精品解析：浙江省舟山市2024-2025学年高二下学期6月期末检测数学试题

舟山市2024学年第二学期期末检测 高二数学试题卷 命题人：舟山中学 程霞 普陀中学 刘小君 沈家门中学 孙宏达 审稿人：舟山教育学院 张军朝 注：请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上，考试时间：120分钟。 Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，所以. 故选：D. 2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用共轭复数的概念和复数的定义可得出结果. 【详解】因为，所以，故复数的虚部为. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式得出的值，再结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，故. 故选：B. 4. 展开式中常数项为（ ） A 48 B. C. 24 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】由题意，二项式展开式的通项公式为：， 令，可得， 所以常数项为， 故选：C 5. 若，函数为上的奇函数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为奇函数求出的值，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若函数为上的奇函数，则，解得或， 当时，，因为，， 所以，即函数不是奇函数； 当时，，该函数的定义域为， ，即函数为奇函数. 故当函数为上的奇函数时，， 因此，是的充要条件. 故选：D. 6. 甲、乙、丙、丁、戊五位同学课间玩“击鼓传花”游戏.第1次由甲传给乙、丙、丁、戊四人中的任意一人，第2次由持花者传给另外四人中的任意一人，往后依此类推，经过4次传花，花仍回到甲手中，则传法总数为（ ） A. 36 B. 48 C. 52 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】通过4次传花后仍回到甲手，得出第四次传花只能传给甲，由此得出限制条件，根据分步乘法即可计算出传法总数. 【详解】5人传花，第1次由甲传给乙、丙、丁、戊四人中的任意一人，第2次由持花者传给另外四人中的任意一人，经过4次传花，花仍回到甲手， ∴第1次传花有4种方法，第3次传花分成“花在甲手中”和“花不在甲手中”两类方法， 第4次传花只能传到甲手中. ∴当第2次传花后花在甲手中时，则第3次传花，花可能在丙或乙或丁或戊手中，共4种方法； 当第2次传花后花不在甲手中时，有3种方法，则第3次传花有3种方法. ∴经过4次传花，花仍回到甲的传法总数为：， ∴花仍回到甲的传法总数为52种， 故选：C. 7. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角恒等变换化简得出，由求出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组，结合可求得的取值范围. 【详解】， 因为，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以， 即，解得， 由可得，又因为，，故，则. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 8. 记函数.已知函数，，，若有且只有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数的解析式为，令，由可得出，则直线与函数的图象有三个交点，数形结合可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】令，其中， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，故当时，，此时； 当时，，此时， 所以. 当时，令，可得； 当时，令，可得. 令，则直线与函数的图象有三个交点，如下图所示： 由图可知，要使得直线与函数的图象有三个交点， 只需，解得，因此，实数的取值范围是. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 经验回归方程为时，变量与变量成正相关 B. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C. 若随机变量，且，则 D. 已知随机事件、，若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用线性相关性的概念可判断A选项；利用回归分析相关知识可判断B选项；利用正态密度曲线的对称性可判断C选项；利用概率的乘法公式得出，可判断D选项. 【详解】对于A选项，经验回归方程为时，，变量与变量成负相关，A错； 对于B选项，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，B对； 对于C选项，若随机变量，且， 则，C对； 对于D选项，已知随机事件、，若，， 由概率的乘法公式可得，D对. 故选：BCD. 10. 定义在上的函数满足，则（ ） A. 函数的解析式为 B. 函数图象的对称轴为直线 C. 函数的单调递增区间为 D. 函数在上的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用换元法可求出函数的解析式，可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用指数函数和二次函数的基本性质可求出函数在上的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，令，其中，则， 由可得， 故，A对； 对于B选项，因为，，即， 所以，函数的图象不关于直线对称，B错； 对于C选项，因为， 令，， 内层函数为增函数，外层函数的增区间为，减区间为， 由可得，由复合函数的单调性法则可知，函数的增区间为，C对； 对于D选项，当时，，所以， 由于，故，从而有， 故当时，，即的最大值为，D错. 故选：AC. 11. 已知正方体的棱长为3，以下说法正确的是（ ） A. 若点为正方形内部及边界上的动点，且满足，则动点的轨迹长度是 B. 若点为正方形内部及边界上任意一点，则存在点使得点，到平面的距离之和等于 C. 若点在正方体的内切球表面上运动，且面，则的最小值为 D. 若点满足，则动点构成的平面截三棱锥所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】解题时需要先建立空间直角坐标系，将几何条件转化为代数方程，结合具体选项进行化简并分析即可得到答案. 【详解】 对于A选项，由题意建立如图所示的空间直角坐标系，则，, 点为正方形内部及边界上的动点，设， ，，化简得， 即点的运动轨迹以为圆心，半径为1的圆， 动点的轨迹是四分之一圆的周长，其长度是，正确. 对于B选项，点为正方形内部及边界，设，，， 平面的法向量为， 点到平面的距离：， 点到平面的距离：， 距离之和为， 令，则方程变为，又为正方体的空间对角线，，即， ，化简得， 解得，由于，在范围内， 存在点，正确. 对于C选项，点在正方体的内切球上,正方体的内切球半径为，球心为， ，，平面的法向量为， 面等价于与平面法向量垂直，即， 设，则，即， 在平面上. 到平面的距离：， 在平面上，球心为到平面的距离：， 平面与内切球的交线是一个圆，设圆心为，则圆的半径为， 的最小值是到圆的距离，圆心在平面上且是到平面的垂线， 的最小值就是圆的半径，错误. 对于D选项，设，由可得 ， 化简得，，平面是平行于底面， 动点构成的平面截三棱锥所得截面是正方体四个侧面的中心的连线，截面形状为边长为的正方形，则截面的面积为，正确. 故选：ABD. Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 有一组数据：、、、、.则其第百分位数为______. 【答案】 【解析】 【分析】将这组数据由小到大进行排序，结合百分位数的定义可得结果. 【详解】将这组数据由小到大进行排序：、、、、，共个数据， 因为，所以该组数据的第百分位数为. 故答案为：. 13. 命题“，为假命题”，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为命题“，”为真命题，令，利用导数求函数的最大值即可求得解. 【详解】因为“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题. 即，成立. 令, 因为， 所以是单调递增函数， ， 所以，即. 故答案为：. 14. 已知实数、满足，则最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，可得出，令，结合基本不等式可求得的最小值. 详解】由可得，设，， 所以， 令，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，、、分别为的内角、、的对边，满足，为的中点. （1）求角的大小； （2）若，，求线段的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合三角形内角的取值范围可求出角的值； （2）由已知得出，结合平面向量数量积的运算性质可求得的长. 【小问1详解】 因为，即， 由余弦定理可得， 因为，故. 【小问2详解】 因为为的中点，所以，即， 所以 ，故. 16. 已知平面向量、满足，，. （1）求在上的投影向量（结果用表示）； （2）求； （3）若，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质求出，再利用投影向量的定义可求得在上的投影向量； （2）利用平面向量数量积的运算性质可求出、的值，即可求出的值； （3）求出的值，作，，，推导出、同向，再结合平面向量数量积的定义可求出的值. 【小问1详解】 ∵，即， 又∵，，∴. ∴在上的投影向量为. 【小问2详解】 由（1）知， . . 【小问3详解】 ∵，，∴， 作，，，如下图所示： ，即， ，即， ，则，故、共线，即， 又，故、同向，故. 17. 如图，已知四棱台，点在底面上的射影落在线段上（不含端点），底面为直角梯形，，，，. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为； （ⅰ）求直线与平面所成的角； （ⅱ）若四边形为等腰梯形，，求平面与平面夹角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，利用勾股定理逆定理证明出，由已知条件得出平面，可得出，再结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）（i）过点在平面内作，交于点，连接，推导出平面，可知为二面角的平面角，即，且为直线与平面所成的角，根据可求出的正切值，即可得出的值； （ii）过点作，则，过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，交于点，连接，推导出平面，可知为平面与平面所成夹角的平面角，求出、的长，即可求出的正切值. 【小问1详解】 连接交于点，，，， ，， 在直角梯形中，，，，， 由勾股定理可得， ， 在中，，， ∴，∴，即， ∵平面，平面，∴， 又，、平面，∴平面. 【小问2详解】 （i）过点在平面内作，交于点，连接， ∵平面，平面，∴， ∵，，、平面，∴平面， ∵平面，∴， 则为二面角的平面角，即， 且为直线与平面所成的角， ∵，即， ∵，而在中，， ∴，因为，即. ∴直线与平面所成角为. （ii）在等腰梯形中，∵，，， 则，即， 过点作，则，过点在平面内作，垂足为点， 在平面内，∵，，∴， ∵平面，∴平面， 过点在平面内作，交于点，连接， ∵平面，平面，∴， ∵，，、平面，∴平面， ∵平面，∴， 则为平面与平面所成夹角的平面角， ∵四边形为等腰梯形，∴，，， ∴，， ， ∴， 在平面内，∵，，∴， ∴，即， 在平面内，∵，，∴，∴， 故， 在中，. 故平面与平面夹角的正切值为. 18. 2025年，某卫视推出了“最强大脑围棋版争霸赛”，堪称围棋界史上最激烈的国际赛事，以“棋艺封神，一站扬名”为口号，致力于推广围棋文化和智力竞技.受此启发，某中学为了让学生亲身体验围棋比赛的精彩和激烈，激发学生的思维活力，特别举办了“校园棋王争霸赛”.根据已报名的学生资料统计，有的学生学过围棋，将频率视为概率. （1）从已报名选手中任取3名学生，记其中学过围棋的学生数为，求的分布列与数学期望； （2）经过海选，最终决定、、、、、、、八位棋手参加棋王争霸赛，比赛分预赛、半决赛和决赛三个阶段，采用淘汰制决出冠军.预赛共有四场，八位棋手赛前抽签确定比赛位置，获胜的四人进入半决赛，依次类推，在决赛中，胜者为冠军，负者为亚军。已知~这7位棋手互相对弈时，获胜概率均为，棋手与其他棋手对弈时，获胜的概率为，每局对弈结果相互独立，无和棋情况. （ⅰ）求棋手最终夺冠的概率； （ⅱ）求棋手与有过对弈且最终获得亚军的概率. 【答案】（1）分布列见解析，； （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到的可能取值为0，1，2，3，，再分别求出概率，列出分布列求出数学期望即可. （2）（ⅰ）由题意可得夺冠的概率为，再求棋手最终夺冠的概率； （ⅱ）记事件“获得亚军”，事件“与对弈过”，事件“与在第轮对弈”，，则进行计算即可. 【小问1详解】 由题意得，每位报名选手中学过围棋的概率为，则没有学过围棋的概率为， 随机抽取3人，用随机变量表示3人中学过围棋的学生人数，则可能的取值为0，1，2，3，， ；； ；. 所以，的分布列为 0 1 2 3 ∴. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得：~八名运动员各自夺冠的概率之和为1，~夺冠概率相同， 夺冠的概率为，即最终夺冠的概率为. （ⅱ）记事件“获得亚军”，事件“与对弈过”， 事件“与在第轮对弈”，， 则. 不妨设在①号位，则 a.在第1轮能与对弈的位置编号为②， ； b.在第2轮能与对弈的位置编号为③或④， ； c.在第3轮能与对弈的位置编号为⑤或⑥或⑦或⑧， ； 综上所述：. 19. 函数的定义域为； ①若对，都有成立，则称在上为凹函数（当且仅当时，等号成立），且凹函数有以下性质：对都有（当且仅当时，等号成立）. ②若对，都有成立，则称在上为凸函数（当且仅当时，等号成立），且凸函数有以下性质：对都有（当且仅当时，等号成立）. （1）判断函数在上是否具有凹凸性，并用上述定义法证明你的结论. （2）设为的周长，为的面积； （i）求：的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）为凹函数，证明见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据凹凸函数定义即可判断并证明； （2）（i）根据（1）中在为凹函数，即可求解的取值范围时； （ii）证明，即证，可构造函数，利用其在为凸函数，或者借助基本不等式或权方和不等式即可证出，. 【小问1详解】 在为凹函数． 证明如下：，设， ∵ ， ∴，即在为凹函数. 【小问2详解】 （ⅰ）∵在为凹函数， 在中，， ∵时，，，∴， ∴. （ⅱ）令，设， ∵ ∵ ， ∴，即在为凸函数． 要证：，即证． ∵， ∴，只需证：（*）， 而在中有， 则（*）等价于：． 只需证：， 只需证：， 又在为凸函数， ，证毕. 另解：的证明，也可以用以下两种证法： ①基本不等式：∵， ∴ ， ②权方和不等式： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 舟山市2024学年第二学期期末检测 高二数学试题卷 命题人：舟山中学 程霞 普陀中学 刘小君 沈家门中学 孙宏达 审稿人：舟山教育学院 张军朝 注：请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上，考试时间：120分钟。 Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 展开式中常数项为（ ） A. 48 B. C. 24 D. 5. 若，函数为上的奇函数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 6. 甲、乙、丙、丁、戊五位同学课间玩“击鼓传花”游戏.第1次由甲传给乙、丙、丁、戊四人中的任意一人，第2次由持花者传给另外四人中的任意一人，往后依此类推，经过4次传花，花仍回到甲手中，则传法总数为（ ） A. 36 B. 48 C. 52 D. 64 7. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 记函数.已知函数，，，若有且只有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 经验回归方程时，变量与变量成正相关 B. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C. 若随机变量，且，则 D. 已知随机事件、，若，，则 10. 定义在上的函数满足，则（ ） A. 函数的解析式为 B. 函数图象的对称轴为直线 C. 函数的单调递增区间为 D. 函数在上最大值为 11. 已知正方体的棱长为3，以下说法正确的是（ ） A. 若点为正方形内部及边界上的动点，且满足，则动点的轨迹长度是 B. 若点为正方形内部及边界上任意一点，则存在点使得点，到平面的距离之和等于 C. 若点在正方体的内切球表面上运动，且面，则的最小值为 D. 若点满足，则动点构成的平面截三棱锥所得截面的面积为 Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 有一组数据：、、、、.则其第百分位数为______. 13. 命题“，为假命题”，则实数取值范围为______. 14. 已知实数、满足，则的最小值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，、、分别为的内角、、的对边，满足，为的中点. （1）求角的大小； （2）若，，求线段的长度. 16. 已知平面向量、满足，，. （1）求在上投影向量（结果用表示）； （2）求； （3）若，求. 17. 如图，已知四棱台，点在底面上的射影落在线段上（不含端点），底面为直角梯形，，，，. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为； （ⅰ）求直线与平面所成的角； （ⅱ）若四边形为等腰梯形，，求平面与平面夹角的正切值. 18. 2025年，某卫视推出了“最强大脑围棋版争霸赛”，堪称围棋界史上最激烈的国际赛事，以“棋艺封神，一站扬名”为口号，致力于推广围棋文化和智力竞技.受此启发，某中学为了让学生亲身体验围棋比赛的精彩和激烈，激发学生的思维活力，特别举办了“校园棋王争霸赛”.根据已报名的学生资料统计，有的学生学过围棋，将频率视为概率. （1）从已报名选手中任取3名学生，记其中学过围棋的学生数为，求的分布列与数学期望； （2）经过海选，最终决定、、、、、、、八位棋手参加棋王争霸赛，比赛分预赛、半决赛和决赛三个阶段，采用淘汰制决出冠军.预赛共有四场，八位棋手赛前抽签确定比赛位置，获胜四人进入半决赛，依次类推，在决赛中，胜者为冠军，负者为亚军。已知~这7位棋手互相对弈时，获胜概率均为，棋手与其他棋手对弈时，获胜的概率为，每局对弈结果相互独立，无和棋情况. （ⅰ）求棋手最终夺冠的概率； （ⅱ）求棋手与有过对弈且最终获得亚军的概率. 19. 函数的定义域为； ①若对，都有成立，则称在上为凹函数（当且仅当时，等号成立），且凹函数有以下性质：对都有（当且仅当时，等号成立）. ②若对，都有成立，则称在上为凸函数（当且仅当时，等号成立），且凸函数有以下性质：对都有（当且仅当时，等号成立）. （1）判断函数在上是否具有凹凸性，并用上述定义法证明你的结论. （2）设为的周长，为的面积； （i）求：的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $