浙江省湖州市2025-2026学年高一下学期6月教学质量监测数学试题

2025学年第二学期教学质量监测试卷 高一数学 注意事项： 1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设（i为虚数单位），则 A．2i B．-2i C．2 D．-2 2．若，，，则实数 A．1 B．-1 C．4 D．-4 3．已知样本数据，，，，的方差为，样本数据，，，，的方差为，则 A． B． C． D．与无法确定大小关系 4．设随机事件，满足，，，则 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 5．下列命题正确的是 A．过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行 B．过直线外一点，有且仅有一个平面与这个直线平行 C．过直线外一点，有且仅有一个平面与这个直线垂直 D．过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面所成的角为 6．已知，，则 A． B． C． D． 7．设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为奇函数，则为奇函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，则 A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 8．如图，已知二面角的大小为，，在直线上，在内，且，设，与所成角分别为，，则的值为 A． B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，（i为虚数单位），则 A． B． C． D． 10．若实数，，且，则 A．的最大值为4 B．的最小值为8 C．的最小值为6 D．的最大值为 11．以，，，，，为棱长的四面体的体积可以是 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的最小正周期为 ▲ ． 13．将一个棱长为2 cm的正方体木料沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥后，剩余几何体的表面积为 ▲ ． 14．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．当比赛停止时，一共打满6局的概率为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 为提升同学们的环保意识，某校高一年级举行了一次环保知识竞赛，为了解本次竞赛的情况，随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计分析，绘制了如下的频率分布直方图． （1）若根据这次竞赛成绩，学校将对成绩前的学生进行表彰，估计获得表彰同学的最低分数；（结果保留1位小数） （2）若采用按比例分层抽样的方法，从得分在，的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行座谈交流，求这2人得分均在的概率． 16．（本题满分15分） 在中，，，，点在边上，且平分． （1）求； （2）求的长． 17．（本题满分15分） 已知平行四边形，，，，记，，，且． （1）若，求的值； （2）当取最小值时，求与夹角的余弦值． 18．（本题满分17分） 已知偶函数的图象与直线有且只有一个公共点． （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的最小值； （3）将函数的图象向右平移一个单位得到函数的图象，并令函数．若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 19．（本题满分17分） 如图，五面体中，，，，，是边长为2的等边三角形，． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若，求该五面体的体积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $2025学年第二学期教学质量监测试卷 高一数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 题号 3 4 6 7 P 答案 B B A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 10 11 答案 BCD BD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 16 12.4m13.18+2W514.87 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分) 解：(1)由于0.1+0.15+0.2+0.3=0.75<0.8,0.1+0.15+0.2+0.3+0.15=0.9>0.8， 所以第80百分位数在区间[80,90)中，2分 80+10×0.8-0.75 ≈83.3 第80百分位数 0.9-0.75 所以获得表彰同学的最低分数为83.3分.6分 0.153 (2)[80,90)与[90,100]的频率之比为0.12，所以5人中有3人得分在[80,90)，记为4，a,4, 有2人得分在[90,100]，记为B,b,. 9分 设事件A=“座谈交流的2人得分均在[80,90)”， =faa.adsab.abadab.ab.ababbb A-fad ad.ad} P(A)=n(43 所 n(2)10.13分 16.(本题满分15分) cos∠ACB=AC2+BC2-AB 解：(1)由余弦定理， 2ACBC,2分 +V5)2+22-(√621 21+V3)×2 ∠ACB=元 一2，所以 3.6分 (2)解法1：由于SAARC=SACD+SABCD,8分 C-BC-sin∠ACB=】AC-CD.sin∠ACD+5BC.CD-sin∠BCD 即2 2 -2 =(+V3).CD.+2.CD. 所以 2 所以CD=2.15分 BC AB 解法2：在△ABC中，由正弦定理，sinA sin∠ACB, 26 sin A 3 2,所以 inA=V② 即 2,8分 Asπ 又BC<AB,所以∠A<∠ACB,所以4， 0sA=4B+4C-BC2 (或 2AB·AC 2) CD_1+5 7π CD AC ∠ADC= √2√6+2 在△ACD中， 12,由正弦定理，sinA sin∠ADC,即2 4, 所以CD=2.15分 17.(本题满分15分) 解：解法1：(1)DE=DC+CE,BE=3ECCE=-4b E=a-b 所以 4,3分 因为abab1cos(a,b)=-8 0sa,=-2 a,=3 所以 ,得 所以 -n死=+a-4=a+a6-46=-2 8分 (2)1c=(a+x6)}=(@+2ā-6+x⑥=16x2-l6x+8,10分 三 当2时，取最小值为2. 6-a+j5-0 所以c⊥b,即c与b的夹角是90°，夹角的余弦值为0.15分 解法2：(1)因为d-6a-bcos(a,)=-8, a,0=3元 所 cos(d,B)=2 2,故 4 以A为原点建立如图直角坐标系， D(4,0).B(-2,2),C(2,2),3分 因为BE=3EC,所以C1,2),ā=（-2,2)，b=(4,0). 当x=1时，c=(2,2)，DE=(-3,2) 所以c.DE=-2.8分 (2)c=(-2+4x,2) 所以c=16x2-16x+8,10分 1 当2时，取最小值为2. 此时c=(0,2),c6=0, 所以c⊥b,即c与b的夹角是90°，夹角的余弦值为0.15分 18.(本题满分17分) 解：(1)由f(x)为偶函数，知b=0,2分 由f()与y=2x-1只有一个交点， 知方程x2+bx+c=2x-1即方程x-2x+(c+)=0有且只有一个解， 所以△=（-2)2-4(c+1)=0,解得c=0, 所以f)=x.5分 (2由gf(s=gf(s,即lg=g， 即2gx=2g. 又0<x<2,所以gx+g3=0,即x3=1,8分 由于4+为22√4x6=4,当且仅当4=，=2时取到等号， 所以4x+x的最小值为4.10分 （3)由题意，80)=f-)=(-1,()=8四=x-2+ X 3!=a-3(a>D), -兰=0 12k-3k=0 t-2+, 则方程 化为tt 即-(3k+2)t+(2k+)=0(t≠0)，13分 考虑到函数1=口-3在-o,1og。3)上单调递减。 在(og。3,+∞)上单调递增， 其草图为 所以要使方程 ha-30+a-习 2k-3k=0 有三个不同的实数解， 只需方程-(3k+2r+(2k+)=0在区间(0,3)和[B,+∞)内各有一个解，15分 设p0)=t-(3k+2)+(2k+),则)在区间(0,3)和[3，+0)内各有一个零点， p(0)=2k+1>0 4 则(3)=9-33k+2)+(2k+)<0,得7， 4 k= 或(3)=0（另一个零点在(0,3）内)，得7， 4 综上， 7. 17分 19.（本题满分17分) 解析(1)如图1，取BC的中点M,连接EB,EC,MA,ME, 由题意易得△EAB兰△EAC,可得EB=EC,M是BC的中点， 所以ME⊥BC,同理可得MA⊥BC, 所以BC⊥平面MAE,所以AE⊥BC.5分 图1 图2 图3 (2)如图2，取BF的中点H,连接AH,EH, 易得EFIAH,EHIAB,EF=AH=2√3、 H到平面ABC的距离即为E到平面ABC的距离为h,7分 由(1)知即h为△AEM的高，其中AE=2,AM=EM=V5, h=2S-22_26 所以AMV33； 2v6 sin0=h 3 ② 设直线EF与平面ABC所成角为B,则 =4AH233. 11分 (3)解法1：如图3，将该五面体补形成三棱柱ABC-CB4,13分 设E到平面ABC的距离为h,由(I)知h为△AEM的高， 如图4在四面体E-ABC中，作ET⊥AM于T,过T作TK⊥AB于K,连接EK, 由(1)知BC⊥平面MAE,故BC⊥ET, 所以ET⊥平面ABC,即h=ET,同理可得AB⊥平面KTE, AK 心品。 coSa= 2 cosa=cos∠EAM cos→cos∠EAM=cos a 进一步得 6 ∴.h=2sin∠EAM=2,1 cosa∈2N6,2 3 .ae xx5we2hx2J5h e14/2,45 17分 E M B 图4 解法2：如图3，将该五面体补形成三棱柱ABC-CB4, 过B作BI⊥AE与I,由对称性，易得C⊥AE, IC=IB=2sina,BC=2→SAac=V4sin2a-1∈[v2,V5] wC4w4 17分