0<p<π， 且0<<所以2'解得0<g≤x. 13.30H题中数据可得∠ACD=60°，∠CAD=75°，AC=5√6千米，则∠ADC=45°.在 △ACD中，出正弦定理可得sin/ADC广in/ACD·则AD=ACD AC AD nZAC-15千米.在 BD △ABD中，AD=15千米，BD=15√3千米，∠BAD=60°，由正弦定理可得 in∠BAD sin∠ABD,则sin∠ABD=ADsine∠BAD AD BD 2,所以∠ABD=30,所以∠ADB=90°，故 AB=√AD+BD=30千米. 号 如图，分别取线段PB,PE的中点M,N,连接AM,AN, MN.连接AC,交BD于点O,连接OE.因为四边形ABCD是正 方形，所以O为线段AC的中点.因为P元-2EC,所以EC=EN, 即E为线段CN的中点，所以OE∥AN.因为AN￠平面BDE, OEC平面BDE,所以AN平面BDE.因为M,N分别是线段PB,PE的中点，所以MN∥ BE,MN=2BE.因为MNC平面BDE,BEC平面BDE,所以MN平而BDE.因为AN C平面AMN,MNC平面AMN,且AN∩MN=N,所以平面AMN∥平面BDE.因为AF 平面BDE,且F在平面PBC内，所以点F的轨迹为线段MN.由题意可知PB=BC PC=3,则CE-1,∠BCE-60°.H余弦定理可得BE=√BC十CE一2BC·CEcos60° 7,则MN= Γ2 15.解：(1)因为m⊥n,所以m·n=0,即(a一2c)cosB十bcos A=0,…1分 所以sin Acos B十c0 s Asin B=2 sin Ccos B.…2分 因为A十B十C=x,所以sinC=sin(A+B)=sin Acos B十cos Asin B,…3分 所以sinC=2 sin Cc0sB.…4分 【高一数学·参考答案第3页（共7页）】 因为0<C<π，所以sinC≠0，所以cosB= 0440404404040404044404444004440044440440444404 5分 因为0<B<π，所以B=T 3 4444****440*44*00*4004000中**小040400044000004000044” 6分 (2)Hh余弦定理可得b2=a2十c2一2 accos B,则a2十c2-ac=4.① 8分 因为b=2,且△ABC的周长为6，所以a十c=4.②… 10分 联立①②，解得a=G=2.… 13分 16.(1)证明：因为AB=√2AC=√2BC,所以AB2=AC2+BC2,所 以AC⊥BC.…2分 因为平面ACD⊥平面ABC,且平面ACD∩平面ABC-AC,所 以BC⊥平面ACD.……4分 因为CDC平而ACD,所以BC⊥CD.…5分 因为CD⊥AB,ABC平面ABC,BCC平面ABC,且AB∩BC B,所以CD⊥平面ABC.… “4****4844444444044040”7分 (2)①证明：因为AE=BE,且F为线段AB的中点，所以EF⊥AB.…8分 因为平面ABC⊥平面ABE,且平面ABC∩平面ABE=AB,所以EF⊥平面ABC.… …9分 H(1)可知CD⊥平面ABC,则CDEF.…10分 因为AE=3,AF=2AB=2,且EFLAB,所以EF=√AE-AF=3。.11分 因为CD=3,所以四边形CDEF是矩形.… …12分 ②解：因为AC-22.AF-2AB=2,且CF⊥AB,所以CF-√AC-AF=2.…13分 因为AC=BC,且F为线段AB的中点，所以CF⊥AB,所以AB⊥平面CDEF, 则四棱锥A-CDEF的体积V,=号×2X3X2=4. …14分 故多面休ABCDE的休积V一2V=8.… 15分 17.解：1)h题意可得f(x)-3 sin r-s+2=2sin(or-）+2. …2分 因为工1一工2的最小值是元，且>0所以2红=不，解得仙=2.…4分 2因为∈[牙，】]，所以2-吾∈[] …5分 当2红-吾-爱.即x经时)取得最小值)-()）-1…7分 当2x-吾-艺，即x=时，x)取得最大值，fx)=f(）=4 …9分 【高一数学·参考答案第4页（共7页）】 放f)在[牙，]上的值线为1,4. 0444400444444044444004t04440040…0440444044044044…444。 10分 ③设1=f(x）z不，红出(2)可知t∈，4.…… 11分 不等式a[x)r-fx)+5a≥0在[子，]上恒成立，即不等式ar2-+5a≥0在[1,4幻 上恒成立，即不等式a>千5在[1，幻上恒成立，即a>(千) …12分 因为2+5 115 5250,当且仪当15时，等号成立，…14分 所以a的取值范围是[十o）。 15分 18.解：I)因为△ABC的面积为25，所以2AB·BCsin B=6sinB=25,解得sinB-5. 3 t*44*544455545544444*554048444*…2分 2 因为B为锐角，所以cosB-√1一sinB= …3分 在△ABC中，H余弦定理可得AC2=AB2十BC2-2AB·BCcos B=9十16-2X3×4× 2 =9,则AC=3.… 5分 (2)在△ABC中，H由余弦定理可得AC2=AB2十BC2一2AB·BCcos B=25-24cosB.① …6分 在△ACD中，H余弦定理可得AC2=AD十CD2-2AD·CDcos D=13-12cosD.②… …7分 联立①②，可得25-24cosB=13-12cosD,即2c0sB-cosD=1, 即2C0sB-C0sD为定值1.…10分 (3)四边形ABCD的面积S=2AB·BCsin B+2AD·CDsin D=3(2sinB+sinD), 11分 则S2=9(4sin2B十4 sin Bsin D十sin2D).…12分 h(2)可知2cosB-cosD=1,则4cos2B-4 cos Bcos D+cos2D=1,…13分 所以S2+9=9(5+4 sin Bsin D-4 cos Bcos D), 所以S2=36-36(cos Bcos D-sin Bsin D)=36-36cos(B十D).…15分 当c0s(B十D)=一1，即B十D=π时，S2取得最大值72，…16分 故Sm=62,即四边形ABCD面积的最大值为6√2.…17分 【高一数学·参考答案第5页（共7页）】 19.解：(1)连接BF 因为四边形ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=60°，所以 △ABD为边长为4的等边三角形. 因为F是线段AD的中点，所以BF⊥AD,所以BF=23.… 1分 因为△PAD是边长为4的等边三角形，且F是线段AD的中点， 所以PF⊥AD,且PF=2√3. 因为BF=PF=23,PB=26,所以PF2十BF2=PB2,所以PF⊥BF.…2分 因为ADC平面ABCD,BFC平面ABCD,且AD∩BF=F,所以PF⊥平面ABCD, …3分 则四棱锥-ABCD的体积为写×4X23×25=16. 4分 PG 1 (2)存在满足条件的点G,此时PC3: …5分 理由如下： 连接AC,记AC∩BD=O,AC∩EF一K,连接PK,OG,BG,DG. 因为E,F分别是棱AB,AD的中点，所以EFBD. 因为EF女平面BDG,BDC平面BDG,所以EF平面BDG.…6分 因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点，所以OC=OA. 因为EF/BD,且E是校AB的中点，所以OK20A,所以8祭 …7分 因为瓷号所以瓷8次所以PKG, …8分 因为PK在平面BDG,OGC平面BDG,所以PK平面BDG. …9分 因为PKC平面PEF,EFC平面PEF,且PK∩EF一K,所以平面PEF平面BDG.· …10分 (3)连接CF. 在△CDF中，H余弦定理可得CF-√DF十CD一2DF·CDcos∠CDF=2√7. H(1)可知PF⊥平面ABCD,且BCC平面ABCD,所以PF⊥BC. 因为BC∥AD,所以BC⊥BF 因为BFC平面PBF,PFC平面PBF,且BF∩PF-F,所以BC⊥平面PBF. 因为PBC平面PBF,所以BCLPB,则BH=PC=/0.… 12分 因为PD=CD=4,PC-2/I0,且H为棱PC的中点，所以DH= cD-() =6 …13分 【高一数学·参考答案第6页（共7页）】 因为DH=√6，BH=J10,BD=4,所以DH十BH2=BD2,所以BH⊥DH. 作IMLBD,垂足为M,则BD·HM-DH·BH,解得HM= 2 …14分 设点H到平面PBD的距离为d. 因为VamVam=Vam=Vm,所以写×号×26XWF-(W6FXd=号×号×4 ×23×3, 解得d=2√⑤ 5· …16分 设二面角PBDH的大小为0，则sin0=M5,即二面角PBDH的正弦值为亏 …17分 【高一数学·参考答案第7页（共7页）】十堰市2024一2025学年度下学期期末调研考试 高一数学 本试题卷共4页，共19道题，满分150分，考试时间120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.非选择题用0.5毫米黑色器水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试 题卷、草稿纸上无效。 4,考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知复数x=(2一5i)3,则乏= A.-5-2i B.-5+2i C.5-2i D.5+2i 2.函数y= 的最小正周期为 A受 B.π C.2π D.4π 3.已知向量a=(2,一4)，b=(k,3),若ab,则k A-号 R号 C.-6 D.6 4.已知复数x1,z2满足|z1|-1,z2|一2，且之1一z2一√2一i,则|z1十之2|- A.3 B.5 C.7 D.√7 5.在直四棱柱ABCD-A,B,C1D,中，四边形ABCD是梯形，ABCD,AB⊥AD,AA1=2AB =4CD一4AD,E,F分别是棱A,B1,DD1的中点，则异面直线D,E与CF所成角的余弦 值是 A得 B.10 C 10 10 D. S,则ane 6.已知a,g均为锐角，且sin(a一)=10cos(a十B)=5 tan a A号 B. c号 D.3 【高一数学第1页（共4页）】 7.某甜品店推出一款球形创意冰激凌，将冰激凌球放置在特制的巧克力圆台容器中.已知巧克 力圆台容器的上底面圆的半径为8厘米，下底面圆的半径为2厘米，若该球形创意冰激凌与 巧克力圆台容器的内壁及上、下底面均相切（不考虑巧克力圆台容器的厚度），则该球形创意 冰激凌的休积是 32立方厘米 A. B.16π立方厘米 立方耀米 C. D.64π立方厘米 8.纯音是指单一频率的声音，纯音的数学模型是函数g(.x)=Asin or.我们在口常生活中听到 的声音几乎都是复合音，而复合音是H多个频率不同的纯音组成的.已知某声音的数学模型 是函数f)=simx+3 sin r(o>1),若fx)的图象关于直线x-受对称，且fx)的图象 关于点（π，0）中心对称，则，的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设i为虚数单位，复数z满足|z=√2，则 A.x可以是1一i B.若之为纯虚数，则其虚部为2 C.z·z=2 对任意复数…-恒成立 10.已知函数f(x)=c0s(3x十p)(0<9<x)的图象的一条对称轴为直线x=一年，则 元 A.9=4 B.f(x)的图象关于点（不，0）对称 Cfx)在（臣，）上单调递减 D)在（危）上有3个零点 11.“赵爽弦图”是中国占代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的 一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦图”，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼 成一个大正六边形，其中G,H,J,K,L,M分别是AM,BG,CH,D,EK,FL的中点，O是正 六边形ABCDEF的中心，P是正六边形GHJKLM内的一动点（包含边界），AB引=3，则 AAM=号AB+号Ai B.AK-3AB+3AF C.AM·AP的最小值是3 nA心.市的最大值是号 【高一数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数fx)=5sin(2x一p)+3(0<9<x)在[0，]上单调递增，则9的取值范围是 ▲ 13.某数学兴趣小组成员为测量A,B(视为质点)两地之间的距离，在A的北偏东15°方向上和 西偏北30°方向上分别选取点C,D,已知1B在A的西偏南30°方向上，A,C两地相距5√6千 米，B,D两地相距153千米，且D在C的西偏南15°方向上，则A,B两地之间的距离是 ▲千米 14.在正四棱锥P-ABCD中，AB=PA=3,P元-2EC,点F在四棱锥P-ABCD的侧面PBC 上运动，且AF平面BDE,则动点F的轨迹长度为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.(13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(a一2c,b),n=(cosB,cosA), 且m⊥n. (1)求B; (2)若b=2,且△ABC的周长为6，求a,c. 16.(15分) 如图，在多面体ABCDE中，AE=BE=√13，AB=2AC=2BC=4,CD⊥AB,平面 ACD⊥平面ABC. (1)证明：CD⊥平面ABC D (2)已知CD=3,平面ABC⊥平面ABE,F是线段AB的中点. ①证明：四边形CDEF为矩形. ②求多面体ABCDE的体积. 17.(15分) 已知函数fx)-3sin wr十2sim2罗+1o>0),x1,是f(x)的两个零点，且|工一x 的最小值是π (1)求ω的值： (2)求f)在[牙，]上的值域： 3)若对任意的r∈[子，]，不等式a[fx了-fx)十5a≥0恒成立，求a的取值范围 【高一数学第3页（共4页）】 18.(17分) 密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，使彼此之问不留空 隙、不重叠地铺成一片.如图1，这是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面四边形组成. 小华为了进一步研究这个密铺图形，单独绘制出组成这个密铺图形的四边形ABCD,如图 2,其中BC-2CD=4,AB=AD=3. (1)若△ABC的面积为2J5,且B为锐角，求AC的长度. (2)试问2cosB一cosD是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理h. (3)求四边形ABCD面积的最大值. 图】 图2 19.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=60°，△PAD为等 边三角形，PB=2√6，E,F分别是棱AB,AD的中点. (1)求四棱锥P-ABCD的体积 (2)在棱PC上是否存在点G,使得平面PEF∥平面BDG?若存 在，求出瓷的值；若不存在，请说明理由。 (3)若H是棱PC的中点，求二面角PBD-H的正弦值， 【高一数学第4页（共4页）】