第2章 第10节 导数的概念与计算-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第二章函数、导数及其应用 跟踪训练 (1)求企业获得年利润P(x)(万元)关于年产量x “硬科技”是以人工智能，航空航天，生物技术，光 (百台)的函数关系式（利润=销售收入一成本）； 电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等 (2)当该产品年产量为多少时，企业所获年利润 为代表的高精尖技术，属于由科技创新构成的物 最大？并求最大年利润. 理世界，是需长期投入，持续积累才能形成的原 创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被 复制和模仿.最近十年，我国的一大批自主创新的 企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主 研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从 2024年起全面发售，假设该高级设备的年产量为x 百台，经测算，生产该高级设备每年需投入固定成 本1500万元，最多能够生产80百台，每生产一百 台高级设备需要另投成本G(x)万元，且G(x)= 3.x2+20x,0≤x≤40，x∈N, 205x+180-3350,40<x≤80，x∈N, 每台 高级设备售价为2万元，假设每年生产的高级设 ©温馨提污 学习至此，请完成配套训练 课时冲关16 备能够全部售出. 第10节 导数的概念与计算 ★[课程标准]1.通过实例分析，经历由平均变化率过度到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背 景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想.2.通过函数图像直 观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y=c(c为常数)，y=x,y=x2,y=x2,y=x3,y= )厅的导数.4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导教的四则运算法则，求简单函数的导 1 数；能求简单的复合函数（限于形如f(ax十b))的导数， 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 在f(x)的定义域内，f(x)是一个函数，这个函数 1.函数y=f(x)在x=xo处的导数 通常称为函数y=f(x)的导函数 (1)定义：一般地，设函数y=f(x)在xo附近有定 记作f(x)(或y,yx),即f(x)=y=yx= 义，自变量在x=xo处的改变量为△x,当△x imf(x十△)一fx),导函数通常也简称为 △x→0 △x 无限接近于0时，若平均变化率 导数 △x =fo+△x)-f(xo) 3.基本初等函数的导数公式 △.x 基本初等函数 导函数 无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数 f(x)=c(c为常数)》 f'(x)= f(x)在x=xo处的瞬时变化率.此时，也称 f(x)= f(x)在xo处可导，并称k为f(x)在x=xo处 f(x)=x“(a∈Q*) 的导数，记作f'(xo)=k. f(x)=sin x f(x)= (2)几何意义：f(x)就是曲线y=f(x)在点(xo, f(x)=cos x f(x)= f(xo))处（也称在x=xo处）的 .相应 f(x)-ex f(x)= 地，切线方程为 f(x)=a"(a>0) f'(x)= 2.函数y=f(x)的导函数 一般地，如果函数y=f(x)在其定义域内的每一 f(x)=In x ()-I 点x都可导，则称(x)可导，此时，对定义域内的 f(x)=logax(a>0,a≠1) f'(x)= 1 每一个值x,都对应一个确定的导数子(x),于是， xIn a ·57 高考总复习人教数学B版（新教材） 4.导数的运算法则 (2)求f(xo)时，可先求f(xo)再求f(xo). 若如果f(x),g(x)都可导.则有： ( (1)[f(x)土g(x)]' (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. (2)[f(x)·g(x)]' [] _f(x)g(x)-f(x)g'(x 2(g(x)≠0). [g(x)]2 (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的 5.复合函数的导数 切线 ) (1)复合函数的概念 (5)若f(x)=f(a)x2+lnx(a>0),则f'(x)= 一般地，已知函数y=f(u)与u=g(x),给定x 2xf(a)+. 的任意一个值，就能确定的值，如果此时还能 确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称 ◆[小题查验] f(g(x)有意义，且称y=h(x)=f(g(x))为函 1.(教材改编)函数y=xcos x一sinx的导数为 数f(u)与g(x)的复合函数，其中u称为中 ( 间变量. A.xsin x B.-xsin x (2)复合函数的导数 C.xcos x D.-xcos x 一般地，如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合 2.函数y=f(x)的图像如图所示，则y=f(x)的 函数为y=h(x)=f(g(x)),则复合函数的导数 图像可能是 () h'(x)与f(u),g'(x)之间的关系为h'(x)= [f(g(x)]'=f'(u)g'(x)=f(g(x))g'(x). 这一结论也可以表示为y'x= 重要结论 1.f(xo)与xo的值有关，不同的xo,其导数值 般也不同. 冬， 2.f(xo)不一定为0，但[f(xo)]了'一定为0. 3.若y=f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导 3.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函 函数y=f(x) 数，周期函数的导数还是周期函数， A.既是周期函数，又是奇函数 4.函数y=f(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时 变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小 B.既是周期函数，又是偶函数 |f(x)川反映了变化的快慢，|(x)越大，曲线在这 C.不是周期函数，但是奇函数 点处的切线越“陡” D.不是周期函数，但是偶函数 自主诊断 4.在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的 ◆[思考辨析] 高度（单位：m)是h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 运动员的速度0 m/s,加速度a= 里打“√”，错误的打“X”. m/s2. (1)y'=f(x)在点x=x0处的函数值就是函数 5.(教材改编)曲线y=lnx+x+1的一条切线的 y=f(x)在点x=xo处的导数值. 斜率为2，则该切线的方程为 ·58· 第二章函数、导数及其应用 跃升>关键能力 层级突破素养提升 吉点1 导数的概念（基础点） 春点2 导数的计算（基础点） 1.设f(x)是可导函数，且满足 1.(多选)(2024·安徽宿州校考)下列函数求导运 1imf1+2)-f1)】 2x =-1,则y=f(x)在点(1，f(1) 算正确的是 处的切线的斜率为 A+}=1+ 2.用导数的定义求函数y=上在x=1处的导数 B.(tan x)'= 1 cos-r C.(e-)'=e- 2 D.(x2 cos x)'=-2xsin x 2.已知函数f)=sim2x+cos2x,那么f（) A.-2 B.2 C. D.- 3.函数f(x)的导函数为(x),若f(x)=x2十 f(im,则f) 4已知x)=ln则心x) 规律方法 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初 等函数的和、差、积、商，再利用运算法则 求导 (2)含参函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方 程思想求解， (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时 要进行换元。 春点3 导数的几何意义及应用（重难点） ◆[命题角度1]求切线方程 1.(2023·全国甲卷)曲线y= 在点1)处 的切线方程为 题后反思 根据导数的定义，求函数y=f(x)在x=xo处导 Ay=导 By- 数的步骤 C.y=+ Dy=x+程 (I)求函数值的增量△y=f(xo十△x)一f(xo): 2.曲线y=3(x2十x)e在点(0,0)处的切线方程为 (2)求平均变化率Ay=f(o十△x)-f(.xo) △.x △x (3)计算导数f(xo)=1imAy 3.(2022·新高考Ⅱ卷，14)曲线y=lnx过坐标原 △0△.x 点的两条切线的方程为 59. 高考总复习人教数学B版（新教材） 技巧点拨 ◆[命题角度3]求参数的值 1.已知切点A(xo,f(xo),求切线方程的步骤 5.(2024·深圳光明区调研)已知函数f(x)=x2e (1)求斜率k,即求该点处的导数值：k=f(xo); 一2ex,若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线 (2)求切线方程，即点斜式对应的直线方程：y 2x-ay十3=0垂直，则a= ( ) f(xo)=f(xo)(x-xo). A.-2e B.、2 c.号 D.2e 2.求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(xoyo)是切点时，切线方程为y一yo 6.已知曲线y=x十lnx在点(1,1)处的切线与曲 =f'(xo)·(x-x0). 线y=a.x2+(a十2)x十1相切，则a= (2)当点P(xo,yo)不是切点时，可分以下几步 解题技法 完成： 利用导数的几何意义求参数的基本方法 第一步：设出切点坐标P'(x1,f(x1); 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得 第二步：写出过点P(x1,f(x1)的切线方程 到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式 y-f(x1)=f'(x1)(x-x1); (组)，进而求出参数的值或取值范围. 第三步：将点P的坐标(xo,yo)代入切线方 ◆[命题角度4幻切线斜率相等问题 程求出x1; 7.(多选)(2024·山东省高三模拟)已知曲线f(x) 第四步：将1的值代入方程y一f()= f(1)(x-x1)可得过点P(xo,)的切线方程. 台3-2+ax-1上存在两条斜率为3的不 易错警示：求切线方程的“在”“过”两重天 同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a可 求曲线的切线问题时，要明确所运算的对象（切 能的取值 线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线 A号 B.3 方程的方法进行求解. c号 n号 (1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求 8.(多选)已知函数f(x)=√x一lnx,若f(x)在x 导，代入点的横坐标得到斜率. =x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则( (2)“过”曲线上一点的切线间题，此时该点未必 B.x1x2<128 是切点，故应先设切点，求切点坐标。 ◆[命题角度2]求切点坐标 C.x1+x2<32 D.x2+x2>512 4.若直线y=kx十b是曲线y=lnx十2的切线，也 解题技法 是曲线y=ln(x十1)的切线，则b= 求解与导数的几何意义有关问题时应注意的 解题技法 两点 求切点坐标的思路 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； 已知切线方程（或斜率）求切点的一般思路是先 (2)谨记切点既在切线上又在曲线上. 求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而 求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求 ©温馨提污 学习至此，请完成配套训练 课时冲关17 出切点的纵坐标. 60[子题1]解析：由母题解析知a= 根据图像可解得f(x)=0.25x(x≥0). 或a≥0. g(x)=2√E(x≥0). e (2)(i)由(1)得f(9)=2.25, 答案：[0，十∞)U g(9)=29=6. [子题2]解析： 所以总利润y=8.25万元. 函数f(x)= (ⅱ)设B产品投入x万元，A产品投 lnx-x-a的 入(18一x)万元，该企业可获总利润 零点，即为关 为y万元. 于x的方程ln x-x-a=0的 则=子18-)+2E,0≤≤18 实根，将方程lnx一x一a=0化为方 令√元=t,t∈[0,3√2]， 程lnx=x十a,令y=lnx,y2=x十 a,由导数知识可知，直线y2=x十a 期y=子(-f+81+18) 与曲线y1=lnx相切时有a=一1， 所以关于x的方程lnx-x一a=0 =-子4-40+号 2 有两个不同的实根，实数Q的取值范 围是(-∞，一1). 所以当1=4时y号 8.5, 答案：(-∞，-1) [子题3]解析：令g(x) 此时x=16,18-x=2. fzln z,x>0, 所以当A,B两种产品分别投入2万 {-x2-2x,x≤0， h(x)=a,则问题 元、16万元时，可使该企业获得最大 转化为g(x)与 利润，约为8.5万元. h(x)的图像有 g (x) 命题角度2 三个交点， h(x) 2.解：(1)若m=2,则v=2·2'+21- g(x)图像如 图.由图像知 2(+) ∠a<1. 当u=5时，2十 5 = e 2 2 答案(-日1）】 令2二≥1》则叶是-是 2 跟踪训练BC 即2x2-5.x十2=0， 第9节 夯实·必备知识必备知识 解得x=2或x=2(舍去)，此时t 2.单调递增单调递增 单调递增 =1. y轴x轴 所以经过1分钟，物体的温度为5摄 思考辨析(1)×(2)/(3)× 氏度 (4)×(5)/ (2)物体的温度总不低于2摄氏度， 小题查验 即U≥2恒成立， 1.C2.25003.204.2ln21024 跃升·关键能力考点1 亦m·2+号≥2设成立，亦即m≥ 1.B2.②3.①②③ 考点2 (位)成立 [典例]ACD[·L-L,=20X gg-20×g2=20×1g ≥0· 令2=，期0<<1， Po m≥2(y-y)恒成立， ≥1，p1≥2，所以A正确； 由于y了≤m≥2 L,-L,=20X1g2>10, 因此，当物体的温度总不低于2摄氏 是≥10，所以B g2≥号， 度时m的取值范图是[合，十∞） 错误； 命题角度3 3.解：(1)第一步分别列出0<x≤40 :L,=20×1g2=40,.2=100, 和x>40时对应的利润W.当0<x 所以C正确； 40时，W=xR(x)-(16x+40)= L-L%=20X1g2≤90-50 -6x2+384x-40,当x>40时，W= xR(x)-(16.x+40)=- 40000 =40lg会≤2， 16.x+7360. 第二步列出利润W的分段函数 .≤100，所以D正确.] -6x十384x-40,0x40, 跟踪训练B 所以W= 40000 -16z+7360,x>40. 考点3命题角度1 x 1.解：(1)设A,B两种产品分别投资x (2)第三步 计算0<x≤40时的利 万元，x万元，x≥0，所获利润分别为 润W的最大值 f(x)万元、g(x)万元. ①当0<x≤40时，W=-6(x-32)2 由题意可设f(x)=k1x,g（x)= +6104. k2√E. 所以Wmx=W(32)=6104; ·419· 参考答案 第四步计算x>40时的利润W的 最大值 ②当x>40时，W=- 40000-16x x +7360, 由于40000 +16x≥2 40000×16x x x =1600, 当且仅当40000=16x,即x=50∈ (40,十∞)时，取等号，所以W取最 大值为5760. 第五步得出本题的利润W的最 大值 综合①②，当x=32时，W取最大值 为6104万元. 跟踪训练 解：(1)G(x) 3.x2+20x,0≤x≤40，x∈N, 20ir+1800-3350,40<≤80x∈N. .当0x40时， P(x)=200x-(3x2+20x)-1500 =-3.x+180x-1500. 当40<x80时， P(.x)=20.x-205x-18000+3350 -1500=-5z-1800+1850. x 综上所述，P(x) -3.x+180x-1500,0≤x40, ）-5. _18000+1850,40<x≤80. (2)由(1)得P(x)= -3x2十180x-1500,0≤x≤40(x∈)， -5x 1800+1850,40<≤80ze0, .当0x≤40时，P(x)=一3x2+ 180x-1500=-3(x-30)2+1200, ∴.当x=30时，P(x)mx=1200(万元)： 当40<x80时， P(x)=-5x-18000+1850 x =1850-5x 3600 x 3600 ≤1850-5×2/红· =1250(万元)， 当且仅当x=3600,即工=60时等 x 号成立， 又1250>1200. 故当年产量为60百台时，公司获利 最大，且最大年利润为1250万元. 第10节 夯实·必备知识必备知识 1.(2)切线的斜率y-f(xo)=了(xo) (x-x)3.0ax2-1 cos x -sin x e*a"ln a4.(1)f(x)士g(x) (2)f(z)g(z)+f(z)g(x) 5.(2)yu' 思考辨析(1)√(2)×(3)√ (4)×(5)/ 高考总复习人教数学B版（新教材） 小题查验 第11节 1.B2.D3.B 4.(-9.8t十6.5) 夯实·必备知识 -9.8 5.2x-y=0 思考辨析 (1)× (2)×(3)/ 考点11.-1 (4)/ 跃升·关键能力 小题查验 2.解：设f(x)= 1.A2.A3.A4.(0,1)5.3 Vx 跃升·关键能力考点1 则△y=f(1十△x)-f(1)= [典例][解](1)函数f(x)的定义 1 1=1-√1中Az 域为(0，十∞)， √I十△x √/1十△x f(x)2x十c→f(x)一2x-c0→ (1-√1+△元)(1十√1十△x) 21nx十1-2x-c0(*), √/+△x(1十√1+△x) 设h(x)=21nx十1-2x-c(x>0), -△x 则有N(x)=2-2=21-2, x /1+△x(1+√/1+△x) 当x>1时，h'(x)<0,h(x)单调 △y △元 递减； W1+△.x(1+√/1+△x) 当0x1时，h(x)>0,h(x)单调 是-吗 -1 递增. 所以当x=1时，函数h(x)有最 =一21 大值， 即h(x)mm=h(1)=2ln1十1-2×1 yx=1=一2 -c=一1-c, 要想不等式(*)在(0，十∞)上恒 考点2 成立， 1.[A(+是/=1-是，故A 只需h(x)mx≤0→-1-c≤0→c≥ -1. 错误；B.(tanx)'= () (2)g()=2lnx+1-(21na+1) cosx十sinx=1 cosx c0s云，故B正确； 2lnx-lna(x>0且x≠a), x-a C(e-√E)y=e-(x立)y=e 1 因此g()=2(a-znx+ln@ x(x-a)2 1 =e一 设m(x)=2(x-a-xlnx十xlna) 2 ,故C正确；D.('cos) 则有m'(x)=2(lna-lnx), =2 rcos x-a sin a,故D错误.] 当x>a时，lnx>lna,所以m(x)< 2.A[由题意，f(x)=2cos2x-2sin 0,m(x)单调递减， 2,所以f(受 因此有m(x)<m(a)=0,即g'(x) 2cosπ-2sinπ 0,所以g(x)单调递减； =-2.] 当0<x<a时，lnx<lna,所以 3.解析：()=2+了（号）osx, m'(x)>0,m(x)单调递增， 因此有m(x)<m(a)=0,即g'(x)< f()+r() 0,所以g(x)单调递减， 所以函数g(x)在区间(0，a)和(a, f()誓 十∞)上单调递减，没有递增区间. 跟踪训练 2n 解：f(x)的定义域为（一1，十∞）， (x)=zx-(a2-2a)] 答案：+ (x十1)(x十a)2 ①当1<a<2时，若x∈(-1，a° 4解析：r)( 2a),则f(x)>0,f(x)在(-1，a 2a)内是增函数； 2x-1 若x∈(a一2a,0),则f'(x)0, 2x+1 f(x)在(a-2a,0)内是减函数. (2x-1)'(2x+1)-(2x-1)(22十1) 若x∈(0，十o∞)，则f(x)>0,f(x)在 (2x十1) (0,十o∞)内是增函数. ②当a=2时，f(x)≥0，f(x)=0 4x2-1 成立当且仅当x=0,f(x)在(-1， 十oo)内是增函数」 答案：4x了 4 ③当a>2时，若x∈(-1,0)，则 考点3命题角度1 f(x)>0,f(x)在(-1,0)内是增 函数； 1.C2.y=3x3.y= y=一 e 若x∈(0，a-2a),则f(x)<0, 命题角度24.1-ln2 f(x)在(0，a2-2a)内是减函数； 命题角度35.A6.8 若x∈(a2-2a,十o∞)，则f'(x)>0, 命题角度47.AC8.AD f(x)在(a2-2a,十oo)内是增函数. ·420· 考点2 [典例][解](1)对f(x)求导得f(x) 2 由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直 于直线y=2, 1 知f1)=-3-a=-2, 4 解得a=是 （2)由(1)知fx)=÷+是 5-In x 3 2 则∫(x)=-4红-5 4x2 令f(x)=0,解得x=-1或x=5, 因x=一1不在f(x)的定义域(0， 十∞)内，故舍去. 当x∈(0,5)时，f(x)<0,故f(x)在 (0,5)内为减函数；当x∈(5，十∞) 时，f(x)>0,故f(x)在(5，十o)内 为增函数」 跟踪训练 解：(1)函数f(x)的定义域为R. 由已知得()=e e+1 a ,函数y=f(x)的导函数是奇函数， f'(-x)=-f(x), 即e 'e+1-a=- e e*+i十a, 解得a=子 (2)由(1)f(x)= e+1-a=1 1 e'+1-a. ①当a≥1时，f(x)<0恒成立， a∈[1，十o∞)时，函数y=f(x)在 R上单调递减 ②当0a<1时，由f'(x)>0得(1 -a)(e+1)>1,即c>-1+-a 1 解得x>ln一a' a 由f(x)<0得(1-a)(e+1)<1, 即e<1十已。解择<h产 a .a∈(0,1)时，函数y=f(x)在 (吕a+∞）上单调递增，在 ,a）上单调递减. （-oo,ln1=a)H 考点3命题角度1 1.D 2.BCD 命题角度2 [母题][解](1)f(x)=3x-a. ①当a≤0时，f(x)≥0， 所以f(x)在（一∞，十∞）上为增 函数. ②当a>0时，令3x2-a=0,得x= ±3a 3