3.1.1变量与函数 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“变量与函数”核心知识点，通过语文课“高处不胜寒”、地理课“早穿皮袄午穿纱”等跨学科生活情境导入，搭建从具体现象到抽象概念的学习支架，帮助学生理解变量、常量及函数关系的形成脉络。 其亮点在于以多学科实例为载体，运用气温曲线图像、声速与气温表格、无人机飞行路程关系式等多元表征，引导学生用数学眼光观察变量变化，用数学思维分析对应关系，用数学语言表达函数定义。通过“观察-归纳-辨析”的教学方法，助力学生发展抽象能力和推理意识，也为教师提供了结构化的情境教学资源。

八年级下册数学（湘教版） 3.1 函数的概念和表示法 第3章 一次函数 第 1 课时 变量与函数 学 习 目 标 1 2 3 通过生活中的实例，理解变量与常量的概念 掌握函数及自变量、因变量、函数值的概念（重点） 通过分析变量之间的函数关系，提高解决问题的能力 （难点） 新课导入 我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的. 在自然现象和日常生活中，你经常会遇到一个量随另一个量的变化而变化的现象. 语文课上... 情景1： 高处不胜寒，起舞弄清影； 说明纬度不变时， 随着 的变化而变化.（气温y、海拔高度x） 气温y 海拔高度x 地理课上... 情景2： 早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜； 说明一天中， 随着 的变化而变化. (气温y、时间x) 气温y 时间x 在某一变化过程中，取值会发生变化的量称为 变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）. 注意： 1.判断一个量是不是变量关键是看在变化过程中， 这个量是否可以取不同的数值； 2. π是一个无理数，属于常量. 归纳小结 新知探究 思 考 看图回答： (1)这天的0时、4时和14时的气温分别为多少？ (2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ (3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？ 问题1：下图是某气象站用自动温度记录仪描出的某一天的气温曲线，探究下面几个问题。 温度T随着时间t的变化而变化． 15℃,10℃,20℃. 20℃,10℃ 4-14时的气温在逐渐升高, 0-4时和14-24时的气温在逐渐降低 研究者研究声音在空气中传播的速度（简称声速）与气温之间的关系时，通过实验得到了几组气温x与声速y对应的数值： 观察思考： ①气温每升高5℃，声速加快______m/s. ②声音在空气中传播的________随着________的变化而变化. 速度y 气温x 3 x/℃ -10 -5 0 5 10 15 20 y/(m/s) 325.36 328.36 331.36 334.36 337.36 340.36 343.36 问题2： 某型无人机以120km/h的速度做匀速飞行，则其飞行的路程y(km)与飞行时间 x(h)之间的关系式为y=120x.该型无人机飞行的路程随飞行时间的变化而变化吗？ 观察思考： ①______________随___________的变化而变化. ②当无人机的飞行时间x取定一个值时，其飞行路程y有______（唯一或不唯一）的值与它对应. 飞行路程y 飞行时间x 唯一 问题3： 新知探究 思考：(1) 下图是某气象站用自动温度记录仪描出的某一天的气温曲线，当天的气温 T 随时间 t 的变化而变化吗？ 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 5 10 15 20 25 T/ ℃ t / 时 由图可知，当天的气温 T 随着时间的变化而变化. 思考：(2) 研究者研究声音在空气中传播的速度 (简称声速) 与气温之间的关系时，通过实验得到了几组气温 x 与声速 y 对应的数值： 由上表可以发现，声速随气温的变化而变化吗？ x /℃ -10 -5 0 5 10 15 20 y/(m/s) 325.36 328.36 331.36 334.36 337.36 340.36 343.36 由上表可知，声速 y 随气温 x 的变化而变化. 新知探究 议一议 如图，△ABC 底边 BC (设 BC = а) 上的高是 h. 当三角形的顶点 C 沿底边所在直线向点 B 运动时， 三角形的面积 S 会发生变化吗？ 若发生变化，则在变化过程中，哪些是常量？ 哪些是变量？ B C A C C C 在上述变化过程中，高 h 是常量， 底边长 a 和面积 S 都是变量， 并且面积随底边长的变化而变化. 数学课上... 当钩码质量分别为0.05，0.1，0.15，0.2，0.25kg时，钩码所受重力分别是多少？（g=10N/kg）试填写下表： 质量 (kg) 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 重力 (G) 思考： 对于质量m和重力G，哪个量先发生变化？ 0.5 1 1.5 2 2.5 ✮质量m 在一个变化过程中， ①自身发生变化的量叫作自变量； ②随自变量变化而变化的量叫作因变量. 原因 结果 在情景3中， 是自变量， 是因变量； (质量m、重力G ) 在情景1中， 是自变量， 是因变量； (气温 y、海拔高度 x ) 海拔高度x 气温y 重力G 质量m 归纳小结 新知探究 上述三个问题中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？ 问题（1）中时间t、气温T，问题（2）中气温x、声速y，问题（3）中飞行时间 x、飞行的路程 y等都是会发生变化的量 . 问题（3）中无人机匀速飞行的速度是固定不变的量. 新知探究 总结归纳 在某一变化过程中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）. 变量与常量 注意： 1.判断一个量是不是变量关键是看在变化过程中，这个量是否可以取不同的数值； 2. π是一个无理数，属于常量. 新知探究 在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）. 注意： 1.判断一个量是不是变量关键是看在变化过程中，这个量是否可以取不同的数值； 2. π是一个无理数，属于常量. 新知探究 由上可知，可用图象、列表、关系式来表示变量之间的关系. 新知探究 议一议： 如图，△ABC底边BC（设BC=a）上的高是h.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积S会发生变化吗?若发生变化，则在变化过程中，哪些是常量？哪些是变量? 在上述变化过程中，高h是常量，底边长a和面积S都是变量，并且面积随底边长的变化而变化. B C A C C C 思考... 质量(kg) 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 重力(G) 0.5 1 1.5 2 2.5 因变量随着自变量的变化而变化。 思考： 仔细观察表格，对于质量m的每一个值，重力G有几个值 与它对应？ ✬唯一一个 自变量确定一个值时，因变量有唯一的一个值与它对应。 因变量是自变量的函数 函数不是数，是一种对应关系 函数的概念： 一般地，如果变量y随着变量x而变化，对于x 取的 每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数，记作：y=f (x). 因变量 自变量 在情景1中， 是 的函数； (气温y、海拔高度x) 在情景3中， 是 的函数； (质量m、重力G) 海拔高度x 气温y 重力G 质量m 归纳小结 由上可知，可用图象、列表、关系式来表示变量之间的关系. 议一议 如图，△ABC 底边 BC (设 BC = а) 上的高是 h. 当三角形的顶点 C 沿底边所在直线向点 B 运动时，三角形的面积 S 会发生变化吗？ 若发生变化，则在变化过程中，哪些是常量？哪些是变量？ B C A C C C 高 h 是常量 底边长 a 和面积 S 都是变量 面积s随底边长a的变化而变化. 做一做：请举出两个含有相关变量的实例，并指出其中的常量与变量. 新知探究 小组讨论: 问题1：上述每个问题中，有几个变量？ 问题2：上述每个问题中，这些变量是怎样变化的？ 问题3：当一个变量取一个确定的值时，对应的另一个变量的取值是否唯一确定？ 都有两个变量. 在两个变量中，一个变量随着另一个变量变化而变化. 是唯一确定. 函数 新知探究 做一做： 请举出两个含有相关变量的实例，并指出其中的常量与变量. x/℃ -10 -5 0 5 10 15 20 y/（m/s） 325.36 328.36 331.36 334.36 337.36 340.36 343.36 对于时间t的每一个取值，气温T都有唯一的一个值与它对应. 对于实验中气温x的每一个取值，声速y都有唯一的一个值与它对应. 新知探究 一般地，如果变量 y 随变量 x 而变化，并且对于x的每一个取值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数，记作 y = f（x）. 其中，x 叫作自变量，y 叫作因变量. 对于自变量x的每一个取值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f(a). 练一练 1. 下列变化过程中，哪个变量随另一个变量而变化？其中哪些是变量，哪些是常量？ （1） 一辆“复兴号”列车以 350 km/h的速度匀速行驶，行驶的路程 s（km）与行驶时间t（h）. （2） 某长为a、宽为b、深度为c的长方体蓄水池，其水位的高度h与 相应的蓄水量V. 行驶路程S随着行驶时间t的变化而变化.S与t是变量，350是常量. 相应的蓄水量V随着其水位的高度h的变化而变化。 V与h是变量，a,b,c是常量. 【课本P85 练习 第1题】 练一练 2. 已知圆柱的高 h = 4 cm，底面半径是 r cm，当圆柱的底面半径 r 由小变大时，圆柱的体积V = πr2h是r的函数. 在这个变化过程中， 哪个是自变量，哪个是因变量？r的取值范围是多少？ 【课本P85 练习 第2题】 r是自变量，V是因变量. 解：圆柱的体积V随着底面半径r的变化而变化. 新知探究 说一说 下列各组给出了两个变量x和y，判断y是不是x的函数. （1） y：正方形的周长；x：这个正方形的边长. （2） y：矩形的面积；x：这个矩形的宽. （3） y：一个正数的平方根；x：这个正数. （4） y：一个正数的算术平方根；x：这个正数. y是x的函数 y是x的函数 y不是x的函数 y不是x的函数 判断两个变量是否有函数关系，要同时满足两个条件： （1）当其中的一个变量变化时，另一个变量也在随着变化； （2）自变量x每取一个确定的值，函数y都有唯一的值与之对应. 课堂小结 1.函数的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的一个值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.判断两个变量是否有函数关系，要同时满足两个条件： （1）有两个变量，其中的一个变量变化时，另一个变量 也在随着变化； （2）自变量x每取一个确定的值，函数y都有唯一的值 与之对应. $