21.2.3 公式法 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法，通过情景导入用配方法解方程并回顾步骤，以配方法为学习支架，引导学生从具体方程过渡到一般形式的求根公式推导，构建知识脉络。 其特色在于注重数学思维的培养，通过严谨推导求根公式发展推理能力，结合例题、合作探究及实际问题解决（如绿地长宽计算）强化模型意识与应用意识。学生能系统掌握解法，教师可提升教学效率。

华师版 九年级 数学（上） 第21章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 21.2.3 公式法 1 用配方法解方程2x2＋4x＋1＝0，并总结用配方法解一元二次方程的步骤是什么． 情景导入 用配方法解一元二次方程的步骤： (1)移项：把常数项移到方程的右边； (2)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； (3)开方：根据平方根的意义，方程两边开平方； (4)求解：解一元一次方程； (5)写解：写出原方程的解． 知识模块一　一元二次方程的求根公式 自学互研 探索 我们来解一般形式的一元二次方程: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 因为 a ≠ 0，方程两边除以 a，得 移项，得 x2 + x + ＝ 0. x2 + x ＝ － . 配方，得 x2 ＋ 2·x· ＋ ()2＝ － ， 即 (x ＋ )2 ＝. 因为a ≠ 0，所以4a2 > 0.当 b2 – 4ac ≥ 0时，直接开平方，得 x ＋ ＝ . 所以 即 x1＝，x2＝. x ＝ － . 由以上研究，得到了一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式. 将一元二次方程中系数 a、b、c 的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 这里为什么要强调 b2 – 4ac ≥ 0 ？如果 b2 – 4ac < 0会怎样？ 无解 x ＝ (0). 总结归纳 如果b2－4ac＜0，方程无实数根，此时就不能将a，b，c代入公式来计算．所以，用公式法解方程时，首先求它的判别式b2－4ac的值，如果为非负数，然后再代入公式求解． 知识模块二　用公式法解一元二次方程 自学互研 例6 解下列方程： （1）2x2 + x – 6 = 0； （2）x2 + 4x = 2； （3）5x2 – 4x – 12 = 0； （4）4x2 + 4x + 10 =1 – 8x. 解（1）a = 2，b = 1，c = – 6， 因为 b2 – 4ac = 12 – 4×2×（ – 6） = 1 + 48 = 49 > 0， 所以 x ＝ 即 x1＝，x2＝－. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 特别注意:当 b2 – 4ac < 0 时无解. 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值. 2、求出 b2 – 4ac 的值. x ＝ 3、代入求根公式 : 4、写出方程的解：x1、x2. （2）将方程化为一般形式，得 x2 + 4x – 2 = 0. 因为 b2 – 4ac = 24＞0， 所以 x 即 x1＝，x2. （3）因为 b2 – 4ac = 256， 所以 x 即 x1＝，x2. （4）整理，得 4x2 + 12x + 9 = 0. 因为 b2 – 4ac = 0， 所以 x 即 x1＝x2. 这里b2 – 4ac = 0 ，方程有两个相等 的实数根. 14 合 探 作 究 范例：解下列一元二次方程： (1)x2－5x＋2＝0； (2)x2－3x＝5. 解：(1)这里a＝1，b＝－5，c＝2. ∵b2－4ac＝(－5)2－4×1×2＝25－8＝17>0， ∴x＝＝＝， 即 x1＝， x2 ＝. (2)将方程化为一般形式，得x2－3x－5＝0. 这里a＝1，b＝－3，c＝－5， ∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－5)＝9＋20＝29＞0， ∴x＝＝＝， 即x1＝， x1 ＝. 仿例：解下列方程： (1)2x2＋1＝2x； (2)6x2＋3x＝2x＋1. 解：(1)将方程化为一般形式，得2x2－2x＋1＝0. ∵b2－4ac＝(－2)2－4×2×1＝4， 这里a＝2，b＝－23，c＝1. ∴x ＝ ＝＝＝， 即x1 ＝，x2＝. (2)将方程化为一般形式，得6x2＋x－1＝0. 这里a＝6，b＝1，c＝－1. ∵b2－4ac＝12－4×6×(－1)＝1＋24＝25>0， ∴x＝ ＝＝. 即x1 ＝－， x2＝. 知识模块三　用适当的方法解一元二次方程 自学互研 思考 根据你学习的体会小结一下：解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何根据方程的特点选用的？和同学交流一下. 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法 20 现在我们来解决 22.1 节中的问题 1： x(x + 10) = 900， x2 + 10x – 900 = 0， x＝， x1 ＝， x2＝. 21 它们都是所列方程的根，但负数根 x2 不符合题意，应舍去. x1 ＝， x2＝. x ＝≈ 25.4 ， x + 10 ≈ 35.4， 符合题意，因此绿地的长约为 35.4 m，宽约为25.4 m. 合 探 作 究 范例：用适当的方法解一元二次方程： (1)(x－3)2－9＝0； (2)x2－2x＝2x＋1. 解：(1)移项，得(x－3)2＝9. 直接开平方，得x－3＝±3. 即x1＝6，x2＝0. (2)移项，得x2－4x＝1. 配方(方程两边都加4)，得x2 －4x＋4＝5， 即(x－2)2＝5. 直接开平方，得x－2＝±. ∴ x1＝2＋，x2＝2－. 仿例：用适当的方法解下列方程： (1)2x2－3x－1＝0； (2)x(x－2)－3x＋6＝0. 解：(1)这里a＝2，b＝－3，c＝－1. ∴x＝ ＝＝. 即x1＝， x2 ＝. ∵b－4ac＝(－3)－4×2×(－1)＝9＋8＝17＞0， (2)方程变形为x(x－2)－3(x－2)＝0. 方程左边分解因式，得(x－3)(x－2)＝0. ∴x－3＝0或x－2＝0. 得x1＝3，x2＝2. 课堂小结 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式. 将一元二次方程中系数 a、b、c 的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法. x ＝ (0). 随堂练习 用公式法解下列方程: (1) x2－6x＋1=0; (2) 2x2－x=6; (3)4t2-3t-1=t-2; (4) 3x(x－3)=2(x－1)(x + 1). 解：(1)这里a＝1，b＝－6，c＝1. ∴x＝ ＝＝. 即 x1＝， x2 ＝. ∵b－4ac＝(－6)－4×1×1＝36－4＝32＞0， (2)整理，得2x2－x － 6=0 这里a＝2，b＝－1，c＝－6. ∴x＝ ＝＝. 即 x1＝， x2 ＝. ∵b－4ac＝(－1)－4×2×(－6)＝1＋48＝49＞0， 30 (3)整理，得4t2－4t ＋1=0 这里a＝4，b＝－4，c＝1. ∴t＝ ＝＝＝. 即 t1＝ t2 ＝. ∵b－4ac＝(－4)－4×4×1＝16－16＝0， 31 (4)整理，得x2－9x ＋2=0 这里a＝1，b＝－9，c＝2. ∴x＝ ＝＝. 即 x1＝， x2 ＝. ∵b－4ac＝(－9)－4×1×2＝81－8＝73＞0， 32 $