浙江省杭州学军中学2025-2026学年高二下学期数学期末数列专题复习试卷

**基本信息** 高二下期末数列专题复习卷，含例题与练习，融入2026全国卷及杭州统测试题，通过数阵、文化情境（如一百零八塔）设计，考查等差等比数列、递推关系等，体现数学眼光、思维与语言素养，层次覆盖基础到综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|含单选、多选（多题）|等差等比通项与求和（例2）、递推关系（例4）|结合文化情境（例3一百零八塔）、真题改编（2026全国Ⅰ卷T7）| |填空题|4题|数列单调性（例5）、求和应用（练习5高斯问题）|考查参数范围（例5）、实际问题转化（练习5）| |解答题|4题|等比数列证明（例6(1)）、数列求和综合（例7(3)）|多问递进（例7三问）、跨知识综合（练习9插入1求和）|

高二下期末专题复习卷——数列 班级：___________姓名：___________ 【例题】 例1.(1)（多选）已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 (2)（多选）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 (3)(2026全国Ⅰ卷T7)一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 例2.等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 例3.（多选）将数列中的所有项排成如下数阵．从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数成等差数列．若，，则（   ） A． B． C．位于第46行第1列 D．2026在数阵中出现两次 例4.（多选）已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等比数列 D． 例5. 已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 . 例6．已知数列满足，，，的前项和为. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若前项和为，且存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围. 例7．已知为数列的前项和，为数列的前项和，为数列的前项和；；，且；； (1)求的通项公式； (2)若，求的最大值； (3)证明： 【练习】 1．已知等差数列的前项和为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026年全国Ⅱ卷T10）（多选）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 3．（多选）已知数列中，，，，其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 4．（多选）数列满足，，现将数列按如图规律填入三角形中，第一行一个，第二行两个，第三行三个…以此类推，设三角形第行数字之和为，则下列正确的为（     ） A． B． C． D． 5．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是___________． 6．（2023.6杭州市统测T15）已知数列满足，，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为________． 7．（2026全国Ⅰ卷T14）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 8．（2023.6杭州市统测T18）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. (2)若中的部分项组成的数列是以为首项，2为公比的等比数列，求数列的前项和. 9．已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和； (3)若对于数列，在和之间插入个1（），组成一个新的数列，求数列的前2026项和． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下期末专题复习卷——数列 班级：___________姓名：___________ 【例题】 例1.(1)（多选）已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 【答案】ACD 【分析】利用与关系求出，结合等差数列前项和公式依次判断选项即可. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以，显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C正确； 令，所以的前30项和为：，故D正确. (2)（多选）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据，作差可得，，从而公差，即可判断A；对于B，根据等差数列的前n项和公式即可判断；对于C，根据，结合等差数列的性质即可判断；对于D，根据和的符号可得，当时，，进而根据和的单调性可得最小项. 【详解】因为，所以， 由，所以，所以， 所以． 所以，当时，最大，故A正确； 因为， ， 所以使得成立的最小自然数，故B正确； 由，且， 所以，即，故C错误； 因为当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以． 且， 所以中最小项为，故D正确． 故选：ABD (3)(2026全国Ⅰ卷T7)一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由条件求出数列的前项的和，设新数列为，设其公差为，由条件可得，结合选项判断即可. 【详解】由已知，，，，， 设新数列为，， 由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数， 由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求. 例2.等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质求值判断A；举反例判断B；利用等比数列前n项和的性质求解判断C；根据等比数列的性质列式求解即可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以 又，因此，即. 那么，A正确. 举反例：若，公比，数列为，是递减数列， 但不满足题意，B错误. 若，则，因此. 根据等比数列前n项和性质，比值为即， 解得，C正确. 当时，，首项， 由是等比数列，满足，代入得，解得，D正确. 例3.（多选）将数列中的所有项排成如下数阵．从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数成等差数列．若，，则（   ） A． B． C．位于第46行第1列 D．2026在数阵中出现两次 【答案】AC 【分析】根据题意，由等差数列的通项公式求得第一列的通项公式，再由等比数列的通项公式，对各个选项分析，即可求解. 【详解】由第1列数 成等差数列，设公差为， 又由，可得，解得， 则第一列的通项公式为， 又从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列， 可得，所以A正确，B错误； 又因为每一行的最后一个数为， 且，可得是的后一个数，且在第46行第1列，所以C正确； 由题设可知第行第个数的大小为， 当时，，与题意不符， 当时，令，若，则无整数解； 若，则即；若，无整数解，故D错误. 故答案为：AC. 例4.（多选）已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【分析】计算出结合等比数列的定义可判断A；分别令可判断B；根据等比数列的定义可判断C；根据C选项写出的通项，然后利用分组求和即可，或者直接根据递推公式结合等比数列求和公式可判断D. 【详解】 当时， ． 当时，， 数列一定不是等比数列，故A错误； 当时，； 当时，；当时，． ，故B正确； ． 数列是首项为，公比为的等比数列，故C正确； 方法一：由可知，， ， ，故D错误． 方法二：， ，故D错误． 例5. 已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据数列的递推公式和等比数列的定义，可得出数列是等比数列，首项为，公比为2，利用等比数列的通项公式求出，从而得到，结合数列的单调性，即可求出实数的取值范围. 【详解】解：由题可知，，，则， 则有，所以， 可知数列是等比数列，首项为，公比为2， 所以， 由于，所以， 因为数列是单调递增数列， 当时，，即， 即，整理得：， 则，所以， 当时，，而， 则，解得：. 【点睛】本题考查根据数列的递推公式证明等比数列，考查等比数列的定义和通项公式，以及数列单调性的应用，考查化简运算能力. 例6．已知数列满足，，，的前项和为. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若前项和为，且存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由已知等式变形为，可得出，结合等比数列的定义可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式； （2）求出、的表达式，结合题意得出，令，，分析数列、的单调性，求出这两个数列的最大项的值，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意每一项都不为零，由得， 所以，等式两边取倒数得，得， 又，因此是首项为，公比为的等比数列， 所以，故. （2）由（1）可知，. 所以 . ， ， 两式作差可得， 所以， 进而，使得，， 即有， 令，则， 令得，可得，解得， 因为，故， 令得，可得，解得或， 因为，故， 即有当时，，即， 同理当时，，即，所以， 再令， 因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数， 所以数列为递减数列，即， 所以有，解得. 因此实数的取值范围是. 例7．已知为数列的前项和，为数列的前项和，为数列的前项和；；，且；； (1)求的通项公式； (2)若，求的最大值； (3)证明： 【答案】(1)； (2)5； (3)证明见解析. 【分析】（1）由递推公式可知， 数列为等差数列，再根据题中的条件求解即可； （2）分别计算和，再验证即可； （3）裂项相消法计算，再用放缩法即可证明. 【详解】（1），得，所以数列为等差数列， 则，所以，又，所以， 设的公差为，则解得， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，所以， ， ， 令，得， 设，则数列是递增数列， 又，， 所以的最大值为5． （3）， 所以 ，所以. 【练习】 1．已知等差数列的前项和为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意成等差数列，设，即可求出. 【详解】因为为等差数列，所以成等差数列， 因为，设， 由，即，则， 所以，所以， 所以. 故选：B. 2．（2026年全国Ⅱ卷T10）（多选）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设等比数列的公比为，根据条件列出关于的方程，求解可得的值，判断A；利用特值法可判断B；根据等比数列的前n项和公式，求得，，化简可判断C；求出，由的取值情况，结合不等式的性质，判断D. 【详解】由等比数列的公比为，则，即. 因为，所以，即. 因为，所以，所以，即，所以A正确. 因为，则，所以B错误. ， ，所以C正确. ， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，因为；所以， 所以，即，所以D正确. 3．（多选）已知数列中，，，，其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对已知式变形，可得数列是公差为的等差数列，从而求得，判断A,B；并判断数列的单调性，求得其最大项，判断C；求出，判断D. 【详解】由已知得，，， 所以数列是公差为的等差数列. 所以，所以，所以A错误； 所以， 所以，所以B正确； 令，得， 所以当时，数列递增，且各项均为正数；当时，数列递增，且各项均为负数. 所以数列的第7项最大，即，所以C正确； ， 所以D正确. 4．（多选）数列满足，，现将数列按如图规律填入三角形中，第一行一个，第二行两个，第三行三个…以此类推，设三角形第行数字之和为，则下列正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由题设可得，再结合，得到，进而可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，进而求解判断即可；对于B，结合题意可得在图中，前行共有个数字，前行共有个数字，设数列的前项和为，可得，进而由求解判断即可；对于C，先验证，时式子成立，再利用放缩得到，进而结合裂项相消法求解判断即可；对于D，先验证，时式子成立，再利用放缩得到，进而结合裂项相消法求解判断即可. 【详解】对于A，由，得， 两式相减得，， 又，，则， 所以数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列， 则数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，故A正确； 对于B，由题意，在图中，前行共有个数字， 则前行共有个数字， 设数列的前项和为，则， 所以，， 而满足上式，则，故B错误； 对于C，当时，；当时，； 当时，， 则 . 综上所述，，故C正确； 对于D，当时，；当时，； 当时，， 则 . 综上所述，，故D正确. 5．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先计算出的图像关于点成中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围. 【详解】因为 ，所以的图像关于点成中心对称． 因为， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令， 则当时，在上单调递减； 当时，在单调递增． 又，所以，所以， 即的取值范围是． 故答案为：. 6．（2023.6杭州市统测T15）已知数列满足，，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为________． 【答案】63 【分析】根据对数运算和递推公式可得数列的通项公式，然后对数运算结合累乘法可得，解不等式可得答案. 【详解】因为，， 所以， 所以 所以， 因为，所以，即，解得， 因为，所以正整数的最小值为63. 故答案为：63 7．（2026全国Ⅰ卷T14）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 【答案】 【分析】由前项和公式推出每连续三项的和. 将连续9项按起始位置模3分类，每类中利用三项块和等于得到关于公比的比例关系，通过相邻块和之比解得的上界，即可取得最大值. 【详解】令，由题意得， 因此每个三项块的和为. 设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正， 下面按除以3的余数讨论. 若，这9项正好包含三个完整三项块， 得，，， 于是且，矛盾，故这种起点不存在. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 综上，所以，即的最大值为. 8．（2023.6杭州市统测T18）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. (2)若中的部分项组成的数列是以为首项，2为公比的等比数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的前n项和及通项公式基本量计算即可； （2）利用等比数列概念及通项公式求出的通项公式，再利用等比数列求和公式求解即可. 【详解】（1）设差数列的公差为，则由， 可得，解得，因此. （2）由，得， 又由是以为首项，2为公比的等比数列，得，因此， 所以，所以. 9．已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和； (3)若对于数列，在和之间插入个1（），组成一个新的数列，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2) (3)2116 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的基本概念，以及等差数列前项和公式，求出数列通项公式的基本参数，写出通项公式即可； （2）根据数列的通项公式，利用裂项相消法和分组求和发可求； （3）根据等比数列的项和公式，判定数列的前2026项的组成，进而求出前2026项和. 【详解】（1）设等差数列公差为，所以， 因为，解得，则， 所以， 所以，解得， 因为，所以数列公比，则. （2）由（1）可知， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 数列的前2n项中有个奇数项，个偶数项， 所以， 可得， 即. （3）数列的项为， 在之前有数列的项个，有个1， 则之前有项， 当时，即之前有项，之后有个， 即数列的前2026项有数列的前项，和个， 所以数列的前2026项的和为. 学科网（北京）股份有限公司 $