浙江省湖州市2024-2025学年高一下学期期末调研测试数学试题

高一数学试题卷 第 1页 共 4页 湖州市 2024学年第二学期期末调研测试卷 高一数学 注意事项： 1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4页，全卷满分 150 分，考试时间 120分钟． 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.若集合  32,16,8,4,2,1A ，  AxxB  2| ，则 A B  A. 16,4,1 B. 4,2,1 C. 32,8,2 D. 32,16,8 2.已知  2 1 2 i z   ，其中 i为虚数单位，则 z A. 25 5 B. 25 1 C. 5 5 D. 5 1 3．直线 l 平面，直线m  ，则 l与m的位置关系一定不．成立的是 A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 4.已知 a  ，b  是两个单位向量，则“ 0a b    ”是“ a b a b       ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知样本数据 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x 的平均数为 x ，方差为 2s ，若样本数据 1 6ax  ， 2 6ax  ，…， 6nax  的平均数为 4x ，方差为 24s ，则 x  A．3 B． 3 C．1或 3 D． 1 或3 6.若 sin cos 2cosx x   ， 2sin cos sinx x  ，则 A． cos 2 2cos 2 0   B． 2cos 2 cos 2 0   C． cos 2 2cos 2 0   D． 2cos 2 cos 2 0   高一数学试题卷 第 2页 共 4页 7.在正三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，D为棱 AC的中点， 1 2AB AA  ，则异面直线 BD和 1AC所成角的余弦值为 A. 15 5 B. 10 5 C. 5 5 D.0 8.在 ABC 中，已知 bca 3 ， π 3  A C ，则 Bcos A. 2 1 B. 3 2 C. 6 5 D. 3 8 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9.已知   5.0AP ， 4.0)( BP ， ( ) 0.2P A B  ，则 A.   5.0AP B. 9.0)( BAP  C.   0.3P A B  D.   0.8P A B  10.已知 2 5loga  ， 3 1 5 logb  ，则 A． 0ab  B． 4 9 1a b  C． 1 1 1 a b   D． 6 2l g 12o b a b a    11. 在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 E、 F 、G分别是棱 1AA 、 1CC 、 AD的中点， 点M 是线段 AC上一个动点(不含端点)，则 A. 1BM 与EG异面 B. 1BM // 平面 EFG C. 1BM EG D. 1DM 与平面EFG所成角正弦值的最大值为 2 2 3 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12.已知某圆锥的底面半径为 4，体积为16π，则该圆锥的侧面积为 . 高一数学试题卷 第 3页 共 4页 13.函数 πsin 2 3       y x 的图象向右平移  (0 π)  个单位后可以得到函数 sin 2y x 的图象，则  . 14.在平面四边形 ABCD中，E，F分别为 AD，BC的中点，若 4AB  ， 2CD  ，且 9AE BF     ，则 EF   . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分 13分） 随着暑假的临近，某市 A景区将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质， 该市文旅局随机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80 分及以上为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中 x的值，并估计评分数据的第 75百分位数； (2)若采用分层随机抽样的方法从评分在    06 80,70 0 9，， 的两 组中共抽取 4 人，再从这 4 人中随机抽取 2 人进行单独交流， 求选取 2人的评分等级都为良好的概率. 16.（本题满分 15分） 如图，在三棱台 1 1 1ABC ABC 中， 1AA ABC平面 ， 1 1 12 2AB BC BB A B    ， AB BC . (1)求三棱台 1 1 1ABC ABC 的体积； (2)证明： 1 1 1 1ABB A BCC B平面 平面 ； (3)求直线 1AC与平面 1 1ABB A 所成角的正弦值. 高一数学试题卷 第 4页 共 4页 17.（本题满分 15分） 记 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，已知  1 2cosc b A  ． (1)证明： 2A B ； (2)若 6a ， 5b ， (ⅰ)求 cos A的值； (ⅱ)若点 ,M N 分别在边 BC和 AC上，且 CMN 与 ABC 的面积之比为 1 6 ，求线段MN 长 的最小值． 18.（本题满分 17分） 设函数 ( ) ln 6 xf x ax b x     ( 0a  ， Rb ). (1)判断函数 ( )f x 的单调性（无需证明）； (2)证明：曲线 ( )y f x 是中心对称图形； (3)若3a b ，解关于实数 t的不等式    2 2 3 3 0f t t f t     . 19.（本题满分 17分） 四边形 ABCD中， 4AB AD  ，连接 BD， : : 3 : 4 : 5BC BD CD  ，将 ABD 沿 BD翻折至 PBD ，其中 P为动点. (1)若 4 2BD ，且 PBD BCD平面 平面 ， (ⅰ) 求三棱锥 P BCD 外接球的半径； (ⅱ) 求二面角 B PD C  的正切值； (2)在翻折过程中，若四边形 PBCD为平面四边形，求线段 PC长的最大值. 高一数学参考答案 第 1页 共 6页 湖州市 2024学年第二学期期末调研测试卷 高一数学 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A C C B D C 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12. 20π 13. π 6 14. 6 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分 13分） 随着暑假的临近，某市 A景区将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质， 该市文旅局随机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80 分及以上为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中 x的值，并估计评分数据的第 75百分位数； (2)若采用分层随机抽样的方法从评分在    06 80,70 0 9，， 的两组 中共抽取 4 人，再从这 4 人中随机抽取 2 人进行单独交流，求选 取 2人的评分等级都为良好的概率. 解：(1)由频率分布直方图可知， 0.005 10 0.010 10 0.015 10 10 0.040 10 1x         ， 解得 0.03x  . …………………………………………………………3 分 因为  90100， 的频率为10 0.040 0.4 0.25   ，且 90100， 为最后一组， 所以评分数据的第 75百分位数位于区间 90100， 中， 题号 9 10 11 答案 AC BCD ABD 高一数学参考答案 第 2页 共 6页 所以上四分位数为： 0.4 0.2590 10 93.75 0.4     . ………………………………6 分 (2)评分在 60 70， 与 80 90， 两组的频率分别为0.1，0.3， 采用分层随机抽样的方法，在 60 70， 内抽取人数为 0.14 1 0.1 0.3    ，在  80 90， 内抽取 人数为 0.34 3 0.1 0.3    ， ………………………………………………………8 分 故 4人中评分等级不良好的有 1人（记为 1a ），评分等级良好的有 3人（记为 1b ， 2b ， 3b ）， 试验的样本空间             1 1 1 2 1 3 1 2 1 3 2 3, , , , , , , , , , ,a b a b a b b b b b b b  ， 设事件 A “选取 2人的评分等级都为良好”， 则       1 2 1 3 2 3, , , , ,A b b b b b b ， ………………………………………………11 分 所以 3 1( ) 6 2 P A   . …………………………………………………………13 分 16.（本题满分 15分） 如图，在三棱台 1 1 1ABC ABC 中， 1AA ABC平面 ， 1 1 12 2AB BC BB A B    ， AB BC . (1)求三棱台 1 1 1ABC ABC 的体积； (2)证明： 1 1 1 1ABB A BCC B平面 平面 ； (3)求 1AC与平面 1 1ABB A 所成角的正弦值. 解析： (1)在直角梯形 1 1ABB A 中， 1 1 12 2AB BB A B   ，所以 1 3AA  ， 又 1 2 2ABC S AB BC    ， 1 1 1 1 1 4 2A B C ABC S S   ， …………………………3 分 所以  1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 7 33 6ABC A B C ABC A B C ABC A B CV S S S S AA          . ……5 分 (2) 1AA ABC平面 ， BC ABC平面 ， 1AA BC ， ………………7 分 高一数学参考答案 第 3页 共 6页 又 AB BC ， 1AA AB A ， 1 1 1,AA AB ABB A平面 ，  1 1BC ABB A平面 ， ………………………………………………9 分 又 1 1BC BCC B平面 ，  1 1 1 1ABB A BCC B平面 平面 . ………………………………………………10 分 (3)连接 1AB， 由(2)知， 1 1BC ABB A平面 ， 所以 1AC与平面 1 1ABB A 所成角即为 1BAC . ……………………………13 分 在直角三角形 1A BC中， 2BC  ， 1 7AB  ， 1 11AC  ， 所以 1 2 2 11sin 1111 BAC   ， 即 1AC与平面 1 1ABB A 所成角的正弦值为 2 11 11 . ………………………15 分 17.（本题满分 15分） 记 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，已知  1 2cosc b A  ． (1)证明： 2A B ； (2)若 6a ， 5b ， (ⅰ)求 cos A的值； (ⅱ)若点 ,M N 分别在边 BC和 AC上，且 CMN 与 ABC 的面积之比为 1 6 ，求线段MN 长 的最小值． (1)因为  1 2cosc b A  ，则  sinC sin 1 2cos B A ， ………………………2 分 则  sin sin 2sin cos  A B B B A，即  sin sin A B B， 高一数学参考答案 第 4页 共 6页 则  A B B（ πA B B   不成立），即 2A B ． ……………………………5分 (2) (ⅰ)因为 2A B ，则 sin sin 2A B，即 sin 2sin cosA B B ， 所以 sincos 2s 2 3 in 5    A aB B b ，则 2 4sin 1 cos 5 B B   ，……………………………7 分 所以 2 7cos cos2 2cos 1 25     A B B . ……………………………9分 (ⅱ)由 24sin sin 2 2sin cos 25 A B B B   ， 7 24cos cos( ) cos cos sin 3 4 11sin 25 5 25 5 125 7           C A B A B A B . 设 ,CCM m N n  ，由（2）知 11cos 25 7 1 C ， ……………………………11 分 又 1 6CMN ABC S S  ，即 6 1 1 1sin sin 2 2 mn C ab C  ，得 5mn  ，……………………13 分 所以 2 2 2 117 16 162 cos 2 2 125 125 25 MN m n mn C mn mn mn        ， 当且仅当 5m n  时等号成立，线段MN 长的最小值为 4 5 ．……………………15 分 18.（本题满分 17分） 设函数 ( ) ln 6 xf x ax b x     ( 0a  ， Rb ). (1)判断函数 ( )f x 的单调性（无需证明）； (2)证明：曲线 ( )y f x 是中心对称图形； (3)若3a b ，解关于实数 t的不等式    2 2 3 3 0f t t f t     . (1) ( )f x 的定义域为  0,6 ， ………………………………………………2 分  ( ) ln ln 6f x x x ax b     ， 当 0a  时， lny x 、  ln 6y x   、 y ax b  都是增函数， 所以函数 ( )f x 在  0,6 上单调递增. ………………………………………………5分 (2) ( )f x 的定义域为  0,6 ， 高一数学参考答案 第 5页 共 6页 由于  6( ) (6 ) ln ln 6 6 2 6 x xf x f x ax b a x b a b x x              ， (或  3 3(3 ) (3 ) ln (3 ) ln 3 6 2 3 3 x xf x f x a x b a x b a b x x                  ) ……………………………………………………8 分 所以 ( )f x 关于点  3,3a b 中心对称. …………………………………………10 分 (3)当3a b 时，由(2)知， ( )f x 关于点  3,0 中心对称， 关于 t的不等式    2 2 3 3 0f t t f t     等价于 2 2 3 3 6t t t     ，……13 分 又 20 2 3 6t t    ，0 3 6t   ， ………………………………………15 分 由 2 2 0 0 2 3 6 0 3 6 t t t t t             ，解得 0 1 1 3 3 3 t t t t         或 ， 所以不等式解为 1 0 1 3t t    或 . ………………………………………17 分 19.（本题满分 17分） 四边形 ABCD中， 4AB AD  ，连接 BD， : : 3 : 4 : 5BC BD CD  ，将 ABD 沿 BD翻折至 PBD ，其中点P为动点. (1)若 4 2BD ，且 PBD BCD平面 平面 ， (ⅰ) 求三棱锥 P BCD 外接球的半径； (ⅱ) 求二面角 B PD C  的正切值； (2)在翻折过程中，若四边形 PBCD为平面四边形，求线段 PC长的最大值. 解：（1）(ⅰ)由 : : 3 : 4 : 5BC BD CD  ，知 .BC BD 因为面 PBD 面 BCD， BD 面 PBD面BCD， 所以 BC 面PBD，故 BC PD . 又由 4AB AD  ， 4 2BD  ，知 BP PD ， 而 BC BP B ，所以 PD 面 PBC ，……………3分 故 PD PC . 高一数学参考答案 第 6页 共 6页 取CD中点O，连结 , .PO BO 所以 ,PO BO分别为 Rt PCD 和 Rt BCD 斜边上中线， 于是三棱锥 P BCD 外接球的半径 5 2 . 2 R OP OB OC OD     ……6 分 (ⅱ)由(ⅰ)知， PD 面 PBC ， 所以 PD BP ，PD CP ， 所以二面角 B PD C  的平面角为 BPC ，………………………………………8分 在 Rt BPC 中， 4BP  ， 3 2BC  ， 所以 3 2tan 4 BCBPC BP    . ………………………………………10 分 （2）若四边形 PBCD为平面四边形，要使得线段 PC取最大值， 显然 P C， 两点在BD异侧. 设 BPD   ，则 , 2 PBD    2 PBC    . ………………………12 分 在 PBD 中， sin sin BD PD BPD PBD    ， 则 2 cos 4 sin   BD ，所以 8sin , 2 BD  6sin 2 BC  . 在 PBC 中， 6sin 2 BC  ， 4PB ， 2 PBC    2 2 2 2 cosPC BC PB PB BC PBC             2 cos 2 sin4816 2 sin36 2  ………………………14 分 1 cos36 16 24sin 2     34 30sin( ),    （其中 3tan 4   ） 因为 0 ,   所以当 2    时， 2PC 取最大值 64，线段PC长的最大值 8. ………………………………………17 分