2025-2026学年高二下学期数学期末复习之大题专练人教A版

**基本信息** 聚焦高中数学核心模块，以综合性大题为主，覆盖导数应用、立体几何等六大专题，梯度设计适配期末复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|分模块设置（导数6题等）|导数应用（单调性讨论、恒成立问题）、立体几何（线面证明、二面角计算）、概率统计（分层抽样、独立性检验）等|梯度分层（如导数题从基础单调性到综合证明），情境真实（概率统计结合视力调查等实际问题），注重逻辑推理与数学表达|

期末复习之大题专练 模块一：一元函数的导数及其应用 1. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，分，讨论研究的正负情况即可； （2）将原不等式转化为对任意的恒成立，令，利用导数的知识求出的最小值即可，这个过程中需要二次求导，估算的导函数的零点，求出的单调性，进而计算的最小值. 【小问1详解】 由已知 当时，恒成立，此时函数在上单调递增； 当时，令，得， 若，，若，， 此时函数在上单调递增，在上单调递减； 综合得：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 ，即 对任意的恒成立， 令 则 令，则 在上单调递增， 又，， ，使， 在上单调递减，在上单调递增， 由得 ， 设，， 即在上单调递增， 由得， ，即有 ， . 【点睛】关键点点睛： 1.对于利用导数研究函数问题，当一次求导不能解决问题的时候，我们需要进行二次求导来研究函数性质； 2.对于导函数的零点我们无法求出时，我们可以应用零点存在性定理，找到零点所在去区间，然后设出零点，进而可以写出函数的单调性. 2. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，证明：在上单调递增； （3）判断与的大小关系，并加以证明． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得切点处的斜率，即可求解直线方程， （2）求导，利用导数的正负即可确定函数的单调性， （3）构造函数，利用导数确定单调性，结合（2）的结论即可求解. 【小问1详解】 ,所以，． 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 由题设，． 所以． 当时，因为，所以． 所以在上单调递增． 【小问3详解】 ． 证明如下： 设． 则． 由（2）知在上单调递增，所以． 所以，即在上单调递增． 所以，即． 3. 已知函数，直线在轴上的截距为，且与曲线相切于点． （1）求实数值； （2）求函数的单调区间与极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，，单调递减区间为，， 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到切线方程，由切线过点代入计算可得； （2）由（1）可得的解析式，利用导数求出函数的单调性，即可求出极值. 【小问1详解】 因为，则， 所以，， 故直线， 又直线在轴上的截距为，所以，解得． 【小问2详解】 由（1）得，的定义域为， 又， 由，解得或；由，解得， 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为， 所以在处取得极大值，即， 在处取得极小值，即． 4.已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【解题思路】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【解答过程】（1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 5. 已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）若在区间上存在唯一零点，证明：. 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数求原函数的单调区间； （2）由题设得，从而得若要证明，则只需，即只需，通过构造函数，利用导数证明即可得证. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 因为在区间上存在唯一零点， 所以存在唯一的，有，化简得， 若要证明，则只需，即只需证明， 设，则， 令，则， 所以当时，单调递增， 所以， 所以当时，单调递增， 所以， 即当时，有不等式成立， 综上所述：若在区间上存在唯一零点，则. 6. 已知函数． （1）当时，判断的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）把代入解析式对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解； （2）分类讨论，当时成立；当时，，构造函数即可证明． 【小问1详解】 当时，，则， 令，则恒成立， 在上单调递增，又因为， 则当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 证明：， 所以，令， 则，所以在上单调递增， 当时，，又， 有，即单调递减；，即单调递增， 所以，而此时， 所以当时，成立； 当时，可得，所以，所以， 又，所以存在，使得，即， ， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，由可得， ， 下面证明， 令，所以， 所以在上单调递增，所以， 即得证，即成立， 综上，当时，成立． 【点睛】难点点睛：本题综合考查导数的应用，难点在于不等式的证明，解答时要结合函数的结构特征，构造函数，结合单调性以及隐零点进行解决. 模块二：立体几何与空间向量 1. 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点． （1）证明：平面AEC； （2）若，，，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连BD，设BD∩AC=O，连EO，根据E是PD的中点，O为BD的中点，得到．再利用线面平行的判定定理证明. （2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面AEC的一个法向量，又为平面DAE的一个法向量，然后利用公式求解. 【详解】（1）如图所示： 连BD，设BD∩AC=O，连EO， 因为E是PD的中点，O为BD的中点， 所以． 又因为平面AEC，平面AEC， 所以平面AEC； （2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，． 设为平面AEC的一个法向量， 则， 令，则， 又为平面DAE的一个法向量， 由向量的夹角公式，可得 所以二面角的平面角的余弦值为． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理、运算求解的能力，属于中档题. 2. 如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是直角梯形，其中，，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，先求出两个平面的法向量，然后利用夹角公式即可求解. 【小问1详解】 如图所示： 连接.因为是边长为2正方形，所以， 因为，所以，， 所以，则. 因为，所以. 因为平面ABCD，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，以射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴 建立如图所示的空问直角坐标系. 则，，，，故，，.设平面的法向量为，则，令，则 设平面的法向量为，则，令，则. ， 记平面和平面夹角为，则. 3. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，． （1）求二面角余弦值的大小： （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量求解即可； （2）求出平面的法向量，再求出平面的斜线所在的向量，然后求出在法向量上的射影即可得到点到平面的距离． 【小问1详解】 因为平面，底面是矩形， 所以以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 由，则， 在中, ,, 所以，所以,， 因为平面，所以为平面的一个法向量，且， 设平面的法向量为，则， 取，所以， 设二面角的大小为，由图可知为锐角， 所以， 故二面角余弦值的大小为. 【小问2详解】 由（1）题得,, 设平面的法向量为， 则，即，取，故，又， 所以到平面的距离为：. 4. 如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为，设为侧棱的中点. （1）求正四棱锥的体积； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中点求出四棱锥的高，结合体积公式可得答案； （2）建立坐标系，利用法向量可求线面角 【小问1详解】 设，则是的中点，连接， 由于是的中点，所以，， 由于平面，所以平面，所以. 小问2详解】 依题意可知两两相互垂直，以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，设平面的法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则. 5．在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明、点到直线距离的向量求法 【分析】（1）依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公式即可求得； （2）由（1）中所建的系求出的坐标，分别计算得到和，由线线垂直推出线面垂直. 【详解】（1）    如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 正四棱柱,为中点, 则点到直线的距离为：. （2）由（1）可得， 则， 由可得， 又由可得， 又， 故面. 6. 如图，四边形是某半圆柱的轴截面（过上下底面圆心连线的截面），线段是该半圆柱的一条母线，点为线的中点． （1）证明：； （2）若，且点到平面的距离为1，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）先证明，，利用判定定理证明平面，从而得到； （2）设，利用等体积法，由由，解出a. 【详解】（1）证明：由题意可知平面，平面 ∴ ∵所对为半圆直径 ∴ ∴ 和是平面内两条相交直线 ∴平面 平面 ∴ （2）设， 因为，且 所以， 设， 在等腰直角三角形中，取BC中点E,连结AE,则， 取BC1的中点为P，连结DP，∵，∴，又为的中点， ∴,∴，即的高为 ∴， ∵，且,∴平面， ∵平面，且 即到平面的距离为1，而 由，即 解得：，即. 【点睛】立体几何解答题的基本结构： (1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理； (2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果求体积，常用的方法有：(1) 直接法；(2)等体积法；(3) 补形法；(4)向量法. 模块三：解三角形 1. 已知函数. （1）求的值和的最小正周期； （2）设锐角的三边，，所对的角分别为，，，且，，求的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用降幂公式与辅助角公式将化简为，进而求得的值和的最小正周期即可. （2）根据(1)与可得，再利用正弦定理转化为求三角函数的范围即可. 【详解】由题 . （1）. （2），，所以， 利用正弦定理， 解得，， 所以， 由于，解得，所以， 所以， 综上可得的取值范围是. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题. 2. 如图，在中，，，平分交于点，． （1）求的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解； （2）由（1）可求出，再根据平分可得为等腰三角形，再根据三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 所以， 因为， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 由题设，，即为等腰三角形， 所以， ， 所以的面积． 3 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. （1）求角A； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式与余弦定理代入已知条件，整理得，从而得解； （2）利用基本不等式与两边之和大于第三边求得，进而得解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，则，即， 又，所以. 【小问2详解】 的周长为， 因为，即， 因为，所以， 所以，则，即， 又，所以，即， 所以的周长的取值范围为. 4. 在中，的对边分别为，且满足__________． 请在①；②，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题． （1）求； （2）若的面积为为的中点，求的最小值． 【答案】（1）任选一条件，都有 （2） 【解析】 【分析】（1）选①，由正弦定理角化边结合余弦定理，即可求得答案；选②，利用三角函数诱导公式求出，结合角的范围即可求得答案； （2）利用三角形面积可求出，再将平方后结合基本不等式，即可求得答案；另外，也可利用的面积以及在中利用余弦定理求解. 【小问1详解】 选择条件①，， 则， 由正弦定理可得，即， 所以，由，所以． 选择条件②，， 即，所以， 由，则， 所以，则． 【小问2详解】 由，解得． 又， 所以 所以，当且仅当时等式成立， 所以的最小值是． 另解：因为为中点， 所以，得， 中，由余弦定理得 所以，当且仅当时等式成立， 所以的最小值是． 5. 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，也是在勾股定理的基础上，增加了角度要素而成.而对三角形的边赋予方向，这些边就成了向量，向量与三角形的知识有着高度的结合.已知，，分别为内角A，B，C的对边： （1）请用向量方法证明余弦定理； （2）若，其中为边上的中线，求的长度. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）如图，设，由三角形法则有，利用数量积的性质展开可得，即可得出结论. （2）如图，由（1）求出的值，两次在不同三角形中利用即可求得结果. 【小问1详解】 如图，设， 则有，可得， ， . 【小问2详解】 由（1）知， ， 如图，则，， ， 在中， ， 解得. 6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由正弦定理可得， 所以，即， 可得， 整理可得， 因为在中，，所以， 又，所以； （2）因为，AD平分， 所以， 由得， 即，整理可得，① 因为为角平分线，所以， 在中由正弦定理可得， 在中由正弦定理可得， 又，所以， 所以，② 由①②可得， 在中，由余弦定理可得， 解得. 7．如图所示，四边形的外接圆为圆. （1）求； （2）若，求的长. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由，可得. 设， 在中，由余弦定理得，即， 解得（舍去）或， 由正弦定理得. （2）， 由已知得， 设. 在中，由余弦定理得， ，即.. 模块四：排列组合，统计及概率 1. 已知. （1）求的值. （2）求的值； 【答案】（1）80 （2）242 【解析】 【分析】（1）法一：写出的展开式，得到； 法二：写出通项公式，得到，得到答案； （2）法一：赋值法得到，，求出答案； 法二：写出的展开式，得到，，，，，求出答案. 【小问1详解】 法一：由二项式定理，得，则. 法二：由通项公式，得， 令得，，则 【小问2详解】 法一：因为， 所以令，得， 令，得 则. 法二：由二项式定理，得 因为 所以，，，，， 所以. 2. 已知. （1）求该二项展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，结合二项式系数最大项为中间项，从而可求解. （2）利用赋值法分别令和即可求解. 小问1详解】 由二项式通项公式可得：， 因为为偶数，所以二项式系数最大项为中间项，即第项， 所以， 综上：二项式系数最大项为. 【小问2详解】 由题可得令，则， 令，则， 所以. 3. 已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为． （1）求n和a的值； （2）求展开式中项的系数 （3）求的展开式中的常数项． 【答案】（1） （2） （3）448 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和公式，以及赋值法求解系数和，即可列方程求解， （2）根据通项特征即可求解， （3）根据分配律，结合通项特征求解. 【小问1详解】 由条件可得，解得 【小问2详解】 展开式的通项为：， 当，即时，项的系数为 【小问3详解】 ， ①当即时，； ②当即时，； 所求的常数项为． 4. （1）由0，1，2，3，4，5，6这7个数字组成的没有重复数字的四位偶数有多少个？ （2）把5个不同颜色的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球，有多少种不同的放法？ （3）某书法兴趣小组有7名组员，其中3人只擅长硬笔书法，2人只擅长软笔书法，其余2人既擅长硬笔书法，又擅长软笔书法，现从书法兴趣小组中选择擅长硬笔书法的2人参加硬笔书法比赛，擅长软笔书法的2人参加软笔书法比赛（每个人不能同时参加两个比赛），则不同的选择方法有多少种？ 【答案】（1）420；（2）150；（3）37. 【解析】 【分析】（1）按个位数字是否为0分类，结合排列计数问题列式求解. （2）把5个不同颜色的小球按分成3组，再利用全排列列式求解. （3）根据给定的信息，按擅长两种书法的选与不选分类，结合组合计数问题求解. 【详解】（1）求没有重复数字的四位偶数的个数有两类： 个位数字为0，共有个；个位数字不是0，共有个， 所以没有重复数字的四位偶数的个数是. （2）把5个不同颜色的小球按分成3组的分法数为；按分成3组的分法数为， 将每种分法所得3组放入3个不同盒子，有种放法， 所以不同的放法种数为. （3）求不同选法种数，有三类办法： 擅长两种书法的不选，有种；擅长两种书法的选1人，有种； 擅长两种书法的选2人，有种， 所以不同选法种数是. 5. 4名大学生参加实习活动.（以下小题结果用数字作答） （1）有项不同的工作，每人安排其中一项工作，有多少种不同安排方法？ （2）有项不同工作，每人安排其中一项工作，每项工作只安排一人，有多少种不同安排方法? （3）将人安排到国庆七天假期值班，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，有多少种不同的安排方法? 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用乘法原理即可求解； （2）根据题意利用排列数公式即可求解； （3）根据已知条件利用组合数公式求解即可. 【小问1详解】 每人各有种选择，每人都安排一项工作的不同方法数为； 小问2详解】 依题意得； 【小问3详解】 甲两天，乙三天，丙和丁各一天，所以不同的安排方法有种. 6. 某市工会组织了一次工人综合技能比赛，一共有名工人参加，他们的成绩都分布在内，数据经过汇总整理得到如下的频率分布直方图，规定成绩在分及分以上的为优秀. （1）求图中的值； （2）估计这次比赛成绩的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）； （3）某工厂车间有名工人参加这次比赛，他们的成绩分布和整体的成绩分布情况完全一致，若从该车间参赛的且成绩为优秀的工人中任选两人，求这两人成绩均低于分的概率. 【答案】（1）0.01；（2）69.44；（2）. 【解析】 【分析】（1）由纵坐标组距频率，以及所有组频率之和为，即可列式求出； （2）根据频率分布直方图平均数公式，即可求得结果； （3）先求出人中优秀人数为人，再根据列举法，运用古典概型求出概率； 【详解】（1）由频率分布直方图可知： ， 解得： （2）设这次比赛的平均数为，则 （3）名工人参加比赛，优秀人数为：人， 名优秀工人中内有人设为,有一人设为， 则人中选人有以下情况： ,,,,,,,,,共有种情况， 人成绩均低于分有,,,,,，共6种情况. 则人任选人，两人成绩均低于92分的概率无. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，涉及到频率频数、平均数等以及古典概型求概率，同时考查对数据的处理能力. 7. 某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男生与女生的比例为，男生近视的人数占总人数的，男生与女生总近视人数占总人数的. （1）完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否近视与性别有关. 近视 不近视 合计 男 女 合计 60 （2）按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中女生人数的分布列和数学期望. 附：. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）表格见解析，无关 （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据已知中数据信息可以补全二阶列联表，并利用卡方公式进行计算，根据小概率值的独立性检验，把卡方值与6.635比较，从而作出判断. （2）利用分层抽样确定样本中8人，男生有6人，女生有2人，再从中抽取2人，这就超几何分布，由此可计算出结果. 【小问1详解】 由题意，男生与女生的人数之比是，所以男生有人，女生有人，男生近视的人数占总人数的，所以有人，男生中不近视的人数为15人， 男生与女生总的近视人数占总人数的，所以总的近视人数为，则女生中近视的人数为人. 可得如下列联表： 近视 不近视 合计 男 25 15 40 女 15 5 20 合计 40 20 60 零假设为：性别与近视情况独立，即性别因素与学生近视情况无关； 所以， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即性别因素与学生近视情况无关. 【小问2详解】 男生与女生总的近视的学生一共有40人，其中男生近视人数是25人，女生近视人数是15人，从中抽取8人，抽到的男生人数､女生人数分别为：. 所以从这8人中随机抽取2人，其中女生人数的所有可能取值为. ， 所以的分布列为 0 1 2 即. 8. 某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件A：学习兴趣高，事件：主动预习．据统计显示，，，． （1）求和，并证明A与不独立； （2）为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校抽取了一定容量的样本，得到如下列联表： 兴趣高 兴趣不高 总计 主动预习 不太主动预习 总计 利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将上表中所有数据都调整为原来的倍，使得在犯错误的概率不超过的条件下认为学习兴趣与主动预习有关，试确定的最小值． 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），，不相互独立 （2） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式以及全概率公式计算即可； （2）作出新的列联表，然后求出新的值，列不等式求解即可. 【小问1详解】 由已知， ， 又因为，所以， 所以， 又， 所以， 所以A与B不为独立事件； 【小问2详解】 根据原数据有 若将样本容量调整为原来的倍， 则新的列联表为： 兴趣高 兴趣不高 总计 主动预习 不太主动预习 总计 则， 解得， 又因为，所以的最小值为. 9. 为研究某篮球运动员对球队的贡献情况，现统计某赛季该球员出场情况与比赛结果的数据如下表： 球队赢球 球队输球 总计 参加 30 12 42 未参加 20 20 40 总计 50 32 82 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与该球员参赛有关联？ （2）为进一步研究该球员对球队的影响作用，现从他参赛的10场比赛（其中赢球场次3场，输球场次7场）中随机抽取2场，用随机变量表示赢球的场数．求随机变量的分布列，数学期望与方差． 参考公式：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）该球队赢球与该球员参赛有关联； （2）分布列见解析；数学期望方差 【解析】 【分析】（1）设零假设，求出的观测值，再与临界值表比对作答； （2）利用古典概型结合组合数计算，求出对应的概率，写出分布列，再根据数学期望和方差公式计算求解. 【小问1详解】 设零假设该球队胜利与甲球员参赛无关. 则. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该球队赢球与该球员参赛有关联. 【小问2详解】 由题意，随机变量所有可能取值为 则 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 数学期望 方差 10. 在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）．四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数；箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示．已知两个班级人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示． （1）求班成绩的上四分位数和班成绩的中位数； （2）据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中班3人，班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自班的人数为，求的分布列． （3）在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自班和班的概率分别是多少？ 【答案】（1）120；120 （2）答案见解析 （3）来自班的概率为，来自班的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据统计学中的箱型图的规定，易得班成绩的上四分位数和班成绩的中位数； （2）由题意确定的可能取值，利用古典概型概率公式求出对应的概率值，列出分布列即可； （3）设事件表示该同学来自班，事件表示该同学的分数高于120分，利用全概率公式先求出，再利用贝叶斯公式求和即可. 【小问1详解】 由两个班级的成绩箱型图可知，A班的上四分位数与B班的中位数均为120. 【小问2详解】 依题意的可能取值为，，， 所以， ，， 所以的分布列如下 0 1 2 3 【小问3详解】设事件表示该同学来自班，事件表示该同学的分数高于120分， 由成绩箱型图可得，，，， 由全概率公式， ， 故由贝叶斯公式，， 即该同学来自班的概率为，来自班的概率为． 11. 某工厂员工每天选择坐班车或开私家车去上班.统计可知，该工厂员工若前一天坐班车，则第二天仍坐班车的概率为，第二天改开私家车的概率为；若前一天开私家车，则第二天仍开私家车的概率为，第二天改坐班车的概率为.若该工厂员工上班第一天坐班车和开私家车的概率均为，该工厂某员工第天坐班车的概率为. （1）设该工厂某3位员工中第二天坐班车的人数为，求的分布列与数学期望； （2）求； （3）为缓解交通压力，工厂决定每天抽调10人到班车停车场和私家车停车场参加安保工作，请合理分配每天去班车停车场和私家车停车场参加安保工作的人数，并说明理由. 【答案】（1）分布列见解析， （2） （3）去班车停车场人，去私家车停车场人，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先求某同学第二天选择坐班车的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）根据题意先求与的关系，然后利用构造法可得通项； （3）由确定两停车场安保人数分配. 【小问1详解】 由题可知，该工厂员工第二天坐班车概率， 所以 的所有可能取值为0,1,2,3， , , ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 ； 【小问2详解】 由题可知， 则 又， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以； 【小问3详解】 由（2）可知，当趋向于正无穷大时，趋向于， 所以工厂每天抽调的10人中，去班车停车场参加安保工作的应有人，去私家车停车场参加安保工作的应有人. 12. 某大学为了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码t 1 2 3 4 5 报考人数y 30 65 95 135 175 （1）经分析，y与t存在显著的线性相关性，求y关于t的线性回归方程，并预测2025年的报考人数； （2）每年报考该专业研究生考试成绩大致符合正态分布，录取方案：总分在400分以上的直接录取；在之间的进入面试环节，录取其中的50%；低于355分的不予录取.请预测2025年报考该专业考生中被录取的人数（最后结果四舍五入，保留整数）. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，若随机变量，则，，. 【答案】（1）；208 （2）90 【解析】 【分析】（1）先根据所给数据计算，，，再根据所给公式计算和，可得线性回归方程，再将代入方程，可以预测2025年的报考人数. （2）根据正态分布的性质，先求和，再根据全概率公式预测2025年报考该专业考生中被录取的人数. 【小问1详解】 因为，， . 所以，. 所以. 当时，，即预测2025年的报考人数为. 【小问2详解】 因为. . 所以预测2025年报考该专业考生中被录取的人数约为： 人. 13. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） （2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； （3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望． 附参考数据：若，则①；②；③． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可； （2）依据，利用正态分布的对称性计算即可； （3）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图得： ． 【小问2详解】 由题意知，即， 所以． 【小问3详解】 由题意可知，和的频率之比为：， 故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为， ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 所以. 14. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 【答案】（1），85 （2） （3）得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【解析】 【分析】（1）首先根据频率和1求出，再根据百分数公式即可得到答案； （2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可； （3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可. 【小问1详解】 由题意得:，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. 【小问2详解】 由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、. 则样本空间为. 设事件“两人分别来自和，则， 因此， 所以两人得分分别来自和的概率为. 【小问3详解】 由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 记在区间的数据分别为，平均分为，方差为； 在区间的数据分别为为，平均分为，方差为； 这20个数据的平均数为，方差为. 由题意，，且，则. 根据方差的定义， 由， 可得 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可. 模块四：；平面解析几何 1. 已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为．F为E的右焦点，P为E上一点，轴，的半径为PF． （1）求椭圆E和的方程； （2）若直线l：与交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由． 【答案】（1）椭圆的方程为，的方程为； （2）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出得椭圆的方程，再求出的方程. （2）设出、的坐标，求出、，根据条件得到，利用韦达定理代入即可得到结论． 【小问1详解】 设椭圆的方程为，由离心率，得， 由以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，得， 解得，椭圆的方程为：，， 由轴，得，所以的方程为：. 【小问2详解】 由在圆上得，设，， 则，同理， 若，则，即， 因此， 由得， 因为， 所以， 于是，即，无解， 所以不存在k使. 2. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为. （1）求椭圆W方程； （2）直线与椭圆W交于A，B两点，连接，交椭圆W于点C，若的面积为5，求直线AC的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式、过焦点垂直于轴的弦长公式以及椭圆中的关系求解椭圆方程. （2）先设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出弦长，再根据三角形面积公式求出直线方程. 【小问1详解】 解：由题意得过点且垂直于x轴的直线方程为，代入椭圆，得， 又该直线所截得的线段长为，即， 椭圆的离心率， 又，故可列方程组为 ，解得，， 故椭圆W的方程为. 【小问2详解】 由题意知，直线AC不垂直于y轴，直线AC经过， 设直线AC的方程为，，， 联立，消去x并整理得， 由韦达定理得，，， . 点（坐标原点）到直线AC的距离， 且是线段AB的中点，所以点B到直线AC的距离为2d， 所以. 由，令，则，上式变为，解得或， 即或（舍去），， 故直线AC的方程为，即或. 3. 设椭圆：（）的左、右交点分别为，，下顶点为.已知椭圆的短轴长为，且椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于异于点的两点，，且直线与的斜率之和等于2，证明：直线经过定点. 【答案】（1）. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知建立关于a，b，c的方程，求解即可； （2）设，当直线l的斜率不存在时，设其方程为，有，根据两点的斜率公式有，解得； 当直线l的斜率存在时，设其方程为，与椭圆的方程联立消y得：，得出根与系数的关系，再代入两点的斜率公式，化简得，代入直线方程中可得直线经过定点. 【小问1详解】 解：由已知得，解得， 又椭圆过点，所以，即有，解得， 所以椭圆的方程是； 【小问2详解】 解：由（1）得，设， 当直线l的斜率不存在时，设其方程为，则，所以， 解得，此时直线l的方程为； 当直线l的斜率存在时，设其方程为，与椭圆的方程联立消y得： ， 则， 又， 所以，即， 所以，整理得， 因为直线不过点A，所以，所以，即， 所以直线的方程为，即，恒过点，此点也在直线上， 所以直线经过定点. 4. 已知双曲线的一条渐近线为，且过点． （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，过的右焦点作直线与的右支交于，两点． （i）若和的面积的比值为2，求直线的方程； （ii）若关于的对称点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）（i）或；（ii）相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题列出方程组，解方程组即可； （2）（i）设直线的方程为，，，与双曲线联立得到，利用和的面积的比，可解从而得到直线方程； （ii）根据题意可得直线的方程，根据圆心到直线的距离即可判断位置关系. 【小问1详解】 设双曲线方程为，则，解得 所以的方程为． 【小问2详解】 （i）的右焦点为），设直线的方程为，，， 与方程联立可得：， 则由 ，得， 因为和的面积的比值为2，所以， 所以，所以， 所以， 解得，满足，所以， 所以直线的方程为：或． （ii）依题意得，则直线的斜率， 直线的方程为，即． 圆心到直线的距离为， 因为，， 所以， 又因，所以， 所以直线与圆相切． 5. 已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，其顶点是椭圆的中心，其焦点到其准线的距离等于该椭圆的长半轴长. （1）求抛物线的准线方程； （2）过点的动直线交抛物线于两点，且点在第一象限，. ①求的面积的最小值. ②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的线段长为定值？如存在，求出的方程；如果不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）①32；②存， 【解析】 【分析】(1)根据题意得出即可； (2) ①设直线方程，与抛物线方程联立，再利用解得是关于的函数，求函数最值即可； ②假设直线存在性，利用点坐标求出圆的方程，再利用垂径定理即可解得. 【小问1详解】 由题意，可设抛物线方程为. 由题可知椭圆的长半轴长为2，故， 则抛物线的方程为，其准线方程为. 【小问2详解】 ①设，由题意可知直线的斜率不为， 故设直线方程为. 联立，得， 则，则， 故（当且仅当时取等号） 所以的面积的最小值为32. ②设存在直线满足题意，设圆心， 过作直线的垂线，垂足为，圆与直线的一个交点为， ，即 ， 当时，， 此时直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值， 因此存在直线满足题意. 模块六：数列 1. 已知数列满足：，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，若，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合等比数列求和公式，利用累加法求解通项公式. （2）先利用累加法求和，然后根据数列的有界性证明即可. 【小问1详解】 数列满足，， 所以当时，，…，，， 上述各式相加得， 又，所以， 又满足上式，故． 【小问2详解】 由（1）可知， 所以． 因为，所以． 2. 已知等差数列，满足，. （1）求数列的通项公式以及前项和； （2）若从数列中依次取出第项，按原来的顺序构成一个新数列，试求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式可构造方程组求得，进而可得； （2）由可得，采用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则，解得：， ，. 【小问2详解】 由（1）知：，， . 3. 已知正项等比数列的前项和为，且是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，由等比数列的通项公式和求和公式，解得首项和公比，即可得到所求通项公式；（2）bn＝an2+log2an＝2nn，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和． 【详解】（1）正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，前n项和为Sn， a10是8a2和6a6的等差中项，可得2a10＝8a2+6a6， 即有2a1q9＝8a1q+6a1q5，即为q8﹣3q4﹣4＝0， 解得q， S8＝30+15，可得30+15，解得a1， 可得an＝（）n； （2）bn＝an2+log2an＝2nn， 数列{bn}的前n项和为（2+4+…+2n）（1+2+…+n） •n（n+1）＝2n+1﹣2（n2+n）． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，化简整理的运算能力，属于基础题． 4. 已知数列满足， （1）记，求，，并证明数列是等比数列； （2）记，求满足的所有正整数的值. 【答案】（1），，证明见解析 （2）1，2，3，4. 【解析】 【分析】（1）利用递推关系来证明等比数列即可； （2）利用通项公式可求等比数列前项和，然后通过赋值结合单调性可作出判断. 【小问1详解】 由题意，，，， 所以，， 又因为， 所以数列是首项为5，公比为2的等比数列； 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以， 因为单调递增， 且， 所以正整数的所有取值为1，2，3，4. 5. 已知数列满足，，记， （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）通过数列奇数项的递推关系，利用构造法求得数列相邻两项的比值，证明等比数列. （2）通过数列的通项公式得的通项公式，进而得的通项公式，分析通项公式得特点，分组求和、错位相减得前项和. 【小问1详解】 证明：因为，，， 所以， 即，， 又， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以. 则， 设，其前n项和为， 则， ， 两式相减得， 所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习之大题专练 模块一：一元函数的导数及其应用 1. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围. 2. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，证明：在上单调递增； （3）判断与的大小关系，并加以证明． 3. 已知函数，直线在轴上的截距为，且与曲线相切于点． （1）求实数值； （2）求函数的单调区间与极值． 4.已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 5. 已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）若在区间上存在唯一零点，证明：. 6. 已知函数． （1）当时，判断的单调性； （2）证明：当时，． 模块二：立体几何与空间向量 1. 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点． （1）证明：平面AEC； （2）若，，，求二面角的平面角的余弦值． 2. 如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是直角梯形，其中，，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值． 3. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，． （1）求二面角余弦值的大小： （2）求点到平面的距离． 4. 如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为，设为侧棱的中点. （1）求正四棱锥的体积； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 5．在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点. (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 6. 如图，四边形是某半圆柱的轴截面（过上下底面圆心连线的截面），线段是该半圆柱的一条母线，点为线的中点． （1）证明：； （2）若，且点到平面的距离为1，求线段的长． 模块三：解三角形 1. 已知函数. （1）求的值和的最小正周期； （2）设锐角的三边，，所对的角分别为，，，且，，求的取值范围. 2. 如图，在中，，，平分交于点，． （1）求的值； （2）求的面积． 3 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. （1）求角A； （2）若，求周长的取值范围. 4. 在中，的对边分别为，且满足__________． 请在①；②，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题． （1）求； （2）若的面积为为的中点，求的最小值． 5. 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，也是在勾股定理的基础上，增加了角度要素而成.而对三角形的边赋予方向，这些边就成了向量，向量与三角形的知识有着高度的结合.已知，，分别为内角A，B，C的对边： （1）请用向量方法证明余弦定理； （2）若，其中为边上的中线，求的长度. 6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求． 7．如图所示，四边形的外接圆为圆. （1）求； （2）若，求的长. 模块四：排列组合，统计及概率 1. 已知. （1）求的值. （2）求的值； 2. 已知. （1）求该二项展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值. 3. 已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为． （1）求n和a的值； （2）求展开式中项的系数 （3）求的展开式中的常数项． 4. （1）由0，1，2，3，4，5，6这7个数字组成的没有重复数字的四位偶数有多少个？ （2）把5个不同颜色的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球，有多少种不同的放法？ （3）某书法兴趣小组有7名组员，其中3人只擅长硬笔书法，2人只擅长软笔书法，其余2人既擅长硬笔书法，又擅长软笔书法，现从书法兴趣小组中选择擅长硬笔书法的2人参加硬笔书法比赛，擅长软笔书法的2人参加软笔书法比赛（每个人不能同时参加两个比赛），则不同的选择方法有多少种？ 5. 4名大学生参加实习活动.（以下小题结果用数字作答） （1）有项不同的工作，每人安排其中一项工作，有多少种不同安排方法？ （2）有项不同工作，每人安排其中一项工作，每项工作只安排一人，有多少种不同安排方法? （3）将人安排到国庆七天假期值班，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，有多少种不同的安排方法? 6. 某市工会组织了一次工人综合技能比赛，一共有名工人参加，他们的成绩都分布在内，数据经过汇总整理得到如下的频率分布直方图，规定成绩在分及分以上的为优秀. （1）求图中的值； （2）估计这次比赛成绩的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）； （3）某工厂车间有名工人参加这次比赛，他们的成绩分布和整体的成绩分布情况完全一致，若从该车间参赛的且成绩为优秀的工人中任选两人，求这两人成绩均低于分的概率. 7. 某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男生与女生的比例为，男生近视的人数占总人数的，男生与女生总近视人数占总人数的. （1）完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否近视与性别有关. 近视 不近视 合计 男 女 合计 60 （2）按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中女生人数的分布列和数学期望. 附：. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 8. 某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件A：学习兴趣高，事件：主动预习．据统计显示，，，． （1）求和，并证明A与不独立； （2）为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校抽取了一定容量的样本，得到如下列联表： 兴趣高 兴趣不高 总计 主动预习 不太主动预习 总计 利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将上表中所有数据都调整为原来的倍，使得在犯错误的概率不超过的条件下认为学习兴趣与主动预习有关，试确定的最小值． 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 9. 为研究某篮球运动员对球队的贡献情况，现统计某赛季该球员出场情况与比赛结果的数据如下表： 球队赢球 球队输球 总计 参加 30 12 42 未参加 20 20 40 总计 50 32 82 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与该球员参赛有关联？ （2）为进一步研究该球员对球队的影响作用，现从他参赛的10场比赛（其中赢球场次3场，输球场次7场）中随机抽取2场，用随机变量表示赢球的场数．求随机变量的分布列，数学期望与方差． 参考公式：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 10. 在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）．四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数；箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示．已知两个班级人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示． （1）求班成绩的上四分位数和班成绩的中位数； （2）据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中班3人，班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自班的人数为，求的分布列． （3）在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自班和班的概率分别是多少？ 11. 某工厂员工每天选择坐班车或开私家车去上班.统计可知，该工厂员工若前一天坐班车，则第二天仍坐班车的概率为，第二天改开私家车的概率为；若前一天开私家车，则第二天仍开私家车的概率为，第二天改坐班车的概率为.若该工厂员工上班第一天坐班车和开私家车的概率均为，该工厂某员工第天坐班车的概率为. （1）设该工厂某3位员工中第二天坐班车的人数为，求的分布列与数学期望； （2）求； （3）为缓解交通压力，工厂决定每天抽调10人到班车停车场和私家车停车场参加安保工作，请合理分配每天去班车停车场和私家车停车场参加安保工作的人数，并说明理由. 12. 某大学为了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码t 1 2 3 4 5 报考人数y 30 65 95 135 175 （1）经分析，y与t存在显著的线性相关性，求y关于t的线性回归方程，并预测2025年的报考人数； （2）每年报考该专业研究生考试成绩大致符合正态分布，录取方案：总分在400分以上的直接录取；在之间的进入面试环节，录取其中的50%；低于355分的不予录取.请预测2025年报考该专业考生中被录取的人数（最后结果四舍五入，保留整数）. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，若随机变量，则，，. 13. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） （2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； （3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望． 附参考数据：若，则①；②；③． 14. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 模块四：；平面解析几何 1. 已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为．F为E的右焦点，P为E上一点，轴，的半径为PF． （1）求椭圆E和的方程； （2）若直线l：与交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由． 2. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为. （1）求椭圆W方程； （2）直线与椭圆W交于A，B两点，连接，交椭圆W于点C，若的面积为5，求直线AC的方程. 3. 设椭圆：（）的左、右交点分别为，，下顶点为.已知椭圆的短轴长为，且椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于异于点的两点，，且直线与的斜率之和等于2，证明：直线经过定点. 4. 已知双曲线的一条渐近线为，且过点． （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，过的右焦点作直线与的右支交于，两点． （i）若和的面积的比值为2，求直线的方程； （ii）若关于的对称点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 5. 已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，其顶点是椭圆的中心，其焦点到其准线的距离等于该椭圆的长半轴长. （1）求抛物线的准线方程； （2）过点的动直线交抛物线于两点，且点在第一象限，. ①求的面积的最小值. ②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的线段长为定值？如存在，求出的方程；如果不存在，说明理由. 模块六：数列 1. 已知数列满足：，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，若，求证：． 2. 已知等差数列，满足，. （1）求数列的通项公式以及前项和； （2）若从数列中依次取出第项，按原来的顺序构成一个新数列，试求数列的前项和. 3. 已知正项等比数列的前项和为，且是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 4. 已知数列满足， （1）记，求，，并证明数列是等比数列； （2）记，求满足的所有正整数的值. 5. 已知数列满足，，记， （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 1 学科网（北京）股份有限公司 $