4.1～4.2 代数式及其求值 知识点过关练- 2026-2027学年 浙教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦代数式书写规则、列式表示及求值，通过基础辨析-情境应用-综合迁移的层级设计，渗透整体代入、分类讨论等方法，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-4题|代数式书写规则、意义解读|从书写规范到实际意义理解，构建代数表达基础| |列式表示|填空8-11题、解答12题|数量关系转化、多情境建模|由具体数量到字母抽象，形成符号表达能力| |代数式求值|选择5-7题、解答13-14题|整体代入法、相反数/倒数性质应用|从直接代入到变形转化，提升运算推理能力| |综合应用|解答15-16题|分类讨论、实际问题建模|结合几何与生活情境，发展应用意识与数据观念|

代数式及其求值 一、选择题 1．下列各代数式中，符合代数式书写规则的是（　　） A． B． C． D． 2．代数式 表示 （　　） A．a 除以 B． 除a C．b与2的和除以a D．a除以b与2的和所得的商 3．用代数式表示“的2倍与平方的差”，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图是同一时刻北京时间和莫斯科时间.若现在北京时间是x，则同一时刻莫斯科的时间可以表示为（　　） A． B． C． D． 5．根据以下程序，当输入时，输出的结果是（　　） A．0 B．1 C． D． 6．已知，则代数式的值为（　　） A．2023 B．-2021 C．2021 D．-2023 7．当x＝1时，代数式px3+qx+1的值为2027，则当x＝-1时，代数式px3+qx+1的值为（　　） A．-2023 B．-2025 C．2026 D．2027 二、填空题 8．现有5元面值人民币m张，10元面值人民币n张，共有人民币　 　元（用含m、n的代数式表示）. 9．一个三位数，它的十位上的数字是个位上数字的2倍，百位上的数字比个位上数字大2，写出所有满足题目条件的三位数：　 　． 10．有一个长方体水箱，从里面量得它的深度为，底面长为，宽为，水箱里已盛有深度为的水.若往水箱里放入一个棱长为的立方体铁块，则水箱的水深为　 　. 11．如图所示，一块砖的外墙面积为x，那么图中残缺墙面的面积为　 　. 三、解答题 12．用代数式表示： （1）的平方与的2倍的差； （2）a、b两数的立方差； （3）m与n的商的算术平方根 ； （4）a的相反数与b的倒数的和. 13．已知a、b互为相反数（a，b不为0），c、d互为倒数，|m|＝2，且m＞0，求2a+2b+-（cd）2022-3m的值. 14．理解与思考： 在某次作业中有这样的一道题：“如果代数式的值为-4，那么代数式的值是多少？“小明是这样来解的： 原式 把式子两边同乘以2，得. 仿照小明的解题方法，完成下面的问题： （1）如果，则　 　； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值. 15．如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，下面是由两个大小相等的长方形窗框构成，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，窗户半圆部分和两个长方形部分都安装透明玻璃（本题中取3，长度单位为米.） （1）一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含，的代数式表示） （2）一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米（铝合金窗框宽度忽略不计）？（用含，的代数式表示） （3）某公司需要购进40扇窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如下报价： 甲厂商报价为铝合金每米400元，透明玻璃不超过100平方米的部分每平方米180元，超过100平方米的部分每平方米140元；乙厂商报价为铝合金每米420元，透明玻璃每平方米160元，每购买1米铝合金送0.1平方米的透明玻璃.当，时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？ 16．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，m3表示立方米）；请根据表中的内容解答下列问题： （1）若某户居民2月份用水4m3，求应收水费； （2）若该户居民3月份用水am3（其中6＜a＜10），则应收水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） （3）若该户居民4、5两个月共用水20m3（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水xm3，求该户居民4、5两个月共交水费多少元.（用含x的代数式表示，并化简） 价目表 每月用水量 价格 不超出6m3的部分 2元/m3 超出6m3不超出10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】用字母表示数 【解析】【解答】解： A 、符合书写要求，故此选项符合题意； B、 a后面的乘号应该省略且数在前面，故此选项不符合题意； C、带分数要写成假分数，故此选项不符合题意； D、除法应写成分式的形式，故此选项不符合题意. 故答案为：A. 【分析】代数式的书写规则是：①数与字母相乘，通常省略乘号，并把数字放到字母的前面，是带分数的需要化为假分数；②除法运算一般不用除号，而用分数线代替除号；③字母与字母相乘一般省略乘号，字母或数字与多项式相乘，一般省略乘号并把数字或字母写在多项式的前面，据此一一判断得出答案. 2．【答案】D 【知识点】代数式的概念 【解析】【解答】解： ， 所以 表示 a 除以b与2的和所得的商. 故答案为：D. 【分析】原代数式可化为a÷(b+2)，据此解答. 3．【答案】A 【知识点】列式表示数量关系 【解析】【解答】解：m的2倍与n的平方差表示为：2m-n2. 故答案为：A 【分析】先写出m的2倍和n的平方，然后中间用“-”号连接即可. 4．【答案】D 【知识点】列式表示数量关系 【解析】【解答】解：根据题意得：北京时间比莫斯科时间早小时， ∵现在北京时间是x， ∴同一时刻莫斯科的时间可以表示为. 故答案为：D. 【分析】根据题意得：北京时间比莫斯科时间早5小时，据此解答. 5．【答案】D 【知识点】无理数的估值；代数式求值 【解析】【解答】解：， . 故答案为：D. 【分析】将x=代入中求出结果，若<2，则输出结果，否则继续计算. 6．【答案】A 【知识点】代数式求值 【解析】【解答】解：∵， ∴ ； 故答案为：A. 【分析】待求式可变形为3-2(x+y)，然后将已知条件代入进行计算. 7．【答案】B 【知识点】代数式求值 【解析】【解答】解：当x＝1时，代数式px3+qx+1的值为2027， ∴p•13+q×1+1＝2027 ∴p+q+1＝2027， ∴p+q＝2026， ∴当x＝-1时，代数式px3+qx+1的值＝p•（-1）3+q•（-1）+1 ＝-p-q+1 ＝-（p+q）+1 ＝-2026+1 ＝-2025 故答案为：B. 【分析】由已知条件可得p+q＝2026，当x=-1时，代数式的值为-(p+q)+1，据此计算. 8．【答案】(5m+10n) 【知识点】用字母表示数 【解析】【解答】解：由题意得：共有人民币元， 故答案为：. 【分析】用5元面值人民币的数量×5+用10元面值人民币的数量×10，列式即可. 9．【答案】200、321、442、563、684 【知识点】用字母表示数 【解析】【解答】解：∵十位上的数字是个位上数字的2倍，百位上的数字比个位上数字大2， 设个位上的数字为a ，且a为正整数或0， ∴十位上的数字是2a ，且0≤2a≤9 ，2a为整数，百位数字为a+2 ∴ a可以取0、1、2、3、4， ∴当 时，这个三位数为：200， 当 时，这个三位数为：321， 当 时，这个三位数为：442， 当 时，这个三位数为：563， 当 时，这个三位数为：684， 故答案为：200、321、442、563、684. 【分析】设个位上的数字为a ，且a为正整数或0，则十位上的数字是2a ，且0≤2a≤9 ，2a为整数，百位数字为a+2；据此可得a可以取0、1、2、3、4，分别代入可得答案. 10．【答案】10或30或a+2或1.25a 【知识点】列式表示数量关系 【解析】【解答】解：当放入立方体铁块后，水面刚好与立方体铁块相平时，由题意，得 ， ∴， ∴水深为10cm； 当放入立方体铁块后，水面刚好与水箱顶部相平时，由题意，得 ， ∴； ∴当时，水深为30cm； 当时，设此时水深为，由题意，得， ∴； 当时，设此时水深为，由题意，得， ∴， 综上所述，水箱的水深为30或a+2或1.25a. 故答案为：10或30或a+2或1.25a. 【分析】分类讨论：①当放入立方体铁块后，水面刚好与立方体铁块相平时，根据水箱的长×宽×铁块的棱长=水箱原来水的体积+放入的立方体铁块的体积建立方程，求解可得a的值；②当放入立方体铁块后，水面刚好与水箱顶部相平时根据水箱的长×宽×铁块的棱长=水箱原来水的体积+放入的立方体铁块的体积建立方程，求解可得a的值；根据水箱容积=水箱原来水的体积+放入的立方体铁块的体积建立方程，求解可得a的值，当a≥28时，水深30cm，③当8≤a≤28时，设此时水深为xcm，根据根据水箱的长×宽×现在水的深度=水箱原来水的体积+放入的立方体铁块的体积建立方程，求解可表示出x；④当a＜8时，设此时水深为ycm，根据现在铁块没入水的体积+原来水箱中水的体积=水箱的长×宽×现在液面的高度建立方程，求解可表示出y，综上即可得出答案. 11．【答案】 【知识点】列式表示数量关系 【解析】【解答】解：图中残缺墙面的面积为 故答案为：. 【分析】由图形可得：残缺墙面的面积=三块砖的外墙面积+半块砖的外墙面积，然后结合一块砖的外墙面积为x进行解答. 12．【答案】（1）解：的平方与的2倍的差： （2）解：a、b两数的立方差： （3）解：m与n的商的算术平方根 （4）解：a的相反数与b的倒数的和. 【知识点】列式表示数量关系 【解析】【分析】（1）a的平方可表示为a2，b的2倍可表示为2b，然后作差即可； （2）a的立方可表示为a3，b的立方可表示为b3，然后作差即可； （3）m与n的商可表示为，然后结合算术平方根的概念进行解答； （4）a的相反数可表示为-a，b的倒数可表示为，然后求和即可. 13．【答案】解：∵a、b互为相反数（a，b不为0），c、d互为倒数，|m|＝2，且m＞0， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝2，=-1， ∴2a+2b+-（cd）2022-3m ＝2（a+b）+-（cd）2022-3m ＝2×0+（-1）-12022-3×2 ＝0-1-1-6 ＝-8. 【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；代数式求值 【解析】【分析】根据相反数、倒数、绝对值的概念结合题意可得a+b＝0，cd＝1，m＝2，则=-1，待求式可变形为2(a+b)+-(cd)2022-3m，然后代入计算即可. 14．【答案】（1）2015 （2）解： . ， 原式 ； （3）解：，， ，. . . . 【知识点】代数式求值 【解析】【解答】解：（1）， . ； 故答案为：2015； 【分析】（1）将所给方程的两边同时乘以2可得2a2+2a=0，然后整体代入待求式子，按有理数的加减法法则即可算出答案； （2）将待求式子去括号、合并同类项化简，进而将化简的结果中含字母部分逆用乘法分配律变形，最后整体代入即可算出答案； （3）将所给的第一个方程两边同时乘“4”，第二个方程两边同时乘“-1”，将所得的两个新方程相加可得4a2+7ab+b2=-4，进而将待求式子逆用乘法分配律提出“”变形，最后整体代入即可算出答案. 15．【答案】（1）解：一扇这样窗户一共需要铝合金（米） （2）解：（平方米） （3）解：当，时，1个窗户铝合金的长度：， 共米， 1个窗户玻璃的面积：平方米， 共平方米， 甲厂的报价为：， 乙厂的报价为：， ， 该公司在甲厂商购买窗户合算. 【知识点】列式表示数量关系；代数式求值 【解析】【分析】（1）根据铝合金的长度等于所有边长之和列式，再合并同类项化简即可； （2）根据透明玻璃的面积＝长方形的面积＋半圆的面积列式即可； （3）当x=1，y=3时，分别求出40扇窗户需要透明玻璃面积和铝合金长度，进而再根据两个厂家的报价方式分别算出各自需要支付的费用，再比大小即可. 16．【答案】（1）解：由表格可得， 该户居民2月份用水4m3， 则应收水费： 2×4＝8（元）， ∴应收水费8元； （2）解：由题意得， 该户居民3月份用水am3（其中6＜a＜10）， 则应收水费： 2×6+（a-6）×4＝（4a-12）元， ∴该户居民3月份用水am3（其中6＜a＜10），则应收水费（4a-12）元； （3）解：∵4、5两个月共用水20m3（5月份用水量超过了4月份）， ∴4月份用水小于10m3， ①当4月份用水未超过6m3，5月份用水超过10m3， 则该户居民4、5两个月共交水费： 2x+6×2+4×4+×8＝（108-6x）元； ②当4月份用水超过6m3，但未超过10m3，5月份用水超过10m3， 则该户居民4、5两个月共交水费： 6×2+（x-6）×4+6×2+4×4+×8＝（96-4x）元； 综上，当4月份用水未超过6m3（即0≤x≤6），则该户居民4、5两个月共交水费（108-6x）元；当4月份用水超过6m3，但未超过10m3（即6＜x＜10），则该户居民4、5两个月共交水费（96-4x）元. 【知识点】列式表示数量关系 【解析】【分析】（1）由表格可得：不超出6m3的部分，单价为2元/m3，然后根据单价×4就可求出应收水费； （2）6m3的水费为6×2=12元，超过6m3的部分(a-6)m3的水费为4(a-6)元，相加即可； （3）由题意可得4月份用水小于10m3，①当4月份用水未超过6m3，5月份用水超过10m3时，共交水费2x+6×2+4×4+(20-x-10)×8元；②当4月份用水超过6m3，但未超过10m3时，5月份用水超过10m3，共交水费6×2+(x-6)×4+6×2+4×4+(20-x-10)×8元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $