第二十七章 反比例函数 02讲 反比例函数的图像和性质 预习讲义 2026-2027学年版人教版九年级数学上册

第二十七章反比例函数 02讲反比例函数的图像和性质 题型归纳 【知识点1反比例的图像的绘制… 1】 【知识点2反比例的图像和性质… 2】 【知识点3反比例函数系数k的几何意义 2】 【知识点4反比例函数与一次函数的交点问题 …3】 【题型1.图像共存问题… 4】 【题型2.反比例函数的增减性 6】 【题型3.反比例函数图像所在象限问题： …7】 【题型4.比较反比例函数值或自变量的大小………8】 【题型5.由图形面积求k值… 9】 【题型6.由k值求图形面积… …11】 【题型7.待定系数法求反比例函数解析式…13】 【题型8.反比例函数与方程（组）结合 15】 【题型9.反比例函数与不等式（组）结合 16】 【巩固练习 18】 知识清单 知识点1反比例的图像的绘制 1.反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分 别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴 2.画反比例函数的图象的基本步骤： (1)列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数 的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数： 1/23 (2)描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点： (3)连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从 小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近 坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交： 知识点2反比例的图像和性质 解析式 y=k>0) y-k(<0) 图像形状 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 对称性 中心对称图形（对称中心：原点） 轴对称图形（对称轴：直线y=x、y=一x) 增减性 在每个象限内，y随x增大而减小 在每个象限内，y随x增大而增大 渐近趋势 无限靠近x轴、y轴，永不与坐标轴相交 取值范围 X≠0，y≠0 知识点3反比例函数系数k的几何意义 1.在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标 轴围成的矩形的面积是定值k, 2.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构 成的三角形的面积是k,且保持不变。 3.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，己知两条垂线与两坐标轴围成图形 的面积，则可得到k的值，进而确定函数表达式. 2/23 (+0) 1V= S,=lkl 知识点4反比例函数与一次函数的交点问题 1.反比例函数y=k1≠0)与正比例函数y=k2xk2≠0)图象的交点： 当kk2>0时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当k1k2<0时，两函数图象 无交点 kk2>0 k1k2<0 k1k2>0 k1k2<0 2.反比例函数y=k1≠0)与一次函数y=k2x+b(k2≠0)图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程k2x2+bx-k1=0. 判别式4>0曰两函数图象有2个交点： △=0曰两函数图象有1个交点： △<0台两函数图象没有交点. 3.观察反比例函数y=k1≠0)与一次函数y=k2x+bk2≠0)的图象解不等式k2x+ b>k或k2x+b<k: (1)联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标x1,x2: (2)观察图象，图象在上面的函数值大：图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即 为相应不等式的解集， 如图所示，当k1>0,k2>0时，k2x+b>的解集为x2<x<0或x>x1, k2x+b<的解集为x<x2或0<x<x1: 3/23 y=k,+b(k,>0) k(k0) >熟型专练 题型1。图像共存问题 【例1】已知k1<0<k2,则函数y=k1x和y=的图象大致是（) 【变式1】如果k1<0<k2,那么函数y=k1x与y-2在同一平面直角坐标系中的图像可 能是() 【变式2】在平面直角坐标系中，直线y=abx+c(a,b,c是常数且a≠0，b≠0，c≠0) 4/23 的位置如图，则抛物线y=ax2+bx+c和双曲线y=c在同一坐标系中的图象可能为(). B. 【变式3】反比例函数y=和一次函数y=kx+3(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图 象可能是() B. 【变式4】在同一平面直角坐标系中，若ab>0,则函数y=a与y=bx2+b(b≠0)的大致 图象是() 5/23 题型2。反比例函数的增减性 【例1】下列函数中，y随x的增大而减小的是() A.y=-9 B.y=-x2+3 C.y= D.y=-2x+1 【例2】已知反比例函数y=4的图象如图所示，结合图象可得：当x>2时，y的取值范围 彩 2.2 【变式1】在反比例函数y=(x<0)中，y都随x的增大而减小，则k的取值可以是() A.k=3 B.k=15 C.k=4 D.k=32 【变式2】已知A(xy),B(x2,y2)两点在双曲线y=m上，当x1>x2>0时，y1<y2·则 m的取值范围是() A.m<0 B.m<-1 C.m≤-1 D.m>-1 【变式3】已知反比例函数y=2+1 (但)若点(1,5)在反比例函数y=的图象上，则k的值为 (2)当k取什么值时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小？ 6/23 【变式4】已知反比例函数y=1(k为常数，k≠1). (1)若该反比例函数图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P,且点P的纵坐标是2， 求k的值 (2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围 题型3。反比例函数图像所在象限问题 【例1】点P(2,-5)在反比例函数y=的图象上，则该函数图象所在象限为(） A.一、三象限 B.二、四象限 C.一、二象限 D.三、四象限 【例2】若反比例函数y=的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是 【变式1】反比例函数y=的图象分别位于（) A.第一、第二象限 B.第一、第三象限 C.第二、第四象限 D.第三、第四象限 【变式2】己知反比例函数y=”的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（) A.m<3,在每个象限内，y随x增大而减小 B.m>3,在每个象限内，y随x增大而增大 C.m<3, 在每个象限内，y随x增大而增大 D.m>3, 在每个象限内，y随x增大而减小 【变式3】反比例函数y=《图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 【变式4】已知反比例函数y=的图象经过点(-2,3)，则其图象在 象限. 【变式5】如图，反比例函数y=m-的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示. 7/23 (1)求m的取值范围； (2)若此反比例函数的图象经过点(-2,3)，求m的值. 题型4.比较反比例函数值或自变量的大小 【例1】反比例函数y=的图象上三个点的坐标分别是(-2，y1),(3,y2),(6,y3),则y1,y2: y3的大小关系为() A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y2<y1<y3 D.y3<y2<y1 【例2】若点(x,-3),(x2,-1),(Gx,2)都在反比例函数y=图象上，则x1,x2,x3的大 小关系正确的是() A.X1<X2<X3B.X3<X2<x1 C.x2<x1<X3D.x1<x3<x2 【例3】已知点4(-2，y),B(-1,y2),C(3,3)都在反比例函数y=的图象上，比较y1,y2, y3的大小关系： 【变式1】己知点P1(x1,y1),P2(x2,y2)都在反比例函数y=-的图象上，若x1<0<x2,则 下列关系正确的是() A.y1<y2<0B.y1<0<y2 C.y1>y2>0 D.y1>0>y2 【变式2】点(-1.37，y),(-2.23,y2)都在反比例函数y=314159的图像上，则y1与2的大小 x 关系是() A.y1>y2 B.y1≥y2 C.y1<y2 D.y1≤y2 【变式3】已知点A(-3,y),B(-2,y2),C(1,y3)均在反比例函数y=-4的图象上，则函数 值的由大到小的关系是」 【变式4】若点B(x1,1),C(x2,5)都在反比例函数y=5的图象上，则x1,x2大小关系是 【变式5】己知点(-1,6)在反比例函数y=m-8的图象上. (1)求反比例函数的表达式； (2)点(x1,一6)，(x2,-1),(x3,3)都在反比例函数的图象上，比较x1,x2,x3的大小，并说 明理由. 8/23 题型5.由图形面积求k值 【例1】如图，己知点A在反比例函数y=图象上，垂足为点B,AC1y轴，若矩形ABOC 的面积为2，则k的值为() A.-1 B.-2 C.2 D.4 【例2】如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数y=(x>0)的图像上一点A作AB1y 轴于点B,点P在x轴上，若S△4BP=2,则k的值为 【例3】如下图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点.己知反比例函数y=(k>0)的图 象经过点A(2,m),过点A作AB1x轴，垂足为B,且△AOB的面积为1.求k和m的值. 3 2 B工 543-2-10 123453 9/23 【变式1】如图，点A在双曲线y=兰(k≠0)上，点B在双曲线y=-上，A8轴，分别 过点A,B向x轴作垂线，垂足分别为D,C,若矩形ABCD的面积是9，则k的值为() A.-9 B.9 C.-12 D.12 【变式2】如图，已知反比例函数y1=(x>0)和2=(x>0)的图象，点M为y1=(x>0) 图象上一点，过点M作MA1x轴于点A,MA与y2=(x>0)图象交于点N,若△M0N的面积 为1，则k的值为 【变式3】如图点A在反比例函数y=的图象上，AB1x轴于B,C是0B的中点，S△4oc=1, 则k的值为· 【变式4】反比例函数y1=y2=(化≠0)在第一象限的图象，如图，过y1上的任意一点A, 作x轴的平行线交y2于点B,交y轴于点C,连接OA、OB,若S△4OB=2,求k的值. y 10/23 【变式5】如图，在△AOB中，AB=OB,点B在反比例函数的图象上，点A的坐标为(4,0)， S△4B0=4,求点B所在的反比例函数解析式。 y 】 题型6.由k值求图形面积 【例1】如图，点A在反比例函数y=一3(x<0)的图象上，过点A作AB1x轴于点B,点C 在y轴的正半轴上，则S△48c=() A.1.5 B.2 C.3 D.6 【例2】如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限的图象分别是C1和C2,若点P在C1 上，PA1x轴于点A,交C2于点B,则△POB的面积为 【例3】如图是反比例函数y1=x>0)y2-x>0)的图像，P为y2-图像上的一点， 且PA1x轴，PB1y轴，垂足分别为A、B,PA、PB分别交y1=的图像于点D、C,求△PCD 的面积。 11/23 4 B D 【变式1】若图中反比例函数的表达式均为y=兰，则阴影面积为2的是() B D 【变式2】如图，点A在反比例函数y,=(x>0)的图象上，过点A作AC1x轴于点C,交 反比例函数y2=(x>0)的图象于点B,连接0A,0B,则△A0B面积为〈) 20 A 2= 10 A.4 B.5 C.10 D.20 【变式3】如图，点M,N在反比例函数y=x>0,k>0)的图象上，分别过点MN向x 轴、y轴作垂线，则S1(填“>”、“<"或“=”)S2 12/23 M O 【变式4】如下图，点A,B分别是反比例函数y=-和y=部分图象上的点，AB川x轴， 点C是x轴上一点，则△ABC的面积为 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，点A(m,8)在反比例函数y=(x>0)的图象上，将 点A(m,8)向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B,点B恰好也落在反 比例函数y-(x>0)的图象上，AC1y轴于点C,BD‖AC交0A于点D. O (1)求反比例函数的解析式： (2)连接BC,CD,求△BCD的面积. 题型7。待定系数法求反比例函数解析式 【例1】已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=子求这个反比例函数的表达式。 13/23 【例2】若y与x-2成反比例，当x=1时，y=-3. (1)求y与x的函数关系式： (2)当x=时，求y的值. 【变式1】在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=2x+b的图象与x轴的交点为A(2,0),与 y轴的交点为B,直线AB与反比例函数y=的图象交于点C(-1,m).求一次函数和反比例函 数的表达式. 【变式2】已知，反比例函数y=图象经过点4(-2,3). (1)求这个反比例函数的解析式： (2)请你判断点B(5,-1.4)是否在这个函数的图象上. 【变式3】己知y+1与x成反比例，且当x=3时，y=7. (1)求y与x之间的函数关系式： (2)当x=a时，y=b,求代数式ab+a-1的值. 【变式4】二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+的图象经过点P(-3,m)和Q(5,m). (1)求二次函数的表达式： (2)若反比例函数y=的图象与二次函数的图象都经过点A(-2,),求k的值. 14/23 题型8.反比例函数与方程（组）结合 【例1】方程x2+3x=1的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=的图象交点的横坐标， 那么用此方法可推断出方程x3-2x2+x=3的实数根x所在的范围是() A.1<X<2B.2<X<3 C.3<x<4 D.4<X<5 【例2】关于x的方程x2+(2k-1)x+k2=0无解，则反比例函数y=图象在第 象限。 【变式1】函数=x十2与y一的图象交点横坐标可由方程x+2=求得，由此推断：方程 +2十4=0中m的大致范围是（) A.-2<<-1 B.-1<m<0 C.0<<1 D.1<<2 【变式2】已知关于x的方程x2-3x+2k-1=0有实数根，反比例函数y=的图象在 每一象限内y随x增大而减小，则k的取值范围是 【变式3】如图，一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的图象与反比例函数y=程 (m为常数，且m≠0)的图象交于A、B两点.则关于x的方程x+b=的解为 02 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正比例函数y=kx(常数k≠0) 的图象与反比例函数y=m(常数m≠0)的图象交于A、B两点，且点A的坐标为(2,3). (1)求反比例函数表达式，并直接写出点B的坐标. (2)根据函数图象，直接写出满足方程kx=”的x的值. 15/23 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1(k≠0)和反比例函数y=2的图象相 交于A,B两点. (1)求直线AB的表达式和点B的坐标； 2将直线AB沿y轴向下平移1个单位，得到直线y=kx,请你写出一个反比例函数y=兰 使方程kx-=0在实数范围内无解. 题型9，反比例函数与不等式（组）结合 【例1】若双曲线y=m与直线y=x的一个交点坐标为(-1,2)，则关于x的不等式”>x 的解集为() A.-1<X<1 B.x<-1或x>1 C.-1<x<0或x>1 D.x<-1或0<x<1 【例2】如图，一次函数y=ax+b的图像与反比例函数y=的图像交于点A(4m),B(-6,- 2) (1)求k的值和一次函数的表达式： (2)直接写出关于x的不等式ax+b>的解集。 16/23 【变式1】如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等 式+x2+1<0的解集是() A.X>1 B.-1<x<0 C.0<x<1 D.X<-1 【变式2】如图是同一平面直角坐标系中函数y1=2x和y2=的图象.观察图象不等式2x< 的解集为一· 【变式3】如图，直线y1=k1x+b与双曲线y2=2相交于A(-2,3),B0m,-2)两点. 0 B (1)求y1,y2对应的函数表达式： (2)过点B作BPI‖x轴交y轴于点P,求△ABP的面积： (3)根据图象，直接写出关于x的不等式k1x+b-2<0的解集。 17/23 【变式4】如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数y1=”(x>0)的图象交于点A, C,与x轴交于点B,D,连接AC,点A,B的刻度分别为5,2，直尺的宽度BD为2，OB=2, 设直线AC的解析式为y2=kx+b. ND (1)不等式”>3的解集为 (2)不等式kx+b-”≤0的解集为 (3)平行于y轴的直线x=(2<n<4)与AC交于点E,与反比例函数图象交于点F,当这条直 线左右平移时，线段EF的长为好求n的值. >巩固练习 1.(2526八年级下上海徐汇期末)关于反比例函数y=之下列说法错误的是() A.y随着x的增大而减少 B.图像与坐标轴没有交点 C.图像经过第一、三象限 D.图像是双曲线 2.(2026广东珠海.二模)下列四个函数中，在所有范围内y随x增大而减小的是() A.y=2x B.y=1-x C.y= D.y=x2 3.(25-26八年级下.上海奉贤期末)已知点A(1,y)和B(-1,y2)在反比例函数y=(k<0) 的图象上，那么下列结论正确的是() A.y1=y2; B.y1=-y2; C.y1>0: D.y2<0, 4.(2026重庆中考真题)在反比例函数y=2中，若1<x<2,则y的取值范围为() 18/23 A.<y<1 B.1<y<2 c.-1<y<-月 D.-2<y<-1 5.(2026江苏南京.二模)己知反比例函数y=m-5的图象位于第二、四象限，则m的值可 2 能为() A.0 B.V3 C.2 D.5 6.(2026辽宁锦州，三模)若正比例函数y=5x的图象与反比例函数y=(化≠0)的图象交 于A,B两点，如果点A的坐标是(1,5)，那么点B的坐标是() A.(-1,5) B.(1,-5) C.(-1,-5) D.(-5,-1) 7.(2026湖北十堰二模)如图，点4(2,1)在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上，点B 在反比例函数y=(x>0)的图象和y=(x>0)的图象之间，且AB1x轴，则点B的坐标可 能是() A.(1,2) B.(2,) C.(2,2) D.(2引 8.(25-26九年级下浙江温州期中)如图，点A(4,2)在反比例函数y=(飞≠0，x>0)的图 象上，将直线OA向上平移b(b>O)个单位长度后，与反比例函数交于点B.若点B纵坐标为 4,则b的值为() A.6 B.4 C.3 D.2 9.(2026山东济宁，二模)如图，四边形0ABC是边长为2的正方形，以点O为原点，直线OA 为x轴建立平面直角坐标系，反比例函数y=(k>0)的图象经过边AB的中点D,则下列结 19/23 论：①k=2:②∠D0E=45:③点E的坐标为(1,2)：④△D0E的面积为， 其中正确的 是() D 0 A.①②③ B.①③④ c.②③④ D.①②③④ 10.(25-26八年级下.上海虹口·期末)己知点A(x,y)、B(x2,y2)在反比例函数y=的图像 上，且y1<y2<0,那么x1x2(填“>”或"<"或=") 11。(2026西藏林芝.二模)如图，反比例函数y=在第二象限的图象如图所示，点A是图 象上的一点，过点A作AB1x轴，垂足为B,若△ABO的面积为5，则k的值为 12.(2026江苏南京二模)如图，一次函数y=kx+b(化，b为常数，k≠0)的图象与反比例 函数y=(m为常数，m≠0)的图象交于点A和B,已知点A的坐标是(-4,1)，点B的坐标是 (2,一2).根据函数图象直接写出关于x的不等式kx+b>的解集为 13.(2026湖南长沙.一模)如图，A为反比例函数y=(x>0)的图象上的一点，AB1x 轴，AC1y轴，垂足分别为B,C.若四边形0CAB的面积为6，则k的值为 20/23 14.(2026江西宜春.一模)如图，己知一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=”的图 象交于A(1,n),B(-2,-1)两点，与y轴相交于点C. (1)求一次函数与反比例函数的解析式： (2)若0C=OD,求△ABD的面积. 15.(2026河南三门峡.一模)如图，在平面直角坐标系中，口ABCD的顶点C与原点0重合， 已知点B(0,3),点D(2,1).点A在反比例函数y=(x>0)的图象上 D O(C) (1)求反比例函数的表达式. (2)将口ABCD沿x轴正半轴平移n个单位长度后，点D恰好落在反比例函数的图象上，求n的值. 16.(25-26九年级上广西钦州期末)下面表格信息反映的是反比例函数y=的几组自变 量与对应的函数值. 3 2 1 2 3 2 m n -3 -2 21/23 y 6 3 2 -5-4-3-2-11 012345x 3 + 6 (1)直接写出各字母表示的数值：k=;m=一；n=一 (2)根据表中各数值和(1)中的结果，在平面直角坐标系中通过描点连线，画出反比例函数 y=的图象： (3)已知直线y=αx+b经过(-3,2)与(2，-3)两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察 图象，指出当ax+b>时自变量x的取值范围. 17.(25-26九年级上河南开封期末)如图所示，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反 比例函数y=(k≠0)的图象交于第二、四象限的点A(-2,)和点B(6,-1),过A点作x轴的 垂线，垂足为点C,△A0C的面积为4. (1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式： (2)求△AOB的面积. (3)结合图象直接写出mx-+n≥0中x的取值范围. 22/23 18.(25-26九年级上河南周口期末)已知反比例函数y=m-的图象在第二、四象限，求 的取值范围，并在该范围内取一个整数，求此时反比例函数的解析式. 19.(25-26九年级上河北邯郸·期末)己知A(-4,2)、B(n,-4)两点是一次函数y=kx+b 和反比例函数y=”的图象的两个交点. (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)求△A0B的面积 (3)观察图象，直接写出不等式kx+b-”≥0的解集. 23/23第二十七章反比例函数 02讲反比例函数的图像和性质 题型归纳 【知识点1反比例的图像的绘制… 1】 【知识点2反比例的图像和性质… 2】 【知识点3反比例函数系数k的几何意义 2】 【知识点4反比例函数与一次函数的交点问题 …3】 【题型1.图像共存问题… 4】 【题型2.反比例函数的增减性 8】 【题型3.反比例函数图像所在象限问题： …11】 【题型4.比较反比例函数值或自变量的大小……13】 【题型5.由图形面积求k值… …17】 【题型6.由k值求图形面积… …23】 【题型7.待定系数法求反比例函数解析式… …29】 【题型8.反比例函数与方程（组）结合 32】 【题型9.反比例函数与不等式（组）结合 …38】 【巩固练习 …44】 知识清单 知识点1反比例的图像的绘制 1.反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分 别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴 2.画反比例函数的图象的基本步骤： (1)列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数 的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； 1/58 (2)描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点： (3)连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从 小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近 坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交： 知识点2反比例的图像和性质 解析式 y=k>0) y-k(<0) 图像形状 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 对称性 中心对称图形（对称中心：原点） 轴对称图形（对称轴：直线y=x、y=一x) 增减性 在每个象限内，y随x增大而减小 在每个象限内，y随x增大而增大 渐近趋势 无限靠近x轴、y轴，永不与坐标轴相交 取值范围 X≠0，y≠0 知识点3反比例函数系数k的几何意义 1.在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标 轴围成的矩形的面积是定值k, 2.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构 成的三角形的面积是k,且保持不变。 3.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，己知两条垂线与两坐标轴围成图形 的面积，则可得到k的值，进而确定函数表达式. 2/58 (+0) 1V= S,=lkl 知识点4反比例函数与一次函数的交点问题 1.反比例函数y=k1≠0)与正比例函数y=k2xk2≠0)图象的交点： 当kk2>0时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当k1k2<0时，两函数图象 无交点 kk2>0 k1k2<0 k1k2>0 k1k2<0 2.反比例函数y=k1≠0)与一次函数y=k2x+b(k2≠0)图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程k2x2+bx-k1=0. 判别式4>0曰两函数图象有2个交点： △=0曰两函数图象有1个交点： △<0台两函数图象没有交点. 3.观察反比例函数y=k1≠0)与一次函数y=k2x+bk2≠0)的图象解不等式k2x+ b>k或k2x+b<k: (1)联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标x1,x2: (2)观察图象，图象在上面的函数值大：图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即 为相应不等式的解集， 如图所示，当k1>0,k2>0时，k2x+b>的解集为x2<x<0或x>x1, k2x+b<的解集为x<x2或0<x<x1: 3/58 y=k,x+b(k,>0) k(k0) 题型专练 题型1。图像共存问题 【例1】已知k1<0<k2,则函数y=k1x和y=的图象大致是（) 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和反比例函数的图象，根据一次函数的性质和反比例函 数的性质判断即可。 【详解】解：，k1<0, y=k1x的图象经过二、四象限， k2>0, y=2的图象在一、三象限。 故选：D 【变式1】如果k1<0<k2,那么函数y=k1x与y=2在同一平面直角坐标系中的图像可 能是() 4/58 【答案】B 【分析】此题考查了依据正比例函数与反比例函数的图像所经过的象限确定系数的符号，正 确掌握各函数的图像与字母系数的关系是解题的关键。 根据正比例函数y=kx和反比例函数y=图像经过的象限，再对照四个选项中的图像即可 得出结论。 【详解】解：k1<0<k2, .正比例函数y=k1x在第二，四象限内，且过原点， 函数y=2在第一，三象限内， 故选项B符合题意： 故选：B 【变式2】在平面直角坐标系中，直线y=abx+c(a,b,c是常数且a≠0，b≠0，c≠0) 的位置如图，则抛物线y=ax2+bx+c和双曲线y=c在同一坐标系中的图象可能为(). 2 5/58 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、二次函数和反比例函数的图象与系数的关系先根据一次函 数的图象判断α，b,c的范围，再判断反比例函数的图象，最后再利用抛物线的图象即可得 到答案。 【详解】直线y=abx+c的函数图象经过二、三、四象限， ab<0,c<0, ..abc>0, ∴双曲线y=的图象经过第一、三象限，故A和C错误 ,c<0,所以抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴相交于其负半轴，B选项错误. 故选：D. 【变式3】反比例函数y=和一次函数y=kx+3(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图 象可能是() 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数的图象、反比 6/58 例函数图象，解题关键是读懂图象信息 根据一次函数解析式的特征判断出一次函数与y轴交于(O,3),再根据两个函数中k的值相同 即可判断正确答案 【详解】解：一次函数与y轴交于(0,3)， 而A选项、C选项中一次函数均与y轴交于负半轴， ·A选项、C选项错误； 又两个函数中k的值相同， ·k>0时，一次函数经过一、二、三象限时，反比例函数经过一、三象限： k<0时，一次函数经过一、二、四象限时，反比例函数经过二、四象限， D选项错误，B选项正确. 故选：B. 【变式4】在同一平面直角坐标系中，若ab>0,则函数y=a与y=bx2+b(b≠0)的大致 图象是() 【答案】c 【分析】本题主要考查了二次函数的图像，反比例函数的图像，掌握函数关系式中系数与图 像的位置的关系是解题的关键。分两种情况讨论，再判断图像即可 【详解】解：，ab>0, 若a>0,b>0, 则反比例函数y=的图象位于第一、第三象限， 二次函数y=bx2+b(b≠0)的图象开口向上， 与y轴的交点位于y轴的正半轴. 故C符合条件，B不符合条件： 7/58 若a<0,b<0, 反比例函数y=的图象位于第二、第四象限， 二次函数y=bx2+b(b≠0)的图象开口向下， 与y轴的交点位于y轴的负半轴. 故B,D不符合条件， 故选：C. 题型2。反比例函数的增减性 【例1】下列函数中，y随x的增大而减小的是() Ay=-9 B.y=-x2+3 C.y=6 0.y=-xt1 【答案】D 【分析】本题考查一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，熟知相关函数的性质是解答 的关键.根据一次函数、反比例函数以及二次函数的性质逐项判断即可。 【详解】解：A、,-6<0,.当x<0或x>0时，y随x的增大而增大，故该选项不符合 题意； B、-1<0,对称轴为y轴， 当x>0时，y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题 意： C、,6>0,∴.当x<0或x>0时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意： D、-<0,y随x的增大而减小，故该选项符合题意； 故选：D. 【例2】已知反比例函数y=4的图象如图所示，结合图象可得：当x>2时，y的取值范围 是 (2,2) 【答案】0<y<2 8/58 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数y=(k>0)在第一象限 内y随x的增大而减小，结合图象上点(2,2)的坐标，确定x>2时对应的函数值范围. 【详解】解：由反比例函数解析式y=兰可知k=4>0.图象位于第一、三象限，在每 象限内，y随x的增大而减小. 当x=2时，y=专=2.观察图象可知，当x>2时，图象位于直线x=2的右侧.此 2 时函数值y小于x=2时的函数值2，且大于0.所以y的取值范围是0<y<2. 【变式1】在反比例函数y=(x<0)中，y都随x的增大而减小，则k的取值可以是（) A.k=3 B.k=15 C.k=4 D.k=3v2 【答案】D 【分析】利用反比例函数的性质，先求出k的取值范围，再判断各选项即可得到答案。 【详解】：反比例函数y=二(x<0)中，y随x的增大而减小 ∴.根据反比例函数性质，可得比例系数k-4>0 解得k>4 对选项逐一判断： A.k=3<4,不符合要求， B.V15≈3.87<4，不符合要求， C.k=4时，k-4=0,原式不是反比例函数，不符合要求， D.3V2≈424>4，符合要求. 【变式2】已知A(xy1),B(x2,y2)两点在双曲线y=m+1上，当x1>x2>0时，y1<y2·则 m的取值范围是() A.m<0 B.m<-1 C.m≤-1 D.m>-1 【答案】D 【分析】根据给定x,y的大小关系判断反比例函数比例系数的符号，进而求解m的取值范 围 【详解】解：对于反比例函数y=兰当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小。 “x1>X2>0时，y1<y2, .m+1>0, 9/58 解得m>-1. 【变式3】已知反比例函数y=+1 (1)若点(1,5)在反比例函数y=2+的图象上，则k的值为： (2)当k取什么值时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小？ 【答案】(1)2 2k>克 【分析】本题考查了判断反比例函数的增减性，己知反比例函数的增减性求参数，求反比例 函数解析式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解， (1)将点(1,5)代入反比例函数y=2+1中，求出k即可： (2)根据在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，得到关于k的不等式求解. 【详解】(1)解：：点(1,5)在反比例函数y=2+1的图象上， 5= 解得：k=2, 故答案为：2： (2),反比例函数y=2+ ,在每一象限内，y的值随x值的增大而减小， .2k+1>0, 解得：k> 一当k>-时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 【变式4】已知反比例函数y=(k为常数，飞≠1)· (1)若该反比例函数图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P,且点P的纵坐标是2， 求k的值. (2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围. 【答案】(1)k=5 2)k<1 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌反比例函数的性质是解题的关键， (1)求出点P的坐标，进而解题： 10/58 (2)根据反比例函数的性质解题即可】 【详解】解：(1)把y=2代入y=x得：x=2, 即P(2,2), 代入y=得：号=2， 解得：k=5: (2)由题意知，k-1<0, 解得k<1. 题型3。反比例函数图像所在象限问题 【例1】点P(2,-5)在反比例函数y=的图象上，则该函数图象所在象限为() A.一、三象限 B.二、四象限 C.一、二象限 D.三、四象限 【答案】B 【详解】解：将点P(2,-5)代入反比例函数y=女，得k=-10, k=-10<0, .反比例函数的图象在第二、四象限 【例2】若反比例函数y=-3的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是 【答案】 4(答案不唯一，任意满足k>3的实数均可) 【分析】根据反比例函数的图象性质，当图象位于第一、三象限时，比例系数大于0，由此 得到关于k的不等式，求出k的取值范围，再取范围内任意一个值即可. 【详解】解：反比例函数y=的图象位于第一、三象限， ·k-3>0,解不等式得k>3, 因此k的取值可以是任意大于3的数，可以取4（答案不唯一，任意满足k>3的实数均可）. 【变式1】反比例函数y=的图象分别位于() A.第一、第二象限 B.第一、第三象限 C.第二、第四象限 D.第三、第四象限 【答案】B 11/58 【分析】对于反比例函数y=(k≠0)，当k>0时，图象位于第一，第三象限，当k<0 时，图象位于第二，第四象限，只需判断本题中k的符号即可求解 【详解】解：×反比例函数y=中，k=10>0, ·该反比例函数的图象位于第一，第三象限， 【变式2】已知反比例函数y=二"的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是() A.m<3,在每个象限内，y随x增大而减小 B.m>3, 在每个象限内，y随x增大而增大 C.m<3,在每个象限内，y随x增大而增大 D.m>3,在每个象限内，y随x增大而减小 【答案】B 【分析】先根据图象所在象限确定比例系数的符号，求出的取值范围，再结合反比例函 数的增减性判断选项即可. 【详解】解：：反比例函数y=二m的图象分布在第二、四象限，比例系数k=3-m, ∴3一m<0,在每个象限内，y随x增大而增大： 解得m>3. 【变式3】反比例函数y=-图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 【答案】k<1 【分析】根据y=的图像位于第二、四象限，比例系数k-1<0,计算即可求出女的取值 范围。 【详解】y=位于第三、四象限， ∴.k-1<0 即k<1. 【变式4】已知反比例函数y-的图象经过点(-2,3)，则其图象在 象限. 【答案】二、四 【分析】本题考查了反比例函数的性质，y=,当k>0时，图象在一、三象限，当k<0 时，图象在二、四象限，正确掌握该性质是解题的关键.用待定系数法求出k的值，根据反 比例函数的性质判断其图象所在的象限即可， 12/58 【详解】解：将点(-2,3)代入y=得3=之解得：k=-6, 因为k<0,所以y=的图象在二、四象限. 故答案为：二、四 【变式5】如图，反比例函数y=二的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示。 (1)求m的取值范围： (2)若此反比例函数的图象经过点(-2,3)，求m的值. 【答案】(1)m<2 (2)-4 【分析】(1)根据反比例函数的图象和性质，可以得出答案； (2)把点(-2,3)代入函数关系式，求出的值即可. 【详解】(1)解：因为反比例函数的图象的一个分支在第二象限，由反比例函数的性质可 知， m-2<0, 得m<2: (2)解：把(-2,3)代入y=m-2得到： m-2=-2×3, 解得：m=-4. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关知识是解题关键 题型4.比较反比例函数值或自变量的大小 【例1】反比例函数y=的图象上三个点的坐标分别是(-2，y1),(3,y2),(6,y3),则y1,y2 y3的大小关系为() A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2 C.y2<y1<y3 D.y3<y2<y1 【答案】B 13/58 【分析】将三个点的横坐标代入反比例函数解析式，求出对应纵坐标的值，再根据有理数大 小比较法则判断大小关系即可. 【详解】解：分别将三个点的横坐标代入反比例函数y=兰 当x=-2时，y1=9=-3,当x=3时，2=号=2，当x=6时，y3=名=1， -3<1<2, y1<y3<y2 【例2】若点(x1,-3),(x2,-1),(x,2)都在反比例函数y-图象上，则x1,x,x的大 小关系正确的是() A.X1<X2<X3B.X3<X2<X1 C.X2<X1<X3D.X1<x3<X2 【答案】C 【分析】根据点在反比例函数图象上，坐标满足函数解析式，将各点纵坐标代入解析式求出 x1,x2,x3的值，再比较大小即可 【详解】解：，点(x1,-3),(x2,-1),(x3,2)都在反比例函数y=的图象上， 将y值分别代入解析式得x1=号=-2，=马=-6，=3， ,-6<-2<3, .x2<X1<X3 【例3】已知点A(-2,y),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数y=5的图象上，比较y1,y2, y3的大小关系。 【答案】y2>y1>y3 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数y=兰当k<0时，经过二、四象限， 在每一象限内，y随x的增大而增大：反之经过一、三象限，y随x的增大而减小.据此即可 解答 【详解】解：k=-5<0, ∴反比例函数y=经过二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ∴.A(-2,y1),B(-1,y2)在第二象限，C(3,y3)在第四象限， ·y2>y1>y3 【变式1】已知点P1(x,y,P2(x2,y2)都在反比例函数y=-的图象上，若x1<0<x,则 14/58 下列关系正确的是() A.y1<y2<0B.y1<0<y2 C.y1>y2>0 D.y1>0>y2 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，由y=-2得当x<0时，y>0:当x>0时，y<0, 由x1<0和x2>0,可推知y1>0且y2<0即可解答. 【详解】解：：点P1(xy)和Pzx2y2)在y=-的图象上， 且x1<0<x2: 对于P1,x1<0,y1=-2>0, X1 对于P2,x2>0,六y2=-2<0, X2 .y1>0>y2 故选D. 【变式2】点(-1.37，y),(-2.23,y2)都在反比例函数y=31415的图像上，则y1与y2的大小 关系是( A.y1>y2 B.y12y2 C.y1<y2 D.y1≤y2 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键 根据反比例函数的性质，可知：当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即 可解答. 【详解】解：：反比例函数y=31459中，k=3.14159>0, ∴.在每个象限内，y随x的增大而减小， 又-2.23<-1.37<0，即x2<x1<0, y1<y2 故选C. 【变式3】已知点A(-3,y),B(-2,y2),C(1,y3)均在反比例函数y=-的图象上，则函数 值的由大到小的关系是 【答案】y2>y1>y3 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，比较函数值. 15/58 通过代入反比例函数解析式计算各点纵坐标，并比较大小. 【详解】解：对于反比例函数y=- 当x=-3时，y1=-= 44 当x=-2时，为=-寺-2 当x=1时，为=--4 由于2>>-4，因此y2>y1>y3, 故答案为：y2>y1>y3: 【变式4】若点B(x,1),C(x2,5)都在反比例函数y=的图象上，则x1,x2大小关系是 【答案】x1>x2 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小关系，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键. 将点代入函数解析式确定x1=5,x2=1,进行比较判断即可. 【详解】解：y= 1=导5= X2 解得：x1=5,x2=1, .x1>X2: 故答案为：x1>x2 【变式5】已知点(-1,6)在反比例函数y=m-8的图象上. (1)求反比例函数的表达式： (2)点(x1,-6),(x2,-1),(x3,3)都在反比例函数的图象上，比较x1,x2,3的大小，并说 明理由 【答案】(y=-9 (2)解：x2>x1>x3,理由如下： -6<0, 函数图象位于第二、四象限， 点(x1,-6),(x2,-1),(x3,3)都在反比例函数的图象上，3>0>-1>-6， 16/58 x2>x1>0>X3, X2>X1>x3 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握待定系数法的运 用，反比例函数增减性是解题的关键. 1)把(-1,6)代入y=一，运用特定系数法计算即可求解： (2)由解析式可得函数图象位于第二、四象限，每个象限，y随x的增大而增大，由此即可 求解。 【详解】1)解：把(-1,6)代入y=,得6= -1 解得m=2, 反比例函数的表达式为y=兰 (2)略 题型5.由图形面积求k值 【例1】如图，已知点A在反比例函数y=图象上，垂足为点B,AC1y轴，若矩形AB0C 的面积为2，则k的值为() A.-1 B.-2 C.2 D.4 【答案】B 【分析】直接根据k值的几何意义，即可得出结果 【详解】解：由题意，矩形ABOC的面积为k=2, 反比例函数过二，四象限， k<0, k=-2. 【例2】如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数y=(x>0)的图像上一点A作AB1y 17/58 轴于点B,点P在x轴上，若S△4BP=2,则k的值为 【答案】4 【详解】解：设点A的坐标为(a,总)，其中a>0, AB1y轴于点B, “点B的坐标为(0，)： ..AB=a, △ABP的底边为AB,高为点P到直线AB的距离， 点P到直线AB的距离为-0=点 a Sa4Bp=×AB×高=×a×片=黄 由题意S△ABP=2, =2 k=4 【例3】如下图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点.已知反比例函数y=(k>0)的图 象经过点A(2,m),过点A作AB1x轴，垂足为B,且△AOB的面积为1.求k和m的值. 4 B工 5-3-2-10L12345x 【答案】k=2,m=1 【分析】本题考查了反比例中k的几何意义，解题的关键是利用△A0B的面积为1，求出m=1, 再将点A的坐标代入解析式即可求解。 18/58 【详解】解：~点A的坐标为(2，m),AB1x轴， ∴.OB=2,AB=m, △AOB的面积为1， 含x2m=1, 解：m=1, 点A的坐标为(2,1). 把A(2,1)代A= 得1= k=2. 【变式1】如图，点A在双曲线y=(k≠0)上，点B在双曲线y=-三上，ABx轴，分别 过点A,B向x轴作垂线，垂足分别为D,C,若矩形ABCD的面积是9，则k的值为() B D C A.-9 B.9 C.-12 D.12 【答案】c 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，熟记反比例函数系数k与 图形面积之间的关系是解题的关键.延长AB交y轴于点E,则四边形BCOE和ADOE是矩形， 由点B在双曲线y=-上，可得矩形BC0E的面积是3，进而求出矩形AD0E的面积=3+9= 12,再根据反比例函数系数k的几何意义得到k=12,再结合反比例函数经过的象限即可 确定k的值. 【详解】解：如图，延长AB交y轴于点E, 19/58 则四边形BCOE和ADOE是矩形， :点B在双曲线y-上 ∴.矩形BC0E的面积=|-3引=3， ,矩形ABCD的面积是9， ∴.矩形AD0E的面积=3+9=12， :点A在双曲线y=兰(k≠0)上， .k=12, 解得：k=士12， 由图象得，双曲线y=经过第二象限， k<0, .k=-12, 故选：C. 【变式2】如图，己知反比例函数y1=(x>0)和y2=x>0)的图象，点M为y1=(x>0) 图象上一点，过点M作MA1x轴于点A,MA与2=(x>0)图象交于点N,若△M0N的面积 为1，则k的值为 【答案】3 【分析】根据反比例函数的几何意义得S△A0N=子由S△MoM=求解即可. 【详解】解：由题意可得点N在y2=(x>0)图象上， .5AAON= ,S△MON=1, Sa40N=1=是 20/58 :点M为y1=(x>0)图象上一点， k=3 【变式3】如图点A在反比例函数y=的图象上，AB1x轴于B,C是0B的中点，S△40c=1, 则k的值为· V 【答案】-4 【分析】根据三角形的中线的性质得出S△4B0=2S△4oc=2,再根据反比例函数中k的几何 意义得出S△4B0=引(=2，最后结合反比例函数的图象即可求出k的值。 【详解】解：C是0B的中点，S△A0c=1, S△AB0=2S△40c=2, 又点A在反比例函数y=的图象上，AB1x轴于B, SAABO=lk=2. k=士4， 反比例函数y=的图象在第二象限， k=-4 【变式4】反比例函数y1=兰2=化≠0)在第一象限的图象，如图，过y1上的任意一点A, 作x轴的平行线交y2于点B,交y轴于点C,连接0A、OB,若S△4OB=2,求k的值.。 0 【答案】k=8 21/58 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义.根据反比例函数的比例系数的几何 意义得到Sa8c=kL,S△0Ac=×4=2,再利用Sa0BA=S△0Bc-Sa0ac得到lM-2=2, 然后解关于k的绝对值方程即可 【详解】解：根据题意得：AB【x轴， S△0Bc=kl,S△oAC=×4=2, 2 'S△0BA=S△0BC-S△0AC,S△40B=2, k-2=2, 解得：k=士8， :反比例函数y2=(化≠0)在第一象限的图象， k>0, k=8. 【变式5】如图，在△AOB中，AB=OB,点B在反比例函数的图象上，点A的坐标为(4,0)， S△AB0=4,求点B所在的反比例函数解析式. y 【答案】y=-x>0) 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义.利用反比例函数中k值的几何意义，求出 三角形OBM的面积就可推导出k值，写出解析式. 【详解】解：设点B所在的反比例函数解析式为：y=(x>0), 过点B作BM⊥OA,垂足为M, 22/58 AB=OB,BM⊥OA, ∴.OM=AM, ÷Sa09M=aA0B=2: S△08M=k=2,且图象在第四象限， k=-4 ∴点B所在的反比例函数解析式为：y=一 x>0) 题型6.由k值求图形面积 【例1】如图，点A在反比例函数y=-3(x<0)的图象上，过点A作AB1x轴于点B,点C 在y轴的正半轴上，则S△4Bc=() 0 A.1.5 B.2 C.3 D.6 【答案】A 【分析】连接OA,根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可. 【详解】解：如图，连接OA, ,AB1X轴， .'.AB II OC, 5aA8c=Sa4B0=|月==15. 【例2】如图，两个反比例函数y-和y-在第一象限的图象分别是C1和C2,若点P在C1 上，PA1x轴于点A,交C2于点B,则△POB的面积为 23/58 O A 【答案】1 【分析】根据反比例函数k的几何意义求解即可： 【详解】解：点P在C1上，PA1x轴于点A,交C2于点B,且C是y=G是y=专 560PA=号=3,5a0A-2, S△P0B=SAP0A-S△B0A=3-2=1. 【例3】如图是反比例函数y1=x>0),y2=(x>0)的图像，P为y2=图像上的一点， 且PA1x轴，PB1y轴，垂足分别为A、B,PA、PB分别交y1=的图像于点D、C,求△PCD 的面积. 4 y R y 1 【答案】SAPCD= 9 【分析】题日主要考查反比例函数的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键， 作CE1A0于E,DF1CE于F,根据题意得出xy=1,确定BC=BP,AD=AP,结合图 形求解即可. 【详解】解：作CE⊥AO于E,DF L CE于F, 4 D E 24/58 双曲线y1=x>0),2=(x>0),且PA1x轴于点A,PB1y轴于点B,PA、PB分别 交双曲线y1=于D、C两点， 矩形BCE0的面积为：xy=1, BC x BO =1,BP X BO=4, ∴BC=BP, 4 A0×AD=1,A0×AP=4, 六AD=AP, .PA-PB=4, PB×2PA=CP×DP= 4 .5APCD=CP.DP= 【变式1】若图中反比例函数的表达式均为y=4,则阴影面积为2的是() D 【答案】B 【分析】根据反比例函数k的几何意义逐一分析判定即可， 【详解】解：A.阴影面积=xy=4≠2，故选项A不符合题意： B。阴影面积=刘=×4=2，故选项B符合题意； C.阴影面积=2×y=2××4=4+2,故选项C不符合题意： D.阴影面积=4×y=4××4=8≠2，故选项D不符合题意。 【变式2】如图，点A在反比例函数y1=”(x>0)的图象上，过点A作AC1x轴于点C,交 25/58 反比例函数2=(x>0)的图象于点B,连接0A,0B,则△A0B面积为() 20 YI= 10 A.4 B.5 C.10 D.20 【答案】B 【分析】根据反比例函数中系数k的几何意义求出S△oAc和SAOBC,再利用S△4oB=S△o4c S△oc解答即可求解 【详解】解：：点A在反比例函数y1=(x>0)的图象上，点B在反比例函数2=”(c>0) 的图象上，AC1x轴， ÷S04c=×20=10,Sa0Bc=×10=5, S△A0B=S△0AC-S△0Bc=10-5=5. 【变式3】如图，点M,N在反比例函数y=(x>0,k>O)的图象上，分别过点M,N向x 轴、y轴作垂线，则S1(填“>”、“<"或“=”)S2 S S 【答案】= 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可. 【详解】解：设阴影部分的面积为m,根据反比例函数k值的几何意义可得： S1+m=S2+m, .S1=S2 【变式4】如下图，点A,B分别是反比例函数y=-和y=部分图象上的点，AB‖x轴， 点C是x轴上一点，则△ABC的面积为 26/58 【答案】2.5 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一 点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k(.利用反 比例函数的比例系数k的几何意义得到Sa0Ae=×-3=1.5,S△0BP=×|2|=1,进一步 求解即可 【详解】解：如图，连接AO,BO,记AB与y轴的交点为F, ○ ,ABIx轴， .AB1y轴， .S△0AP=5×-3引=1.5，SAOBF=5×I2|=1, .S△ABc=S△AB0=1+1.5=2.5, 故答案为：2.5. 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，点A(m,8)在反比例函数y=(x>0)的图象上，将 点A(m,8)向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B,点B恰好也落在反 比例函数y=(x>0)的图象上，AC1y轴于点C,BD I AC交0A于点D. O引 (1)求反比例函数的解析式： 27/58 (2)连接BC,CD,求△BCD的面积. 【答案】y=兰x>0) (29 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求解，直角坐标系中坐标的平移，正比例函数解析 式的求解，正确求解出点A的坐标是解决本题的关键。 (1)先根据坐标平移表示出点B的坐标，再根据点A与点B均在反比例函数上可求解m 的值，进而可知点A与点B的坐标，代入函数解析式即可求解 (2)先求出直线OA的解析式，再求解出点D的坐标，由三角形面积公式求解即可. 【详解】(1)解：将点A(m,8)向右平移3个单位长度， 此时坐标为(m+3,8), 再向下平移4个单位长度得到点B, 由平移可知B(m+3,4) 点A(m,8)与B(m+3,4)均在反比例函数y=(x>0)的图象上， .8m=4(m+3),解得m=3. 将A3,8)代入y=兰 得8=子解得k=24, “反比例函数的解析式为y=生(x>0). (2)解：设直线OA的解析式为y=tx, 把A(3,8)代入y=tx,得t= ∴.直线0A的解析式为y=号x. 又，BDIIAC,B(6,4), 点D的纵坐标为4. 令4=x,解得x=》 D(E,4) BD=6-是号 又，点C到BD的距离为8-4=4， 28/58 .SABCD i××4=9. 题型7、待定系数法求反比例函数解析式 【例1】已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=号 求这个反比例函数的表达式. 【答案】 y动 【分析】先设出反比例函数的一般形式，再代入已知的x,y值计算出比例系数k,即可得到 所求函数表达式。 【详解】解：设反比例函数的表达式为y=(k≠0) 将x=2:y=代入解析式得，号=月 解得k=手 因此这个反比例函数的表达式为y=击 【例2】若y与x-2成反比例，当x=1时，y=-3. (1)求y与x的函数关系式： (2)当x=时，求y的值. 【答案】w=高 2)-2 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数的函数值，正确求出对应的函 数解析式是解题的关键 (1)利用待定系数法求解即可： (2)把x=代入(1)所求的函数解析式中求出y的值即可。 【详解】1)解：设y与x的函数关系式为y=点k≠0)， 当x=1时，y=-3, -3=点 k=3, y与x的函数关系式为y=名 29/58 2)解：在y=中，当x=,y。一2 【变式1】在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=2x+b的图象与x轴的交点为A(2,0),与 y轴的交点为B,直线AB与反比例函数y=的图象交于点C(-1,m).求一次函数和反比例函 数的表达式。 【答案】一次函数的表达式为y=2x-4,反比例函数的表达式为y= 【分析】本题考查了求一次函数解析式，求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数 解析式是解题的关键.代入A(2,0)到y=2x+b,得到b=-4,得出一次函数的表达式，进 而得到点C的坐标，再代入C(-1,-6)到y=即可得出反比例函数的表达式. 【详解】解：代入A(2,0)到y=2x+b,得4+b=0, 解得b=-4, .一次函数的表达式为y=2x-4, 代入C(-1,m)到y=2x-4,得m=2×(-1)-4=-6, .C(-1,-6), 代入C(-1,-6)到y=,得k=(-1)×(-6)=6, “反比例函数的表达式为y=号 【变式2】已知，反比例函数y=图象经过点A(-2,3). (1)求这个反比例函数的解析式： (2)请你判断点B(5,-1.4)是否在这个函数的图象上. 【答案】y=- (2)点B(5,-1.4不在图象上 【分析】本题考查反比例函数解析式的求法及点是否在函数图象上的判断. (1)将点A(-2,3)代入反比例函数y=中，求出k的值即可： (2)将点B的横坐标代入所求解析式，计算对应的函数值，与点B的纵坐标比较，若相等 则在图象上，否则不在 【详解】(1)解：反比例函数y=的图象经过点A(-2,3) 3= 30/58 .k=3×(-2)=-6, “这个反比例函数的解析式为y=- (2)解：当x=5时，y=-号=-1.2， -1.2≠-1.4 .点B(5,-1.4不在图象上. 【变式3】己知y+1与x成反比例，且当x=3时，y=7. (1)求y与x之间的函数关系式： (2)当x=a时，y=b,求代数式ab+a-1的值. 【答案】1y=24-1 (2)23 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，已知式子的值求代数式的值， 正确掌握相关性质内容是解题的关键. (1)根据y+1与x成反比例，设y+1=(k≠0)，再代入x=3,y=7进行计算，即可 作答. (2)由(1)得y=4-1,整理得ab+a=24,再代入ab+a-1进行计算，即可作答。 【详解】(1)解：：y+1与x成反比例， .设y+1=(k≠0) ,当x=3时，y=7 7+1=0 解得k=24: y=-1 (2)解：由(1)得y-24-1, .当x=a时，y=b, 则b=华-1， ∴.ab=24-a, 则ab+a=24, 31/58 ∴.ab+a-1=24-1=23 【变式4】二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+的图象经过点P(-3,m)和Q(5,m). (1)求二次函数的表达式： (2)若反比例函数y=的图象与二次函数的图象都经过点A(-2,),求k的值， 【答案】y=-+x+号 (2k=5 【分析】本题主要考查求二次函数解析式和反比例函数解析式，正确求出二次函数解析式是 解答本题的关键 (1)根据对称性可求出抛物线的对称轴为x=5=1,利用对称轴可求出t=-子，从而得 2 出二次函数解析式： (2)把点A(2)代入二次函数解析式，求得n=-系把(-2，-)代入y=草求出k即可. 【详解】(1)解：，P(-3,m),Q(5,m), .PQlx轴， 又二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+的图象经过点P(-3,m)和Q(5,m), “二次函数y=(化+1)x2+2t+2)x+的图象的对称轴为直线x=5=1, -湖=1 解得，t=-多 “二次函数的表达式为y=x2+x+号 (2)解：，二次函数的图象经过点A(-2,), 6n=-×(-2)2-2+- :反比例函数y=的图象经过点A(-2,-) k=(-2)×()=5. 题型8.反比例函数与方程（组）结合 【例1】方程x2+3x=1的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=的图象交点的横坐标， 那么用此方法可推断出方程x3-2x2+x=3的实数根x所在的范围是（) 32/58 A.1<x<2B.2<x<3 C.3<x<4 D.4<x<5 【答案】B 【分析】根据题意分析可得方程3-22+x=3的实数根是函数y1=2-2x+1和y=是 的图象交点的横坐标，画图草图，结合图像求值即可得出结论 【详解】解：，方程x3-2x2+x=3, ∴2-2x+1=是 “方程x3-2x2+x=3的实数根是函数1=x2-2x+1和y=的图象交点的横坐标， 这两个函数的图象如图所示，则它们的交点在第一象限， 当x=1时，y1=0,y=3,此时抛物线的图象在反比例函数下方： 当x=2时，y1=1,y=多此时抛物线的图象在反比例函数下方： 当x=3时，y1=4,y=1,此时抛物线的图象在反比例函数上方： ∴.方程x3-2x2+x=3的实根x所在范围为2<x<3, 故选：B. -3-2-101234x 2 【点睛】本题考查了运用图象法求一元二次方程的近似根，难度中等.解决本题的关键是得 到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标 【例2】关于x的方程x2+(2k-1)x+k2=0无解，则反比例函数y=图象在第 2 象限。 【答案】一、三 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质.根据一元二次方程根的 判别式，求得k>子再判断反比例函数y=图象所在象限即可. 【详解】解：，关于x的方程x2+(2k-1)x+k2=0无解， 33/58 .△=(2k-1)2-4k2<0, 解得k> ∴反比例函数y=图象在第一、三象限， 故答案为：一、三 【变式1】函数y=x十2与y=的图象交点横坐标可由方程x十2=求得，由此推断：方程 3+2+4=0中m的大致范围是() A.-2<m<-1B.-1<m<0 C.0<m<1 D.1<m<2 【答案】A 【分析】由m+2m+4=0可变形为m2+2=-点 因此作函数y=x2+2与函数y=4图象，观 察交点横坐标即可得答案 【详解】解：由m+2m+4=0可变形为：m2+2=-专 作函数y=+1与函数=图象如下： 根据图象可得：两函数图象交点M横坐标满足-2<wK-1,即+2=-中m的大致范围是 2<K-1,故A正确. 故选：A. 【点晴】本题主要考查了二次函数和反比例函数图象，解决本题的关键是准确画出图象，数 形结合解决问题， 【变式2】已知关于x的方程x2-3x+2k-1=0有实数根，反比例函数y=12的图象在 每一象限内y随x增大而减小，则k的取值范围是 【答案】k< 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，以及反比例函数的性质，熟练掌握完全平方 34/58 公式是解本题的关键 根据题意得到判别式△=b2-4ac=(-3)2-4(2k-1)≥0,1-2k>0,进而求解即可. 【详解】方程x2-3x+2k-1=0有实数根， .△=b2-4ac=(-3)2-4(2k-1)≥0 k≤吕 :反比例函数y=二2的图像在各自象限内'随x增大而减小， ∴.1-2k>0, k<y ∴k的陬值范围是k< 故答案为：k< 【变式3】如图，一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的图象与反比例函数y= (m为常数，且m≠0)的图象交于A、B两点.则关于x的方程x+b=的解为 VA 【答案】-1和2 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数和一次函数 的图像和性质是解题的关键： 根据反比例函数和一次函数的图像和性质求解即可： 【详解】解：观察函数图象可知：点A的横坐标为-1，点B的横坐标为2， ∴.关于x的方程kx+b=m的解为-1和2. 故答案为：-1和2 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正比例函数y=kx(常数k≠0) 的图象与反比例函数y=(常数m≠0)的图象交于A、B两点，且点A的坐标为(2,3). 35/58 (1)求反比例函数表达式，并直接写出点B的坐标. (2)根据函数图象，直接写出满足方程kx=严的x的值. 【答案】(1y=:(←2，-3) (2)2和-2 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的性质及应用，反比例函数解析式的求解，正 比例函数与反比例函数的对称性，分别求出正比例函数和反比例函数是解决本题的关键， (1)反比例函数y=空，把点A的坐标代入反比例函数表达式就可以求出m的值，从而得 到反比例函数表达式，因为正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，所以点A与 点B关于原点对称，进而得出点B的坐标 (2)由函数图象求解即可. 【详解】(1)解：因为点A(2,3)在反比例函数y=的图象上， 将x=2,y=3代入y=受中，得到3=受即m=3×2=6, 所以反比例函数表达式为y= 由于正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象都关于原点对称， 点A(2,3)关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标都变为原来的相反数， 所以点B的坐标为(-2，-3). (2)解：因为正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=”(常数m≠0)的图象交于A(2,3) ,B(-2,-3)两点、 所以由图象知，满足方程kx=严的x的值为2和-2. 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1(k≠0)和反比例函数y=的图象相 交于A,B两点. 36/58 (1)求直线AB的表达式和点B的坐标； 2)将直线AB沿y轴向下平移1个单位，得到直线y=kx,请你写出一个反比例函数y=, 使方程kx-=0在实数范围内无解 【答案】(1y=x+1,B(-2,-1) 2y=- 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： (1)结合图象，求出A点坐标，待定系数法求出一次函数的解析式，联立两个解析式求出B 点坐标： (2)根据方程：x-兰=0在实数范国内无解，得到两个图象没有交点，进而得到反比例函 数过二，四象限，即可 【详解】(1)解：把x=1代入y=三得y=2, ÷A(1,2) 把A(1,2)代入y=kx+1, 得2=k+1, 解得k=1, 直线AB的表达式为y=x+1. y=x+1 y子 解叱2二 ·B(-2,-1) (2)将直线AB沿y轴向下平移1个单位，得到直线y=x, “直线y=x过第一、三象限. 方程kx-基=0在实数范围内无解。 37/58 直线)y=x与反比例函数y=的图象无交点， 反比例函数y=的图象在第三、四象限， sk'<0, 反比例函数的表达式可以是y=一 ,(答案不唯一) 题型9.反比例函数与不等式（组）结合 【例1】若双曲线y=与直线y=nx的一个交点坐标为(-1,2)，则关于x的不等式>x 的解集为() A.-1<X<1 B.x<-1或x>1 C.-1<x<0或x>1 D.x<-1或0<x<1 【答案】c 【分析】本题考查反比例函数及一次函数交点问题.根据题意利用交点坐标及图像即可得到 本题答案。 【详解】解：，双曲线y=m与直线y=x的一个交点坐标为(-1,2)， ∴反比例函数经过二，四象限，一次函数经过二，四象限，另一个交点为(1，一2)， >nx的解集为：-1<x<0或x>1, 故选：C 【例2】如图，一次函数y=ax+b的图像与反比例函数y=的图像交于点A(4,m),B(-6,一 2) (1)求k的值和一次函数的表达式： (2)直接写出关于x的不等式ax+b>的解集. 【答案】(1)k=12,y=x+1 (2)-6<x<0或x>4 38/58 【分析】(1)先把B点坐标代入y=求出得到反比例函数解析式，再通过反比例函数解 析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式： (2)利用函数图象，写出反比例函数在一次函数下方所对应的自变量的范围即可。 【详解】(1)解：把8(-6-2)代入y=得-2=名 解得k=12, “反比例函数解析式为y= 把A(4m)代入y=得m=兰=3， 4 解得m=3, .A(43), 把A4.-6-习代入y=+b{数+名32 k-. 解得 b=1 .一次函数解析式为y=x+1: (2)解：由ax+b>可知，反比例函数在一次函数下方， “.不等式ax+b>的解集-6<x<0或x>4. 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数与一次函数的解析式， 数形结合是解题的关键 【变式1】如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等 式+x2+1<0的解集是（) A.x>1 B.-1<x<0 C.0<x<1 D.x<-1 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数，反比例函数与不等式的关系.把A点的横坐标1代入 39/58 抛物线y=x2+1,求出点A的坐标，代入y=中求的值，再求式2<-x2-1的解集，确 定不等式+x2+1<0的解. 【详解】解：当x=1时，y=x2+1=2, A(1,2) y=x2+1关于x轴的对称的函数关系式为y=-x2-1, k=xy=1×2=2,即y= ∴由图象及对称性可得y=与y=-x2-1交点横坐标为：x=-1, 由图象可知，不等式2<-x2-1的解集就是+x2+1<0的解集， 得出：-1<x<0. 故选：B 【变式2】如图是同一平面直角坐标系中函数y1=2x和y2=的图象.观察图象不等式2x< 的解集为 【答案】x<-1或0<x<1 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据函数图象找到一次函数图象在反 比例函数图象下方时自变量的取值范围即可 【详解】解：由图象可得函数y1=2x和y2=的图象的交点横坐标为-1和1， “当x<-1或0<x<1时，2x<号 40/58 故答案为：x<-1或0<x<1. 【变式3】如图，直线y1=k1x+b与双曲线y2=2相交于A(-2,3),Bm-2)两点. (1)求y1,y2对应的函数表达式： (2)过点B作BPI‖x轴交y轴于点P,求△ABP的面积： (3)根据图象，直接写出关于x的不等式k1x+b-丝<0的解集， 【答案】(1y1=-x+1,y2=- x (2)SAABP =15 (3)-2<x<0或x>3 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数解析 式是解题的关键 (1)把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标， 再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可： (2)求出点P的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可： (3)利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可. 【详解】(1)解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得3=号 .k2=-6, “反比例函数解析式为y2=一 在y2=-中，当y2=-2时，x=3, ∴B(3,-2): 把点A和点日的坐标代入一次函数解析式中得2水：士b=3 3k1+b=-2 41/58 ·.一次函数解析式为y1=-x+1: (2)解：，BP‖x轴交y轴于点P,B(3,-2), ∴.P(0-2) 5a48p=BP0A-y)=x3×B-(-2= (3)解：由函数图象可得关于x的不等式k1x+b-2<0的解集为：-2<x<0或x>3. 【变式4】如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数y1=”x>0)的图象交于点A, C,与x轴交于点B,D,连接AC,点A,B的刻度分别为5,2，直尺的宽度BD为2，OB=2, 设直线AC的解析式为y2=kx+b. (1)不等式”>3的解集为 2)不等式kx+b-”≤0的解集为 (3)平行于y轴的直线x=(2<n<4)与AC交于点E,与反比例函数图象交于点F,当这条直 线左右平移时，线段EF的长为，求n的值. 【答案】(1)0<x<2; (2)0<x≤2或x≥4： 3n=3或 【分析】(1)根据题意得出点A(2,3),然后由图象即可求解： (2)由图可知点C的横坐标为4，然后再根据图象即可求解： 《3)先求出反比例函数解析式为y1=号直线AC的解析式为y,=-+子当x=n时，点E 的纵坐标为和+号点F的纵坐标为号则-和+号-日子然后解方程即可： 本题考查了反比例函数与一次函数的关系，待定系数法求解析式，解一元二次方程，熟练掌 握知识点的应用是解题的关键 42/58 【详解】(1)解：：点A,B的刻度分别为5,2,0B=2, .点A(2,3), 根据图象可知，不等式婴>3的解集为0<x<2, 故答案为：0<x<2: (2)解：由(1)得，点A(2,3),由图可知点C的横坐标为4， “不等式kx+b-严≤0的解集为0<x≤2或x≥4 (3)解：由(1)得，点A(2,3), :反比例函数y1=严(x>0)的图象交于点A, ,∴.m=2×3=6, ∴反比例函数解析式为y1=号 由图可知点C的横坐标为4，且在反比例函数解析式为y1=。 “纵坐标1.5 ∴.点C(4,1.5), ,直线AC的解析式为y2=kx+b过点A、C, 3 + 解得： 4 b 91 ∴直线AC的解析式为2=-x+号 4 当x=时，点E的纵坐标为-n+子点P的纵坐标为号 -现+号 解得：n=3或n=号 经检验n=3或n= 是原方程的解， n的值为n=3或号 43/58 >巩固练习 1.(25-26八年级下上海徐汇·期末)关于反比例函数y=上下列说法错误的是（) A.y随着x的增大而减少 B.图像与坐标轴没有交点 C.图像经过第一、三象限 D.图像是双曲线 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可。 【详解】解：A:反比例函数)=之k=1>0,只有在每个象限内，y随着x的增大而减少， 故该选项符合题意； B:x≠0，y=2≠0， ∴函数图像与坐标轴没有交点，故该选项不合题意； C:k=1>0, ∴反比例函数图像经过第一、三象限，故该选项不合题意： D:反比例函数的图像都是双曲线，故该选项不合题意 2.(2026广东珠海·二模)下列四个函数中，在所有范围内y随x增大而减小的是() A.y=2x B.y=1-x c.y-3 D.y=x2 【答案】B 【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数的增减性性质，逐一判断选项即可. 【详解】解：A、函数y=2x中，k=2>0,y随x增大而增大，不符合题意， B、函数y=1-x中，k=一1<0，y随x增大而减小，符合题意. C、函数y=是反比例函数，在每个象限内y随x增大而减小，不符合题意， D、函数y=x2是二次函数，开口向上，对称轴为直线x=0,x>0时y随x增大而增大，不 符合题意 3.(25-26八年级下.上海奉贤期末)已知点4(1，y)和B(-1,y2)在反比例函数y=(k<0) 的图象上，那么下列结论正确的是() A.y1=y2: B.y1=-y2; C.y1>0; D.y2<0. 【答案】B 【分析】根据反比例函数的比例系数k的意义，判断y1与y2的关系即可. 44/58 【详解】解：：点A(1,y)和点B(-1,y2)在反比例函数y=(k<0)的图象上， .1y1=（-1)y2=k, y1=-y2 4.(2026重庆中考真题)在反比例函数y=2中，若1<x<2,则y的取值范围为() A.y<1 B.1<y<2 c.-1<y<- D.-2<y<-1 【答案】B 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断x>0时y的增减性，再代入x的端点值得到y的 取值范围 【详解】解：：反比例函数y=中，k=2>0, .当x>0时，y随x的增大而减小， 当x=1时，y==2, 当x=2时，y=1, ∴.当1<x<2时，y的取值范围为1<y<2. 5.(2026-江苏南京二模)己知反比例函数y=m-的图象位于第二、四象限，则m的值可 能为() A.0 B.V3 C.2 D.V5 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象所在象限得到比例系数的取值范围，再结合选项判断即可得到 答案 【详解】解：：反比例函数y=m的图象位于第二、四象限 ∴.反比例函数的比例系数满足m一V5<0 解得m<V3 ,V5≈1.732，选项中只有0<V3,其余选项均满足m≥√5 ∴.m的值可能为0 6.(2026辽宁锦州.三模)若正比例函数y=5x的图象与反比例函数y=止(k≠0)的图象交 45/58 于A,B两点，如果点A的坐标是(1,5)，那么点B的坐标是() A.（-1,5) B.(1,-5) C.(-1,-5) D.(-5,-1) 【答案】C 【分析】正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的两个交点也关于 原点中心对称，利用中心对称点的坐标特点即可求解. 【详解】解：：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称， .两个函数的交点A,B关于原点中心对称 ,关于原点中心对称的点的横纵坐标均互为相反数，点A的坐标为(1,5)， .点B的坐标是(-1，-5) 7.(2026湖北十堰二模)如图，点A(2,1)在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上，点B 在反比例函数y=(x>0)的图象和y=(x>0)的图象之间，且AB1x轴，则点B的坐标可 能是() B A A.(1,2) B.(2) C.(2,2) 0.(2) 【答案】C 【分析】根据点4的坐标可排除选项A和B,根据x=2时，y=三= ,可排除选项D,从 而可确定选项C符合题意. 【详解】解：设B(xB,y) 点A(2,1)在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上，AB1x轴， 2 ∴xB=2,yB>1,故选项A,B不符合题意： 当x=2时，y=- ∴y<故选项D不符合题意： ∴点B的横坐标为2，纵坐标大于1且小于故选项C符合题意。 8.(25-26九年级下.浙江温州期中)如图，点A(4,2)在反比例函数y=(化≠0，x>0)的图 46/58 象上，将直线OA向上平移b(b>O)个单位长度后，与反比例函数交于点B.若点B纵坐标为 4,则b的值为() A.6 B.4 C.3 D.2 【答案】C 【分析】根据点A坐标求出反比例函数的解析式为y=,进而求出B(2,4),利用待定系数法 求出直线OA解析式为y=x,根据平移规律得出平移后的直线解析式为y=x+b,把 B(2,4代入，求出b的值即可. 【详解】解：：点A(42)在反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象上， 2= 解得：k=8, “反比例函数的解析式为y=是 ,点B在反比例函数图象上，点B纵坐标为4， ∴4-9 解得：x=2, .B(2,4), 设直线OA解析式为y=mx, ,点A(42)在直线0A上， ∴.2=4m, 解得：m= ∴直线0A解析式为y=x, 将直线OA向上平移b(b>0)个单位长度， ∴.平移后的直线解析式为y=x+b, 1 :平移后的直线与反比例函数交于点B,B(2,④， 47/58 4=x2+b, .b=3. 9.（2026山东济宁.二模)如图，四边形0ABC是边长为2的正方形，以点0为原点，直线0A 为x轴建立平面直角坐标系，反比例函数y=(k>0)的图象经过边AB的中点D,则下列结 论：①k=2:②∠D0E=45:③点E的坐标为(1,2)：④△D0E的面积为，其中正确的 是() A.①②③ B.①③④ c.②③④ D.①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数和坐标系求点坐标，面积等.利用D可以求出k和E点坐标，进 而求出△DOE面积， 【详解】①k=2,因为y=k>0)经过点D(2,1),把点D代入函数解得k=2,所以①正 确： ②∠D0E=45°，tan∠C0E=tanD0A=- 无法得出∠EOC和∠D0A两角之和是45°，也无 法得出LD0E=45°，所以②错误： 国点E的坐标为(1,2)，由①y=三点E的纵坐标为2，横坐标为x=号1，所以③正确： ④△D0E的面积为号：S△0e=2×2-×2×1-×2X1-×1×1=是所以④正确， 10.（25-26八年级下·上海虹口·期末)己知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在反比例函数y=的图像 上，且y1<y2<0,那么x1x2(填“"或“<"或“=”) 【答案】 > 【分析】根据反比例函数解析式判断比例系数符号，得到函数在各象限内的增减性，结合已 知y1<y2<0判断点所在象限，即可比较x1与x2的大小. 【详解】解：：反比例函数y=中，比例系数k=1>0, 48/58 ∴.反比例函数y=的图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， y1<y2<0, .点A(x1,y1),B(x2,y2)都在第三象限， .X1>X2 11.(2026西藏林芝.二模)如图，反比例函数y=《在第二象限的图象如图所示，点A是图 象上的一点，过点A作AB1x轴，垂足为B,若△ABO的面积为5，则k的值为 B 【答案】-10 【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据反比例函数系数k的几 何意义即可得出结论， 【详解】反比例函数y=的图象的一支在第二象限， k<0, ~AB1x轴，垂足为B,△AB0的面积为5， lk|=2X5=10, k=-10 12.(2026江苏南京·二模)如图，一次函数y=kx+b(化，b为常数，k≠0)的图象与反比例 函数y=”(m为常数，m≠0)的图象交于点A和B,已知点A的坐标是(-4,1)，点B的坐标是 (2,-2).根据函数图象直接写出关于x的不等式kx+b>”的解集为 【答案】x<-4或0<x<2 【分析】结合函数图象，可以得到当x在A的左边或者在0和B之间时，满足不等式x+b>受 49/58 求解即可。 【详解】解：一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于点A和B, 又，点A的坐标是(-41)，点B的坐标是(2，-2)， ∴.根据函数的图象得：关于x的不等式kx+b>严的解集为x<-4或0<x<2. 13.(2026湖南长沙.一模)如图，A为反比例函数y=(x>0)的图象上的一点，AB1x 轴，AC1y轴，垂足分别为B,C.若四边形0CAB的面积为6，则k的值为 B 【答案】-6 【分析】反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线， 所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为k,从而可求解. 【详解】解：设A点坐标为(x,y), AB⊥X轴， ..AB=y,OB=x .S矩形AcOB=OB×AB=|Xxy=6 ,1=6, :反比例函数y=(x>0)的图象在第四象限， .k=-6 14.(2026江西宜春·一模)如图，己知一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图 象交于A(1,n),B(-2,-1)两点，与y轴相交于点C. 50/58 (1)求一次函数与反比例函数的解析式： (2)若0C=0D,求△ABD的面积. 【答案】但一次函数解析式为y=x+1,反比例函数的解析式为y=子 (2)△ABD的面积为3. 【分析】(1)先将点B坐标代入反比例函数解析式求出m的值，再根据求出的反比例函数解 析式求出点A坐标，将点A和点B坐标代入一次函数解析式求出a、b的值即可得解： (2)由一次函数y=x+1的图象与y轴相交于点C求出点C坐标，再根据0C=OD推得D点 坐标，进而结合点A和点B坐标即可求出△ABD的面积 【详解】(1)解：~B(-2,-1)在反比例函数y=m的图象上， m=-2×(-1)=2, 反比例函数的解析式为y= ~A(1,)也在反比例函数y=四的图象上， n=2 即A(1,2), ~A(1,2),B(-2,-1)在一次函数y=ax+b的图象上， (+2 解得侣1 即一次函数解析式为y=x+1. (2)解：一次函数y=x+1的图象与y轴相交于点C, C(0,1), 即0D=0C=1, D(0,-1), 又A(1,2),B(-2,-1) S△4BD=BD-yA-yol=×2×3=3. 15,(2026河南三门峡.一模)如图，在平面直角坐标系中，口ABCD的顶点C与原点0重合， 已知点B(0,3),点D(2,1).点A在反比例函数y=(x>0)的图象上. 51/58 d(C (1)求反比例函数的表达式. (2)将口ABCD沿x轴正半轴平移n个单位长度后，点D恰好落在反比例函数的图象上，求n的值. 【答案】y=是 (2)n=6 【分析】(1)利用平行四边形的性质求得点A的坐标为(2,4)，再利用待定系数法求解即可： (2)先求得点D平移后的坐标为(2+n,1),再代入y=求解即可. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形，顶点C与原点0重合，点B(0,3), .'ADIIOB,AD =0B =3, 点D(2,1), .点A的坐标为(2,4)， 将A(2,)代入y=点得k=8, ∴反比例函数的表达式为y=(x>0): (2)解：当点D沿x轴正半轴平移n个单位长度后，得到的点坐标为(2+n,1), 将(2+n1)代入y=是 得1=品 解得n=6. 16.(25-26九年级上广西钦州期末)下面表格信息反映的是反比例函数y=的几组自变 量与对应的函数值， 3 _2 -1 2 m 2 -3 -2 52/58 6 5 3 2 -5-4-3-2-11 012345x +4 6 (1)直接写出各字母表示的数值：k=;m=一；n=一； (2)根据表中各数值和(1)中的结果，在平面直角坐标系中通过描点连线，画出反比例函数 y=的图象： (3)已知直线y=Qx+b经过(-3,2)与(2，-3)两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察 图象，指出当ax+b>时自变量x的取值范围. 【答案】(1)-6：3；-6 (2)见解析 (3)x<-3或0<x<2 【分析】(1)先根据表格得出反比例函数y=的图象经过点(3，一2)，代入求出k的值：再 把点(-2，m),(1,n)代入函数解析式求出、n的值； (2)先描点，再连线，画出函数图象即可； (3)连接点(-3,2)与(2，-3)画出函数y=ax+b的图象，观察函数图象，找出一次函数 在反比例函数图象上方部分所对的自变量的范围即可得出当ax+b>时自变量x的取值范 围 【详解】(1)解：根据表格可知：反比例函数y=的图象经过点(3，-2)， -2= 解得：k=-6, “反比例函数解析式为y=一兰 把(-2，m),(1,m)分别代入y=-得： 53/58 m=-9=3,n=-9=-6: (2)解：反比例函数y=的图象，如图所示： 6 5 3 2 -5432012345x -4 6 (3)解：直线y=ax+b的图象，如图所示： x￥6 y=ax+b 543-2012345 L6 观察图象，当x<-3或0<x<2时，一次函数y=x+b图象在反比例函数y=图象的上 面， “当ax+b>时，自变量x的取值范围是x<-3或0<x<2. 17.(25-26九年级上河南开封期末)如图所示，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反 比例函数y=(k≠0)的图象交于第二、四象限的点A(-2,)和点B(,-1),过A点作x轴的 垂线，垂足为点C,△AOC的面积为4. VA 54/58 (1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式： (2)求△AOB的面积. (3)结合图象直接写出mx-《+n≥0中x的取值范围. 【答案】y=兰y=-x+3 (2j15 3)x≤-2或0<x≤8 【分析】本题考查了求反比例函数，一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，一次函数 与反比例函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键。 (1)理解题意，根据△A0C的面积为4.得出|k=4,又因为反比例函数图象在第二、四 象限，得出k=-8,再分别求出A(-2,4),B(8,-1),最后代入y=mx+n,求解出y=-x+3, 即可作答， (2)先求出D(6,O),再分别把数值代入△AOB的面积=S△AoD+S△BoD计算，即可作答. (3)运用数形结合思想，得出符合题意的x的取值范围，即可作答： 【详解】(1)解：，过A点作x轴的垂线，垂足为点C,△AOC的面积为4. k=4 k=8, ,反比例函数图象在第二、四象限， k=-8; y- ,A(-2,a),△A0C的面积为4. 2×-2到×a=4 解得a=4, 即A(-2,4), 把86，-1)代入y=兰得-1=号 解得b=8, .B(8,-1): 把A(-2,4)和B(8,-1)代入y=mx+n, 55/58 +分 解得 m=- (n=3 y=-2x+3: (2)解：连接0B,如图所示： VA 由(1)得A(-2,9,B(8,-1),y=-x+3, 令y=0,则0=-x+3, 解得x=6, 则D(6,0) .0D=6, 则△AOB的面积=S△AOD+S△BOD 1 =2×4×6+2×6×-1 =12+3 =15; (3)解：，mx- +0. :.mx+n 依题意，一次函数)y=一x+3的图象与反比例函数y=的图象交于第二、四象限的点 A(-2,4)和点B(8,-1), 则当mx+n≥时，x≤-2或0<x≤8， 即结合图象当mx-+n≥0时x的取值范围为x≤-2或0<x≤8， 18.(25-26九年级上河南周口·期末)已知反比例函数y="的图象在第二、四象限，求 56/58 m的取值范围，并在该范围内取一个整数，求此时反比例函数的解析式. 【答案】m<1,取整数m=0,此时解析式为y=-上（答案不唯一） 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象在第二、四象限，可 得m-1<0,再进一步求解即可. 【详解】解：，反比例函数图象在第二、四象限 ∴.m-1<0 解得：m<1 取整数m=0,此时解析式为y=-(答案不唯一）. 19.(25-26九年级上河北邯郸.期末)已知A(-4,2)、B(n,-4两点是一次函数y=kx+b 和反比例函数y=”的图象的两个交点. (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)求△A0B的面积. (3)观察图象，直接写出不等式kx+b-”≥0的解集. 【答案】山)一次函数的解析式为y=-x-2,反比例函数的解析式为y=是 (2)6 3)x≤-4或0<x≤2. 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象及性质： (1)采用待定系数法求解即可： (2)S△40B=S△4oc+S△B0C: (3)根据函数图象即可求得答案. 【详解】(1)解：因为反比例函数y=”的图象过点A(-4,2), 所以2=解得m=一8. 57/58 反比例函数的解析式为y=是 因为反比例函数y=的图象过点B(m-④)， 所以-4=解得n=2. 点B的坐标为(2，一4) 因为一次函数y=kx+b的图象过点A(-4,2),B(2,-4), 所以（林古二子解狗货=二子 一次函数的解析式为y=-x-2. (2)解：当y=-x-2=0时，x=-2, 所以点C的坐标为C(-2,0) S△40B=S△A0c+S△0c=×2×2+×2×4=6. (3)解：将不等式kx+b-”≥0变形，得-x-2≥ 根据函数图象可知x≤-4或0<x≤2. 58/58 第二十七章 反比例函数 02讲 反比例函数的图像和性质 题型归纳 【知识点1 反比例的图像的绘制 1】 【知识点2 反比例的图像和性质 2】 【知识点3 反比例函数系数的几何意义 2】 【知识点4 反比例函数与一次函数的交点问题 3】 【题型1. 图像共存问题 4】 【题型2. 反比例函数的增减性 6】 【题型3. 反比例函数图像所在象限问题 7】 【题型4. 比较反比例函数值或自变量的大小 8】 【题型5. 由图形面积求值 9】 【题型6. 由值求图形面积 11】 【题型7. 待定系数法求反比例函数解析式 13】 【题型8. 反比例函数与方程（组）结合 15】 【题型9. 反比例函数与不等式（组）结合 16】 【巩固练习 18】 知识清单 知识点1 反比例的图像的绘制 1. 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 2. 画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； 知识点2 反比例的图像和性质 解析式 图像形状 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 对称性 中心对称图形（对称中心：原点） 轴对称图形（对称轴：直线） 增减性 在每个象限内，随增大而减小 在每个象限内，随增大而增大 渐近趋势 无限靠近轴、轴，永不与坐标轴相交 取值范围 知识点3 反比例函数系数的几何意义 1. 在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 2. 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 知识点4 反比例函数与一次函数的交点问题 1. 反比例函数与正比例函数图象的交点： 当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点． 2. 反比例函数与一次函数图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程． 判别式两函数图象有2个交点； 两函数图象有1个交点； 两函数图象没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或， 的解集为或． 题型专练 题型1. 图像共存问题 【例1】已知，则函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如果 ，那么函数与 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，直线（，，是常数且，，）的位置如图，则抛物线和双曲线在同一坐标系中的图象可能为（     ）． A． B． C． D． 【变式3】反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式4】在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（   ） A． B． C． D． 题型2. 反比例函数的增减性 【例1】下列函数中，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【例2】已知反比例函数 的图象如图所示，结合图象可得：当时，y的取值范围是_________ 【变式1】在反比例函数中，都随的增大而减小，则的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知反比例函数． (1)若点在反比例函数的图象上，则的值为______； (2)当取什么值时，在每一象限内，的值随值的增大而减小？ 【变式4】已知反比例函数（为常数，）． (1)若该反比例函数图象与正比例函数的图象的一个交点为P，且点P的纵坐标是2，求k的值． (2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 题型3. 反比例函数图像所在象限问题 【例1】点在反比例函数 的图象上，则该函数图象所在象限为（     ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限 【例2】若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是________． 【变式1】反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第四象限 D．第三、第四象限 【变式2】已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 【变式3】反比例函数图象位于第二、四象限，则k的取值范围是___________． 【变式4】已知反比例函数的图象经过点，则其图象在______象限． 【变式5】如图，反比例函数的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)求的取值范围； (2)若此反比例函数的图象经过点，求的值． 题型4. 比较反比例函数值或自变量的大小 【例1】反比例函数的图象上三个点的坐标分别是，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【例2】若点，，都在反比例函数图象上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】已知点，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小关系． 【变式1】已知点都在反比例函数的图象上，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】点都在反比例函数的图像上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知点，，均在反比例函数的图象上，则函数值的由大到小的关系是________． 【变式4】若点，都在反比例函数的图象上，则，大小关系是__________． 【变式5】已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较的大小，并说明理由． 题型5. 由图形面积求值 【例1】如图，已知点A在反比例函数图象上，垂足为点B，轴，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A． B． C．2 D．4 【例2】如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，点P在x轴上，若，则k的值为______． 【例3】如下图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点作轴，垂足为，且的面积为1．求和的值． 【变式1】如图，点A在双曲线（）上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是9，则k的值为（   ） A． B．9 C． D．12 【变式2】如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________． 【变式3】如图点A在反比例函数的图象上，轴于B，C是的中点，，则k的值为___． 【变式4】反比例函数在第一象限的图象，如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，连接，若，求k的值． 【变式5】如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 题型6. 由值求图形面积 【例1】如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点在轴的正半轴上，则（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 【例2】如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，若点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为________． 【例3】如图是反比例函数的图像，P为图像上的一点，且轴，轴，垂足分别为A、B，分别交的图像于点D、C，求的面积． 【变式1】若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接，，则面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，点M，N在反比例函数的图象上，分别过点M，N向x轴、y轴作垂线，则_____（填“>”、“<”或“＝”）． 【变式4】如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为________． 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，点B恰好也落在反比例函数的图象上，轴于点C，交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 题型7. 待定系数法求反比例函数解析式 【例1】已知y是x的反比例函数，当时，，求这个反比例函数的表达式． 【例2】若与成反比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求的值． 【变式1】在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为B，直线与反比例函数的图象交于点．求一次函数和反比例函数的表达式． 【变式2】已知，反比例函数图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)请你判断点是否在这个函数的图象上． 【变式3】已知 与x成反比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，，求代数式的值． 【变式4】二次函数的图象经过点和． (1)求二次函数的表达式； (2)若反比例函数的图象与二次函数的图象都经过点A，求k的值． 题型8. 反比例函数与方程（组）结合 【例1】方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根x所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】关于x的方程无解，则反比例函数图象在第_______象限． 【变式1】函数y＝x＋2与y＝的图象交点横坐标可由方程x＋2＝求得，由此推断：方程m3＋2m＋4＝0中m的大致范围是（    ） A．－2＜m＜－1 B．－1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．1＜m＜2 【变式2】已知关于x的方程有实数根，反比例函数的图象在每一象限内y随x增大而减小，则k的取值范围是__________． 【变式3】如图，一次函数（、为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点．则关于的方程的解为___________． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正比例函数（常数）的图象与反比例函数（常数）的图象交于A、B两点，且点A的坐标为． (1)求反比例函数表达式，并直接写出点B的坐标． (2)根据函数图象，直接写出满足方程的x的值． 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，直线和反比例函数的图象相交于，两点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)将直线沿轴向下平移1个单位，得到直线，请你写出一个反比例函数，使方程在实数范围内无解． 题型9. 反比例函数与不等式（组）结合 【例1】若双曲线与直线的一个交点坐标为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【例2】如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，． (1)求的值和一次函数的表达式； (2)直接写出关于的不等式的解集． 【变式1】如图，抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图是同一平面直角坐标系中函数和的图象．观察图象不等式的解集为_____． 【变式3】如图，直线与双曲线相交于，两点． (1)求，对应的函数表达式； (2)过点作轴交轴于点，求的面积； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【变式4】如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，，连接，点，的刻度分别为，，直尺的宽度为，，设直线的解析式为． (1)不等式的解集为 ； (2)不等式的解集为 ； (3)平行于轴的直线与交于点，与反比例函数图象交于点，当这条直线左右平移时，线段的长为，求的值． 巩固练习 1．（25-26八年级下·上海徐汇·期末）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．随着的增大而减少 B．图像与坐标轴没有交点 C．图像经过第一、三象限 D．图像是双曲线 2．（2026·广东珠海·二模）下列四个函数中，在所有范围内y随x增大而减小的是(     ) A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·上海奉贤·期末）已知点和在反比例函数的图象上，那么下列结论正确的是（     ） A．； B．； C．； D．． 4．（2026·重庆·中考真题）在反比例函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏南京·二模）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁锦州·三模）若正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·湖北十堰·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象和的图象之间，且轴，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级下·浙江温州·期中）如图，点在反比例函数的图象上，将直线向上平移个单位长度后，与反比例函数交于点．若点纵坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·山东济宁·二模）如图，四边形是边长为2的正方形，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，反比例函数的图象经过边的中点，则下列结论：①；②；③点的坐标为；④的面积为，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 10．（25-26八年级下·上海虹口·期末）已知点、在反比例函数的图像上，且，那么_______（填“”或“”或“”） 11．（2026·西藏林芝·二模）如图，反比例函数在第二象限的图象如图所示，点是图象上的一点，过点作轴，垂足为，若的面积为，则的值为________． 12．（2026·江苏南京·二模）如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于点和，已知点的坐标是，点的坐标是．根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为__________． 13．（2026·湖南长沙·一模）如图，为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为．若四边形的面积为6，则的值为______． 14．（2026·江西宜春·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 15．（2026·河南三门峡·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，已知点，点．点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)将沿轴正半轴平移个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值． 16．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下面表格信息反映的是反比例函数的几组自变量与对应的函数值． 1 2 3 2 6 (1)直接写出各字母表示的数值： ； ； ； (2)根据表中各数值和（1）中的结果，在平面直角坐标系中通过描点连线，画出反比例函数的图象； (3)已知直线经过与两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，指出当时自变量的取值范围． 17．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． (3)结合图象直接写出中的取值范围． 18．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知反比例函数 的图象在第二、四象限，求m的取值范围，并在该范围内取一个整数，求此时反比例函数的解析式． 19．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知、两点是一次函数和反比例函数的图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)求的面积． (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数 02讲 反比例函数的图像和性质 题型归纳 【知识点1 反比例的图像的绘制 1】 【知识点2 反比例的图像和性质 2】 【知识点3 反比例函数系数的几何意义 2】 【知识点4 反比例函数与一次函数的交点问题 3】 【题型1. 图像共存问题 4】 【题型2. 反比例函数的增减性 8】 【题型3. 反比例函数图像所在象限问题 11】 【题型4. 比较反比例函数值或自变量的大小 13】 【题型5. 由图形面积求值 17】 【题型6. 由值求图形面积 23】 【题型7. 待定系数法求反比例函数解析式 29】 【题型8. 反比例函数与方程（组）结合 32】 【题型9. 反比例函数与不等式（组）结合 38】 【巩固练习 44】 知识清单 知识点1 反比例的图像的绘制 1. 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 2. 画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； 知识点2 反比例的图像和性质 解析式 图像形状 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 对称性 中心对称图形（对称中心：原点） 轴对称图形（对称轴：直线） 增减性 在每个象限内，随增大而减小 在每个象限内，随增大而增大 渐近趋势 无限靠近轴、轴，永不与坐标轴相交 取值范围 知识点3 反比例函数系数的几何意义 1. 在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 2. 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 知识点4 反比例函数与一次函数的交点问题 1. 反比例函数与正比例函数图象的交点： 当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点． 2. 反比例函数与一次函数图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程． 判别式两函数图象有2个交点； 两函数图象有1个交点； 两函数图象没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或， 的解集为或． 题型专练 题型1. 图像共存问题 【例1】已知，则函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和反比例函数的图象，根据一次函数的性质和反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴的图象经过二、四象限， ∵， ∴的图象在一、三象限． 故选： D． 【变式1】如果 ，那么函数与 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了依据正比例函数与反比例函数的图像所经过的象限确定系数的符号，正确掌握各函数的图像与字母系数的关系是解题的关键． 根据正比例函数和反比例函数图像经过的象限，再对照四个选项中的图像即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴正比例函数在第二，四象限内，且过原点， 函数 在第一，三象限内， 故选项 B符合题意； 故选：B． 【变式2】在平面直角坐标系中，直线（，，是常数且，，）的位置如图，则抛物线和双曲线在同一坐标系中的图象可能为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、二次函数和反比例函数的图象与系数的关系.先根据一次函数的图象判断a，b，c的范围，再判断反比例函数的图象，最后再利用抛物线的图象即可得到答案. 【详解】直线的函数图象经过二、三、四象限， ， ， ∴双曲线的图象经过第一、三象限，故A和C错误. ∵，所以抛物线的图象与y轴相交于其负半轴，B选项错误. 故选：D. 【变式3】反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数的图象、反比例函数图象，解题关键是读懂图象信息． 根据一次函数解析式的特征判断出一次函数与轴交于，再根据两个函数中的值相同即可判断正确答案． 【详解】解：一次函数与轴交于， 而选项、选项中一次函数均与轴交于负半轴， 选项、选项错误； 又两个函数中的值相同， 时，一次函数经过一、二、三象限时，反比例函数经过一、三象限； 时，一次函数经过一、二、四象限时，反比例函数经过二、四象限， 选项错误，选项正确． 故选：． 【变式4】在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像，反比例函数的图像，掌握函数关系式中系数与图像的位置的关系是解题的关键．分两种情况讨论，再判断图像即可． 【详解】解：∵0， 若，， 则反比例函数的图象位于第一、第三象限， 二次函数的图象开口向上， 与y轴的交点位于y轴的正半轴． 故C符合条件，B不符合条件； 若，， 反比例函数的图象位于第二、第四象限， 二次函数的图象开口向下， 与y轴的交点位于y轴的负半轴． 故B，D不符合条件， 故选：C． 题型2. 反比例函数的增减性 【例1】下列函数中，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，熟知相关函数的性质是解答的关键．根据一次函数、反比例函数以及二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴当或时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； B、∵，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； C、∵，∴当或时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意； D、∵，∴y随x的增大而减小，故该选项符合题意； 故选：D． 【例2】已知反比例函数 的图象如图所示，结合图象可得：当时，y的取值范围是_________ 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质． 根据反比例函数 在第一象限内 随 的增大而减小，结合图象上点 的坐标，确定 时对应的函数值范围． 【详解】解：由反比例函数解析式 可知 ． 图象位于第一、三象限，在每一象限内， 随 的增大而减小． 当 时，． 观察图象可知，当 时，图象位于直线 的右侧． 此时函数值 小于 时的函数值 ，且大于 ． 所以 的取值范围是 ． 【变式1】在反比例函数中，都随的增大而减小，则的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数的性质，先求出的取值范围，再判断各选项即可得到答案． 【详解】∵反比例函数中，随的增大而减小 ∴根据反比例函数性质，可得比例系数 解得 对选项逐一判断： A. ，不符合要求， B. ，不符合要求， C. 时，，原式不是反比例函数，不符合要求， D .，符合要求． 【变式2】已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定x，y的大小关系判断反比例函数比例系数的符号，进而求解m的取值范围． 【详解】解：对于反比例函数，当时，在每个象限内，随的增大而减小． 时，， ， 解得． 【变式3】已知反比例函数． (1)若点在反比例函数的图象上，则的值为______； (2)当取什么值时，在每一象限内，的值随值的增大而减小？ 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了判断反比例函数的增减性，已知反比例函数的增减性求参数，求反比例函数解析式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）将点代入反比例函数中，求出k即可； （2）根据在每一象限内，的值随值的增大而减小，得到关于k的不等式求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为：2； （2）∵反比例函数，在每一象限内，的值随值的增大而减小， ∴， 解得：， ∴当时，在每一象限内，的值随值的增大而减小． 【变式4】已知反比例函数（为常数，）． (1)若该反比例函数图象与正比例函数的图象的一个交点为P，且点P的纵坐标是2，求k的值． (2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌反比例函数的性质是解题的关键． （1）求出点的坐标，进而解题； （2）根据反比例函数的性质解题即可． 【详解】解：（1）把代入得：， 即， 代入得：， 解得：； （2）由题意知，， 解得． 题型3. 反比例函数图像所在象限问题 【例1】点在反比例函数 的图象上，则该函数图象所在象限为（     ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限 【答案】B 【详解】解：将点代入反比例函数，得， ∵， ∴反比例函数的图象在第二、四象限． 【例2】若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是________． 【答案】 （答案不唯一，任意满足的实数均可） 【分析】根据反比例函数的图象性质，当图象位于第一、三象限时，比例系数大于0，由此得到关于的不等式，求出的取值范围，再取范围内任意一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ，解不等式得， 因此的取值可以是任意大于的数，可以取（答案不唯一，任意满足的实数均可）． 【变式1】反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第四象限 D．第三、第四象限 【答案】B 【分析】对于反比例函数，当时，图象位于第一，第三象限，当时，图象位于第二，第四象限，只需判断本题中的符号即可求解. 【详解】解： 反比例函数中，， 该反比例函数的图象位于第一，第三象限， 【变式2】已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 【答案】B 【分析】先根据图象所在象限确定比例系数的符号，求出m的取值范围，再结合反比例函数的增减性判断选项即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，比例系数， ∴，在每个象限内，随增大而增大； 解得. 【变式3】反比例函数图象位于第二、四象限，则k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据的图像位于第二、四象限，比例系数，计算即可求出k的取值范围． 【详解】∵ 位于第二、四象限， ∴ 即． 【变式4】已知反比例函数的图象经过点，则其图象在______象限． 【答案】二、四 【分析】本题考查了反比例函数的性质，，当时，图象在一、三象限，当时，图象在二、四象限，正确掌握该性质是解题的关键．用待定系数法求出k的值，根据反比例函数的性质判断其图象所在的象限即可． 【详解】解：将点代入得，解得：， 因为，所以的图象在二、四象限． 故答案为：二、四． 【变式5】如图，反比例函数的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)求的取值范围； (2)若此反比例函数的图象经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数的图象和性质，可以得出答案； （2）把点代入函数关系式，求出m的值即可． 【详解】（1）解：因为反比例函数的图象的一个分支在第二象限，由反比例函数的性质可知， ， 得； （2）解：把代入得到： ， 解得：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 题型4. 比较反比例函数值或自变量的大小 【例1】反比例函数的图象上三个点的坐标分别是，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个点的横坐标代入反比例函数解析式，求出对应纵坐标的值，再根据有理数大小比较法则判断大小关系即可． 【详解】解：分别将三个点的横坐标代入反比例函数， 当时，，当时，，当时，， ， ． 【例2】若点，，都在反比例函数图象上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在反比例函数图象上，坐标满足函数解析式，将各点纵坐标代入解析式求出，，的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵ 点，，都在反比例函数的图象上， ∴ 将值分别代入解析式得，，， ∵， ∴． 【例3】已知点，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小关系． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数，当时，经过二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大；反之经过一、三象限，随的增大而减小．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴反比例函数经过二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大， ∴在第二象限，在第四象限， ． 【变式1】已知点都在反比例函数的图象上，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，由，得当 时，；当 时，，由 和 ，可推知 且 即可解答． 【详解】解：∵ 点 和 在 的图象上， 且 ， 对于，∵ ，∴ ， 对于，∵ ，∴ ， ∴ ， 故选D． 【变式2】点都在反比例函数的图像上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 根据反比例函数的性质，可知：当时，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， 又∵，即， ∴． 故选C． 【变式3】已知点，，均在反比例函数的图象上，则函数值的由大到小的关系是________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，比较函数值． 通过代入反比例函数解析式计算各点纵坐标，并比较大小． 【详解】解：对于反比例函数， 当时，； 当时，； 当时，． 由于，因此， 故答案为：． 【变式4】若点，都在反比例函数的图象上，则，大小关系是__________． 【答案】 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小关系，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点代入函数解析式确定，，进行比较判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【变式5】已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ， 函数图象位于第二、四象限， 点，，都在反比例函数的图象上，， ， ． 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握待定系数法的运用，反比例函数增减性是解题的关键． （1） 把代入，运用待定系数法计算即可求解； （2）由解析式可得函数图象位于第二、四象限，每个象限，随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）略 题型5. 由图形面积求值 【例1】如图，已知点A在反比例函数图象上，垂足为点B，轴，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：由题意，矩形的面积为， ∵反比例函数过二，四象限， ∴， ∴. 【例2】如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，点P在x轴上，若，则k的值为______． 【答案】4 【详解】解：设点的坐标为，其中， 轴于点 ， 点的坐标为 ， ， 的底边为，高为点到直线的距离， 点到直线的距离为， 高， 由题意， ， . 【例3】如下图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点作轴，垂足为，且的面积为1．求和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了反比例中的几何意义，解题的关键是利用的面积为1，求出，再将点的坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：点的坐标为轴， ， 的面积为1， ， 解：， 点的坐标为． 把代， 得， ． 【变式1】如图，点A在双曲线（）上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是9，则k的值为（   ） A． B．9 C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，熟记反比例函数系数与图形面积之间的关系是解题的关键．延长交轴于点，则四边形和是矩形，由点B在双曲线上，可得矩形的面积是3，进而求出矩形的面积，再根据反比例函数系数的几何意义得到，再结合反比例函数经过的象限即可确定k的值． 【详解】解：如图，延长交轴于点， 则四边形和是矩形， ∵点B在双曲线上， ∴矩形的面积， ∵矩形的面积是9， ∴矩形的面积， ∵点A在双曲线（）上， ∴， 解得：， 由图象得，双曲线经过第二象限， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________． 【答案】3 【分析】根据反比例函数的几何意义得，由求解即可． 【详解】解：由题意可得点在图象上， ∴， ∵， ∴， ∵点为图象上一点， ∴， ∴． 【变式3】如图点A在反比例函数的图象上，轴于B，C是的中点，，则k的值为___． 【答案】 【分析】根据三角形的中线的性质得出，再根据反比例函数中k的几何意义得出，最后结合反比例函数的图象即可求出k的值． 【详解】解：∵C是的中点，， ∴， 又点A在反比例函数的图象上，轴于B， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 【变式4】反比例函数在第一象限的图象，如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，连接，若，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义．根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，再利用得到，然后解关于k的绝对值方程即可． 【详解】解：根据题意得：轴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵反比例函数在第一象限的图象， ∴， ∴． 【变式5】如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．利用反比例函数中值的几何意义，求出三角形的面积就可推导出值，写出解析式． 【详解】解：设点所在的反比例函数解析式为：， 过点作，垂足为， ，， ， ； ，且图象在第四象限， ． 点所在的反比例函数解析式为：． 题型6. 由值求图形面积 【例1】如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点在轴的正半轴上，则（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】连接，根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴． 【例2】如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，若点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为________． 【答案】1 【分析】根据反比例函数的几何意义求解即可； 【详解】解：点P在上，轴于点A，交于点B，且是，是， ，， ． 【例3】如图是反比例函数的图像，P为图像上的一点，且轴，轴，垂足分别为A、B，分别交的图像于点D、C，求的面积． 【答案】 【分析】题目主要考查反比例函数的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． 作于，于，根据题意得出，确定，，结合图形求解即可． 【详解】解：作于，于， 双曲线，，且轴于点A，轴于点B，分别交双曲线于D、C两点， 矩形的面积为：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的几何意义逐一分析判定即可． 【详解】解：A．阴影面积，故选项A不符合题意； B．阴影面积，故选项B符合题意； C．阴影面积，故选项C不符合题意； D．阴影面积，故选项D不符合题意． 【变式2】如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接，，则面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数中系数的几何意义求出和，再利用解答即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴， ，， ． 【变式3】如图，点M，N在反比例函数的图象上，分别过点M，N向x轴、y轴作垂线，则_____（填“>”、“<”或“＝”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：设阴影部分的面积为m，根据反比例函数k值的几何意义可得： ， ∴． 【变式4】如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到，进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，记与轴的交点为， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，点B恰好也落在反比例函数的图象上，轴于点C，交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求解，直角坐标系中坐标的平移，正比例函数解析式的求解，正确求解出点A的坐标是解决本题的关键． （1）先根据坐标平移表示出点B的坐标，再根据点A与点B均在反比例函数上可求解m的值，进而可知点A与点B的坐标，代入函数解析式即可求解． （2）先求出直线的解析式，再求解出点D的坐标，由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将点向右平移3个单位长度， 此时坐标为， 再向下平移4个单位长度得到点B， 由平移可知． ∵点与均在反比例函数的图象上， ∵，解得． 将代入， 得，解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 把代入，得， ∴直线的解析式为． 又∵，， ∴点D的纵坐标为4． 令，解得， ∴， ∴． 又∵点C到的距离为， ∴． 题型7. 待定系数法求反比例函数解析式 【例1】已知y是x的反比例函数，当时，，求这个反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】先设出反比例函数的一般形式，再代入已知的值计算出比例系数k，即可得到所求函数表达式． 【详解】解：设反比例函数的表达式为 将，代入解析式得， 解得 因此这个反比例函数的表达式为． 【例2】若与成反比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数的函数值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求的函数解析式中求出y的值即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）解：在中，当时，． 【变式1】在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为B，直线与反比例函数的图象交于点．求一次函数和反比例函数的表达式． 【答案】一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 【分析】本题考查了求一次函数解析式，求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．代入到，得到，得出一次函数的表达式，进而得到点的坐标，再代入到即可得出反比例函数的表达式． 【详解】解：代入到，得， 解得， ∴一次函数的表达式为， 代入 到，得， ∴， 代入到，得， ∴反比例函数的表达式为． 【变式2】已知，反比例函数图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)请你判断点是否在这个函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在图象上 【分析】本题考查反比例函数解析式的求法及点是否在函数图象上的判断． （1）将点代入反比例函数中，求出的值即可； （2）将点的横坐标代入所求解析式，计算对应的函数值，与点 的纵坐标比较，若相等则在图象上，否则不在． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的解析式为 ； （2）解：当时，， ∵， ∴点不在图象上． 【变式3】已知 与x成反比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)23 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据与x成反比例，设，再代入，进行计算，即可作答． （2）由（1）得，整理得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵与x成反比例， ∴设， ∵当时， ∴， 解得； ∴； （2）解：由（1）得， ∴当时，， 则， ∴， 则， ∴， 【变式4】二次函数的图象经过点和． (1)求二次函数的表达式； (2)若反比例函数的图象与二次函数的图象都经过点A，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查求二次函数解析式和反比例函数解析式，正确求出二次函数解析式是解答本题的关键． （1）根据对称性可求出抛物线的对称轴为，利用对称轴可求出，从而得出二次函数解析式； （2）把点A代入二次函数解析式，求得，把代入，求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴轴， 又二次函数的图象经过点和, ∴二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， 解得，， ∴二次函数的表达式为． （2）解：∵二次函数的图象经过点A， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴． 题型8. 反比例函数与方程（组）结合 【例1】方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根x所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析可得方程的实数根是函数和的图象交点的横坐标，画图草图，结合图像求值即可得出结论． 【详解】解：∵方程， ∴， ∴方程的实数根是函数和的图象交点的横坐标， 这两个函数的图象如图所示，则它们的交点在第一象限， 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方； ∴方程的实根x所在范围为， 故选：B． 【点睛】本题考查了运用图象法求一元二次方程的近似根，难度中等．解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标． 【例2】关于x的方程无解，则反比例函数图象在第_______象限． 【答案】一、三 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质．根据一元二次方程根的判别式，求得，再判断反比例函数图象所在象限即可． 【详解】解：∵关于x的方程无解， ∴， 解得， ∴反比例函数图象在第一、三象限， 故答案为：一、三． 【变式1】函数y＝x＋2与y＝的图象交点横坐标可由方程x＋2＝求得，由此推断：方程m3＋2m＋4＝0中m的大致范围是（    ） A．－2＜m＜－1 B．－1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．1＜m＜2 【答案】A 【分析】由m3＋2m＋4＝0可变形为，因此作函数y=x2+2与函数y=-图象，观察交点横坐标即可得答案． 【详解】解：由m3＋2m＋4＝0可变形为：， 作函数y=x2+1与函数y=-图象如下： 根据图象可得：两函数图象交点M横坐标满足-2<xM<-1，即m2+2=−中m的大致范围是-2<m<-1，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数和反比例函数图象，解决本题的关键是准确画出图象，数形结合解决问题． 【变式2】已知关于x的方程有实数根，反比例函数的图象在每一象限内y随x增大而减小，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，以及反比例函数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 根据题意得到判别式，，进而求解即可． 【详解】∵方程有实数根， ∴ ∴， ∵反比例函数的图像在各自象限内随增大而减小， ∴， ∴， ∴k的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】如图，一次函数（、为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点．则关于的方程的解为___________． 【答案】和 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图像和性质是解题的关键； 根据反比例函数和一次函数的图像和性质求解即可； 【详解】解：观察函数图象可知：点A的横坐标为，点的横坐标为， ∴关于的方程的解为和． 故答案为：和． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正比例函数（常数）的图象与反比例函数（常数）的图象交于A、B两点，且点A的坐标为． (1)求反比例函数表达式，并直接写出点B的坐标． (2)根据函数图象，直接写出满足方程的x的值． 【答案】(1)； (2)2和 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的性质及应用，反比例函数解析式的求解，正比例函数与反比例函数的对称性，分别求出正比例函数和反比例函数是解决本题的关键． （1）反比例函数，把点A的坐标代入反比例函数表达式就可以求出m的值，从而得到反比例函数表达式，因为正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，所以点A与点B关于原点对称，进而得出点B的坐标． （2）由函数图象求解即可． 【详解】（1）解：因为点在反比例函数的图象上， 将，代入中，得到，即， 所以反比例函数表达式为， 由于正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称， 点关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标都变为原来的相反数， 所以点B的坐标为． （2）解：因为正比例函数的图象与反比例函数（常数）的图象交于两点． 所以由图象知，满足方程的x的值为2和． 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，直线和反比例函数的图象相交于，两点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)将直线沿轴向下平移1个单位，得到直线，请你写出一个反比例函数，使方程在实数范围内无解． 【答案】(1)， (2)． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题； （1）结合图象，求出点坐标，待定系数法求出一次函数的解析式，联立两个解析式求出点坐标； （2）根据方程在实数范围内无解，得到两个图象没有交点，进而得到反比例函数过二，四象限，即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ． 把代入， 得， 解得， 直线的表达式为． 由， 解得或， ． （2）将直线沿轴向下平移1个单位，得到直线， 直线过第一、三象限． 方程在实数范围内无解， 直线与反比例函数的图象无交点， 反比例函数的图象在第二、四象限， ， 反比例函数的表达式可以是．（答案不唯一） 题型9. 反比例函数与不等式（组）结合 【例1】若双曲线与直线的一个交点坐标为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数及一次函数交点问题．根据题意利用交点坐标及图像即可得到本题答案． 【详解】解：∵双曲线与直线的一个交点坐标为， ∴反比例函数经过二，四象限，一次函数经过二，四象限，另一个交点为， ∴的解集为：或， 故选：C． 【例2】如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，． (1)求的值和一次函数的表达式； (2)直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先把点坐标代入求出得到反比例函数解析式，再通过反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）利用函数图象，写出反比例函数在一次函数下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴， 把，代入得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由可知，反比例函数在一次函数下方， ∴不等式的解集或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数与一次函数的解析式，数形结合是解题的关键． 【变式1】如图，抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数，反比例函数与不等式的关系．把A点的横坐标1代入抛物线，求出点A的坐标，代入中求的值，再求式的解集，确定不等式的解． 【详解】解：当时，， ∴， 关于x轴的对称的函数关系式为， ，即， ∴由图象及对称性可得与交点横坐标为：， 由图象可知，不等式的解集就是的解集， 得出：． 故选：B． 【变式2】如图是同一平面直角坐标系中函数和的图象．观察图象不等式的解集为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可得函数和的图象的交点横坐标为和1， ∴当或时，， 故答案为：或． 【变式3】如图，直线与双曲线相交于，两点． (1)求，对应的函数表达式； (2)过点作轴交轴于点，求的面积； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）求出点P的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中得， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵轴交y轴于点P，， ∴， ∴； （3）解：由函数图象可得关于x的不等式的解集为：或． 【变式4】如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，，连接，点，的刻度分别为，，直尺的宽度为，，设直线的解析式为． (1)不等式的解集为 ； (2)不等式的解集为 ； (3)平行于轴的直线与交于点，与反比例函数图象交于点，当这条直线左右平移时，线段的长为，求的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）根据题意得出点，然后由图象即可求解； （）由图可知点的横坐标为，然后再根据图象即可求解； （）先求出反比例函数解析式为，直线的解析式为，当时，点的纵坐标为，点的纵坐标为，则，然后解方程即可； 本题考查了反比例函数与一次函数的关系，待定系数法求解析式，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，的刻度分别为，，， ∴点， 根据图象可知，不等式的解集为， 故答案为：； （2）解：由（）得，点，由图可知点的横坐标为， ∴不等式的解集为或； （3）解：由（）得，点， ∵反比例函数的图象交于点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 由图可知点的横坐标为，且在反比例函数解析式为， ∴纵坐标为 ∴点， ∵直线的解析式为过点， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴的值为或． 巩固练习 1．（25-26八年级下·上海徐汇·期末）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．随着的增大而减少 B．图像与坐标轴没有交点 C．图像经过第一、三象限 D．图像是双曲线 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A：反比例函数，，只有在每个象限内，随着的增大而减少，故该选项符合题意； B：∵，， ∴函数图像与坐标轴没有交点，故该选项不合题意； C：∵， ∴反比例函数图像经过第一、三象限，故该选项不合题意； D：反比例函数的图像都是双曲线，故该选项不合题意． 2．（2026·广东珠海·二模）下列四个函数中，在所有范围内y随x增大而减小的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数的增减性性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、函数中，，随增大而增大，不符合题意． B、函数中，，随增大而减小，符合题意． C、函数是反比例函数，在每个象限内随增大而减小，不符合题意． D、函数是二次函数，开口向上，对称轴为直线，时随增大而增大，不符合题意． 3．（25-26八年级下·上海奉贤·期末）已知点和在反比例函数的图象上，那么下列结论正确的是（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的比例系数的意义，判断与的关系即可． 【详解】解：∵点和点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 4．（2026·重庆·中考真题）在反比例函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断时的增减性，再代入的端点值得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 5．（2026·江苏南京·二模）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象所在象限得到比例系数的取值范围，再结合选项判断即可得到答案 【详解】解：∵ 反比例函数的图象位于第二、四象限 ∴ 反比例函数的比例系数满足 解得 ∵，选项中只有，其余选项均满足 ∴ m的值可能为0 6．（2026·辽宁锦州·三模）若正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的两个交点也关于原点中心对称，利用中心对称点的坐标特点即可求解． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两个函数的交点，关于原点中心对称， ∵关于原点中心对称的点的横纵坐标均互为相反数，点的坐标为， ∴点的坐标是． 7．（2026·湖北十堰·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象和的图象之间，且轴，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点A的坐标可排除选项A和B，根据时，，可排除选项D，从而可确定选项C符合题意． 【详解】解：设 点在反比例函数的图象上，轴， ∴，，故选项A，B不符合题意； 当时，， ∴，故选项D不符合题意； ∴点B的横坐标为2，纵坐标大于1且小于，故选项C符合题意． 8．（25-26九年级下·浙江温州·期中）如图，点在反比例函数的图象上，将直线向上平移个单位长度后，与反比例函数交于点．若点纵坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点坐标求出反比例函数的解析式为，进而求出，利用待定系数法求出直线解析式为，根据平移规律得出平移后的直线解析式为，把代入，求出的值即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数图象上，点纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∵将直线向上平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵平移后的直线与反比例函数交于点，， ∴， ∴． 9．（2026·山东济宁·二模）如图，四边形是边长为2的正方形，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，反比例函数的图象经过边的中点，则下列结论：①；②；③点的坐标为；④的面积为，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数和坐标系求点坐标，面积等．利用可以求出和点坐标，进而求出面积． 【详解】①，因为经过点，把点代入函数解得，所以①正确； ②，，无法得出和两角之和是，也无法得出，所以②错误； ③点的坐标为，由①，点的纵坐标为2，横坐标为，所以③正确； ④的面积为，，所以④正确． 10．（25-26八年级下·上海虹口·期末）已知点、在反比例函数的图像上，且，那么_______（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】根据反比例函数解析式判断比例系数符号，得到函数在各象限内的增减性，结合已知判断点所在象限，即可比较与的大小． 【详解】解：∵反比例函数中，比例系数， ∴反比例函数的图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点，都在第三象限， ∴． 11．（2026·西藏林芝·二模）如图，反比例函数在第二象限的图象如图所示，点是图象上的一点，过点作轴，垂足为，若的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出的符号，再根据反比例函数系数的几何意义即可得出结论． 【详解】反比例函数的图象的一支在第二象限， ， 轴，垂足为，的面积为5， ， ． 12．（2026·江苏南京·二模）如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于点和，已知点的坐标是，点的坐标是．根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为__________． 【答案】或 【分析】结合函数图象，可以得到当在的左边或者在和之间时，满足不等式，求解即可． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于点和， 又∵点的坐标是，点的坐标是， ∴根据函数的图象得：关于的不等式的解集为或． 13．（2026·湖南长沙·一模）如图，为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为．若四边形的面积为6，则的值为______． 【答案】 【分析】反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为，从而可求解． 【详解】解：设A点坐标为， ∵轴， ∴ ∴ ∵， ∵反比例函数的图象在第四象限， ∴. 14．（2026·江西宜春·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 ； (2)的面积为． 【分析】（1）先将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，再根据求出的反比例函数解析式求出点坐标，将点和点坐标代入一次函数解析式求出、的值即可得解； （2）由一次函数的图象与轴相交于点求出点坐标，再根据推得点坐标，进而结合点和点坐标即可求出的面积． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； 也在反比例函数的图象上， ， 即， ，在一次函数的图象上， ， 解得， 即一次函数解析式为． （2）解：一次函数的图象与轴相交于点， ， 即， ， 又，， ． 15．（2026·河南三门峡·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，已知点，点．点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)将沿轴正半轴平移个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得点平移后的坐标为，再代入，求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，顶点与原点重合，点， ∴， ∵点， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：当点沿轴正半轴平移个单位长度后，得到的点坐标为， 将代入， 得， 解得． 16．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下面表格信息反映的是反比例函数的几组自变量与对应的函数值． 1 2 3 2 6 (1)直接写出各字母表示的数值： ； ； ； (2)根据表中各数值和（1）中的结果，在平面直角坐标系中通过描点连线，画出反比例函数的图象； (3)已知直线经过与两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，指出当时自变量的取值范围． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先根据表格得出反比例函数的图象经过点，代入求出k的值；再把点，代入函数解析式求出m、n的值； （2）先描点，再连线，画出函数图象即可； （3）连接点与画出函数的图象，观察函数图象，找出一次函数在反比例函数图象上方部分所对的自变量的范围即可得出当时自变量的取值范围． 【详解】（1）解：根据表格可知：反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 把，分别代入得： ，； （2）解：反比例函数的图象，如图所示： （3）解：直线的图象，如图所示： 观察图象，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， ∴当时，自变量的取值范围是或． 17．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． (3)结合图象直接写出中的取值范围． 【答案】(1)， (2)15 (3)或 【分析】本题考查了求反比例函数，一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，一次函数与反比例函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据的面积为4．得出，又因为反比例函数图象在第二、四象限，得出，再分别求出，，最后代入，求解出，即可作答． （2）先求出，再分别把数值代入的面积计算，即可作答． （3）运用数形结合思想，得出符合题意的的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：∵过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． ∴ ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴； ∴； ∵，的面积为4． ∴ 解得， 即， 把代入，得， 解得， ∴； 把和代入， 得 解得 ∴； （2）解：连接，如图所示： 由（1）得，，， 令则， 解得， 则 ∴， 则的面积 ； （3）解：∵， ∴， 依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点， 则当时，或， 即结合图象当时的取值范围为或， 18．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知反比例函数 的图象在第二、四象限，求m的取值范围，并在该范围内取一个整数，求此时反比例函数的解析式． 【答案】，取整数，此时解析式为 （答案不唯一） 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象在第二、四象限，可得 ，再进一步求解即可. 【详解】解：∵反比例函数图象在第二、四象限 解得： 取整数，此时解析式为（答案不唯一）. 19．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知、两点是一次函数和反比例函数的图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)求的面积． (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3)或． 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象及性质： （1）采用待定系数法求解即可； （2）； （3）根据函数图象即可求得答案． 【详解】（1）解：因为反比例函数的图象过点， 所以．解得． 反比例函数的解析式为． 因为反比例函数的图象过点， 所以．解得． 点的坐标为． 因为一次函数的图象过点，， 所以，解得， 一次函数的解析式为． （2）解：当时，， 所以点的坐标为． ． （3）解：将不等式变形，得， 根据函数图象可知或． 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $