反比例函数拓展：平行四边形存在性问题总结 讲义 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学讲义通过知识框架系统梳理了反比例函数中平行四边形存在性问题的核心知识，涵盖中点坐标公式、平行四边形对角线互相平分的坐标规律及分类找点方法，清晰呈现已知三定点求第四点、两定点两动点等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于典型考法分层设计，如“已知两定点、动点分别在坐标轴和反比例函数上构成平行四边形”等例题，结合坐标规律列方程培养推理能力与模型意识。巩固练习覆盖不同情境，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化思维，助力教师实施精准复习教学。

考法 1：已知三个定点，求第四个动点的坐标 例题： 解析： 已知三个定点：、、，根据分类找点的方法，分三种情况： 1、以 为对角线： ，，得 2、以 为对角线： ，，得 3、以 为对角线： ，，得 综上，符合条件的 点坐标为 、、。 考法 2：已知两个定点，动点分别在坐标轴和反比例函数上 例题： 解析： 设 ，，分三种情况讨论： 1、 为边， 为邻边： 此时 ，即： ， 解得 ，代入得 ，得 2、 为边， 为邻边： 此时 ，即： ， 解得 ，代入得 ，得 3、 为对角线： 此时 ，即： ， 解得 ，代入得 ，得 综上，点 的坐标为 、、。 考法 3：动点在反比例函数和一次函数上，构成平行四边形 例题： 解析： 设 ，则 （ 轴，纵坐标相同，代入 得横坐标），（同理， 轴，横坐标相同）。 分三种情况讨论： 1、以 为对角线： 的坐标为 因为 在 上，所以 ，解得 ，此时 2、以 为对角线： 的坐标为 代入 得 ，解得 ，此时 3、以 为对角线： 的坐标为 代入 得 ，解得 ，此时 综上，存在这样的点 ，坐标为 、、。 考法 4：图形平移后，动点的存在性问题 例题： 解析： （1）过点D作DG⊥x轴于点G，BF⊥x轴于点， ∵∠DAG+∠ADG=90°，∠DAG+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°， ∴∠DAG=∠ABF，∠ADG=∠BAF， 在△ADG与△BAF中， ∴△ADG≌△BAF（ASA）， ∴DG=AF=1，AG=BF=3-1=2， ∴B（4，2）； （2）∵B（4，2），D（1，1）， ∴t秒后B′（4-t，2），D′（1-t，1）． ∵设t秒后两点在反比例函y=（k≠0）的图象上， ∴2（4-t）=1-t，解得t=7， ∴B′（-3，2），D′（-6，1）， ∴k=2×（-3）=-6， ∴反比例函数的解析式为 （3）存在． 设直线B′D′的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵B′（-3，2），D′（-6，1）， ,解得 ∴直线B′D′的解析式为 ∴E（0，3）． 设P（a，0），Q（x，）， 当B′E为对角线时， ,,解得 ∴P(,0)，Q(,5) 当B′E为边时，点Q的纵坐标为-1，此时Q（-1，6），P（9，0）． 综上所示，P(,0)，Q(,5)或，P（9，0），Q（-1，6） 巩固练习答案 1、答案：1 解析：设 ，，则 ，平行四边形面积 。 2、答案：9 解析：根据平行四边形平移规律，，由 得 ，，代入反比例函数得 ，解得 ，。 3、答案： 点的坐标（） ∵反比例函数 ，点A(1,4)， ∴k=1×4=4， ∴反比例函数解析式为： ∵点A′(4,b)在反比例函数的图象上， ∴4b=4， 解得：b=1， ∴A′(4,1)； ∵点B在直线y=x上， ∴设B点坐标为：(a,a)； ∵点A(1,4)，A′(4,1)， ∴A点向下平移3个单位，再向右平移3个单位，即可得到A′点； ∵四边形AA′B′B是平行四边形， ∴B点向下平移3个单位，再向右平移3个单位，即可得到B′点(a+3,a−3)； ∵点B′在反比例函数的图象上， ∴(a+3)(a−3)=4， 解得：a=±（负数不合题意） 故B点坐标为：（） 4、答案：、、 解析：分三种情况，以 为对角线，分别计算得三个点。 5、答案：、、、 解析：设 ，则 ，，由 列方程解得。 学科网（北京）股份有限公司 $ 反比例函数中平行四边形存在性问题总结 一、核心知识点参考 1. 中点坐标公式 若平面内两点 、，则线段 的中点 的坐标为： 2. 平行四边形的坐标规律 平行四边形的对角线互相平分，因此两组相对顶点的横、纵坐标之和分别相等。若四边形 是平行四边形，则： 这个规律是解决所有平行四边形存在性问题的核心，无论点的位置如何，都可以通过这个等式列方程求解。 3. 分类找点的方法 （1）已知三个定点，求第四个动点 设已知三点为 ，求点 ，则分三种情况讨论： 1、以 为对角线：，即 ， 2、以 为对角线：，即 ， 3、以 为对角线：，即 ， （2）已知两个定点，两个动点 设已知两点为 ，动点为 （分别在不同的轨迹上，如坐标轴、反比例函数、一次函数上），同样根据对角线的不同分三种情况，将动点坐标代入上述坐标规律，列方程求解即可。 二、典型考法与例题 考法 1：已知三个定点，求第四个动点的坐标 例题：已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 和点 ，过 作 轴，垂足为 ，在平面内有点 ，使得以 四点为顶点的四边形为平行四边形，求所有符合条件的 点的坐标。 考法 2：已知两个定点，动点分别在坐标轴和反比例函数上 例题：一次函数 与反比例函数 的图像交于点 、。若点 在 轴上，点 在反比例函数的图像上，且 恰好是一个平行四边形的四个顶点，求点 的坐标。 考法 3：动点在反比例函数和一次函数上，构成平行四边形 例题：已知反比例函数 和 ，点 是双曲线 上一动点，顶点 在双曲线 上，且 轴， 轴，点 是直线 上的动点，是否存在 使得以 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求 的坐标。 考法 4：图形平移后，动点的存在性问题 例题：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（3，0）、D（1，1）．点B、C在第一象限内． （1）求点B的坐标； （2）将正方形ABCD以每秒1个单位速度沿x轴向左平移（设运动时间为t秒）．若存在某一时刻t，使在第二象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式； （3）在（2）的情况下．直线D′B′交y轴于点E．问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q．使得以P、Q、E、B′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 三、巩固练习 1、在第一象限内， 是反比例函数 图象上的任意一点， 平行于 轴交反比例函数 的图象于点 ，作以 为边的平行四边形 ，其顶点 在 轴上，若 7，则 的值为多少？ 2、 反比例函数 的图像经过平行四边形 的顶点 ，若点 的坐标分别为 、、，且 ，则 的值是多少？ 3、已知反比例函数 与正比例函数 的图象，点 ，点 点A′(a,b)均在反比例函数的图象上，点 在直线 上，四边形AA′B′B是平行四边形，则 点的坐标为多少？ 4、一次函数 与反比例函数 图象相交于 、 两点，在平面内是否存在一点 ，使以点 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求 的坐标。 5、一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于 两点。若 是 轴上一点， 轴交一次函数于 ，交反比例函数于 ，当 为顶点的四边形是平行四边形时，求 的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $