第03讲 数轴10大题型（暑假预习讲义）新七年级数学新教材苏科版

第03讲 数轴 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 数轴的三要素及其画法 题型2 用数轴上的点表示有理数 题型3 利用数轴比较有理数的大小 题型4 数轴上两点之间的距离 题型5 数轴上的中点问题 题型6 数轴上的点的平移 题型7 数轴上找原点 题型8 数轴上整点覆盖问题 题型9 数轴上的规律探究 题型10 数轴上的对折问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 数轴的三要素 数轴的画法 数轴上两点之间的距离 数轴的平移 1. 理解数轴定义，掌握原点、正方向、单位长度三大核心要素。 2. 能规范绘制数轴，准确在数轴上标注对应有理数。 3. 理解数轴上的点与有理数的对应关系，学会数形结合分析。 4. 借助数轴直观比较有理数大小，掌握右大左小的规律。 5. 能利用数轴解决点的平移、距离计算等基础题型。 学习重点：数轴三要素、有理数与数轴上点的对应关系、利用数轴比较有理数的大小。 学习难点：数轴上点的平移、数轴上两点之间的距离、数形结合。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 数轴的概念与画法 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 即时即练 1．下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴的三要素是原点，单位长度，正方向，分析哪个图形含有这三要素，就是数轴． 【详解】解：A、符合所有条件，是数轴，该选项符合题意； B、没有原点，该选项不符合题意； C、单位长度不一样长，该选项不符合题意； D、原点左边数据标错，该选项不符合题意． 2．画一条水平_____，在直线上取一点，表示____（叫做______），选取某一适当长度为____，规定直线上向___的方向为____，就得到一条数轴． 【答案】 直线 O 原点 单位长度 右 正方向 【知识点】数轴的三要素及其画法 3．如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了数轴，理解数轴定义：有原点，正方向和单位长度是解答关键． 先根据数轴的定义补充完整数轴，再将各数表示的数轴上即可． 【详解】解：如图所示． 知识点02 有理数与数轴上点的对应关系 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 3.数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 【注意事项】 1. 认知误区：误认为数轴上所有点都表示有理数，实则数轴还包含无理数，有理数只是其中部分点。 2. 对应混淆：一个有理数只对应数轴上唯一一点，但数轴上一点不一定只对应有理数，易单向对应出错。 3. 描点失误：忽略单位长度不统一、刻度标注错误，导致有理数描点位置偏移、读数不准。 4. 整数点误解：误以为数轴上的点都是整数，忽视分数、小数对应的数轴点位。 5. 逆向出错：已知数轴上点的位置写数时，混淆正负方向，正负有理数对应点位写反。 即时即练 4．如图，数轴上点M表示的数可能是（    ） A． B．0.5 C．1.5 D．2 【答案】C 【详解】解：数轴上点M表示的数可能是1.5． 5．将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0和8分别对应着数轴上的和x，则x的值是________． 【答案】4.4 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离是解题的关键．由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：坐标轴上的和分别与尺子的和对应， 所以坐标轴上的单位长度是， 由题意知，， 故答案为：4.4． 6．如图，四个有理数在数轴上对应的点分别为，若，则四个数中是负数的有__________个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了数轴，数形结合并找出原点的位置是解题的关键． 根据，可确定原点的位置，再根据原点的位置确定负数的个数即可． 【详解】， 的中点为原点，由图可知原点在之间， 即点对应的数为负数，则四个数中是负数的有2个． 故答案为：2． 知识点03 利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 【注意事项】 1. 规律记错：混淆数轴大小规律，错误认为左侧数更大、右侧数更小，违背左小右大核心原则。 2. 负数比较失误：忽略负数特性，仅凭数轴距离判断大小，误判绝对值大的负数数值更大。 3. 零值判断出错：比较正数、负数、0大小时，忘记负数永远小于0，正数永远大于0。 4. 多点比较混乱：多个有理数排序时，未按数轴从左到右顺序排列，出现大小排序颠倒、错乱。 5. 忽略数形结合：脱离数轴直观判断，仅凭主观臆断比较异号、多有理数大小，极易出错。 即时即练 7．如图，数轴上的数a，b，c，d中，小于的是______． 【答案】a 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，解题的关键是通过数轴上数的位置，直接与 对比大小． 根据数轴上、、、与的位置关系，判断出小于的数． 【详解】解：由数轴位置可知，在左侧，、、均在右侧，数轴上左侧的数小于右侧的数，故小于的数是． 故答案为：． 8．请画出数轴并把下列各数在数轴上表示出来，然后用“”连接． ，，，0，，1． 【答案】画数轴见解析，． 【分析】先在数轴上表示各数，再利用数轴比较大小即可． 【详解】解：把，，，0，，1在数轴上表示如下： ∴． 9．用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来． ． 【答案】；图见解析 【分析】先根据有理数的乘方运算法则，相反数定义进行解答，然后把各数在数轴上表示出来，最后比较有理数的大小即可． 【详解】解：，， 把各数在数轴上表示为： 用“”号连接各数为：． 题型1 数轴的三要素及其画法 【例1】数轴是一条规定了______、______和单位长度的______． 【答案】 原点 正方向 直线 【分析】根据数轴定义回答即可． 本题考查数轴，解题关键是熟知数轴的定义． 【详解】解：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 故答案为：原点、正方向、直线． 【易错警示】 数轴必须同时具备原点、正方向、单位长度三要素，缺一不算数轴。画图易漏画箭头、原点错位、单位长度不统一，刻度标注疏密不均、正负刻度标反均为常见扣分点。 【变式1】下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有__________个． 【答案】3 【分析】本题考查了数轴的画法及其意义，把握数轴三要素，即原点、正方向、单位长度，是解答此题的关键． 根据数轴的定义，对每个说法进行分析判断，即可求解． 【详解】说法（1），数轴上，原点位置的确定是任意的，符合题意； 说法（2），数轴上，一般情况下，正方向可以是向右，符合题意； 说法（3），数轴上，单位长度可根据需要任意选取，符合题意； 说法（4），数轴上的点不仅能表示整数，还能表示分数，无限不循环小数等，不符合题意． 说法共有3个正确． 故答案为：3． 【变式2】下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有__________个． 【答案】1 【分析】本题考查了数轴相关定义，掌握数轴的定义以及在数轴上的点的意义是解题的关键．一条规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 根据数轴的定义，用数轴上的点表示有理数，逐项分析判断即可得到答案． 【详解】解：①数轴上的点能表示整数，也能表示分数，故①不正确； ②数轴是一条直线，故②不正确； ③数轴上的一个点只能表示一个数，故③正确； ④数轴上能找到既不表示正数，又不表示负数的点即原点，它表示0，故④不正确； ⑤数轴上的点所表示的数不一定都是有理数，故⑤不正确． 故正确的有③，共1个 故答案为：1 【变式3】判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） （1）    （2） （3）    （4） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度逐项判断即可． 【详解】解：图（1）有单位长度和正方向，有原点，故正确； 图（2）有原点和单位长度，但没有正方向，故不正确； 图（3）有原点和正方向，但所画负半轴上的数字排列顺序不对，故不正确； 图（4）有原点和正方向，但单位长度不一致，故不正确； 综上，四个选项中，只有（1）正确． 故选：B． 【变式4】画数轴，在数轴上表示出下列有理数：，，，， 【答案】见解析 【分析】本题考查了数轴的有关知识，熟练掌握数轴上的数的分布特点是解题的关键．根据数轴与有理数的关系进行画图即可． 【详解】解：如图所示， 题型2 用数轴上的点表示有理数 【例2】如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设点表示的数为， 由图可知：， 观察各选项，只有选项B符合题意. 【变式1】如图，数轴上点位于原点右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点，根据它在数轴上的位置估计即可． 【详解】数轴上点位于原点右侧一个单位距离， 点表示的数是， 由图可知：小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点， 小蘑菇所在点表示的数可能为． 【变式2】在数轴上，位于原点左侧，且到原点的距离为2的数是________． 【答案】 【详解】解：在数轴上，位于原点左侧，且到原点的距离为2的数是． 【变式3】如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为________． 【答案】 【分析】本题考查数轴的概念，关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：和刻度分别与数轴上表示2和4的两点对齐， 数轴的单位长度是， 原点对应的刻度， 数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故答案为：． 【变式4】在数轴上表示下列各数：，，，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了用数轴表示出有理数，画出数轴在数轴上表示出各数即可． 【详解】解：画出数轴并在数轴上表示出各数如图所示： 题型3 利用数轴比较有理数的大小 【例3】将0，，，，，3这六个数在数轴上表示出来，并用“”将它们连接起来． 【答案】见解析， 【详解】解：各数在数轴上表示如下： 用“”把它们连接起来为：． 【易错警示】 牢记数轴左小右大的核心规律，切忌颠倒大小顺序。负数比较易出错，绝对值越大数值越小，切勿脱离数轴直观、凭感觉排序，同时牢记负数小于0、正数大于0。 【变式1】完成下列问题 (1)补全数轴； (2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）根据数轴三要素画图即可； （2）将5个数在数轴上表示出来，然后根据数轴左边的数小于右边的数用“”号把这些数连接起来． 【详解】（1）解：如图所示，数轴即为所求； （2）解：如图所示， ∴． 【变式2】如图，点A，B在数轴上，点C表示的数是，点D表示的数是2． (1)点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)在数轴上表示出点C，点D； (3)将点A，C，D表示的数由小到大排列出来． 【答案】(1)，3 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，熟知有理数与数轴的关系是解题的关键． （1）根据点在数轴上的位置即可得到答案； （2）根据点C和点D表示的数在数轴上描点即可； （3）根据数轴上左边的数小于右边的数即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可得，点A表示的数为，点B表示的数为3； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由数轴可得． 【变式3】（1）指出图中数轴上各点分别表示的有理数； （2）用数轴上的点表示下列各数，并用“”将这些数连接起来． 【答案】（1）各点表示的有理数分别为，，，；（2）见解析，． 【分析】本题考查了有理数与数轴，利用数轴比较有理数大小 （1）根据数轴写出有理数即可； （2）先在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数，按从小到大的顺序排列即可．． 【详解】（1）解：各点表示的有理数分别为，，，； （2）在数轴上表示如下： 【变式4】将如图的直线补全成一条数轴，并在数轴上表示下列各数：2，，，再用“”把它们连接起来． 【答案】数轴见解析； 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．根据数轴上点的特点把各数表示在数轴上，并用“”连接即可． 【详解】解：把各数表示在数轴上，如图所示： 用“”连接为：． 题型4 数轴上两点之间的距离 【例4】如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置关系，通过点A表示的数以及A、B两点间的距离来确定点B表示的数． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∴从数轴上可以看出点A到点B的距离是4个单位长度， ∵点B在点A右侧， ∴点B表示的数比点A表示的数大4，即． 【易错警示】 数轴两点距离为两数差的绝对值，无正负之分。易错直接大数减小数、漏写绝对值，不清楚已知距离求点有左右两种情况，容易漏解。 【变式1】在数轴上A、B两点分别表示的数是2和8，在数轴上，点A右侧有另外一点P，且P到A、B的距离和是10，则点P表示的数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设点表示的数为，根据在点右侧，分在、之间和在右侧两种情况，利用数轴上两点间距离的性质列方程求解即可. 【详解】解：设点表示的数为， ∵点在点右侧， ∴， ①当点在、之间，即时， 由数轴上点的位置关系可得，，， ∵， ∴该情况不符合题意； ②当点在点右侧，即时， 可得，， ∴， 解得，符合题意； 综上，点表示的数为. 【变式2】如图，数轴上点P所表示的数为x，则下列说法正确的是（     ） A．在x和0之间有3个负数 B．与3相比，x离0更近一些 C．在x和之间有5个整数 D．x比大 【答案】C 【详解】解：A、在x和0之间有无数个负数，原说法不正确，该选项不符合题意； B、与3相比，x离0更远一些，原说法不正确，该选项不符合题意； C、在x和之间有5个整数，原说法正确，该选项符合题意； D、x比小，原说法不正确，该选项不符合题意． 【变式3】数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 【答案】或或 【分析】利用两点间的距离公式可以知道点表示的数为或，再由点C到点B距离为2（点C不在原点上），可得答案． 【详解】解：数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5， 点表示的数为或， 点C到点B距离为2（点C不在原点上）， 点C表示的数为（舍去）或或或． 综上，点C表示的数为或或． 【变式4】如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，则点D表示的数是_________；到点D距离2个单位长度的数是_________． (2)用数轴上的点M、N分别表示有理数和． (3)将，0，，，4这5个数用“<”连接的结果是__________________． 【答案】(1)；或1 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出点A表示的有理数是：4，再结合点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，得出点D表示的数是，则点D距离2个单位长度的数是或1； （2）结合点M、N分别表示有理数和，直接在数轴上描点，即可作答． （3）由（2）中的数轴，越在数轴的右边的数越大，得，即可作答． 【详解】（1）解：由数轴得点A表示的有理数是：4， ∵将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示， ∴， 则点D表示的数是； 或， 即到点D距离2个单位长度的数是或1； 故答案为：；或1； （2）解：依题意，用数轴上的点M、N分别表示有理数和．如下图所示： （3）解：由（2）中的数轴，得， 故答案为：． 题型5 数轴上的中点问题 【例5】如图，数轴上从左至右有点B，O，A三点，其中点A表示的数是2024，点O表示的数是0．若点O是线段的中点，则点B表示的数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，用有理数表示数轴上的点，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键． 【详解】∵点A表示的数是2024，点O表示的数是0，点O是线段的中点， ∴点B表示的数是． 故选：B． 【易错警示】 数轴中点公式为两数和的一半，并非差的一半。解题易混淆中点与距离公式，已知中点求动点时忽略逆向计算，未分类讨论导致答案出错。 【变式1】点A、B在同一数轴上，其中点A表示的数是，若，则B点表示的数为（   ） A． B．或 C．或1 D．1 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间距离的计算，需考虑点B在点A左右两侧两种情况． 【详解】解：设点B表示的数为 ∵点A表示的数是，， ∴根据数轴上两点间距离公式，得，即， 当时，解得， 当时，解得， ∴点B表示的数为或， 故选：C． 【变式2】如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．若，则（ ） A．4.5或5.5 B．5.5或6.5 C．5.5或7.5 D．4.5或7.5 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点中点计算公式，先求出点C表示的数， 再根据数轴上两点距离计算公式求出点E表示的数，据此可得答案． 【详解】解：∵、表示的数分别是，，且点为线段的中点， ∴点C表示的数为， ∵点表示的数为1，， ∴点E表示的数为或， ∵点为线段的中点， ∴点F表示的书为或， ∴或 故选：D． 【变式3】数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点，表示的数分别为，3，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为_______． 【答案】0或9或 【分析】根据中点到其它两点之间的距离相等，分点分别为其它两个点的中点，三种情况进行求解即可．掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 【详解】解：①当点为点，的中点时，点表示的数为； ②当点为点，的中点时，点表示的数为； ③当点为点，的中点时，点表示的数为； 综上：点表示的数为0或9或； 故答案为：0或9或． 【变式4】在数轴上，点A表示，点B表示，点C表示． (1)求线段的长． (2)点C是不是线段的中点？请说明理由． (3)取线段的中点D，那么点D表示什么数？ 【答案】(1)6 (2)是，理由见解析 (3) 【分析】本题考查数轴上两点间距离，线段中点的有关计算： （1）用点A表示的数减去点B表示的数即可； （2）利用中点公式判断； （3）线段中点表示的数即两端点坐标的平均数． 【详解】（1）解：点A表示，点B表示， ； （2）解：点C是线段的中点，理由如下： 线段的中点表示的数为：； （3）解：线段的中点D表示的数为：． 题型6 数轴上的点的平移 【例6】如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 【变式1】在数轴上，点表示，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点移动，掌握“右加左减”的规则是解题关键． 根据数轴上点的移动规则，向右移动几个单位长度加几，向左移动几个单位长度减几，逐步计算即可． 【详解】解：∵点表示，向右移动个单位长度， ∴移动后位置为：， ∵再向左移动个单位长度， ∴点表示的数为：． 故选：． 【变式2】点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 【变式3】点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为___________． 【答案】6或 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点间的距离，先根据题意得到A表示的数，再得到点B表示的数，再根据点C到点B的距离为4，利用数轴上两点间的距离公式求出点C的值即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点A在数轴的负半轴上，且距离原点3个单位长度， ∴点A表示的数为， ∵将点A沿数轴向右移动5个单位长度到点， ∴点B表示的数为：， ∵点C到点B的距离为4，设点C表示的数为，则， ∴或， 解得：或， ∴点C表示的数为6或， 故答案为：6或． 【变式4】如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． (1)请求出在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以4个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以6个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，通过计算，请你求出点C对应的数． (3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度？ 【答案】(1)40 (2)52 (3)20秒或40秒 【分析】此题考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到了路程=速度×时间． （1）根据中点坐标公式即可求解； （2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出向右运动到相遇地点所对应的数； （3）设当它们运动t秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度，分类讨论： ①蚂蚁P追上蚂蚁Q前，②蚂蚁P追上蚂蚁Q后，逐项求解即可． 【详解】（1）解：M点对应的数是； （2）由数轴，得A、B两点距离为， ∴两只蚂蚁相遇时间为秒， ∴点C对应的数为． （3）设当它们运动t秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度，依题意，得 ①蚂蚁P追上蚂蚁Q前， ， 解得，   ②蚂蚁P追上蚂蚁Q后， ， ． 答：当它们运动20秒或40秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度． 题型7 数轴上找原点 【例7】如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 【变式1】如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意：A、C之间的距离为6个单位长度，点A、C到原点的距离相等，得出点A表示的数为，点C表示的数为3，再结合数轴，即可得出点B表示的数． 【详解】解：∵A、C之间的距离为6个单位长度，点A、C到原点的距离相等， ∴点A表示的数为，点C表示的数为3， ∵点在点右侧2个单位， ∴点B表示的数为． 【变式2】如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上找原点，据中点求出点表示的数，进而即可求解，理解中点和数轴的定义是解题的关键． 【详解】解：是线段的中点， 点表示的数是， ∴原点位于线段上，且靠近点， 故选：． 【变式3】如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【分析】本题考查数轴的有关知识以及相反数的性质，关键是先求出、两点在直尺上的距离，再结合“互为相反数的两点到原点距离相等”确定原点对应的刻度． 【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点对应刻度， ∴、在直尺上的距离为， ∵点、表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为； 故答案为：6． 【变式4】如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3． (1)在图中所示的数轴上标出原点O； (2)在图中所示的数轴上用圆点表示出下列4个数：，，1，4． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】此题主要考查了数轴上表示数，关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点A表示的数是，点B表示的数是3，即可得原点位置； （2）在数轴上确定表示各数的点的位置即可． 【详解】（1）解：原点O如图所示 （2）解：，，1，4表示为 题型8 数轴上整点覆盖问题 【例8】如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的概念以及整数的范围确定．确定遮挡的整数范围是解题的关键． 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 遮挡的区间是到，数出该区间的整数即可解答． 【详解】解：到之间的整数有个， 故选B． 【易错警示】 数轴线段覆盖整点个数需区分端点是否包含，不可直接用大数减小数计算。易忽略端点取值、整数与小数区间差异，导致整点个数多数或漏数、计算出错。 【变式1】如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；根据数轴可进行求解． 【详解】解：由数轴可知：被墨水盖住的部分整数有，共7个； 故选D． 【变式2】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 【详解】解：当起点在整点时，盖住的整点个数为； 当起点不在整点时，设线段的区间为，其中a不是整数，则盖住的整点个数为． 线段盖住的整点个数为4或5． 故选：D． 【变式3】已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为．有一辆玩具火车放置在数轴上，将玩具火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点与点重合；当点移动到点时，点与点重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为______． 【答案】 【分析】此题考查了数轴上的点表示数和整数的个数问题，熟练掌握数轴的特征是解题的关键．由题意可得到的长度是玩具火车的倍，则玩具火车长度为，要使玩具火车能更多的覆盖住整数，应使玩具火车的左端尽可能靠近整数点的左侧，玩具火车的右端尽可能靠近整数点的右侧，据此即可得到答案． 【详解】解：∵已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为． ∴, 由题意可知，的长度是玩具火车的倍， ∴玩具火车长度为， 要使玩具火车能更多的覆盖住整数，应使玩具火车的左端尽可能靠近整数点的左侧，玩具火车的右端尽可能靠近整数点的右侧，此时玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为， 故答案为： 【变式4】老师不小心把一滴墨水滴在画好的数轴上，如图所示，试根据图中标出的数值判断被墨水盖住的整数，并把它写出来． 【答案】 【分析】由题中的图可知被墨水污染的部分在-12.6至-7.5之间与10.5至17.5之间，根据数轴上点的坐标特点可直接写出-12.6到-7.5、与 10.5到 17.5之间的整数． 【详解】解：依题意得：在-12.6到-7.5之间的整数为： 10.5至17.5之间的整数为： 所以被墨水盖住的整数为： 【点睛】本题考查了数轴，知道数轴上的点是连续的是解题的关键． 题型9 数轴上的规律探究 【例9】正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键． 根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， ， 数轴上所对应的顶点是． 故选：C． 【变式1】正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2027所对应的点． 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，， 所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得，， 因为余2，所以数轴上数2027所对应的点是点C， 故选：C． 【变式2】在数轴上，点所表示的数为，现将点沿数轴做如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了数轴上的动点问题．序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少1，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加1，即可解答． 【详解】解：第一次点向左移动1个单位长度至点，则表示的数，； 第 2 次从点向右移动2个单位长度至点，则表示的数为； 第 3 次从点向左移动3个单位长度至点，则表示的数为； 第4次从点向右移动4个单位长度至点，则表示的数为； 第 5 次从点向左移动5个单位长度至点，则表示的数为； ．．．； 故每移动两次向右移动1个单位长度，序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少1，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加1， ， 则点所表示的数为：， 故选：D． 【变式3】如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的跳动规律以及中点距离的计算，通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与中点的距离，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：B． 【变式4】如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度； (1)求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少？ (2)求在数轴上点B所对应的数b； (3)若D是数轴上一点，且满足，通过计算，求点D所对应的数； (4)如图3，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第n次跳动后，直接写出数轴上点所表示的数（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是 (2) (3)点D表示的数为2或 (4) 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上的动点问题是解题的关键． （1）根据点、是数轴上从左到右排列的点，进而根据数轴上两点距离可进行求解； （2）根据点B对齐刻度列式求解即可； （3）首先求出，然后分两种情况求解即可； （4）首先求出，然后根据线段中点的概念找出规律求解即可． 【详解】（1），是数轴上从左到右排列的点，在数轴上对应的数分别为，2， ； ， ∴数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的； （2）∵点B对齐刻度， ∴， ∴， ∴在数轴上点B所对应的数； （3）∵点A表示的数是，点B表示的数是， ∴ ∴ ∴点D所对应的数为或； （4）点B表示的数是，点C表示的数是2， ， 一质点从点处向点方向跳动，第一次跳动到的中点处， 点表示的数为， 第二次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 第三次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 第四次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 点表示的数为． 题型10 数轴上的对折问题 【例10】小超在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为在B的左侧，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，以对应的点对折，根据数轴上点的位置判断即可得到结果． 【详解】解：根据折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，得到以对应的点对折， ∵数轴上A、B两点之间的距离为6（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合， ∴A表示的数为，B表示的数为2． 故选：A． 【点睛】此题考查了数轴，得出关于对应的点对折是解本题的关键． 【变式1】小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点的中点计算公式，先根据题意求出折叠点为，再由数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，得到点A在折叠点的左边，且到折叠点的距离为5，据此利用数轴上两点距离计算公式即可求出答案． 【详解】解：∵折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合， ∴折叠点为， ∵数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合， ∴点A在折叠点的左边，且到折叠点的距离为5， ∴点A表示的数为， 故答案为：． 【变式2】在长方形纸片上有一条数轴，小康裁剪了10个单位长度（到6）的一条线段，如图，其中点表示的数为，点表示的数为5，小康先将纸片左右对折，再将对折后的纸片沿数轴上的点左右折叠使得点与点重合，点表示的数是________．    【答案】或 【分析】本题考查了数轴的应用、线段中点的有关计算，先求出第一次对折的折痕点为1，再根据将对折后的纸片沿某点折叠后使得点与点重合可求出第二次的折痕点，由此即可得出答案． 【详解】解：折痕点为对应点所连线段的中点， 第一次对折的折痕点为：， ∴点对应的点为3，点对应的点为， 再将对折后的纸片沿某点折叠后使得点与点重合，则重合或重合， 第二次对折的折痕点为：，或， 即点表示的数是：或 故答案为：或． 【变式3】数轴是数学中重要的工具，它建立了数与点之间的对应关系，是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴并进行如下操作探究：在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4． (1)若点在之间且，则点表示的数为 ； (2)若将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合，则表示的点与 表示的点重合； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，则点表示的数是 ． 【答案】(1)0 (2)16 (3) 【分析】本题考查数轴，在数轴上表示有理数，折叠，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，则，得到点表示的数为，即可解答； （2）先求出折叠点为，得到到折叠点的距离，则折叠后的对应点与的距离为18，即可解答； （3）先求出折叠后点A表示的数为，可得到折叠点为，即可解答． 【详解】（1）解：∵表示的数分别是，4， ∴， ∵点在之间且， ∴， 则， ∴点表示的数为0． 故答案为：0． （2）∵表示的数分别是，4，将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合， ∴折叠点为， ∴到折叠点的距离为 ， 即折叠后的对应点与的距离为18， ∴， 即表示的点与16表示的点重合． 故答案为：16． （3）∵以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，B表示的数分别是4， ∴折叠后点A表示的数为， ∴折叠点为， 即点表示的数为． 故答案为：． 【变式4】【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．例如，图1中，点表示的数分别为1，2，4，此时点为线段的“理想点”．如图2，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80． (1)则点之间的距离为___________； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图3放置在数轴上，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【答案】(1)90 (2)所对应的数是20或50； (3)折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53． 【分析】本题考查数轴两点之间的距离和翻折问题，理解题意，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分情况讨论对应数轴上的数即可． （3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为80， ∴， ∴点之间的距离是90； 故答案为：90； （2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为， 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为20； 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为50； ∴线段的“理想点”所对应的数是20或50； （3）解：∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为18，18，54， ①当从到三条纸条的长度为18，18，54，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ②当从到三条纸条的长度为18，54，18，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ③当从到三条纸条的长度为54，18，18，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53． 1．如图所示的是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，对四个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、图中缺少原点和正方向，故A错误； B、具备原点、正方向和单位长度，且数字排列顺序正确，故B正确； C、原点左侧负数排列顺序错误，应在的右侧，故C错误； D、到0的距离与0到1的距离不相等，即单位长度不统一，故D错误． 2．若5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么伦敦时间7月27日20时应是（    ） A．北京时间7月27日12时 B．巴黎时间7月27日19时 C．纽约时间7月28日1时 D．首尔时间7月28日5时 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离，有理数加减运算的实际应用，根据数轴分析其他城市比伦敦时间早（或者晚）几小时，在伦敦时间上加（或减）几小时即可． 【详解】解：A．北京时间比伦敦时间早8个小时，所以北京时间应该为7月28日4时，故本选项错误； B．巴黎时间比伦敦时间早1个小时，所以巴黎时间应该为7月27日21时，故本选项错误； C．纽约时间比伦敦时间晚5个小时，所以纽约时间应该为7月27日15时，故本选项错误； D．首尔时间比伦敦时间早9个小时，所以首尔时间应该为7月28日5时，故本选项正确． 故选：D． 3．如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴．由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0， ∴四个选项中只有C选项中的数符合题意， 故选：C． 4．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024． 故选：C． 5．如图，数轴上点，表示的数到原点的距离相等，且点A，点B之间的距离为6．将点A在数轴上移动2个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减．先求出点A表示的数，然后分两种情况求出点C表示的数即可． 【详解】解：∵数轴上点，表示的数到原点的距离相等，且点A，点B之间的距离为6， ∴点A表示的数为：， 当点A在数轴上向右移动2个单位长度得到点时，点C表示的数为：； 当点A在数轴上向左移动2个单位长度得到点时，点C表示的数为：； 故选：C． 6．数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，推出开始运动后，，即可求解． 【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：， 故选：C． 7．点A、B、M在数轴上，且点M分别到点A、B的距离相等．点A沿着数轴从数字处以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点B沿着数轴从数字4处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点M的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒0.5个单位长度的速度向右匀速运动 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和列代数式，用到的知识点是数轴上两点之间的距离．设运动时间为t秒，表示出点A和点B的位置，利用点M到A、B距离相等得出点M是A、B的中点，求出点M的位置表达式，从而确定其运动方式． 【详解】解：设运动时间为t（）秒， ∵点A从处以每秒3个单位向左运动， ∴t秒后点A表示的数为：， ∵点B从4处以每秒2个单位向右运动， ∴t秒后点B表示的数为：， ∵点M到点A、B的距离相等， ∴点M是线段的中点， ∴点M表示的数为：， ∴点M从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动． 故选：B． 8．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 9．在数轴上与表示数的点的距离为3个单位长度的点所表示的数是____． 【答案】1或 【分析】满足条件的点可在数轴上表示数的点的右边或左边． 【详解】解：当满足条件的点在数轴上表示数的点的右边时，则； 当满足条件的点在数轴上表示数的点的左边时，． 10．已知数轴上点表示有理数，点与点的距离为，则点表示的有理数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，设点表示的有理数为，则，解得或，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设点表示的有理数为，则， 解得或， 故答案为：或． 11．已知点、是数轴上的两个点，若点表示的数为，点表示的数为6，则的中点表示的数是______． 【答案】1 【分析】本题考查数轴上线段中点所对应的数的计算方法，根据中点公式求解即可． 【详解】解：若点表示的数为，点表示的数为6， 则线段的中点对应的数为， 故答案为1． 12．如图，在数轴上，点A，B所表示的数分别为，，则A，B两点之间表示整数的点一共有________个． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，正确理解题意是解题的关键．根据有理数大小比较的方法确定出、分别介于哪两个整数之间，进而即可得出A、B两点之间表示整数的点个数． 【详解】解：，， ∴所以大于并且小于的整数有、、、0、1、2共6个． 故答案为：6． 13．如图所示，半径为1个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，线段是圆片的直径，将圆片沿数轴滚动，点B第二次到达数轴上点C的位置，点C表示的数是_________．（取） 【答案】或 【分析】根据圆的周长公式计算出圆的周长，分析点B接触数轴的规律，确定点B第二次到达数轴时圆滚动的距离，再根据滚动方向得出点C表示的数． 【详解】解：∵圆的半径为1， ∴圆的周长为， 由题意得，线段是圆片的直径，且初始时点A与原点重合， ∵点B在点A的正上方， ∴圆片向右滚动半周时，点B第一次到达数轴， 此时滚动的距离为， 当圆片再向右滚动一周时，点B第二次到达数轴，即为点C， 此时滚动的总距离为， 同理当圆片的滚动方向向左时，点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数是或． 14．A、B、C是数轴上的三个点，点A、B表示的数分别是、4，若，则点C表示的数是________． 【答案】1或/或1 【分析】本题主要考查数轴；分两种情况：当点C在点A，B之间时，当点C在点A左边时，再根据数轴上两点距离公式，计算求解即可． 【详解】解：当点C在点A，B之间时，， ∴， ∴， ∴， ∴点C表示的数是1； 当点C在点A左边时，， ∴， ∴， ， ∴点C表示的数是． 故答案为：1或． 15．如图，在数轴上，点表示数，现将点沿数轴作如下移动，第一次将点向右移动2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达点，第三次将点向右移动6个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第2026次移动到点，那么点所表示的数为______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上动点问题以及数字的变化规律，找出点的变化规律是解题的关键． 根据题意可知从第一次开始计算，每两次移动的结果都是向左2个单位，因此先计算出有多少个两次移动，再将数量乘以，与原始位置的数据相加即可． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 16．在纸条上画一数轴，是数轴上的三个点，点表示数，且点，点之间的距离为3，将纸条上的数轴折叠，使得重合，则折痕表示的数是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，绝对值，整式的加减，解题的关键是掌握整式加减的运算法则． 先求得点B表示的数，再求折痕点C表示的数即可解答． 【详解】解：点表示数，且点，点之间的距离为3， 点表示数为或， 则折痕表示的数是或， 故答案为：或． 17．如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4．有P、Q两点分别从A、B两点出发同时以2个单位长度每秒的速度在数轴上同向运动，M、N分别是与的中点，当运动时间为4秒时，M、N两点之间的距离是________． 【答案】6 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，线段的中点，根据题意利用分类讨论思想解题是关键． 分点P，Q同时向右，同时向左两种情况，结合数轴上两点间的距离和线段中点的定义计算求解． 【详解】解：①当点P，Q同时向右运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵、分别是与的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴、两点之间的距离是； ②当点P，Q同时向左运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵、分别是与的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴、两点之间的距离是； 故答案为： 6． 18．在数轴上表示下列各数：3，，4，，0，，，并把这些数用“”号连接． 【答案】图见解析， 【分析】先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可． 本题考查了有理数的大小比较和数轴，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 【详解】解：如图所示： 故答案为： 19．已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1) _______，_______． (2)写出大于的所有负整数_______． 【答案】(1)2， (2)， 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴，有理数的大小比较，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据题意得到； （2）写出大于的负整数即可． 【详解】（1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3， ∴， 故答案为：2，； （2）解：大于的所有负整数是，． 故答案为：，． 20．数轴上点、、的位置如图所示．请回答下列问题： (1)表示有理数的点是点_______，将点向左移动4个单位长度得到点，则点表示的有理数是_______； (2)在数轴上标出点、，其中点、分别表示有理数和； (3)将，，，这四个数用“”号连接的结果是_____． 【答案】(1)A； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点间的距离，数轴上平移计算，数轴比较数的大小． （1）根据数轴的意义，确定点；根据左减右加计算即可． （2）根据数的大小和符号两个方面去解答即可． （3）根据数轴上越靠近右边的数越大比较解答即可． 【详解】（1）解：表示有理数的点是点A， ∵点对应的有理数为2， ∴将点向左移动4个单位长度得到点表示的有理数是； 故答案为：A； （2）解：如图，点D，E即为所求； （3）解：将，，，这四个数用“”号连接的结果是． 故答案为： 21．看图填空． （1）如果点B表示的数是，那么点C表示的数是________． （2）如果点D表示的数是50，那么点A表示的数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴表示数，掌握和理解数轴的单位长度是解决此题的关键；根据数轴到原点的距离分析即可得到答案； 【详解】解：根据分析可知： （1）如果点B表示的数是，那么点C表示的数是． （2）如果点D表示的数是50，那么点A表示的数是． 故答案为：，． 22．数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)，，， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据“伴侣点”的定义即可求解； 对于（2），分三种情况讨论可求M、N的阶伴侣点所表示的数. 【详解】（1）解：， ∴. 则点C是点A，B的3阶伴侣点. 故答案为：3. （2）解：， M、N的阶伴侣点在的左边时，所表示的数为； M、N的阶伴侣点在和4中间时，所表示的数为或；M、N的阶伴侣点在4的右边时，所表示的数为. 综上所述，M、N的阶伴侣点所表示的数为，，，. 23．“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 【答案】(1)原点、正方向、单位长度 (2)见解析 (3)B点表示的数为4，见解析 【分析】此题考查了数轴上的点表示数和数轴的定义等知识，准确理解数轴的定义是关键． （1）根据数轴的定义进行解答即可； （2）根据点在数轴上的位置进行解答即可； （3）设，则，根据列方程并解方程即可得B点表示的数，再根据点B的位置找到原点的位置即可． 【详解】（1）解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴， 故答案为：原点、正方向、单位长度 （2）如图即为所求， （3）解：设，则 ∵， ∴ 解得 所以B点表示的数为4. 如图，在数轴上标出原点O． 24．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上， 个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；点所对应的数为 ； (2)若是数轴上一点，且满足点到点的距离是点到点距离的2倍，求点所对应的数． 【答案】(1)，，； (2)点所对应的数为或0． 【分析】本题考查了数轴，掌握用数轴上的点表示数的方法是解题的关键． （1）根据图1和图2中的数据可直接得出答案； （2）求出，然后分情况求解即可． 【详解】（1）解：图1的数轴上，个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的；点所对应的数为； 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知点所对应的数为， 所以点到点的距离为． 因为点到点的距离是点到点距离的2倍， 所以点到点的距离是． 当点在点左侧时，点所对应的数为 当点在点右侧时，点所对应的数为 综上，点所对应的数为或0． 25．如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 26．数轴是数学中重要的工具，它建立了数与点之间的对应关系，是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴并进行如下操作探究：在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4． (1)若点在之间且，则点表示的数为 ； (2)若将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合，则表示的点与 表示的点重合； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，则点表示的数是 ． 【答案】(1)0 (2)16 (3) 【分析】本题考查数轴，在数轴上表示有理数，折叠，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，则，得到点表示的数为，即可解答； （2）先求出折叠点为，得到到折叠点的距离，则折叠后的对应点与的距离为18，即可解答； （3）先求出折叠后点A表示的数为，可得到折叠点为，即可解答． 【详解】（1）解：∵表示的数分别是，4， ∴， ∵点在之间且， ∴， 则， ∴点表示的数为0． 故答案为：0． （2）∵表示的数分别是，4，将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合， ∴折叠点为， ∴到折叠点的距离为 ， 即折叠后的对应点与的距离为18， ∴， 即表示的点与16表示的点重合． 故答案为：16． （3）∵以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，B表示的数分别是4， ∴折叠后点A表示的数为， ∴折叠点为， 即点表示的数为． 故答案为：． 27．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1) (2) (3)当在之间时，点表示的数为，；当在点左边时，点P表示的数为， 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）分两种情况讨论：当在之间时，，点表示的数为，此时；当在点左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：①当在之间时，， 点表示的数为：， 此时； ②当在点左边时，， 点P表示的数为：， 此时． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 数轴 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 数轴的三要素及其画法 题型2 用数轴上的点表示有理数 题型3 利用数轴比较有理数的大小 题型4 数轴上两点之间的距离 题型5 数轴上的中点问题 题型6 数轴上的点的平移 题型7 数轴上找原点 题型8 数轴上整点覆盖问题 题型9 数轴上的规律探究 题型10 数轴上的对折问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 数轴的三要素 数轴的画法 数轴上两点之间的距离 数轴的平移 1. 理解数轴定义，掌握原点、正方向、单位长度三大核心要素。 2. 能规范绘制数轴，准确在数轴上标注对应有理数。 3. 理解数轴上的点与有理数的对应关系，学会数形结合分析。 4. 借助数轴直观比较有理数大小，掌握右大左小的规律。 5. 能利用数轴解决点的平移、距离计算等基础题型。 学习重点：数轴三要素、有理数与数轴上点的对应关系、利用数轴比较有理数的大小。 学习难点：数轴上点的平移、数轴上两点之间的距离、数形结合。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 数轴的概念与画法 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 即时即练 1．下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 2．画一条水平_____，在直线上取一点，表示____（叫做______），选取某一适当长度为____，规定直线上向___的方向为____，就得到一条数轴． 3．如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 知识点02 有理数与数轴上点的对应关系 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 3.数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 【注意事项】 1. 认知误区：误认为数轴上所有点都表示有理数，实则数轴还包含无理数，有理数只是其中部分点。 2. 对应混淆：一个有理数只对应数轴上唯一一点，但数轴上一点不一定只对应有理数，易单向对应出错。 3. 描点失误：忽略单位长度不统一、刻度标注错误，导致有理数描点位置偏移、读数不准。 4. 整数点误解：误以为数轴上的点都是整数，忽视分数、小数对应的数轴点位。 5. 逆向出错：已知数轴上点的位置写数时，混淆正负方向，正负有理数对应点位写反。 即时即练 4．如图，数轴上点M表示的数可能是（    ） A． B．0.5 C．1.5 D．2 5．将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0和8分别对应着数轴上的和x，则x的值是________． 6．如图，四个有理数在数轴上对应的点分别为，若，则四个数中是负数的有__________个． 知识点03 利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 【注意事项】 1. 规律记错：混淆数轴大小规律，错误认为左侧数更大、右侧数更小，违背左小右大核心原则。 2. 负数比较失误：忽略负数特性，仅凭数轴距离判断大小，误判绝对值大的负数数值更大。 3. 零值判断出错：比较正数、负数、0大小时，忘记负数永远小于0，正数永远大于0。 4. 多点比较混乱：多个有理数排序时，未按数轴从左到右顺序排列，出现大小排序颠倒、错乱。 5. 忽略数形结合：脱离数轴直观判断，仅凭主观臆断比较异号、多有理数大小，极易出错。 即时即练 7．如图，数轴上的数a，b，c，d中，小于的是______． 8．请画出数轴并把下列各数在数轴上表示出来，然后用“”连接． ，，，0，，1． 9．用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来． ． 题型1 数轴的三要素及其画法 【例1】数轴是一条规定了______、______和单位长度的______． 【易错警示】 数轴必须同时具备原点、正方向、单位长度三要素，缺一不算数轴。画图易漏画箭头、原点错位、单位长度不统一，刻度标注疏密不均、正负刻度标反均为常见扣分点。 【变式1】下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有__________个． 【变式2】下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有__________个． 【变式3】判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） （1）    （2） （3）    （4） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4】画数轴，在数轴上表示出下列有理数：，，，， 题型2 用数轴上的点表示有理数 【例2】如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，数轴上点位于原点右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（     ） A． B． C． D． 【变式2】在数轴上，位于原点左侧，且到原点的距离为2的数是________． 【变式3】如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为________． 【变式4】在数轴上表示下列各数：，，，，，，． 题型3 利用数轴比较有理数的大小 【例3】将0，，，，，3这六个数在数轴上表示出来，并用“”将它们连接起来． 【易错警示】 牢记数轴左小右大的核心规律，切忌颠倒大小顺序。负数比较易出错，绝对值越大数值越小，切勿脱离数轴直观、凭感觉排序，同时牢记负数小于0、正数大于0。 【变式1】完成下列问题 (1)补全数轴； (2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 【变式2】如图，点A，B在数轴上，点C表示的数是，点D表示的数是2． (1)点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)在数轴上表示出点C，点D； (3)将点A，C，D表示的数由小到大排列出来． 【变式3】（1）指出图中数轴上各点分别表示的有理数； （2）用数轴上的点表示下列各数，并用“”将这些数连接起来． 【变式4】将如图的直线补全成一条数轴，并在数轴上表示下列各数：2，，，再用“”把它们连接起来． 题型4 数轴上两点之间的距离 【例4】如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【易错警示】 数轴两点距离为两数差的绝对值，无正负之分。易错直接大数减小数、漏写绝对值，不清楚已知距离求点有左右两种情况，容易漏解。 【变式1】在数轴上A、B两点分别表示的数是2和8，在数轴上，点A右侧有另外一点P，且P到A、B的距离和是10，则点P表示的数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式2】如图，数轴上点P所表示的数为x，则下列说法正确的是（     ） A．在x和0之间有3个负数 B．与3相比，x离0更近一些 C．在x和之间有5个整数 D．x比大 【变式3】数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 【变式4】如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，则点D表示的数是_________；到点D距离2个单位长度的数是_________． (2)用数轴上的点M、N分别表示有理数和． (3)将，0，，，4这5个数用“<”连接的结果是__________________． 题型5 数轴上的中点问题 【例5】如图，数轴上从左至右有点B，O，A三点，其中点A表示的数是2024，点O表示的数是0．若点O是线段的中点，则点B表示的数是（    ） A．2024 B． C． D． 【易错警示】 数轴中点公式为两数和的一半，并非差的一半。解题易混淆中点与距离公式，已知中点求动点时忽略逆向计算，未分类讨论导致答案出错。 【变式1】点A、B在同一数轴上，其中点A表示的数是，若，则B点表示的数为（   ） A． B．或 C．或1 D．1 【变式2】如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．若，则（ ） A．4.5或5.5 B．5.5或6.5 C．5.5或7.5 D．4.5或7.5 【变式3】数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点，表示的数分别为，3，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为_______． 【变式4】在数轴上，点A表示，点B表示，点C表示． (1)求线段的长． (2)点C是不是线段的中点？请说明理由． (3)取线段的中点D，那么点D表示什么数？ 题型6 数轴上的点的平移 【例6】如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式1】在数轴上，点表示，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【变式3】点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为___________． 【变式4】如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． (1)请求出在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以4个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以6个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，通过计算，请你求出点C对应的数． (3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度？ 题型7 数轴上找原点 【例7】如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【变式1】如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 【变式2】如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【变式3】如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【变式4】如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3． (1)在图中所示的数轴上标出原点O； (2)在图中所示的数轴上用圆点表示出下列4个数：，，1，4． 题型8 数轴上整点覆盖问题 【例8】如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【易错警示】 数轴线段覆盖整点个数需区分端点是否包含，不可直接用大数减小数计算。易忽略端点取值、整数与小数区间差异，导致整点个数多数或漏数、计算出错。 【变式1】如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【变式3】已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为．有一辆玩具火车放置在数轴上，将玩具火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点与点重合；当点移动到点时，点与点重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为______． 【变式4】老师不小心把一滴墨水滴在画好的数轴上，如图所示，试根据图中标出的数值判断被墨水盖住的整数，并把它写出来． 题型9 数轴上的规律探究 【例9】正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【变式1】正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式2】在数轴上，点所表示的数为，现将点沿数轴做如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 【变式4】如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度； (1)求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少？ (2)求在数轴上点B所对应的数b； (3)若D是数轴上一点，且满足，通过计算，求点D所对应的数； (4)如图3，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第n次跳动后，直接写出数轴上点所表示的数（用含n的代数式表示）． 题型10 数轴上的对折问题 【例10】小超在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为在B的左侧，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为______． 【变式2】在长方形纸片上有一条数轴，小康裁剪了10个单位长度（到6）的一条线段，如图，其中点表示的数为，点表示的数为5，小康先将纸片左右对折，再将对折后的纸片沿数轴上的点左右折叠使得点与点重合，点表示的数是________．    【变式3】数轴是数学中重要的工具，它建立了数与点之间的对应关系，是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴并进行如下操作探究：在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4． (1)若点在之间且，则点表示的数为 ； (2)若将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合，则表示的点与 表示的点重合； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，则点表示的数是 ． 【变式4】【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．例如，图1中，点表示的数分别为1，2，4，此时点为线段的“理想点”．如图2，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80． (1)则点之间的距离为___________； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图3放置在数轴上，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 1．如图所示的是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么伦敦时间7月27日20时应是（    ） A．北京时间7月27日12时 B．巴黎时间7月27日19时 C．纽约时间7月28日1时 D．首尔时间7月28日5时 3．如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 4．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 5．如图，数轴上点，表示的数到原点的距离相等，且点A，点B之间的距离为6．将点A在数轴上移动2个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 6．数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 7．点A、B、M在数轴上，且点M分别到点A、B的距离相等．点A沿着数轴从数字处以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点B沿着数轴从数字4处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点M的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒0.5个单位长度的速度向右匀速运动 8．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 9．在数轴上与表示数的点的距离为3个单位长度的点所表示的数是____． 10．已知数轴上点表示有理数，点与点的距离为，则点表示的有理数为______． 11．已知点、是数轴上的两个点，若点表示的数为，点表示的数为6，则的中点表示的数是______． 12．如图，在数轴上，点A，B所表示的数分别为，，则A，B两点之间表示整数的点一共有________个． 13．如图所示，半径为1个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，线段是圆片的直径，将圆片沿数轴滚动，点B第二次到达数轴上点C的位置，点C表示的数是_________．（取） 14．A、B、C是数轴上的三个点，点A、B表示的数分别是、4，若，则点C表示的数是________． 15．如图，在数轴上，点表示数，现将点沿数轴作如下移动，第一次将点向右移动2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达点，第三次将点向右移动6个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第2026次移动到点，那么点所表示的数为______． 16．在纸条上画一数轴，是数轴上的三个点，点表示数，且点，点之间的距离为3，将纸条上的数轴折叠，使得重合，则折痕表示的数是___________． 17．如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4．有P、Q两点分别从A、B两点出发同时以2个单位长度每秒的速度在数轴上同向运动，M、N分别是与的中点，当运动时间为4秒时，M、N两点之间的距离是________． 18．在数轴上表示下列各数：3，，4，，0，，，并把这些数用“”号连接． 19．已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1) _______，_______． (2)写出大于的所有负整数_______． 20．数轴上点、、的位置如图所示．请回答下列问题： (1)表示有理数的点是点_______，将点向左移动4个单位长度得到点，则点表示的有理数是_______； (2)在数轴上标出点、，其中点、分别表示有理数和； (3)将，，，这四个数用“”号连接的结果是_____． 21．看图填空． （1）如果点B表示的数是，那么点C表示的数是________． （2）如果点D表示的数是50，那么点A表示的数是________． 22．数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 23．“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 24．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上， 个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；点所对应的数为 ； (2)若是数轴上一点，且满足点到点的距离是点到点距离的2倍，求点所对应的数． 25．如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 26．数轴是数学中重要的工具，它建立了数与点之间的对应关系，是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴并进行如下操作探究：在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4． (1)若点在之间且，则点表示的数为 ； (2)若将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合，则表示的点与 表示的点重合； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，则点表示的数是 ． 27．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $