3.3 幂函数(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

3.3　幂函数 1.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（8，4），则f（27）＝（　　） A.3 B.3 C.9 D.9 2.下列幂函数中，既是偶函数，又在区间（0，＋∞）上单调递减的是（　　） A.y＝x－2 B.y＝x－1 C.y＝x2 D.y＝ 3.已知函数f（x）＝则y＝－f（x）的图象大致为（　　） 4.已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则下列关于f（x）的说法正确的是（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.在（0，＋∞）上单调递减 D.定义域为[0，＋∞） 5.三个数a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3，则（　　） A.a＜c＜b B.a＜b＜c C.b＜a＜c D.b＜c＜a 6.〔多选〕某同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是{y｜y∈R，且y≠0}；③在区间（－∞，0）上单调递减.则以下幂函数符合这三个性质的有（　　） A.f（x）＝x2 B.f（x）＝x C.f（x）＝x－1 D.f（x）＝ 7.〔多选〕已知幂函数f（x）＝（m－2），则（　　） A.m＝1 B.f（x）的定义域为R C.f（－x）＝－f（x） D.将函数f（x）的图象向左平移1个单位长度得到函数g（x）＝（x－1）3的图象 8.函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是　　　　. 9.若x3＜，则x的取值范围是　　　　. 10.把下列各数按由小到大的顺序排列： ，（，（－）3，（. 11.如图，函数y＝x－1，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分.若幂函数f（x）的图象经过的部分是④⑧，则f（x）的解析式可能是（　　） A.f（x）＝x2 B.f（x）＝ C.f（x）＝ D.f（x）＝x－2 12.〔多选〕已知幂函数f（x）的图象经过点，P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的有（　　） A.x1f（x1）＞x2f（x2） B.x1f（x2）＜x2f（x1） C.＞ D.＜ 13.已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m（0＜m＜1）与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且AB＝CD，则ma＋mb＝　　　　. 14.已知幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）x9－3m的图象关于原点对称，且在R上为增函数. （1）求f（x）的表达式； （2）求满足f（a＋1）＋f（2a－3）＜0的a的取值范围. 15.已知幂函数f（x）＝（p∈N）在（0，＋∞）上单调递增，且在定义域上是偶函数. （1）求p的值，并写出相应的函数f（x）的解析式； （2）对于（1）中求得的函数f（x），设函数g（x）＝－qf（f（x））＋（2q－1）f（x）＋1.问：是否存在实数q（q＜0），使得g（x）在区间（－∞，－4]上单调递减，且在区间（－4，0）上单调递增？若存在，请求出q的值；若不存在，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3　幂函数 1.C　令f（x）＝xα，则8α＝4，可得α＝，所以f（x）＝，故f（27）＝2＝9.故选C. 2.A　其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝不是偶函数，故排除选项B、D；又y＝x2在区间（0，＋∞）上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间（0，＋∞）上单调递减，符合题意，故选A. 3.C　当x＜0时，易知f（x）＝x－2为幂函数，在（－∞，0）单调递增；当x≥0时，易知f（x）＝为幂函数，在[0，＋∞）单调递增.故函数f（x）＝的图象如图所示.要得到y＝－f（x），只需将y＝f（x）的图象沿x轴对称即可，故C满足题意. 4.C　设幂函数y＝f（x）＝xα，α∈R，由题意得2α＝，α＝－，故y＝f（x）＝＝，定义域为（0，＋∞），故D错误；定义域不关于原点对称，即y＝f（x）为非奇非偶函数，A、B错误；由于－＜0，故y＝f（x）＝在（0，＋∞）上单调递减，C正确，故选C. 5.B　因为a＝0.32＜1，b＝1.90.3＞1，c＝20.3＞1，又幂函数y＝x0.3在（0，＋∞）上单调递增，所以20.3＞1.90.3，综上c＞b＞a. 6.CD　A.f（x）＝x2为偶函数，排除；B.f（x）＝x，值域为R，排除；C.f（x）＝x－1为奇函数，值域为{y｜y∈R，且y≠0}，在区间（－∞，0）上单调递减，满足；D.f（x）＝为奇函数，值域为{y｜y∈R，且y≠0}，在区间（－∞，0）上单调递减，满足.故选C、D. 7.BC　由幂函数的定义可知m－2＝1，所以m＝3，所以f（x）＝x3，A错误；由f（x）＝x3可知其定义域为R，B正确；f（x）＝x3为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），C正确；将f（x）＝x3的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝（x＋1）3的图象，D错误. 8.－　解析：因为函数y＝x－3＝在（－∞，0）上单调递减，所以当x＝－2时，y取得最小值，即ymin＝（－2）－3＝＝－. 9.（0，1）　解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x3和y＝的图象，如图所示.由图知，若x3＜，则0＜x＜1. 10.解：（－）3＜0，0＜（＜1，＞1，（＞1，而函数y＝在区间（0，＋∞）上单调递增，所以＞（，所以把所给各数按由小到大的顺序排列为（－）3＜（＜（＜. 11.B　∵幂函数f（x）＝xα的图象过④⑧部分，∴f（x）＝xα在第一象限内单调递减，∴α＜0.又易知当x＝2时，f（x）＞，∴只有B项符合题意. 12.BC　设幂函数为f（x）＝xm，则有＝2－3m＝＝，得m＝，所以f（x）＝（x≥0）.令g（x）＝＝＝，则g（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以g（x1）＞g（x2），即＜，x1f（x2）＜x2f（x1），所以B、C正确. 13.1　解析：由题意知AB＝（m2）a－（m2）b，CD＝ma－mb.根据题图可知b＞1＞a＞0，当0＜m＜1时，（m2）a＞（m2）b，ma＞mb.因为AB＝CD，所以m2a－m2b＝（ma＋mb）（ma－mb）＝ma－mb.因为ma－mb＞0，所以ma＋mb＝1. 14.解：（1）m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3， ∵f（x）在R上为增函数，m＝3不成立， 即m＝2，∴f（x）＝x3. （2）∵f（a＋1）＋f（2a－3）＜0， ∴f（a＋1）＜－f（2a－3）. 又f（x）为奇函数， ∴f（a＋1）＜f（3－2a）， 又函数在R上为增函数， ∴a＋1＜3－2a，∴a＜. 故a的取值范围为. 15.解：（1）因为f（x）在（0，＋∞）上单调递增，由幂函数的图象和性质知－p2＋p＋＞0，解得－1＜p＜3. 因为p∈N，所以p＝2，1，0. 当p＝0或2时，f（x）＝，不是偶函数；当p＝1时，f（x）＝x2，是偶函数.故p＝1，f（x）＝x2. （2）g（x）＝－qx4＋（2q－1）x2＋1，令t＝x2， 则h（t）＝－qt2＋（2q－1）t＋1（t≥0）. 因为t＝x2在（－∞，0）上单调递减，所以当x∈（－∞，－4]时，t∈[16，＋∞）； 当x∈（－4，0）时，t∈（0，16）. 即当h（t）在[16，＋∞）上单调递增，在（0，16）上单调递减时，g（x）在（－∞，－4]上单调递减，在（－4，0）上单调递增， 此时二次函数h（t）的对称轴方程是t＝16，即t＝＝1－＝16， 所以q＝－. 故存在实数q＝－，使得g（x）在（－∞，－4]上单调递减，且在（－4，0）上单调递增. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $