（从课本到奥数）专题：圆（专项练习）-2025-2026学年数学五升六暑假特训（人教版）

**基本信息** 从课本到奥数的圆专题特训，以公式推导为基础，通过剪拼转化、整体代换等方法，系统构建圆与平面图形的组合应用体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-3、判断13-14|圆周长/面积公式推导、剪拼转化法|从半径直径到周长面积，通过剪拼长方形建立公式逻辑| |组合应用|填空7-12、选择4-6|整体代换（三角形内角和）、差量法|圆与正方形/平行四边形组合，利用图形关系转化面积| |实际问题|解答20-25|滚动路径分析、环形问题模型|结合生活场景（运动场/游戏币），用模型意识解决复杂应用|

（从课本到奥数）专题：圆-2025-2026学年数学五升六暑假特训（新教材适用） 一、选择题 1．一个直径1米的圆，在下面的直线上从“0”开始滚动一周后，圆的位置大约在（    ）。（下面每格代表1米） A．B． C． 2．在一个正方形里面画一个最大的圆，这个圆的周长是这个正方形周长的（    ）。 A． B． C． 3．如图，将圆形纸片剪拼成近似长方形后，这个长方形的宽是6厘米，这个长方形的长是（    ）厘米。 A．9.42 B．18.84 C．28.26 4．生活中，经常把一些同样大小的啤酒瓶用绳子捆扎在一起。下面甲、乙两种捆扎方式，需用绳子的长度比较（接头处不计），正确的是（    ）。 A．甲长 B．乙长 C．一样长 5．如图，分别以三角形ABC的三个顶点为圆心，以r为半径画出三个扇形。这三个扇形的面积之和是（    ）。 A．2πr² B．πr² C． 6．下列选项正确的是（    ）。 A．①和②阴影部分的面积不相等 B．③和④阴影部分的面积不相等 C．四个图形阴影部分的面积都相等 二、填空题 7．根据教材中的推导过程：2π×（r＋1）－2π×r＝2πr＋2π－2πr＝( )。这说明结果中不包含字母r，意味着结果与原半径( )（填“有关”或“无关”）。 8．刮痧是通过刺激人体的相关经络、穴位从而达到健康养生的效果。一个直径为8厘米的半圆形刮痧板（厚度忽略不计）的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 9．从边长10厘米的正方形里剪掉一个最大的圆，剩下面积是( )平方厘米。 10．如图所示，长方形的面积和圆的面积相等，已知圆的半径是2cm，则阴影部分的面积是( )平方厘米。 11．如图中平行四边形的面积是32平方厘米，则圆的面积是( )平方厘米。 12．如图，这是一个正方形和一个半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，那么涂色部分的面积为( )。 三、判断题 13．用4个圆心角都是90°的扇形一定能拼成一个圆。( ) 14．圆的半径扩大到原来的2倍，则周长扩大到原来的2倍，面积也扩大到原来的2倍。( ) 15．求钟面上长为10厘米的分针的尖端30分钟走过的路程，就是求半径为10厘米的半圆的周长。( ) 16．如图，从地到地，走路线①比走路线②近。( ) 17．从4块边长都是8分米的正方形铁皮中，分别剪去如图所示的阴影部分，剩下的铁皮面积都相等。( ) 四、计算题 18．计算下图中阴影部分的周长和面积。 19．求图中阴影部分A的面积比B的面积多多少平方分米。 五、解答题 20．运河湾公园，有一个圆形的露天广场，半径是9米，在它的周围建成一条1米宽的环形石子小路。若沿着环形石子小路的外边缘每隔0.4米装一盏地灯，一共要装多少盏地灯？ 21．六·一儿童节当日，为了更好展示儿童玩具，金鹰商场用盆花围成一个周长大约62.8米的圆形活动场地，你知道这个圆形场地的面积大约是多少平方米？ 22．数学是一门关系学，要善于用整体的、联系的眼光看问题。如图，已知平行四边形ABCD的面积是30平方厘米，请你尝试求出圆的面积。 23．如图，长方形木片长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13厘米（即线段AC、线段BD都为13厘米），正方形木桩边长为17厘米。木片从图1的位置开始，沿木桩的边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木片滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长多少厘米？（π取3.14） 24．如下图所示，一枚直径是1厘米的游戏币沿着长是4厘米、宽是2厘米的长方形绕一圈，它扫过的面积是多少平方厘米？ 25．2025年初，国家卫生健康委员会发布了《2025年全民健康体重管理行动计划》，明确提出将体重管理作为年度重点健康工作之一。有一个运动场（如图），两端是半圆形，中间是长方形。 （1）笑笑和淘气进行跑步比赛，他们分别从A、B两点出发，沿各自跑道的内边缘逆时针跑一圈，最后都到达终点线。为了比赛公平，笑笑和淘气的起跑线应相差多少米？ （2）现给这个运动场跑道内（空白部分）铺上草皮，如每平方米造价6元，一共需要多少元？ 26．求阴影部分的面积，如图，正方形ABCD的边长是4厘米，E、F、G、H是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《（从课本到奥数）专题：圆-2025-2026学年数学五升六暑假特训（新教材适用）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C B B C C 1．B 【分析】分析题目，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出这个圆的周长，从圆上的某一点开始滚动一周，则这一点重新落到直线上的位置就是圆的周长对应的位置，据此结合选项中给出的范围确定答案即可。 【详解】3.14×1＝3.14（米） 因为3＜3.14＜4，所以圆的位置大约在右图的位置。 2．C 【分析】在一个正方形里面画一个最大的圆，正方形的边长等于圆的直径，据此设正方形边长为a，结合圆的周长C＝πd，正方形周长＝边长×4，分别求出圆的周长和正方形周长，再根据分数的意义，用圆的周长除以正方形周长，结果根据分数与除法的关系写成分数形式，并约分成最简分数。 【详解】设正方形的边长为a。 圆的周长为：3.14a 正方形的周长为：4a 3.14a÷4a ＝3.14÷4 ＝ ＝ 这个圆的周长是这个正方形周长的。 3．B 【分析】长方形的宽等于圆的半径，长方形的长等于圆周长的一半，根据圆的周长公式可知长方形长是，将半径代入即可求出长方形的长。 【详解】（厘米） 4．B 【分析】由图知，甲种捆扎方式，绳子的长度由4个圆的周长（即一个圆的周长），和4条直径的长度组成；乙种捆扎方式，绳子的长度由2个圆的周长（即一个圆的周长），和6条直径的长度组成。据此分别计算出甲、乙两种捆扎方式下绳子的长度，再进行比较。 【详解】设圆的半径为r，则直径为2r，圆的周长C＝2πr。 甲绳子长度：2πr＋4×2r＝2πr＋8r 乙绳子长度：2πr＋6×2r＝2πr＋12r 因为8r＜12r，所以2πr＋8r＜2πr＋12r，所以乙种捆扎方式需用的绳子更长。 5．C 【分析】三角形的内角和为180°，所以三角形ABC的∠A、∠B和∠C之和为180°，扇形A、扇形B和扇形C恰好可以拼成一个半径为r的半圆，根据扇形的面积：S＝，可求出这三个扇形面积之和。 【详解】根据分析，这三个扇形的面积之和为： 6．C 【分析】四个图形中正方形的边长相等，①圆的直径等于正方形的边长，阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积；②③④空白部分合在一起是一个整圆，圆的直径都等于正方形的边长，阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，所以它们阴影部分的面积都相等。 【详解】分析可知，四个图形阴影部分的面积都可以转化为正方形与圆形的面积之差，所以四个图形阴影部分的面积都相等。 7． 2π 无关 【分析】根据乘法分配律计算得到2πr＋2π－2πr中，连同数字前面的运算符号一起交换数字位置，2πr和2πr相互抵消，得到最终结果为2π；结果中不含有字母r，说明结果不会随原半径r的变化而变化，因此结果和原半径无关。 【详解】2π×（r＋1）－2π×r ＝2πr＋2π－2πr ＝2π 这说明结果中不包含字母r，意味着结果与原半径无关。 8． 20.56 25.12 【分析】圆的周长C＝πd，代入计算出圆的周长。再除以2加上直径就是半圆的周长。用直径除以2，算出半径。圆的面积＝πr2，代入计算出圆的面积，再除以2即可得到半圆形的面积。 【详解】3.14×8÷2＋8 ＝25.12÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 8÷2＝4（厘米） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方厘米） 9．21.5 【分析】剪掉一个最大的圆的直径等于正方形边长，根据直径与半径之间的关系：半径＝直径÷2，求出圆的半径，再根据正方形的面积公式：面积＝边长×边长，圆的面积公式：面积＝，π取3.14，分别计算出正方形和圆的面积，最后相减得到剩余面积。 【详解】10×10＝100（平方厘米） 10÷2＝5（厘米） 3.14×＝3.14×25＝78.5（平方厘米） 100－78.5＝21.5（平方厘米） 所以，剩下面积是21.5平方厘米。 10．9.42 【分析】长方形的面积和圆的面积相等，看图可知，长方形和圆都减去重叠部分，剩余部分的面积也相等，即阴影部分的面积＝圆的面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方。 【详解】3.14×22× ＝3.14×4× ＝12.56× ＝9.42（平方厘米） 11．50.24 【分析】假设圆的半径是，观察图形可知，平行四边形的底是圆的直径，也就是半径的2倍，高是圆的半径，平行四边形的面积＝底×高，，求得半径的平方，再根据圆的面积＝，把数据代入公式计算即可。 【详解】假设圆的半径是，直径是 3.14×16＝50.24（平方厘米） 12．33.12 【分析】连接BP，涂色部分的面积＝正方形的面积＋半圆的面积－三角形ABP的面积－三角形PQB的面积。根据正方形的面积＝边长×边长，半圆的面积＝πr2÷2，三角形的面积＝底×高÷2，列式计算即可。 【详解】连接BP，并分别以AB、BQ为底，作高。如图： 8÷2＝4（cm） 8×8＋3.14×4÷2 ＝64＋3.14×16÷2 ＝64＋50.24÷2 ＝64＋25.12 ＝89.12（cm2） 8×（8＋4）÷2 ＝8×12÷2 ＝96÷2 ＝48（cm2） 4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（cm2） 89.12－48－8＝33.12（cm2） 13．× 【分析】在一个平面内，围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。这个点称为圆心，旋转的长度称为半径。判断4个圆心角90°的扇形能否拼成圆，需满足两个条件：①圆心角之和为360°；②扇形半径相等，据此判断即可。 【详解】4个扇形的圆心角都是90°，不一定能拼成一个圆，只有当4个圆心角都是90°的扇形的半径相等时才能拼成一个圆。所以原题说法错误。 故答案为：× 14．× 【分析】圆的周长，圆的面积。把原来圆的半径设为r，则扩大后圆的半径为2r。根据圆的周长公式和面积公式求出原来的周长及面积和扩大后的周长及面积，再用扩大后的周长及面积分别除以原来的周长和面积确定倍数关系。 【详解】把原来圆的半径设为r，则扩大后圆的半径为2r。 原来圆的周长： 扩大后圆的周长： 原来圆的面积： 扩大后圆的面积： 面积扩大到原来的几倍： 所以，圆的半径扩大到原来的2倍，则周长扩大到原来的2倍，表述正确；面积也扩大到原来的2倍，表述错误。 故答案为：× 15．× 【分析】“”钟面上分针尖端走30分钟刚好走了以分针长度为半径圆周长的一半，而半径为10厘米的半圆的周长比圆周长的一半多了一条直径的长度，二者并不相同，据此解答。 【详解】 圆周长的一半：2×3.14×10÷2 ＝6.28×10÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（厘米） 半圆的周长：2×3.14×10÷2＋10×2 ＝6.28×10÷2＋20 ＝62.8÷2＋20 ＝31.4＋20 ＝51.4（厘米） 因为31.4厘米≠51.4厘米，所以求钟面上长为10厘米的分针的尖端30分钟走过的路程并不是求半径为10厘米的半圆的周长，题目说法错误。 故答案为：× 16．× 【分析】如下图：根据圆周长的计算公式分别求出路线①以为直径的半圆形，路线②分别以、、为直径的半圆组成的路线的长度，再比较即可解答。 【详解】如图： 路线①长度： 路线②长度： 所以路线①和路线②一样近。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查借助圆的周长公式比较长度，解答本题的关键是乘法分配律的应用。 17．× 【分析】观察图形可得：图形1剩下铁皮的面积＝边长为8分米的正方形的面积－直径为8分米的圆的面积； 图形2剩下铁皮的面积＝边长为8分米的正方形的面积－半径为（8÷2）分米的圆的面积； 图形3剩下铁皮的面积＝边长为8分米的正方形的面积―半径为（8÷2÷2）分米的圆的面积×4； 通过平移，图形4剩下铁皮的面积＝长为8分米，宽为（8÷2）分米的长方形的面积； 分别求出剩下的面积，然后再比较解答。 【详解】图1：8×8－3.14×（8÷2）2 ＝64－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（平方分米） 图2：8×8－3.14×（8÷2）2 ＝64－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（平方分米） 图3：8×8－3.14×（8÷2÷2）2×4 ＝64－3.14×4×4 ＝64－50.24 ＝13.76（平方分米） 图4：8×（8÷2） ＝8×4 ＝32（平方分米） 13.76＜32 所以剩下的铁皮面积不相等。 故答案为：× 【点睛】解答求组合图形的面积，关键是观察分析图形是由哪几部分组成的，是求各部分的面积和、还是求各部分的面积差，再根据相应的面积公式解答。 18．周长16.71dm；面积7.935dm2 【分析】阴影部分的周长等于圆周长的再加上5dm和7dm，根据圆的周长C＝2πr算出圆的周长再乘再加上5和7即可；阴影部分的面积等于梯形面积减去圆面积的，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积S＝πr2。 【详解】周长：2×3.14×3×＋5＋7 ＝2×3.14×3×＋5＋7 ＝4.71＋5＋7 ＝16.71（dm） 面积：（3＋7）×3÷2－3.14×32 ＝（3＋7）×3÷2－3.14×9× ＝10×3÷2－3.14×9× ＝15－7.065 ＝7.935（dm2） 19．10.75平方分米 【分析】观察图形可知，直角三角形的一个底角为45°，那么这个直角三角形也是等腰三角形，则两条直角边都等于10分米。 给阴影部分A和阴影部分B分别加上空白部分，那么阴影部分A与阴影部分B的面积差就转化成等腰直角三角形与半圆的面积差，根据三角形的面积公式S＝ah÷2，半圆的面积公式S＝πr2÷2，代入数据计算求解。 【详解】三角形的面积： 10×10÷2＝50（平方分米） 半圆的面积： 3.14×（10÷2）2÷2 ＝3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝39.25（平方分米） 阴影部分A的面积比B的面积多： 50－39.25＝10.75（平方分米） 20． 157盏 【分析】地灯安装的位置是环形小路的外边缘，广场半径加上小路宽度即为外圆的半径；然后根据圆的周长公式求出外边缘的总长度；封闭线路，灯的盏数等于间隔数，用总周长除以间隔距离即可求出地灯的数量。 【详解】 （盏） 答：一共要装157盏地灯。 21． 314平方米 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，算出圆的半径；再根据圆的面积公式，代入数值计算即可求出这个圆形场地的面积。 【详解】62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 答：这个圆形场地的面积大约是314平方米。 22．47.1平方厘米 【分析】平行四边形的底等于半径的2倍，平行四边形的高等于半径，所以平行四边形面积表示为：2×半径2＝30，然后求出半径的平方，再根据圆的面积公式解答即可。 【详解】30÷2＝15（平方厘米） 3.14×15＝47.1（平方厘米） 答：圆的面积是47.1平方厘米。 23．135.02厘米 【分析】 如图：通过观察可知，点A经过的路径＝一个半径是5厘米的圆周长的一半＋一个半径是13厘米的圆周长＋一个半径是12厘米的圆周长的一半，根据圆周长公式：C＝2πr，代入数据分别求出每部分的长度，再相加即可。 【详解】2×3.14×5÷2＋2×3.14×13＋2×3.14×12÷2 ＝15.7＋81.64＋37.68 ＝135.02（厘米） 答：点A经过的路径长135.02厘米。 24．12.785平方厘米 【分析】游戏币扫过的面积为长是4厘米，宽是1厘米的2个长方形面积加上长是2厘米，宽是1厘米的2个长方形面积加上以1厘米为直径的圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝πr2。 【详解】1×4×2＋2×1×2＋3.14×（1÷2）2 ＝8＋4＋3.14×0.52 ＝12＋3.14×0.25 ＝12＋0.785 ＝12.785（平方厘米） 答：它扫过的面积是12.785平方厘米。 25．（1）6.28米 （2）57692.16元 【分析】（1）先求出笑笑和淘气两个人所在跑道的周长，分别是两个半圆的周长合一起即一个圆的周长（圆的周长公式：C＝2πr），圆的半径分别是32米和33米，再加上中间的两个100米，据此求出两个跑道的周长再求出差值，从而得到笑笑和淘气的起跑线应相差多少米。 （2）先求出空白部分面积，即两个半圆的面积合起来是一个圆的面积（圆的面积公式：S＝πr2），再加上中间长方形的面积。再根据每平方米造价6元，从而求得一共需要多少元。 【详解】（1）由图可知，跑道的左右两个半圆可以合成一个圆。所以解答如下： 笑笑：2×3.14×32 ＝6.28×32 ＝200.96（米） 淘气：32＋1＝33（米） 2×3.14×33 ＝6.28×33 ＝207.24（米） 207.24－200.96＝6.28（米） 答：笑笑和淘气的起跑线应相差6.28米。 （2）3.14×322 ＝3.14×1024 ＝3215.36（平方米） 32×2×100 ＝64×100 ＝6400（平方米） 3215.36＋6400＝9615.36（平方米） 9615.36×6＝57692.16（元） 答：一共需要57692.16元。 【点睛】（1）熟练掌握圆的周长的计算方法； （2）熟练掌握圆的面积的计算方法。 26．8平方厘米 【分析】如下图箭头所示移动阴影部分，这样阴影部分的面积＝正方形的面积－4个等腰直角三角形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可求解。 【详解】 （平方厘米） 答：四个扇形的弧围成的阴影部分面积是8平方厘米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $