寒假复习 指数函数与对数函数-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026学年高一人教A版寒假复习《指数函数与对数函数》 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数的定义域为(    ) A. B. C. D. 2.函数，其中，则函数的值域为(    ) A.   B. C. D. 3.设函数，则函数的零点所在的区间为(    ) A. B. C. D. 4.已知火箭推进系统的燃料携带量与速度的关系为，其中为速度改变量，为喷气速度，为火箭本体质量，为燃料质量，若某一火箭发射时携带的燃料质量，记携带燃料剩余质量为，时的值分别为，，则(    ) A. B. C. D. 5.已知对，且均有意义，则函数的大致图象是(    ) A. B. C. D. 6.函数的单调递增区间是(    ) A. B. C. D. 7.函数在上是减函数，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.若函数的定义域为，则实数取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列根式与分数指数幂的互化正确的是 (    ) A. B. C. D. 10.下列函数零点能用二分法求解的是(    ) A. B.   C. D. 11.已知函数和的定义域和值域都是，其图象分别如图所示： 给出下列四个命题中真命题是(    ) A. 函数有且仅有个零点 B. 函数有且仅有个零点 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则          ． 13.已知函数，且其图象过定点，角的始边与轴的正半轴重合，顶点为坐标原点，终边过定点，则           ． 14.已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的最小值是           ，的最大值是           ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 计算：． 化简：． 16.本小题分 已知函数． 在图中的平面直角坐标系中画出函数的图象； 设，讨论的零点个数． 17.本小题分 已知函数． 求函数的定义域； 判断函数的奇偶性，并给予证明； 求不等式的解集． 18.本小题分 党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为元盒，且每万盒猕猴桃的销售收入单位：万元与售价量单位：万盒之间满足关系式 写出利润单位：万元关于销售量单位：万盒的关系式；利润销售收入成本 当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？ 19.本小题分 已知函数， 若为偶函数，求的值并证明函数在上的单调性 在的条件下，若函数在区间上的最小值为，求实数的值 若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围． 2026学年高一人教A版寒假复习《指数函数与对数函数》答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由题意得，，即，解得：， 故函数的定义域为． 2.【答案】  解：，在上单调递增， 所以，则函数的值域为． 3.【答案】  解：根据题意可得，，  因此函数在区间上有零点， 易知在定义域上是增函数， 所以函数有且仅有一个零点，零点所在的区间是． 4.【答案】  【解析】解：因为，故， 当携带燃料剩余质量为时，故此时； 同理当携带燃料剩余质量为时，； 故， 5.【答案】  【解析】解：由题意可知，对恒成立，得， 则时，，则在上单调递增， 因，则为偶函数． 故选： 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查复合函数的单调性，利用换元法结合指数函数，二次函数的单调性是解决本题的关键． 利用换元法结合复合函数单调性的解法进行求解即可． 【解答】 解：， 设，为增函数， 求函数的单调递增区间，等价为求函数的单调递增区间， 函数的对称轴为，则函数在上是增函数， 则的单调递增区间是， 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查复合函数的单调性，属于中档题． 根据可知在定义域内单调递减，若使得函数在上是减函数，则需，解不等式组即可． 【解答】 解：， 在定义域内单调递减， 若使得函数在上是减函数， 则需，解得， 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查函数的定义域的应用，结合一元二次不等式的性质是解决本题的关键，考查分类讨论思想，属于中档题． 根据函数的定义域是一切实数，得到在上恒成立，即可得到结果． 【解答】 解：由题意，函数的定义域为一切实数， 等价于在上恒成立， 若，则在上恒成立，满足条件； 若，则满足，即，解得 综上，实数的取值范围是 故选A． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查根式和指数幂的互化，是基础题． 根据根式和分数指数幂的关系进行转化即可． 【解答】 解：对于选项A，因为，而，即A错误； 对于选项B，因为，即B正确； 对于选项C， ，即C正确； 对于选项D， ，即D正确， 故选：． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查零点存在定理的应用，属于基础题． 逐一分析各个选项，观察它们是否有零点，函数值在零点两侧的符号是否相反． 【解答】 解：、是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；   B、是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点； C、不是单调函数，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点； D、 有两个零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点． 故选ABD． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的零点，函数的单调性以及函数的判断，属于中档题． 利用函数的零点，结合函数的图象和复合函数的单调性，判断选项的正误即可． 【解答】 解：对于，函数， 由函数的图象： 可知有个值，满足：，，， 由的图象可知函数有个零点，，函数有两个零点， ，函数有个零点； 故函数有且仅有个零点，A正确； 对于，函数有且仅有个零点，由选项A可知函数有且仅有个零点， 不正确； 对于，时，，且单调递减，由复合函数的单调性可知：函数在上单调递增，所以C正确； 对于．时，，且单调递减，而函数在上不是单调函数，由复合函数的单调性可知：函数在上不是单调函数，不正确； 故答案为：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查对数的运算法则． 根据对数的运算法则，利用换元法依次运算即可得到结果． 【解答】 解：令， 则，可得， 令， 则，可得， 所以，所以． 故答案为． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查对数函数图像过定点的问题，及正余弦齐次式的计算，属于中档题． 先计算函数的定点，然后根据角终边过定点，计算，代入计算即可． 【解答】 解：函数，且的图像经过的定点为， 由题意，角的始边与轴的正半轴重合，顶点为坐标原点，终边过定点， 所以，， 所以 ． 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数与方程的综合运用，考查函数图象的运用及函数最值的求法，考查数形结合思想． 作出函数的图象，由图象观察即可得到的最小值，同时，，，由此即可求得的最大值． 【解答】 解：作函数的图象如下图所示： 由图象可知，要使方程有四个不同的解，则需，故的最小值为； 由二次函数的对称性可知，，由对数函数的图象及性质可知，，则，， ， 而函数在上为减函数，故其最大值为， 即的最大值是． 故答案为：，． 15.【答案】解析原式  ． 原式 ．   【解析】本题考查分数指数幂的计算，是基础题 16.【答案】解：函数的图象如图所示： 的零点个数即为与两图象的交点个数． 由中图可知，当时，两图象无交点； 当或时，有一个交点； 当时，有两个交点． 综上：当时，无零点； 当或时，的零点个数为； 当时，的零点个数为．  【解析】本题考查函数图象的画法、函数图象的应用，以及函数的零点问题，属于中档题． 根据指数函数性质以及坐标平移即可画出图象； 将问题转化为与两图象的交点个数问题，结合图象可得解． 17.【答案】解：真数部分大于零，即解不等式，解得， 函数的定义域为． 函数为奇函数， 证明：由第一问函数的定义域为， ， 所以函数为奇函数． 解不等式，即， 即， 从而有，所以． 不等式的解集为．  【解析】本题主要考查对数函数的定义域，函数的奇偶性的判断，解分式不等式，属于中档题． 由函数的解析式可得，即，由此求得函数的定义域． 由于函数的定义域关于原点对称，且满足，可得函数为奇函数． 由可得，由此求得的取值范围． 18.【答案】解：当时， 当时， 所以， 当时， ， 故当时，取得最大值，且最大值为； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值，且最大值为； 由于，所以，当销售量为万盒时，该村能够获得最大利润，此时最大利润为万元．  19.【答案】解：为偶函数， 代入计算得：，， 对，， 当时，， ，，， ，， 函数在上单调递增 令，，， 原式转化为， 当时，，解得：，舍去 当时，，解得：， ，，综上所述：． 为奇函数，，，经检验满足，， 又不等式在上有解， ，， 由平方差和立方差公式得：， 令，，，， 而令在上单调递增，所以， ．   1 学科网（北京）股份有限公司 $