21.2.4 一元二次方程根的判别式 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，通过复习求根公式引出Δ=b²-4ac，结合情景引入的三个方程，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生理解判别式与根的关系。 其亮点在于以推导过程培养抽象能力，例题训练推理能力，符号表达强化模型意识。如通过配方法推导判别式，例7规范计算Δ判断根的情况，帮助学生掌握本质提升解题能力，教师可高效开展教学。

华师版 九年级 数学（上） 第21章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 21.2.4 一元二次方程根的判别式 1 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的求根公式是什么？ 复习导入 x ＝ (0). 公式中哪个部分决定了方程根的情况？为什么？ 情景引入 问题：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ (1)x2－5x＋6＝0； (2)x2－4x＋4＝0； (3)x2＋2x＋3＝0. 知识模块一　一元二次方程根的判别式的推导 自学互研 我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到 (x ＋ )2 ＝. （✻） 当 b2 – 4ac ≥ 0时，直接开平方，得 x ＋ ＝ . 如果会怎么样? x ＋ ＝ . 也就是说，只有当一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的系数 a、b、c 满足条件 b2 – 4ac ≥ 0 时才有实数根. 因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况. 观察方程 (x ＋ )2 ＝. （✻）， 我们发现有如下三种情况： （1）当 b2 – 4ac > 0 时，方程 （✻）的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根： x1＝，x2＝ ； （2）当 b2 – 4ac = 0 时，方程 （✻）的右边是 0，因此方程有两个相等的实数根： （3）当 b2 – 4ac < 0 时，方程 （✻）的右边是一个负数，而对于任何实数 x，方程左边 (x ＋ )2 ，因此方程没有实数根. x1＝x2＝； 7 合 探 作 究 计算“情境引入”三个方程的 b2－4ac的值： (1)x2－5x＋6＝0； (2)x2－4x＋4＝0； (3)x2＋2x＋3＝0. 解：(1)Δ＝25－24＝1>0； (2)Δ＝16－16＝0； (3)Δ＝4－12＝－8<0 概括 这里 b2 – 4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的实数根的情况： 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程没有实数根. 9 知识模块二　用根的判别式判断一元二次方程根的情况 自学互研 例7 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 = 5x – 2； （2）4x2 – 2x + = 0； （3）4(y2 + 1) – y = 0； 解 （1）原方程可变形为 3x2 – 5x + 2 = 0. 因为 Δ = (– 5)2 – 4×3×2 = 25 – 24 = 1 > 0， 所以方程有两个不相等的实数根. 计算判别式时，方程必须化为一元二次方程的一般形式. 例7 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 = 5x – 2； （2）4x2 – 2x + = 0； （3）4(y2 + 1) – y = 0； （2）因为 Δ = _______________________，所以方程________________________. 有两个相等的实数根 (－2)2－4×4×＝4－4＝0 例7 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 = 5x – 2； （2）4x2 – 2x + = 0； （3）4(y2 + 1) – y = 0； （3）原方程可变形为_________________. 因为 Δ =_____________________________，所以方程________________________________. 4y2 – y + 4 = 0 (– 1)2 – 4×4×4 = 1 – 64= – 63＜0 没有实数根 合 探 作 究 变例：求证：关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0总有两个不相等的实数根． 证明：∵Δ＝(2k)2－4×1×(k－1)＝4k2－4k＋4＝ 4 (k － )2 ＋3， 又(k － )2 ≥0， ∴Δ＝4 (k － )2 ＋3＞0. ∴关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0总有两个不相等的实数根． 知识模块三　由一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的值或取值范围 自学互研 已知关于 x 的方程 2x2 – (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0. 当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ 当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？ 当 k 取何值时，方程没有实数根？ 试一试 解 因为 Δ = [– (3 + 4k)]2 – 4×2×(2k2 + k) = 16k + 9. 当16k + 9 = 0，即k = － 方程有两个相等的实数根. 当16k + 9 > 0，即k＞ － 时，方程有两个不相等的实数根. 当16k + 9 ＜ 0，即＜ － 方程没有实数根. 已知根的情况，利用根的判别式求参数的取值范围时，应注意什么？ 自 探 主 究 遇到含参方程，首先要判断是否一定是一元二次方程． 如果二次项系数含参数，必须讨论参数是否为0. 合 探 作 究 范例：若关于x的方程x2＋x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ( ) A．m＜－4 B．m＞4 C．m＜－ D．m＜ D 仿例：若关于x的方程x2－4x＋m＝0不存在实数根，则m的取值范围是 ( ) A．m＞4 B．m≥4 C．m≤4 D．m＜4 A 变例：若关于x的一元二次方程(k－1)x2－4x＋2＝0有两个相等实数根，则k的取值为 ( ) A．k＝3 B．k＝1 C．k＝3且k≠1 D．k＝－3 A 课堂小结 这里 b2 – 4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的实数根的情况： 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程没有实数根. 随堂练习 1.不解方程，判断下列方程的根的情况: (1) 3x2＋5x =4; (2)2x－x2－2=0; (3)4(y2－y)＋1=0; (4)2(x＋1)2=5x. 解：(1)先化为一般形式: 3x2＋5x－ 4 =0， 这里a＝3， b＝5， c＝－4 ∴Δ＝52－4×3×(－4) ＝25＋48 ＝ 73>0； ∴这个方程有两个不相等的实数根. (2)先化为一般形式: x2－2x＋2 =0， 这里a＝1， b＝－2， c＝2 ∴Δ＝(－2) 2－4×1×2 ＝4－8 ＝ －4＜0； ∴这个方程没有实数根. (3)先化为一般形式: 4y2－4y＋1 =0， 这里a＝4， b＝－4， c＝1 ∴Δ＝(－4) 2－4×1×1 ＝16－16 ＝ 0； ∴这个方程有两个相等的实数根. (4)先化为一般形式: 2x2－x＋2 =0， 这里a＝2， b＝－1， c＝2 ∴Δ＝(－1) 2－4×2×2 ＝1－16 ＝ －15 ＜0 ； ∴这个方程没有实数根. 2.小明告诉同学，他发现了一种简便方法，可以判断一类方程必有实数根:若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的系数a、c异号(即两数为一正一负)，那么这个方程一定有两个不相等的实数根.他的说法是否正确?为什么? 正确 证明过程： 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，判别式为：Δ＝ . ∵a、c异号，即ac＜0, 是一个数的平方， ∴ 0. ∴ Δ＝ ∴方程一定有两个不相等的实数根，小明的说法是正确的。 ∴ $