2025-2026学年高一下数学期末模拟卷1

**基本信息** 立足高一数学核心内容，融合疫情防控、共享单车等生活情境与立体几何动态探究，梯度设计适配期末综合测评，凸显空间观念与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、立体几何概念|第4题正方体线面平行判断，考查空间想象| |多选题|3/18|统计、动态几何|第10题正方体动点问题，体现逻辑推理| |填空题|3/15|斜二测直观图、方差|第12题原多边形面积计算，强化几何直观| |解答题|5/77|统计直方图、三棱锥动点|第18题线面角最值探究，综合空间观念与运算能力|

2025-2026学年高一下数学期末模拟卷1 班级_________姓名___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知复数，则（    ） A．13 B． C．5 D． 2.下列结论正确的是（    ） A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．用一平面截圆锥，底面与截面之间部分叫圆台 3.已知是空间中两个平面，是空间中两条直线，则下列命题中错误的是（    ） A. 若，，且，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4.如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中不满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 5.在中，，则该三角形外接圆半径与内切圆半径 的比值是（    ） A． B. C. D. 6.在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7.在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.已知中，，，且的最小值为， 若P为边AB上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.为了加强疫情防控，某中学要求学生在校时每天都要进行体温检测．某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 乙同学体温的极差为 B. 甲同学体温的中位数与平均数相等 C. 乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小 D. 甲同学体温的第60百分位数为 10.如图，已知棱长为的正方体中，点在线段上运动，现给 出下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的大小不变 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为定值 D. 存在一点，使得直线与平面所成角为 11.已知点O在所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若O为的外心，， 则 B．若O为的垂心，，则 C．若，则与的面积之比为 D．若，的面积为8，则的面积为14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）， ，，，则原多边形面积为 13.已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为 14.在中，内角所对的三边分别为，且，若的面积为，则的最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率. 16．如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且， 点为棱的中点． （1）若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； （2）若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长． 17．已知，函数. （1）求函数零点； （2）若锐角的内角的对边分别是，且,求的取值范围. 18. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射 影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角 最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 19.已知的内角对应边分别为，满足． （1）求； （2）若，为线段上一点，且，求线段的长； （3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以 他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；若， 求的最小值． 《2025-2026学年高一数学下期末模拟卷1》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D D C A A B 题号 9 10 11 答案 BCD ABC BD 1．【详解】，. 故选：D. 2．【详解】底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错误；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C错误；六条棱长均相等的四面体是正四面体，B正确；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错误．故选：B. 3．【详解】对于A选项，，，则，由线面垂直的性质知，垂直于内的任意直线，又，则平行于内的某直线，所以. 对于B选项，，则平行于内的某直线，又，所以内的某直线也垂直于，则. 对于C选项，，，，由线面平行的性质可得. 对于D选项，，，则或，又，则与相交或平行. 故选：D. 4．【详解】对于A,如下图所示， 易得,则，又平面, 平面,则平面，故A满足； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接,易得, 则四边形为平行四边形，四点共面， 又易知，又平面,平面, 则平面，故B满足； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面， 且, 又平面,平面, 则平面，故C满足； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出与平面不平行，故D不满足， 故选：D. 5．【详解】由正弦定理可得，根据三角形正弦定理求出外接圆半径和三角形面积公式求出内切圆半径即可求解. 【详解】在中，，由正弦定理可得， 设， 由余弦定理得，所以， 则， 所以，则， 所以,故选：C 6.【详解】如图，在中，由余弦定理，， ，， 设的外接圆半径为，由正弦定理，，则， 设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为， 由题可得平面，而平面， 过点作，交于点，连接， 则，易得矩形，则， 在直角三角形中，，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 7．A 【详解】在锐角，由余弦定理可知， 由面积公式可得，代入到已知条件可得 ， 因为，化简可得， 根据恒等变换可得，因为锐角， 所以，所以可得， 所以， 则， 因为锐角，所以， 则，在单调递增， 则，令，所以， 所以，由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增， 当时，是极小值，当或时，最大值， 则. 故选：A 8．【详解】设，故，若， 由，则，，共线，故， 由图得，当时有最小值，又， ∴，即，即为等边三角形． 由余弦定理，， 设M为BC中点，， ∴当取最小值时，有最小值， ∵为边上任意一点， ∴当时，有最小值， 设，过点作于点，则， 又，为的中位线， ∴，即， ∴． 故选：B. 9．【详解】【详解】由乙同学的体温折线图可知体温的极差为：， 故A错误； 甲同学的体温由低到高分别为： ，所以中位数为：， 平均数为：， 故选项B正确， 根据图中数据，甲同学的体温平均数为，与乙同学的体温平均数为， 但甲同学的体温极差为，大于乙同学的体温极差， 故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C选项正确； 对于D选项，由，在B选项中甲同学的体温从小到大排列知， 甲同学体温的第60百分位数为， 故D选项正确。故选：BCD. 10.【详解】连接，则由正方体中， ，平面， 可得平面, 又平面，则， 则直线与直线所成角的大小不变.故选项A判断正确； 连接， 由正方体中，平面. 又平面，则平面平面. 故选项B判断正确； 由平面，平面， 可得平面， 则点到平面的距离相等，设该距离为d， 由，可得， 解之得，则点到平面的距离为定值. 故选项C判断正确； 正方体中， 直线与平面所成角为， 由中，，， 则，由为锐角，， 则. 故不存在一点，使得直线与平面所成角为.选项D判断错误. 故选：ABC 11．BD 【详解】对于A，由，，则， ，故A错误； 对于B，由，又， 所以，故B正确； 对于C，因为，由奔驰定理可得，故C错误； 对于D，由，则, 即，由奔驰定理可得， 又，则，故D正确. 故选：BD. 12． 【详解】因为直角梯形，， 所以直观图的面积是 因为原来的平面图形面积是直观图面积的倍， 所以平面图形的面积是 故答案为： 13.【详解】解：根据题意，设样本数据、、、、的平均数为， 其方差 ， 又，则有，解可得， 则样本数据、、、、的平均数为； 故答案为：． 14. 【详解】因为△ABC的面积为1，所以， 可得，由，可得 ， 设，其中， 因为表示点与点连线的斜率， 如图所示，当过点P的直线与半圆相切时，此时斜率最小， 在直角△OAP中，，可得， 所以斜率的最小值为， 所以m的最大值为，所以，所以， 即BC的最小值为，故答案为： 15.【详解】（1）由，解得. （2）这组数据的平均数为. 中位数设为，则，解得. （3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为， 记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件， 从5人中抽取2人有：，，，，， ，，，， 所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个， 所以 . 16.【详解】 （1）当为线段中点时，平面， 证明：取线段中点，连接 因为分别为线段的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面；因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面；又面， 则面面，又面， 所以面，所以当为线段中点时，平面； （2）取线段的中点，连接，因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段，所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面， 则，，， 在中，，， 所以， 则， 所以截面周长为. 17．【详解】（Ⅰ）由条件可知， 所以函数零点满足, 由，解得． （Ⅱ）由正弦定理得， 由（Ⅰ）， 而，得， 又，得，代入上式化简得： 又在锐角中，有, ， 则有，即：. 18.【小问1详解】 点在底面上的射影是与的交点， 平面，平面，， 四边形为菱形，， ，平面，平面， 平面，； 【小问2详解】 由题意可得､与都是边长为2的等边三角形， ，，， ，， 设点到平面的距离为，由得， 即，解得. 故点到平面的距离为. 【小问3详解】 设直线与平面所成的角为，， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小， 此时.由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得：， ，由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 19.【1解】由， 得， 即， 在中，由正弦定理得， 由余弦定理得，而，所以． 【2解】由，得， 则， 所以； 【3解】依题意， ． 当且仅当为正三角形时取等号，所以所求的最小值为48． 学科网（北京）股份有限公司 $