2025-2026学年高二下学期期末考试数学模拟试卷

**基本信息** 2026年高二下学期期末数学模拟卷，涵盖函数、立体几何、数列等模块，解答题融合统计建模（如智能小家电市场分析）、椭圆定点探究等，梯度设计合理，能有效考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合、复数、立体几何线面关系等|基础概念辨析，如第3题线面位置关系判断| |多选题|3题|三角函数性质、统计（回归、正态分布）等|第10题综合考查统计知识，选项分层| |填空题|3题|直线截距、条件概率、向量数量积|第13题结合旅游景点选择，体现应用情境| |解答题|5题|数列（递推求通项）、立体几何（线面垂直证明）、椭圆（定点问题）、统计（分布列与回归）、导数（单调性与切线）|第18题以智能小家电市场为背景，考查数据处理与回归分析；第19题导数综合，考查逻辑推理与数学抽象|

2026年高二下学期期末考试模拟试卷解析 数 学 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D C B D A B B AC ABD ABD 一、单选题 1．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】解得，即，B为奇数集，故. 2．设，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D【详解】依题意得，，故. 3．已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C【详解】对于A，若，，则平行或相交，不一定垂直，故A错误. 对于B，若，则或，故B错误. 对于C，，过作平面，使得，因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则，故D错误. 4．设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．24 B．32 C．36 D．108 【答案】B【详解】因为等比数列的前项和为，所以，，，成等比数列， 所以，解得，又，所以，解得. 5．若角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】角的终边过点，则. 6．的展开式中，常数项为（     ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】，展开式通项为 ， 令，当时，为常数项即. 7．已知双曲线的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】方法一，由双曲线的第三定义可求；方法二，由离心率得，再由点差法和斜率公式可求. 【详解】方法一，  由双曲线的性质可得，且，． 方法二，  由题易知解得，双曲线的方程为． 由题知关于坐标原点对称，设，，，由得． 直线的斜率分别为，且， ，，，． 8．已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（   ） A．1 B．－1 C．2025 D．－2025 【答案】B【分析】由已知条件确定的对称中心及对称轴，进而确定函数周期，即可求解. 【详解】因为为偶函数，所以，即， 所以关于直线对称，求导得 关于点对称，即， 又为偶函数，则，所以关于直线对称， 推导周期：及，得， 得，得，得函数的周期为4， 由，得，得， 共项和，因为，所以，故选：B. 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．为的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在区间上单调递减 【答案】AC【详解】对于A，根据函数知最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由于，则，故在上不单调递减，D错误. 10．下列命题中正确的是（    ） A．若回归方程为，则变量与成负相关 B．数据的上四分位数为 C．某校高三年级男生的身高（单位：）近似服从，随机选择一名该校高三年级的男生，则（若，则，） D．已知数据、、…、的平均数，方差为．设，数据、、…、的方差为，数据、、…、、、、…、的方差为，则 【答案】ABD【详解】对于A，因为回归方程系数为，所以变量与成负相关，故A正确， 对于B，因为，所以数据的上四分位数为，故B正确， 对于C，因为身高，则， 所以，故C错误， 对于D，因为数据,,…,的平均数，方差为，又，则，， 所以数据、、…、、、、…、的平均数为， 方差为，故D正确. 11．棱长为1的正方体中，点是线段上的动点（包括端点），则（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．点到平面的距离与点到点的距离之和的最小值为 C．当点与点重合时，四面体的外接球的表面积为 D．的正切值的取值范围是 【答案】ABD【详解】过作交与，  对于A，在正方体中，，又面，面， 所以平面，即点到平面的距离为定值， 故三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，过作交与，则平面， 平面，平面， 把平面沿展开，所以当时，距离之和取得最小值， 又，， ， ，故B正确； 对于C，点与点重合时，四面体的外接球即为正方体的外接球， 所以此时外接球直角为体对角线，则表面积为； 对于D，在正方体中，平面，又平面，所以， 所以，又当时，取得最小值， 当与点或点重合时，取得最大值，，故D正确 三、填空题 12．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 【答案】或 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为，则， 若，则直线过原点，又过点，则直线方程为：； 若，则，可设直线方程为：， 代入点，可得，解得，则直线方程为：. 13．甲、乙两人来重庆旅游，准备分别从解放碑、洪崖洞、李子坝、磁器口、长江索道这5个景点中随机选一个.事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好有一人选择洪崖洞.则条件概率____. 【答案】【详解】事件：甲和乙选择的景点不同，从个景点中任选个排列给甲乙二人种． 事件:甲和乙选择的景点不同，甲选洪崖洞，乙可任选另外个景点，同理乙选洪崖洞，甲可任选另外个景点，共种．所以． 14．已知圆的半径为4，是圆的一条直径．两点均在圆上，，点为线段上一动点，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】由平面向量的线性运算和数量积运算可得，结合的取值范围，计算即可． 【详解】如图，为圆心，连接，    则 ． 因为点在线段上且，则圆心到直线的距离，所以，所以， 则，即的取值范围是， 故答案为：． 四、解答题 15．已知数列中，，点（）在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：数列是等差数列； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为点在函数的图象上，所以，即， 因为，所以，所以，所以是公比的等比数列，所以； （2）因为，，所以，，，， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列； （3）由（2）得，，所以， 16．如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点，且 (1)求证：平面；(2)求二面角大小的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）由AB是的直径，得，由PA垂直于所在的平面，在所在的平面内，得，而平面，所以平面. （2）在平面内过作于，在平面内过作于，连接， 由（1）知，平面，则，而平面， 于是平面，又平面，则，而平面， 因此平面，而平面，则，从而是二面角的平面角， 由PA垂直于所在的平面，在所在的平面内，则， 由，得，， 则，， 在中,,，所以二面角大小的余弦值 17．已知椭圆焦距为4，短轴长为4． (1)求椭圆的方程． (2)若椭圆与轴的交点为A，B（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线上 【详解】（1）依题意可得，解得，则， 所以椭圆的方程为； （2）点在定直线上，理由如下： 设点，联立，与直线联立消去，整理得， 由，得 且， 所以， 易知，则， 两式作商得，解得，故在定直线上． 18．随着居民生活水平提升､消费观念转变以及技术不断革新，智能小家电市场前景广阔，记2021~2025年的年份代码分别为1~5，下表为2021~2025年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元）. 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 1.7 1.8 1.9 2.2 2.4 (1)从这5年中国智能小家电市场规模中的数据中任取3个，记取到的数据小于这5个数据平均数的个数为，求的分布列及方差； (2)（i）根据表中数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系； （ii）求出关于的经验回归方程. 附：①样本相关系数， ②经验回归方程中. 【答案】(1)的分布列为： (2)（i）可以； （ii）关于的经验回归方程为 【详解】（1），其中小于的数据有个，大于等于的数据有个， 所以的所有可能取值为， ，，， 所以分布列为： 所以， . （2）（i）由题意，由（1）， 则， ， ， 于是， 因相关系数非常接近于1，故可以用线性回归模型拟合与的关系. （ii）因，由可得， 故关于的经验回归方程为. 19．已知函数，其中. (1)当时，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）在上单调递减，在上单调递增. (2). 【详解】（1）当时，，.（ⅰ）因，，所以切线方程为. （ⅱ）由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，不满足题意. 所以，此时. 显然是上的增函数，且时，，时，， 所以存在唯一正实数使得，即. 此时在上单调递减，在上单调递增. 由题意. 将代入上式整理得：，解得：. 此时，代入后. 化简得：，解得：. 令，其中. 则，所以是区间上的增函数. 所以，代入得到的取值范围是. 试卷解析 第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二下学期期末考试模拟试卷 数 学 一、单选题 1．若集合，则（     ） A． B． C． D． 2．设，则（     ） A． B． C． D．2 3．已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．设等比数列的前项和为，若，则（     ） A．24 B．32 C．36 D．108 5．若角的终边过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．的展开式中，常数项为（     ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（     ） A．1 B．－1 C．2025 D．－2025 二、多选题 9．已知函数，则（     ） A．为的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在区间上单调递减 10．下列命题中正确的是（     ） A．若回归方程为，则变量与成负相关 B．数据的上四分位数为 C．某校高三年级男生的身高（单位：）近似服从，随机选择一名该校高三年级的男生，则 D．已知数据、、…、的平均数，方差为．设，数据、、…、的方差为，数据、、…、、、、…、的方差为，则 11．棱长为1的正方体中，点是线段上的动点（包括端点），则（     ） A．三棱锥的体积为定值 B．点到平面的距离与点到点的距离之和的最小值为 C．当点与点重合时，四面体的外接球的表面积为 D．的正切值的取值范围是 三、填空题 12．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 . 13．甲、乙两人到重庆旅游，准备分别从解放碑、洪崖洞、李子坝、磁器口、长江索道这5个景点中随机选一个.事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好有一人选择洪崖洞.则条件概率_____. 14．已知圆的半径为4，是圆的一条直径．两点均在圆上，，点为线段上一动点，则的取值范围是____________． 四、解答题 15．已知数列中，，点（）在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：数列是等差数列； (3)设，求数列的前项和. 16．如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点，且 (1)求证：平面； (2)求二面角大小的余弦值． 17．已知椭圆焦距为4，短轴长为4． (1)求椭圆的方程． (2)若椭圆与轴的交点为A，B（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 18． 随着居民生活水平提升､消费观念转变以及技术不断革新，智能小家电市场前景广阔，记2021~2025年的年份代码分别为1~5，下表为2021~2025年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元）. 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 1.7 1.8 1.9 2.2 2.4 (1)从这5年中国智能小家电市场规模中的数据中任取3个，记取到的数据小于这5个数据平均数的个数为，求的分布列及方差； (2)（i）根据表中数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系； （ii）求出关于的经验回归方程. 附：①样本相关系数， ②经验回归方程中. 19．已知函数，其中. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 答案第1页，共2页 高二数学 第1页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $