浙江省舟山市2025-2026学年高二下学期6月期末检测数学试题

舟山市2025学年第二学期期末检测 高二数学试题卷 命题人：舟山中学张超哲 普陀中学黄欣妮 嵊泗中学张海红 审稿人：舟山教育学院张军朝 注：请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上，考试时间：120分钟。 I卷选择题部分（共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.设集合A={yy=x2},B={x|-2≤x<2},则A∩B=（▲) A.[-2,2) B.(0,2) c.[-2,0) D.[0,2) 2.已知复数2=1-21 (i为虚数单位)，则z的虚部为（▲） 3+4i 2 A: 2 B.二i c.-2 D.-2 5 3.已知正△ABC的边长为4，那么正△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积是（▲） A.4V5 B./6 c.2√6 D.163 4.若p:a=2,q:幂函数f(x)=(a2-5a+7)x°是非奇非偶函数，则p是g的（▲） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 5.函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期是（▲） A C.π D.2π 6.已知正四棱台ABCD-AB,C,D上底面的边长为√2，下底面边长为2√2，且侧棱 AA=√10，则该四棱台的外接球表面积为（▲) A.√5π B.5π C.16π D.20π 7.己知[x]表示不超过x的最大整数， 则[2+6)]的值为（▲） (参考数据√6≈2.4495) A.1649 B.1725 C.1744 D.1745 8.已知一个圆被20个点等分，20个点依次编号1,2,3，，19,20.任取3个不同的点构 成三角形，则能构成内角均不小于27°的锐角三角形的概率为（▲) 11 35 11 7 B. 57 171 380 0: 228 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法正确的是（▲) A.一组数据1,1,2,5,8,9的中位数为2 B.已知经验回归方程为y=r+10.8,且x=4,=50,则6=9.8 C.若随机变量X~N(1,σ2)，且P(X≤4)=0.77，则P(X≤-2)=0.23 D,在全部逻辑推理正确的情况下，反证法不会犯错误，但独立性检验会犯随机性错误 I0.在△ABC中，点M,N满足AM=1AB,AN=1AC,BN与CM交于点P,延长AP 交BC于点D.则下列选项中正确的是（▲） A.M证=}MC S B.。M迎=3 S 4 △MNP c.P-2N+3 D.BD=IDC 11.已知函数f(x)=1og2(4"+4)-x-1,则下列选项中正确的是（▲) A.f(x)的最小值为1 B.f(x)的图像关于直线x=1对称 C.f(x)在L,+∞)上不具有单调性 D.若a=flog,3),b=fog3)则a<b Ⅱ卷非选择题部分（共92分) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 2.若事件A和事件B相独立，且P0三PB则PAUB)=▲ 13.已知=次函数f因=-0m+2)x+m有两个正零点，5，则之+支的最小值 x,x 为▲ 14.已知平面向量ā，6满足园=1，石与ā+币的夹角为产，则a-的最大值为▲ 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分13分) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足： sin2 A=sin2 B+sin2C+ 2 3 sin Asin BsinC. (1)求角A的大小： (2)若b=2,C=3,角A的角平分线交BC于点P,求AP的长度. 16.(本题满分15分) 已知函数f()=sin(x+乃)+sin(x-)+cosx+a的最大值为1. (1)求常数a的值： (2)求函数f(x)的单调递增区间： (3)求使f(x)≥0成立的x的取值集合， 17.（本题满分15分) 已知四面体A-BCD中，△ABC和△ABD都是边长为4的正三角形，CD=2W√3，点O 为AB中点，连接CO、DO. (1)求证：平面COD⊥平面ABD: (2)求直线AC与平面BCD所成角的正弦值： (3)过点C作平面平行于直线AB,平面a与四面体A一BCD的棱AD、BD分别交 于点M、N,求四面体C-MON体积的取值范围. C 18.(本题满分17分) 一只不透明的箱子中装有3类卡片，其中A类卡片1张，B类卡片2张，C类卡片3张， 所有卡片除类别外完全相同.抽取规则为：每次从箱子中随机抽取1张卡片，记录类别后放 回箱子并且补充1张与抽取类别相同的卡片放入箱子，重复抽取3次， (1)设3次抽取中抽到A类卡片的次数为X,求X的分布列与数学期望E(X): (2)已知第三次抽取的是A类卡片，求前两次抽取的卡片类别相同的概率. 19.(本题满分17分) 设ae[0,4],已知函数f)=4-a ,x∈R. x2+1 (1)若a=0,求f(x)在(0，+oo)上的值域： @当x>0时，求证：f)s号x-a+2,并指出等号成立的条作： (3)设，∈R,若实数m满足f心G)小，)=-m,求证：fm-a)-f0<日 舟山市2025学年第二学期期未检测 高二数学（参考答案） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B D B D C A 8:第一个点任意选，不妨选择1：那么剩下两个点选择方法有C?种： 第二个点可以选择4,5,6,7,8,9,10 若是4，则第三个点可以选择12,13： 若是5，则第三个点可以选择12,13,14： 若是6，则第三个点可以选择12,13,14,15： 若是7，则第三个点可以选择12,13,14,15,16： 若是8，则第三个点可以选择12,13,14,15,16,17： 若是9，则第三个点可以选择12,13,14,15,16,17,18： 若是10，则第三个点可以选择13,14,15,16,17,18： 共33种，P=器=号 故本题选A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9 10 11 BCD AB ABD 11:因为f(x)=log2(4+4)-x-1=log2(4+4)-1og22 22x+22 =bg:2片=l0g(2+2)而2+2之2，（并且当x=1时取等号）， 故f(x)=log,(2+2-),可知f(x)的最小值为1，因此选项A正确： 而f(1+x)=log2(2*+21-）=l1og,(2*+2), f(1-x)=log2(2+2-+)=log2(2+2), 所以f(1+x)=∫(1-x),则∫(x)=∫(2-x),故函数f(x)的图像关于直线x=1对称， 第1页 因此选项B正确： 又因为=e+2)=oe[{+】 定义域为R, 因为对勾函数y=1+4在2，+切)上单调递增，在0,2]上单调递减， 指数函数y=2在R上单调递增，且y=2>0恒成立，在x=1取得函数值2， 对数函数y=log2x在(0，+o)上单调递增， 所以由复合函数单调性可知，函数∫(x)在l,+∞)上单调递增，在(-∞，]上单调递减 因此选项C错误： 又因为1-log3=o4=log, 646 3 3 1og23-1=log:2 [-学j-碧号-2e 所以2-log。43>log,3>1,故flog。3)=f(2-1og3)>flog,3),所以a<b. 因此选项D正确：故本题正确选项为ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 2 13.6 14.3+1 6 14:设OA=a,OB=b,以OA、OB为邻边构造平行四边形OACB 则0c=a+6,BA=a-6,因为问=l石与a+6的夹角为石，四边形01CB为平行四 边形，所以BC=o4=l,∠B0c=石oA=BCBA=EA. 在△BOC中，BE=(BO+BC), 则晒-8o+8o-80+片8c+58o.8c 所以晒=Bd+cos∠0BC+号 BO 在△BOC中，由正弦定理可得， BC 、7 =2 sin∠BC0sin∠BOC sin 6 第2页 所以BO=2sin∠BCO,则BE=sin2∠BC0+sin∠BC0.cos∠OBC+ 故B=sin2LBC0+sin∠BC0·co(6 -∠BCO)+4 化药5厨-19n肾2x0 3 而0<∠BC0<5,因此<2∠BC0+5<2x,故sin(否+2∠BCO)的最小值为-1. 6 图e厨w=1+网所-风-51 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分13分) (四解：在A4BC中，利用正弦定理可得：a2=2+c2+2 2 bcsin A,(2分) 3 pcsinA 2bc0 2 bcsin A.·(5分) 3 3 故anA=-V5,Ae(0,,则A=2π 3 (7分) (2)解：由SAABC=SAABP+SAACP 可得AB·AC·sin120°=AB·AP,sin60°+AP,AC·sin60 (11分) 则AP=目 (13分) 16.（本题满分15分) 因解6)=5snx+cosx+a=2sin(x+7+a. (3分) 故f()x=2+a=l,得a=-l. …(4分） 2)解：由(1)知∫)=2sin(x+)-1.由2kx-T≤x+Ts2kx+ 6 2 6 得2r-2号≤x≤2kx+号 (7分) 故∫(x)的单调递增区间为 2x-2+}e …(9分) 第3页 )解：f()≥0，可得sin(x+石)≥)则2kπ+2≤x+s2kz+5 6 6 6 6 (13分) 则使得(x)≥0成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ+ ,kez 2π (15分)》 17.(本题满分15分) (I)证明：因为△ABC和△ABD都是边长为4的正三角形，且点 O为AB中点。所以AB⊥OD、AB⊥OC且OC∩OD=O. 所以AB⊥平面COD,且ABC平面ABD. 所以平面COD⊥平面ABD, (4分) (2)解：设点A到平面BCD的距离为h, 由(1)知AB⊥平面COD,且△COD是边长为2V3的等边三 角形. 所以V,cD 5的nh=m4,雨5w丽.5m-3,A0=4 故可得h 123 设直线AC与平面BCD所成角为O, 13 12W13 则sino= =13=33 即为所求 (9分) AC 4 13 (3)解：如图右，平面a∩平面ABD=MN,AB∥平面a,故AB∥MN. 设DM=DA(0<2<1),则MN=4元，因为△MBD是边长为4的 正三角形，且点O为AB中点，设OD⌒MN=E,则OE⊥MN,并且可 得OE=2V3(1-). 所以Sox=N1-oa=x4x23I-2)=4W5A0-2 过C在平面COD内作CH⊥OD,则由(1)知CH⊥平面ABD,故CH为C到平面ABD 的距离，因为△COD是边长为2√3的正三角形，所以CH=3, 则m-5C训=4al-2刘=45(-+0≤a< 第4页 放当2=方时。心取得最大值店，当A趋远于0或1时om自近于0 所以'e-ow∈(0，V], (15分) 18.（本题满分17分) (1)解：由题意可知X的可能取值为0,1,2,3. (1分】 X=0:三次都没有抽到A,则P(X=0)=三xx7= (2分) 6788 X=1:三次抽取中恰好一次取到A(分三种情况：A在第1或第2或第3次被抽到) 1.5.6,51.6,56.115 则P(X=)=6x×8+后x气×8+6x7*8 (3分) 67867867856 X=2:三次抽取中恰好两次取到A（分三种情况：非A在第1或第2或第3次被抽到) 512,152,1255 则P(X=2)=二×号×。 (4分) 67867867856 1231 X=3:三次都抽到A,则P(X=3)=二×号× 67856 (5分】 因此X的分布列为： X 0 1 2 3 15 5 1 8 56 56 56 (6分) 5 15 E(X)=0×三+1× 11 +2× 56 5+3× 56 562 (8分) (2)解：设事件D为“第三次抽取的是A类卡片”，事件E为“前两次抽取的卡片类别相同” 则P(E|D)= P(DE) P(D) 步骤1：计算P(D),按照抽取的次序及类别共有：AAA、ABA、ACA、BBA、BAA、BCA、 CCA、CAA、CBA,9种情况.则： 561 3366 (13分） 步骤2：计算P(DE),前两次抽取类别相同且第三次抽取A的情况有3种：AAA、BBA、CCA. 则D6)=6*号×+后×号+君* (16分) 1 故P(E|D) PDE)=14=3 P(D)17 (17分) 6 第5页 19.（本题满分17分) 4x 4 解：若a=0,xe0,+o),=平+1x+ 1 (2分) 其中x+∈[2，+0)，所以f∈(0,2]. .(4分) (2)证明：因为 f0-号-a+2--号-a+2)= 4x-a-(gx-a+2x2+1) x2+1 x2+1 20+-2x+0+42-2x+=-2 1 2(x2+1 元(ax+4(x-1)2. (7分) 1 而x>0,0≤a≤4，故- <0,ax+4>0,(x-1)2≥0. 2(x2+1) 1 所以一 2(x2+1 、(ax+4)(x-1)2≤0. 所以()≤8x-a+2,当且仅当x=1时取得等号. (9分) (3)证明：先求函数f心)的值域，令y=4r-a x2+1 则yx2+y=4x-a→yx2-4x+(y+a)=0. 若y=0,则方程化为-4x+a=0→x=9,故y=0在值域中. 4 若y≠0，则视为关于x的二次方程有实数解，则△=16-4y(y+a)≥0→y2+ay-4≤0. 解此二次不等式得：-a=+16≤y5二a++16 2 (11分) 因为ae0,41,记M=-a+层+16,0N=-a-+16 0 2 2 则M·N=-4,且f(x)的值域为[W,M] 由f(x)f(x,)=-m2≤0可知-4≤-m2≤0→me【2,2 (13分) 证明： 1)当m-a≤0时，因为a∈[0,4]，所以f(m-a)≤0，f()= 4-a≥20，则 2 第6页 --0<g (14分) 2当m-a>0时，由（②知0m-a)≤号m-a)-a+2 于是m-y-0gm-o小-a+2-4-号m-a-W 由m≤2得m-a-1≤2-a-1=1-a,因为a20,故号≥0，所以号(m-a-1)s号1-a) 面ae0,4小，号0-)当a=号时取得绿大值为号因此号0-o)s号 1 2 所以m-o)-0≤g (16分)】 下面说明等号无法成立. 若等号成立，则需要同时满足下列条件： 0m-a=l,间m=2:间a=2 由间得a=1与间a=号矛盾，故等号不能成立，因此 2 (17分) fm-a)-f0<8 第7页