第13讲 整式的加减（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学上册新教材苏科版

第13讲 整式的加减（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+10个知识归纳+12个题型+课后作业】 模块二 整式 同学们，今天老师想带大家玩一个有趣的“数字魔术”！请大家拿出一张纸和一支笔，跟着老师的步骤一起来做： 第一步，请大家在心里任意写下一个两位数（比如25、68等等）.第二步，把这个两位数的十位数字和个位数字交换一下，得到一个新的两位数.第三步，把你最开始写的两位数，和交换后得到的新两位数加起来，算出它们的和. 好，现在老师要开始“读心”了！不管大家最开始写的是什么两位数，只要你们算对了，你们算出来的那个“和”，一定都能被11整除！不信的话，大家可以互相检查一下，或者用计算器验证一下. 是不是觉得很神奇？为什么不管原来的数字是几，最后的和都有这样的规律呢？其实，这个魔术背后的秘密，就藏在我们今天要学习的“整式的加减”里.如果我们用字母a和b来代替十位和个位上的数字，就能轻松揭开这个谜底！ 【知识点1 单项式】 由数与字母的积组成的代数式叫作单项式，如5a，4rt等．单独一个数或一个字母也是单项式． 【知识点2 单项式的系数和次数】 1. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫作单项式的系数．如3mn，的系数分别为3和． 2. 单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数．如，6xyz的次数分别为4和3．如果一个单项式不含字母，就称它的次数是0． 【知识点3 多项式的概念】 1. 概念：可以看作几个单项式的和的代数式叫作多项式． 2. 多项式的项：多项式中，每个单项式叫作多项式的项． 3. 多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数． 4. 多项式的常数项：多项式中，不含字母的项叫作常数项． 【知识点4 整式】 单项式和多项式统称整式． 【题型1 单项式】 【例1】在代数式，，，，a，0，，中，单项式的个数是（） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据单项式的定义，逐个判断给定代数式，统计符合定义的单项式个数即可得到答案，用到的定义为，数或字母的积组成的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式． 【详解】解：∵是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式； ∵是单独的常数，是单项式； ∵是单项式； ∵是数与字母的积，是单项式； ∵是单独的字母，是单项式； ∵是单独的数，是单项式； ∵，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式； ∵，是单独的数，是单项式； ∴符合定义的单项式共6个． 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．的次数是3 B．的次数是3 C．-1不是单项式 D．的系数是-1 【答案】A 【分析】利用单项式和多项式的相关定义进行解答即可． 【详解】解：、单项式的系数是，次数是3，故原题说法正确； B、单项式的系数是，次数是，故原题说法错误； C、-1是常数、是单项式，故原题说法错误； D、单项式的系数是，次数是，故原题说法错误； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了多项式和单项式，关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【变式1-2】若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，则这样的单项式共有（  ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了单项式．根据单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指单项式中所有字母指数的和，按要求写出即可． 【详解】解：同时满足条件①②③的单项式有，，，，，，共有6个． 故选：B． 【变式1-3】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）下面是按规律排列的式子：，，，……，则第8个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的规律运算，根据材料提示，找出规律是关键，本题需分别分析单项式的符号、系数绝对值、字母指数的规律，再根据规律求出第8个单项式． 【详解】解：在，，，……中，用表示第几项， 奇数项的符号为负，即，系数为，字母的指数， ∴第n项表示为：， ∴第8个单项式是：， 故选：D． 【题型2 多项式】 【例2】（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 【变式2-1】对于多项式，下列说法正确的是(   ) A．它的常数项是 B．它的一次项系数是 C．它是三次三项式 D．它的二次项系数是 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握多项式项数、次数、常数项，各项的次数和系数是解题的关键． 分别判断多项式的项数、次数、常数项，各项的次数和系数后，即可得到答案． 【详解】解：该多项式的常数项是，故选项错误，不符合题意； 该多项式的一次项系数是，故选项正确，符合题意； 该多项式的最高次项是二次，是二次三项式，故选项错误，不符合题意； 该多项式的二次项系数是 ，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2-2】（24-25七年级上·江苏南通·期中）如果多项式是关于的二次三项式，则_____． 【答案】 【分析】此题考查了多项式．根据多项式是关于的三次三项式得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴且， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】当______时，多项式中不含项． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的定义，根据题意，先合并同类项，然后令的系数为，即可求解． 【详解】解： ， 依题意，， 解得：， 故答案为：． 【题型3 整式】 【例3】（25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母， 对各代数式判断如下： 是多项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 分母含字母，不是整式； 中分母含字母，不是整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 是单项式，属于整式； 综上，整式共有5个． 故选：C． 【变式3-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于x的整式． (1)若该整式是二次式，则k的值为________． (2)若该整式是二项式，则k的值为________． 【答案】(1) (2)或 【分析】此题考查了单项式和多项式，解题的关键是熟悉几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （1）由整式为二次多项式，可得到且，求出k的值即可； （2）由整式为二项式，得到①且；②；依此即可求解． 【详解】（1）解：∵关于x的整式是二次多项式， ∴且， 解得：， （2）解：若该整式是二项式，分三种情况讨论： ①当时，或； 若，原式为（单项式），不符题意； 若，原式为（二项式），符合题意； ②当时，，已在①中讨论，不符合题意； ③当时，，原式为（二项式），符合题意； 综上所述，的值为或． 【变式3-2】请你写出一个只含x的整式，满足当x=﹣2时，它的值等于3．你写的整式是________ ． 【答案】，答案不唯一 【分析】直接利用已知结合整式的定义：多项式和单项式的统称，进行求解即可． 【详解】解：由题意可得：（答案不唯一），当x＝-2时，． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了整式，正确理解整式的定义是解题关键． 【变式3-3】有一列式子：①，②，③r，④，⑤，⑥，⑦，⑧1 (1)请把上述各式的序号分别填入如图所示的相应圆圈内： (2)填空：单项式中__________的次数最高，次数是__________． 【答案】(1)代数式：①③④⑤⑥⑦⑧；单项式：③④⑦⑧；多项式：①⑥ (2)⑦，5 【分析】（1）根据代数式、单项式和多项式的定义进行求解即可； （2）根据单项式次数的定义进行求解即可． 【详解】（1）填入的序号如图所示： （2）单项式的有：③④⑦⑧， ③的次数为， ④的次数为， ⑦的次数为， ⑧的次数为， ∴单项式中⑦的次数最高，次数是． 故答案为：⑦，． 【点睛】本题考查了代数式、单项式和多项式，熟知其相关概念定义是解题的关键． 模块三 合并同类项 【知识点5 同类项】 一般地，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项． 判断同类项主要看三点：①都是单项式；②所含字母相同；③相同字母的指数相同． 【知识点6 合并同类项】 1. 概念：根据运算律把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项． 2. 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．其实质是逆用乘法的分配律． 3. 步骤：（1）发现同类项；（2）确定各同类项系数；（3）合并同类项． 【知识点7 代数式的化简求值】 求代数式的值时，如果代数式中含有同类项，通常先合并同类项再进行计算． 【题型4 同类项】 【例4】下列各选项提供的代数式可以互为同类项的情况有（    ） （1）和    （2）和    （3）6和    （4）和 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据同类项定义逐个判断每组代数式是否为同类项，统计符合要求的数量即可，同类项定义为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，所有常数项都是同类项，同类项与系数大小，字母排列顺序无关. 【详解】解：(1) 对于和， ∵所含字母都是，的指数都是，的指数都是，字母顺序不影响同类项判定， ∴这一组是同类项，符合要求； (2) 对于和 ∵的指数分别为和，的指数分别为和，相同字母指数不同， ∴这一组不是同类项，不符合要求； (3) 对于和 ∵两个都是常数项，所有常数项都是同类项， ∴这一组是同类项，符合要求； (4) 对于和， ∵所含字母都是，的指数都是，符合同类项定义 ∴这一组是同类项，符合要求. 综上，符合要求的情况共有个． 【变式4-1】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）下列各式中，与是同类项的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类项的定义，掌握好相关知识是关键． 根据同类项“所含字母相同，且相同字母的指数也相同”的特征判断选项即可． 【详解】解：对于A选项：中的指数为2，的指数为1，与相同字母的指数不同，不是同类项，故A错误； 对于B选项：中的指数为1，的指数为2，与符合同类项定义，是同类项，故B正确； 对于C选项：中的指数为2，与中的指数不同，不是同类项，故C错误； 对于D选项：中的指数为1，与中的指数不同，不是同类项，故D错误． 故选：B． 【变式4-2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）写出一个与单项式是同类项的代数式：________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键． 同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，根据定义即可求解． 【详解】解：与是同类项， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式4-3】若与是同类项，则________． 【答案】8 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， ∴． 【题型5 合并同类项】 【例5】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下列各式中，运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的定义及合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 【变式5-1】若式子与的和是单项式，则的值是______． 【答案】 【分析】根据同类项的定义直接可得到的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵两个单项式的和是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等， ∴与是同类项， ∴，， ∴， ∴的值是． 【变式5-2】若，则______． 【答案】 【分析】根据题意可得等式左边两项为同类项，从而求得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查合并同类项、同类项的定义，代数式求值，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键． 【变式5-3】（24-25七年级上·河北唐山·期末）【情境素材题】某学校组织七、八年级全体同学参观革命圣地西柏坡．七年级租用座大巴车辆，座大巴车辆；八年级租用座中巴车辆，座大巴车辆．若每辆车恰好坐满学生． (1)七、八年级各有多少名学生？ (2)七、八年级共有多少名学生？ (3)当，时，该学校七、八年级共有多少名学生？ 【答案】(1)七年级有名学生，八年级有名学生 (2)七、八年级共有名学生 (3)当，时，该学校七，八年级共有910名学生 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，整式加减的应用； （1）利用七年级的人数租用座大巴车的数量租用座大巴车的数量，可用含，的代数式表示出七年级的人数；利用八年级的人数租用座大巴车的数量租用座大巴车的数量，可用含，的代数式表示出八年级的人数； （2）将七、八年级的人数相加，即可用含的代数式表示出七、八年级的人数之和； （3）代入，，即可求出结论． 【详解】（1）解：七年级有名学生，八年级有名学生． （2）解：名． 答：七、八年级共有名学生 （3）解：当，时， （名）． 答：当，时，该学校七，八年级共有910名学生． 模块四 去括号 【知识点8 去括号法则】 括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项的符号都不改变．括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号都要改变． 【题型6 去括号】 【例6】下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整式加减中去括号的法则进行判断即可． 【详解】解：∵对于选项A：，与选项结果一致，故A正确； 对于选项B：，与选项给出结果不一致，故B错误； 对于选项C：，与选项给出结果不一致，故C错误； 对于选项D：，与选项给出结果不一致，故D错误． 【变式6-1】下列各式变形后与不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号，根据去括号法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 【变式6-2】化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将小括号里的式子看作一个整体，先去中括号，再去小括号，最后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查整式的加减法，掌握去括号法则以及合并同类项法则是关键． 【变式6-3】若代数式﹣（3x3ym－1）＋3（xny＋1）（x，y≠0，1）经过化简后的结果等于4，则m﹣n的值是_____． 【答案】﹣2 【分析】先去括号、合并同类项，再根据题意可得﹣3x3ym和3xny是同类项，进而可得答案． 【详解】解：﹣（3x3ym﹣1）+3（xny+1） ＝﹣3x3ym+1+3xny+3， ＝﹣3x3ym+3xny+4， ∵经过化简后的结果等于4， ∴﹣3x3ym与3xny是同类项， ∴m＝1，n＝3， 则m﹣n＝1﹣3＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了合并同类项和去括号，同类项的条件有两个：1、所含的字母相同；2、相同字母的指数也分别相同． 【题型7 去括号法则的逆用】 【例7】把多项式x4y﹣4xy3+2x2﹣xy﹣1按下列要求添括号： （1）把四次项结合，放在带“+”号的括号里； （2）把二次项相结合，放在带“﹣”号的括号里． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【分析】（1）根据添括号法则，把四次项-4xy3，放在前面带有“﹢”号的括号里； （2）根据添括号法则，把二次项2x2放在前面带有“-”号的括号里． 【详解】解：（1）∵把四次项结合，放在带“+”号的括号里， ∴x4y﹣4xy3+2x2﹣xy﹣1=x4y+（﹣4xy3）+2x2﹣xy﹣1； （2）∵把二次项相结合，放在带“﹣”号的括号里， ∴x4y﹣4xy3+2x2﹣xy﹣1=x4y﹣4xy3﹣（﹣2x2+xy）﹣1． 【点睛】本题考查了去括号与添括号，解题的关键是掌握本题考查了去括号与添括号的概念和步骤. 【变式7-1】已知，则的值为（　　） A．5 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】原式去括号整理后，将已知的代数式的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴= ， 故选：C． 【点睛】此题考查了代数式求值以及去括号法则，利用整体代入求值是解本题的关键． 【变式7-2】已知－m＋2n＝5，那么3(m－2n)2＋6n－3m－60的值是(　　) A．0 B．－10 C．30 D．－30 【答案】C 【详解】【分析】由已知得3(m－2n)2＋6n－3m－60=3(2n-m)2＋3（2n-m）－60，把－m＋2n＝5代入可得. 【详解】由－m＋2n＝5得 3(m－2n)2＋6n－3m－60 =3(2n-m)2＋3（2n-m）－60 =3×52+3×5-60 =30 故选C 【点睛】本题考核知识点：求多项式的值.解题关键点：将多项式适当变形. 【变式7-3】将式子，分别反过来，你得到两个怎样的等式？ 【探究】观察你得到的等式，你能总结出添括号的法则吗？ 【应用】根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式的值，把它的后两项放在： ①前面带有“”号的括号里； ②前面带有“”号的括号里． 【拓展】若，则的值为______． 【答案】探究：见解析；应用：①，②；拓展： 【分析】先将两式分别反过来，找到添括号的法则，再应用到中，对其进行变形，并利用此法则对拓展中的式子进行化简计算． 【详解】解：，． 探究：添括号时，若括号前是“”号，则括号内各项均不变符号；若括号前是“”号，则括号内各项均改变符号． 应用：①； ②． 拓展： ， ． 【点睛】本题考查了添括号法则，根据题意找出规律是解题的关键． 模块五 整式的加减 【知识点9 整式的加减运算】 整式加减的实质就是合并同类项，若有括号，就要先用去括号法则去掉括号，然后合并同类项． 整式加减的一般步骤：（1）如果有括号，那么先去括号；（2）找出同类项，合并同类项；（3）没有同类项的项照写． 【知识点10 整式加减的实际应用】 整式加减的实际应用就是把实际问题中的数量关系数学化，把题目中的量用整式表示出来，然后进行整式的加减运算． 【题型8 整式的加减】 【例8】一多项式与的和为，则这个多项式为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：（）-（）=-=． 故选：B． 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式8-1】（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）多项式与多项式相减的结果中，一次项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的加减，将两式相减，再合并同类项即可． 【详解】根据题意，得 ， 可知一次项是． 故选：A． 【变式8-2】一个多项式减去多项式，马虎同学将减号抄成了加号，计算结果是，则多项式是__________． 【答案】 【分析】根据“其中一个加式＝和−另一个加式”列出式子，然后去括号，合并同类项进行化简． 【详解】解：∵A＋（）＝， ∴A＝（）−（）＝−3x2−2x−4−2x2−5x＋3＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的加减，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“＋”号，去掉“＋”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“−”号，去掉“−”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键． 【变式8-3】（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）已知一个三位数和一个两位数，将放在的左边，形成一个五位数，交换和的位置，形成另一个五位数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式加减的应用，理解题意是解题关键．由题意可知，，，再根据整式加减法计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， 故选：D． 【题型9 整式的加减与代数式求值】 【例9】老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式，形式如下： (1)求手捂住的多项式； (2)若，满足：，请求出所捂住的多项式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意可得捂住部分为：，利用整式的加减的法则进行求解即可； （2）由非负数的性质可求得，的值，再代入运算即可； 【详解】（1）解：根据题意得： ， ， ； （2）， ，， 解得：，， 代入 ． 【点睛】本题主要考查整式的加减，非负数的性质，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式9-1】（25-26七年级上·山东菏泽·期末）已知，则的值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查整式的化简求值，关键是通过去括号、合并同类项将代数式转化为含已知条件的形式，再利用整体代入法计算． 【详解】解： ； 已知，将其代入，原式=． 故选：A． 【变式9-2】（24-25七年级上·江苏·单元测试）定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，合并同类项，去括号，根据定义的新运算，求出的值；再对进行运算，转化成关于的形式，即可求出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 则： ， 故选：． 【变式9-3】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图所示，小林用圆规在线段上截取线段，若恰好为的中点，，，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查线段中点的定义和整式的化简求值，先根据线段相等关系和中点性质求出的值，再对整式进行化简后代入计算．首先由得出的长度，结合是中点求出的长度即的值，然后对给定整式展开、合并同类项化简，最后代入的值计算结果． 【详解】解：∵，， ∴； ∵为的中点， ∴，即． ． 将代入得：原式； 故答案为：． 【题型10 整式的加减中不含某项问题】 【例10】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 【答案】 【分析】先计算，然后根据关于x，y的多项式与的差不含二次项，即可得到m、n的值，再计算即可． 【详解】解：由题意可得， ， 关于x，y的多项式与的差不含二次项， ，， 解得，， ， 故答案为： 【变式10-1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）已知多项式合并同类项后不含x的三次项和一次项，则的值为（   ） A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】A 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，合并同类项后，根据不含三次项和一次项的条件，令对应系数为零，求出a和b的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵多项式合并同类项后为，且不含的三次项和一次项， ∴和， 解得，， ∴， 故选：A． 【变式10-2】（2025七年级上·重庆·专题练习）已知，，若的结果不含，则的值是（） A．28 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式运算中无关型问题，先计算，合并同类项后令项的系数为零，解出的值，再代入求的值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式10-3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知，． (1)若无论x取何值时都不含x的一次项，求k的值； (2)当时，求（1）中的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了合并同类项，多项式，掌握相应的运算法则是关键． （1）本题需先对进行整式的化简运算，得到一个关于的多项式．由于要求无论取何值时该式都不含的一次项，所以一次项系数必须为0，据此建立方程求解的值； （2）在（1）中已求得的值，将其代入化简后的式子，得到一个关于的表达式．再将代入该表达式，通过计算得出的值． 【详解】（1）解： ，， ， 无论取何值时都不含的一次项， ， ； （2）解：当时， ， 当时， ． 【题型11 整式的加减中无关问题】 【例11】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若代数式的值与y无关，则代数式的值为（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，涉及合并同类项，代数式求值等知识．先合并同类项再令项的系数为零，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ∵代数式的值与y无关， ∴， 解得， 当时，原式， 故选：A． 【变式11-1】（24-25七年级上·重庆江津·期中）已知，，若的值与a的取值无关，则b的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减-化简求值．将化为，即可得，求出的值即可． 【详解】解： ∵的值与的取值无关， ， 解得：． 故选：C． 【变式11-2】（24-25七年级下·四川成都·期末）小明在数学综合实践课后，设计了以下运算．若，，且的取值与a无关，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，整式的加减，根据新定义分别求得，进而根据的取值与a无关，得出，再代入求值，即可求解． 【详解】解： ∴ ∵的取值与a无关， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式11-3】（24-25七年级上·山东日照·期末）【阅读理解】 已知；若A值与字母的取值无关，则，解得． 所以当时，A值与字母的取值无关． 【知识应用】 已知， ． （1）用含的式子表示； （2）若的值与字母的取值无关，则的值为___________． 【知识拓展】 （3）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元：乙种羽绒服每件进价500元，每件售价800元，购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服件，当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时，请求出此时的利润． 【答案】（1）   （2）   （3）9000元 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减——化简求值，掌握整式的加减——化简求值的方法是关键． （1）把A与B代入中，去括号、合并同类项即可得到结果； （2）把（1）的化简结果变形后，根据的值与字母m的取值无关，确定出此的值即可； （3）根据题意列出代数式并求解，结合获得的利润与x的取值无关，即可获得答案． 【详解】解：（1） ． ． （2） ∵的值与字母的取值无关， ∴， 解得：； 故答案为：； （3）由题意可知，这30件羽绒服的利润为 ， 销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关， ，解得． 当时，利润为9000元． 【题型12 整式加减的应用】 【例12】为了在中小学生中进行爱国主义教育，我县关工委决定开展“中华魂”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍多件，各种奖品的单价如下表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价元 数量件                               (1)请用含的代数式把表格补全； (2)请用含的代数式表示购买件奖品所需的总费用； (3)若一等奖奖品购买了件，则我县关工委共花费多少元？ 【答案】(1)表格见解析 (2)购买件奖品所需的总费用为元 (3)我县关工委共花费元 【分析】（1）根据题意计算出二、三等奖奖品的件数，并补全表格即可； （2）将每种奖品的单价和数量相乘，再求和即可； （3）将代入（2）中的代数式，求出总费用即可． 【详解】（1）解：∵二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍多件， 又∵共购买件奖品， ∴二等奖奖品购买件，三等奖奖品购买件， 填表如下： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价元 数量件 （2）解：根据题意，购买件奖品所需总费用为： 元； 答：购买件奖品所需的总费用为元； （3）解：当时，（元）． 答：我县关工委共花费元． 【变式12-1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）直观分析是问题解决的重要策略．某公司办公大楼共5层，公司要召开会议，如果从1层到5层每层参会人数分别为1，2，1，2，2，那么要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在________层． 【答案】3或4 【分析】本题考查整式的加减混合运算的应用，根据题意列出代数式是解题的关键． 核心是通过构建不同楼层的总爬楼距离表达式，利用有理数的混合运算计算结果并比较大小，从而确定最短距离对应的会议楼层． 【详解】解：设每层的爬楼距离为， 当会议地点设在1层时，总爬楼距离为： ， 当会议地点设在2层时，总爬楼距离为： ， 当会议地点设在3层时，总爬楼距离为： ， 当会议地点设在4层时，总爬楼距离为： ， 当会议地点设在5层时，总爬楼距离为： ， 由于， 因此会议地点设在3层或4层时，所有参会人员爬楼的距离之和最短， 故答案为：3或4． 【变式12-2】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）在一场魔术表演中，魔术师背对小聪，让小聪拿着扑克牌按下列四个步骤操作： 第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于五张，且各堆牌的张数相同； 第二步：从左边一堆拿出五张，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出四张，放入中间一堆； 第四步：右边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入右边一堆． 最后，魔术师准确说出了中间一堆牌现有的张数，则他说出的张数是（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查列代数式与整式加减的实际应用，通过设每堆初始牌数为x，根据每步操作列出各堆牌数的代数式，再计算中间堆最终牌数即可． 【详解】解：设第一步左、中、右三堆牌的张数均为x张（） ∵第二步操作后，左堆为张，中堆为张，右堆为x张 第三步操作后，左堆为张，中堆为张，右堆为张 第四步操作时，从中间堆拿出张放入右堆 ∴中间堆剩余牌数为张， 故选：C． 【变式12-3】（25-26七年级上·广西梧州·期末）某种窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长为米． (1)用含的代数式表示窗户的面积和窗框的总长． (2)当时，若在窗户上安装玻璃，玻璃每平方米元，窗框每米元，窗框的厚度不计，求制作一个这种窗户的材料费是多少元（材料费=玻璃费+窗框费）． (3)在（2）的条件下，某公司计划在甲工厂或乙工厂采购100个这种窗户，下表是甲、乙两个工厂制作这种窗户的收费价目表．通过计算说明去哪家工厂采购更省钱．（安装费=材料费+运输费+人工费） 工厂 材料费 运输费 人工费 玻璃 窗框 甲 26元/m2 20元/ 10元/个窗户 120元/ 乙 30元/ 18元/ 12元/个窗户 130元/ 【答案】(1)窗户面积为平方米，窗框的总长为米 (2)元 (3)去甲工厂采购更省钱 【分析】本题考查了整式加减的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）窗户面积为：个小正方形的面积加半圆的面积；窗框的总长度为：所有小正方形的边长之和半个圆的弧长三个半圆的半径，代入数值即可． （2）制作一个这种窗户需要的材料费：玻璃钱窗框钱，即，将代入上式，化简即可． （3）分别计算甲、乙两个工厂采购个这种窗户的花销：安装费=材料费运输费人工费，代入数值可得出具体数值，再根据每个工厂采购每一个窗户的花销都相同，故对比一个窗户的花销谁省钱，即可得出采购个这种窗户的花销谁省钱。 【详解】（1）解：由题意可得窗户面积为：个小正方形的面积加半圆的面积，下部小正方形的边长和半圆的半径为米， ∴窗户面积为：（平方米）， 由题意可得窗框的总长度为：所有小正方形的边长之和半个圆的弧长三个半圆的半径， ∴窗框的总长为：（米）． 故窗户面积为平方米，窗框的总长为米 （2）解：∵玻璃每平方米元，窗框每米元，窗户面积为平方米，窗框的总长为米， ∴制作一个这种窗户需要的材料费是：（元）， 将代入上式，可得， ∴制作一个这种窗户需要的材料费是元． （3）解：由上可得一个窗户面积为：（平方米） 在甲工厂采购时，，，运输费为元/个窗户，人工费为元/ 故在甲工厂采购个这种窗户的总花销为：（元）， 在乙工厂采购时，，，运输费为元/个窗户，人工费为元/ 故在乙工厂采购个这种窗户的总花销为：（元）， ∵，在每个工厂采购每一个窗户的价格都相同， ∴在甲工厂采购个这种窗户省钱， ∴去甲工厂采购更省钱． 模块五 课后作业 1．（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式的定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和为多项式，分母含有字母的代数式不是单项式． 【详解】解：A、是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； B、的分母含有字母，不是数与字母的积，不是单项式，不符合要求； C、，是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； D、是与的积，符合单项式的定义，符合要求． 2．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）下列说法不正确的是（    ） A．和是同类项 B．单项式的次数是2 C．单项式的系数是1 D．2024是整式 【答案】B 【分析】本题考查同类项、单项式的次数和系数、整式的定义，熟练掌握同类项、单项式的次数与系数及整式的定义是解题的关键；根据相关概念逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵同类项要求字母相同且相同字母指数相同， ∴和字母均为a和b，相同字母指数均为1，是同类项，A正确； ∵单项式的次数是所有字母指数之和， ∴的次数为，不是2，B错误； ∵单项式系数是数字因数， ∴系数为1，C正确； ∵整式包括单项式和多项式， ∴2024作为常数，属于单项式，是整式，D正确； 故选：B． 3．下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去括号法则为括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号，添括号法则为括号前是负号，添括号后括号内各项都要变号. 【详解】解：，故A变形错误； ，故 B变形错误； ，故 C变形错误； ，故D变形正确. 4．若单项式与单项式是同类项，则的值是（    ） A．2022 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据同类项的定义求出a、b的值，据此求出的值即可． 【详解】解：由于单项式与单项式是同类项， 则 解得 因此，． 5．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）已知，，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】比较两个代数式的大小，可采用作差法，计算并化简，通过判断差的正负性，即可得到与的大小关系． 【详解】解： 去括号得： 合并同类项得： 对任意实数，都有 ， 即 ． 6．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）写出一个与是同类项的单项式______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项解答即可． 【详解】解：与是同类项的单项式必须含有字母和，且的指数为5，的指数为3，因此可以写． 故答案为（答案不唯一）． 7．（25-26七年级上·广东惠州·期中）整式是_____次_____项式． 【答案】 四 五 【分析】通过确定多项式中每个单项式的次数，找出最高次数单项式的次数作为多项式的次数，并统计单项式的个数作为项数． 【详解】解：多项式的项包括： （次数为）、（次数为）、（次数为）、（次数为）、（次数为）， ∴最高次数为，项数为， ∴多项式是四次五项式． 8．已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键； 利用已知条件求出和的值，代入原式计算即可． 【详解】解：由，，得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．关于，的代数式中不含二次项，则___________． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的加减—无关题型，先合并代数式的同类项，令二次项的系数为0，求解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵关于，的代数式中不含二次项， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图是2025年10月的月历，在可框区域用正方形任意框出四个数，若其中最小的数为a，则这四个数的和为______（用含a的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查代数式；找出框出的四个数之间的关系，再用含a的代数式表示出这四个数，最后求出它们的和即可． 【详解】解：在月历中，同一列相邻两个数相差7，同一行相邻两个数相差1． ∵四个数中最小的数为a，那么它右边的数比它大1，即为； 它下面的数比它大7，即为；右下角的数比a大8，即为． ∴这四个数的和为：． 去括号得： 合并同类项得： 因此，这四个数的和为． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 12．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值： ，其中x，y满足． 【答案】， 【详解】解： ∵ ∴ ∴      ∴原式． 13．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图，每一个图形都由若干个相同的“A”组成，每个“A”都有3个黑点和2个白点．第1个图形中含有1个“A”，有3个黑点和2个白点；第2个图形中含有3个“A”，有9个黑点和6个白点，…，按此规律组成n个图形． (1)第4个图形中“A”有______个，黑点有______个； (2)第n个图形中白点有______个； (3)第20个图形中黑点的个数比白点的个数多______个． 【答案】(1)10，30 (2) (3)210 【分析】本题考查图形类规律、代数式求值，熟练找准规律是解题的关键． （1）依次求出图形中“A”的个数，黑点和白点的数量，发现规律，根据规律解答即可； （2）结合（1）中发现的规律进行解答即可； （3）根据（1）中的规律，进行计算黑点个数和白点个数，计算差值即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个图形中“A”的个数为，黑点个数为，白点个数为：； 第2个图形中“A”的个数为，黑点个数为，白点个数为：； 第3个图形中“A”的个数为，黑点个数为，白点个数为：； 依次类推， 所以第n个图形中“A”的个数为，黑点个数为，白点个数为 当时， ， 即第4个图形中“A”有10个，黑点有30个, 故答案为：10，30； （2）解：由（1）知，第n个图形中白点有个， 故答案为：； （3）解：当时， 因此第20个图形中黑点的个数比白点的个数多210个， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·山东济南·期中）已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图）和个宽为的大长方形（如图），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中， (1)当，时，大长方形的面积为 (2)请用含，的代数式表示下面的问题：大长方形的长： ；阴影的周长 ； (3)请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 【答案】(1)； (2)，； (3)见解析 【分析】本题主要考查了长方形的周长和面积公式、代数式的表示与化简，熟练掌握长方形的边长关系与面积公式的应用是解题的关键． （1）先通过小长方形的边长确定大长方形的长和宽，再利用长方形面积公式计算； （2）观察大长方形的长与小长方形边长的关系，分析阴影的边长后计算周长； （3）分别表示出阴影和阴影的周长，求和后化简，判断是否含． 【详解】（1）解：大长方形的宽：20，大长方形的长：， 当，时，长：， 大长方形的面积：， 故答案为：； （2）解：大长方形的长：， 阴影B的长：，宽：， 阴影B的周长：， 故答案为：，； （3）解：阴影A的长：，宽：， 阴影A的周长：， 阴影A与阴影B的周长和为 ， ∵ 结果中不含 ∴ 阴影A与阴影B的周长的和与的取值无关． 15．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）A、B两校决定联合购买一批篮球运动装备．市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多60元，两套队服与三个篮球的费用相等．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买的篮球打八折． (1)每套队服的价格为________元和每个篮球的价格为________元． (2)若联合购买120套队服和个篮球，请用含的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 【答案】(1)180，120 (2)甲商场费用为元，乙商场费用为元 (3)到甲商场购买比较合算 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的等量关系列一元一次方程求解； （2）根据甲、乙商场各自的优惠方案，分别计算总费用，整理得到含的代数式； （3）将代入两个代数式求值，比较大小即可判断哪家更合算． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格是元，则每套队服的价格是元， 根据题意得， 解得， 则， 答：每套队服180元，每个篮球120元； （2）解：到甲商场购买，购买120套队服赠送 个篮球， 总费用为： 元； 到乙商场购买，队服超过80套，篮球打八折， 总费用为： 元； （3）解：将代入两个代数式， 甲商场费用： (元)， 乙商场费用： (元)， ， 到甲商场购买比较合算． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 整式的加减（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+10个知识归纳+12个题型+课后作业】 模块二 整式 同学们，今天老师想带大家玩一个有趣的“数字魔术”！请大家拿出一张纸和一支笔，跟着老师的步骤一起来做： 第一步，请大家在心里任意写下一个两位数（比如25、68等等）.第二步，把这个两位数的十位数字和个位数字交换一下，得到一个新的两位数.第三步，把你最开始写的两位数，和交换后得到的新两位数加起来，算出它们的和. 好，现在老师要开始“读心”了！不管大家最开始写的是什么两位数，只要你们算对了，你们算出来的那个“和”，一定都能被11整除！不信的话，大家可以互相检查一下，或者用计算器验证一下. 是不是觉得很神奇？为什么不管原来的数字是几，最后的和都有这样的规律呢？其实，这个魔术背后的秘密，就藏在我们今天要学习的“整式的加减”里.如果我们用字母a和b来代替十位和个位上的数字，就能轻松揭开这个谜底！ 【知识点1 单项式】 由数与字母的积组成的代数式叫作单项式，如5a，4rt等．单独一个数或一个字母也是单项式． 【知识点2 单项式的系数和次数】 1. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫作单项式的系数．如3mn，的系数分别为3和． 2. 单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数．如，6xyz的次数分别为4和3．如果一个单项式不含字母，就称它的次数是0． 【知识点3 多项式的概念】 1. 概念：可以看作几个单项式的和的代数式叫作多项式． 2. 多项式的项：多项式中，每个单项式叫作多项式的项． 3. 多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数． 4. 多项式的常数项：多项式中，不含字母的项叫作常数项． 【知识点4 整式】 单项式和多项式统称整式． 【题型1 单项式】 【例1】在代数式，，，，a，0，，中，单项式的个数是（） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．的次数是3 B．的次数是3 C．-1不是单项式 D．的系数是-1 【变式1-2】若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，则这样的单项式共有（  ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式1-3】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）下面是按规律排列的式子：，，，……，则第8个单项式是（   ） A． B． C． D． 【题型2 多项式】 【例2】（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】对于多项式，下列说法正确的是(   ) A．它的常数项是 B．它的一次项系数是 C．它是三次三项式 D．它的二次项系数是 【变式2-2】（24-25七年级上·江苏南通·期中）如果多项式是关于的二次三项式，则_____． 【变式2-3】当______时，多项式中不含项． 【题型3 整式】 【例3】（25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式3-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于x的整式． (1)若该整式是二次式，则k的值为________． (2)若该整式是二项式，则k的值为________． 【变式3-2】请你写出一个只含x的整式，满足当x=﹣2时，它的值等于3．你写的整式是________ ． 【变式3-3】有一列式子：①，②，③r，④，⑤，⑥，⑦，⑧1 (1)请把上述各式的序号分别填入如图所示的相应圆圈内： (2)填空：单项式中__________的次数最高，次数是__________． 模块三 合并同类项 【知识点5 同类项】 一般地，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项． 判断同类项主要看三点：①都是单项式；②所含字母相同；③相同字母的指数相同． 【知识点6 合并同类项】 1. 概念：根据运算律把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项． 2. 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．其实质是逆用乘法的分配律． 3. 步骤：（1）发现同类项；（2）确定各同类项系数；（3）合并同类项． 【知识点7 代数式的化简求值】 求代数式的值时，如果代数式中含有同类项，通常先合并同类项再进行计算． 【题型4 同类项】 【例4】下列各选项提供的代数式可以互为同类项的情况有（    ） （1）和    （2）和    （3）6和    （4）和 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）下列各式中，与是同类项的是（   ）． A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）写出一个与单项式是同类项的代数式：________．（写出一个即可） 【变式4-3】若与是同类项，则________． 【题型5 合并同类项】 【例5】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下列各式中，运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】若式子与的和是单项式，则的值是______． 【变式5-2】若，则______． 【变式5-3】（24-25七年级上·河北唐山·期末）【情境素材题】某学校组织七、八年级全体同学参观革命圣地西柏坡．七年级租用座大巴车辆，座大巴车辆；八年级租用座中巴车辆，座大巴车辆．若每辆车恰好坐满学生． (1)七、八年级各有多少名学生？ (2)七、八年级共有多少名学生？ (3)当，时，该学校七、八年级共有多少名学生？ 模块四 去括号 【知识点8 去括号法则】 括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项的符号都不改变．括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号都要改变． 【题型6 去括号】 【例6】下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式6-1】下列各式变形后与不同的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】化简等于（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】若代数式﹣（3x3ym－1）＋3（xny＋1）（x，y≠0，1）经过化简后的结果等于4，则m﹣n的值是_____． 【题型7 去括号法则的逆用】 【例7】把多项式x4y﹣4xy3+2x2﹣xy﹣1按下列要求添括号： （1）把四次项结合，放在带“+”号的括号里； （2）把二次项相结合，放在带“﹣”号的括号里． 【变式7-1】已知，则的值为（　　） A．5 B． C．1 D． 【变式7-2】已知－m＋2n＝5，那么3(m－2n)2＋6n－3m－60的值是(　　) A．0 B．－10 C．30 D．－30 【变式7-3】将式子，分别反过来，你得到两个怎样的等式？ 【探究】观察你得到的等式，你能总结出添括号的法则吗？ 【应用】根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式的值，把它的后两项放在： ①前面带有“”号的括号里； ②前面带有“”号的括号里． 【拓展】若，则的值为______． 模块五 整式的加减 【知识点9 整式的加减运算】 整式加减的实质就是合并同类项，若有括号，就要先用去括号法则去掉括号，然后合并同类项． 整式加减的一般步骤：（1）如果有括号，那么先去括号；（2）找出同类项，合并同类项；（3）没有同类项的项照写． 【知识点10 整式加减的实际应用】 整式加减的实际应用就是把实际问题中的数量关系数学化，把题目中的量用整式表示出来，然后进行整式的加减运算． 【题型8 整式的加减】 【例8】一多项式与的和为，则这个多项式为（　） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）多项式与多项式相减的结果中，一次项是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】一个多项式减去多项式，马虎同学将减号抄成了加号，计算结果是，则多项式是__________． 【变式8-3】（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）已知一个三位数和一个两位数，将放在的左边，形成一个五位数，交换和的位置，形成另一个五位数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型9 整式的加减与代数式求值】 【例9】老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式，形式如下： (1)求手捂住的多项式； (2)若，满足：，请求出所捂住的多项式的值． 【变式9-1】（25-26七年级上·山东菏泽·期末）已知，则的值为（   ） A．4 B． C． D．8 【变式9-2】（24-25七年级上·江苏·单元测试）定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图所示，小林用圆规在线段上截取线段，若恰好为的中点，，，则代数式的值为________． 【题型10 整式的加减中不含某项问题】 【例10】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 【变式10-1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）已知多项式合并同类项后不含x的三次项和一次项，则的值为（   ） A．48 B．49 C．50 D．51 【变式10-2】（2025七年级上·重庆·专题练习）已知，，若的结果不含，则的值是（） A．28 B．4 C．2 D． 【变式10-3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知，． (1)若无论x取何值时都不含x的一次项，求k的值； (2)当时，求（1）中的值． 【题型11 整式的加减中无关问题】 【例11】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若代数式的值与y无关，则代数式的值为（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【变式11-1】（24-25七年级上·重庆江津·期中）已知，，若的值与a的取值无关，则b的值为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25七年级下·四川成都·期末）小明在数学综合实践课后，设计了以下运算．若，，且的取值与a无关，则___________． 【变式11-3】（24-25七年级上·山东日照·期末）【阅读理解】 已知；若A值与字母的取值无关，则，解得． 所以当时，A值与字母的取值无关． 【知识应用】 已知， ． （1）用含的式子表示； （2）若的值与字母的取值无关，则的值为___________． 【知识拓展】 （3）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元：乙种羽绒服每件进价500元，每件售价800元，购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服件，当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时，请求出此时的利润． 【题型12 整式加减的应用】 【例12】为了在中小学生中进行爱国主义教育，我县关工委决定开展“中华魂”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍多件，各种奖品的单价如下表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价元 数量件                               (1)请用含的代数式把表格补全； (2)请用含的代数式表示购买件奖品所需的总费用； (3)若一等奖奖品购买了件，则我县关工委共花费多少元？ 【变式12-1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）直观分析是问题解决的重要策略．某公司办公大楼共5层，公司要召开会议，如果从1层到5层每层参会人数分别为1，2，1，2，2，那么要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在________层． 【变式12-2】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）在一场魔术表演中，魔术师背对小聪，让小聪拿着扑克牌按下列四个步骤操作： 第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于五张，且各堆牌的张数相同； 第二步：从左边一堆拿出五张，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出四张，放入中间一堆； 第四步：右边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入右边一堆． 最后，魔术师准确说出了中间一堆牌现有的张数，则他说出的张数是（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【变式12-3】（25-26七年级上·广西梧州·期末）某种窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长为米． (1)用含的代数式表示窗户的面积和窗框的总长． (2)当时，若在窗户上安装玻璃，玻璃每平方米元，窗框每米元，窗框的厚度不计，求制作一个这种窗户的材料费是多少元（材料费=玻璃费+窗框费）． (3)在（2）的条件下，某公司计划在甲工厂或乙工厂采购100个这种窗户，下表是甲、乙两个工厂制作这种窗户的收费价目表．通过计算说明去哪家工厂采购更省钱．（安装费=材料费+运输费+人工费） 工厂 材料费 运输费 人工费 玻璃 窗框 甲 26元/m2 20元/ 10元/个窗户 120元/ 乙 30元/ 18元/ 12元/个窗户 130元/ 模块五 课后作业 1．（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）下列说法不正确的是（    ） A．和是同类项 B．单项式的次数是2 C．单项式的系数是1 D．2024是整式 3．下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若单项式与单项式是同类项，则的值是（    ） A．2022 B． C．1 D．2 5．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）已知，，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 6．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）写出一个与是同类项的单项式______． 7．（25-26七年级上·广东惠州·期中）整式是_____次_____项式． 8．已知，，则______． 9．关于，的代数式中不含二次项，则___________． 10．（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图是2025年10月的月历，在可框区域用正方形任意框出四个数，若其中最小的数为a，则这四个数的和为______（用含a的代数式表示）． 11．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）化简 (1) (2) 12．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值： ，其中x，y满足． 13．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图，每一个图形都由若干个相同的“A”组成，每个“A”都有3个黑点和2个白点．第1个图形中含有1个“A”，有3个黑点和2个白点；第2个图形中含有3个“A”，有9个黑点和6个白点，…，按此规律组成n个图形． (1)第4个图形中“A”有______个，黑点有______个； (2)第n个图形中白点有______个； (3)第20个图形中黑点的个数比白点的个数多______个． 14．（24-25七年级上·山东济南·期中）已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图）和个宽为的大长方形（如图），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中， (1)当，时，大长方形的面积为 (2)请用含，的代数式表示下面的问题：大长方形的长： ；阴影的周长 ； (3)请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 15．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）A、B两校决定联合购买一批篮球运动装备．市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多60元，两套队服与三个篮球的费用相等．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买的篮球打八折． (1)每套队服的价格为________元和每个篮球的价格为________元． (2)若联合购买120套队服和个篮球，请用含的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $