21.2.2 配方法课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“配方法解一元二次方程”，课堂导入先通过直接开平方法的方程复习，再提出需转化的方程引导思考如何配成完全平方形式，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动自主与合作探究，结合具体实例（如从数字系数到字母系数方程）培养抽象能力，通过无解情况讨论发展推理意识。步骤归纳清晰，学生能掌握方法并发展思维，教师可借助实例提升教学效率。

华师版 九年级 数学（上） 第21章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 21.2.2 配方法 1 情景导入 1．解下列方程： (1)2x2＝8 ； (2)(x＋3)2－25＝0； (3)9x2＋6x＋1＝4. 解一解！ 解：(1)x1​=2, x2​=−2. (2)x1​=2, x2​=−8. (3)x1​= , x2​=−1. 2．你能解x2＋6x＋4＝0这个方程吗？ 你会将它变成(x＋m)2＝n(n为非负数)的形式吗？ 试试看． 如果是方程2x2＋1＝3x呢？ 知识模块一　用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 自学互研 例4 解方程：x2 + 2x = 5. 要用直接开平方法求解，首先希望能将方程化为 ( )2 = a 的形式，那么，怎么实现呢？ 思 考 回想两数和的平方公式，有 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2. 为此，通常设法在方程两边都加上一个适当的数，使左边配成一个含有未知数的完全平方式（右边是一个常数）. 解 原方程两边都加上 1 ，得 x2 + 2x + 1 = 6. 即 (x + 1)2 = 6. 直接开平方，得 x + 1 =± . 所以 x =－1± 即 x1 =－1＋ ，x2 =－1－ . 概括 通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解．这种解一元二次方程的方法叫配方法． 自 探 主 究 模仿教材P26例4内容，并模仿解方程x2－8x＋1＝0. 解 移项，得 x2 －8x = － 1. 配方，两边加上一次项系数一半的平方，得 x2 －8x＋16 = － 1 ＋16. 所以 (x － 42) =15 直接开平方，得x － 4 =± . 所以 x = 4 ± 即 x1 = 4 ＋ ，x2 = 4 － . 用配方法解一元二次方程有哪些步骤？ (1)移项：把常数项移到方程的右边； (2)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； (3)开方：根据平方根的意义，方程两边开平方； (4)求解：解一元一次方程； (5)写解：写出原方程的解． 例5 用配方法解方程： （1）x2 – 4x + 1 = 0； （2）4x2 – 12x – 1 = 0 解 (1)原方程可化为 x2 – 4x = – 1. 直接开平方，得 x－2＝±. 配方（两边同时加上 4），得 x2 – 2·x·2 + 22 = – 1 + 22 ， 即 (x – 2)2 = 3. 所以 x1＝2＋，x2＝2－. （2）移项，得 4x2 – 12x = 1. 两边同时除以 4，得x2－3x＝. 配方，得 x2－2·x· ( ) ＋( )2＝＋ ( )2 即 (x － )2 ＝ 直接开平方，得 x － ， 所以 x1＝＋，x2＝－. 思考 题（2）中，注意到 4x2 = (2x)2 ，方程移项后可以写成 (2x)2 – 2·2x·3 = 1， 可以怎样配方？试一试，并完成解答. (2x)2 – 2·2x·3 + 32 = 1 + 32 (2x – 3)2 = 10 直接开平方，得2x – 3＝±. 所以 x1＝＋，x2＝－. 用配方法解关于x方程： x2 + px + q = 0（p2 – 4q ≥ 0）. 试一试 解 配方，得 x2 ＋ 2· · x ＋( )2＝＋ ( )2， 即 (x ＋ )2 ＝ ， 直接开平方，得 x ＋ ＝±. 所以 x1＝ － ＋，x2＝－. 变例：解下列方程： (1)x2－4x＋2＝0； (2)x2＋17＝8x. 解：(1)原方程可化为x2－4x＝－2. 合 探 作 究 配方(两边都加上4)，得x2－2·x·2＋22＝－2＋22， 即(x－2)2＝2. 直接开平方，得x－2＝±. ∴x1＝2＋，x2＝2－. 15 (2)移项，得x2－8x＝－17. 配方(两边都加上16)，得 x2－2·x·4＋42＝－17＋42，即(x－4)2＝－1. 任何实数的平方都不可能为负数， 所以此方程无实数解． 知识模块二　用配方法解二次系数不为1的一元二次方程 自学互研 运用配方法解一元二次方程，一定要配成完全平方式，为了简便，在用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，通常是先让方程的各项除以二次项系数，即把这类方程转化为例4中的方程类型． 范例：解下列方程： (1)2x2＋1＝3x； (2)3x2－6x＋4＝0. 解：(1)移项，得2x2－3x＝－1. 合 探 作 究 两边都除以2，得x2－x＝－. 配方，得x2－2·x·＋( )2＝－＋ ( )2 ， 即 (x － )2 ＝. 直接开平方，得x－＝±. ∴x1＝，x2＝1. (2)移项，得3x2－6x＝－4. 两边都除以3，得x2－2x＝－. 配方，得x2－2·x·1＋12＝－＋12， 即(x－1)2＝－. ∵－＜0， ∴原方程无解． 仿例：解下列方程： (1)2x2－20x＋25＝0； (2)3x2＋1＝2x. 解：(1)移项，得2x2－20x＝－25. 两边都除以2，得x2－10x＝－. 配方，得x2－2·x·5＋52＝－＋52，即(x－5)2＝. 直接开平方，得x－5＝±. ∴x1＝5＋，x2＝5－. (2)移项，得3x2－2x＝－1. 两边都除以3，得x2－x＝－. 配方，得x2－2·x·＋ ()2 ＝－＋ ()2 ， 即(x－)2 ＝0. 直接开平方，得x－＝0. ∴x1＝x2＝. 课堂小结 用配方法解一元二次方程有哪些步骤？ (1)移项：把常数项移到方程的右边； (2)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； (3)开方：根据平方根的意义，方程两边开平方； (4)求解：解一元一次方程； (5)写解：写出原方程的解． 随堂练习 1.填空，将下列方程左边的多项式配成完全平方式: (1) x2＋6x ＋ ( )＝ (x＋ ) 2; (2) x2－8x ＋ ( )＝ (x－ ) 2; (3) x2＋x ＋ ( )＝ (x ＋ ) 2; (4) 4x2 － 6x ＋ ( )＝4(x－ ) 2 ＝ (2x－ ) 2. 9 3 16 4 23 2.用配方法解下列方程: (1) x2＋8x －2＝ 0; (2) x2－5x －6＝ 0; (3) 3x2＋x －3 ＝ 0; 解：(1)移项，得x2＋8x＝2. 配方，得x2＋8x ＋ 16＝2 ＋ 16 ， 即 (x ＋4)2 ＝. 直接开平方，得x＋4＝± ＝±3. 所以 x1＝－ 4 ＋ 3，x2＝－ 4 － 3. (2)移项，得x2－5x＝6. 配方，得x2－5x＋ ＝6 ＋ ， 即 (x － )2 ＝. 直接开平方，得x － ＝±. 所以 x1＝6，x2＝－ 1. (3)两边同时除以3，得x2＋ x － 1＝0. 配方，得x2 ＋ x ＋ ＝1 ＋， 即 (x ＋ )2 ＝. 直接开平方，得x ＋ ＝±. 所以 x1＝，x2 ＝ . 移项，得x2＋ x ＝ 1 $