第25讲解三角形的实际应用与综合（知识清单+4典例精讲+6方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形的实际应用与综合，涵盖最值范围、实际测量建模、面积计算等高考核心考点，按知识清单、典例精讲、方法技巧、分层训练的逻辑架构系统整合，通过近3年考情分析、4类题型突破、6大解题大招，帮助学生构建从基础到综合的解题体系。 讲义创新融合数学思维与模型意识，通过边化角值域法、方位角拆角法等解题大招培养学生逻辑推理与实际建模能力，设置基础过关、拔高选练、错题复盘分层训练，配合典例精讲即时反馈，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生解三角形综合题的应考能力。

第25讲解三角形的实际应用与综合 （知识清单+4典例精讲+6方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 基础求值、实际测量场景建模、面积计算 单选/解答题 5分/12分 多解判断、面积/周长最值、航海/实际场景应用 单选/解答题 5分/12分 正余弦定理综合、周长与面积范围求解 解答题 12分 【知识点01】解三角形中的最值与范围问题 解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系. 【例1】在中，内角所对的边分别为，已知，，求面积的最大值与周长的取值范围。 【知识点02】解三角形应用举例 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 【例2】（2025·河南南阳·一模）如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s. (1)设A到P的距离为xkm，求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）. 【题型一】求三角形中的边长或周长的最值或范围 【例1】（2024·陕西宝鸡·二模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为，当时，若不等式恒成立，则的取值范围为___________. 【例3】（2026·浙江嘉兴·二模）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 【变式1】（2025·广东广州·模拟预测）记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江西·模拟预测）在中，角的对边分别为，且，若，则的最大值为__________． 【变式3】（2026·甘肃陇南·一模）的内角的对边分别是，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，，求周长的取值范围． 【题型二】几何图形中的计算 【例4】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 【例5】（2026·江苏·二模）在中，，是的中点，若，则________． 【例6】（2026·河南·三模）在平面四边形中，已知，，. (1)求； (2)若，，求. 【变式1】（2024·安徽·模拟预测）在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·内蒙古通辽·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D 在边BC上，且.则 的取值范围是________. 【变式3】（2025·浙江杭州·三模）如图，在三角形中，若，，，则四边形的面积的最大值为________. 【题型三】求三角形面积的最值或范围 【例7】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【例8】（多选）（2024·四川成都·模拟预测）设中，.下列命题正确的有（   ） A．若，则的周长的取值范围是 B．若，则的面积的最大值是 C．若，则的周长的取值范围是 D．若，则的面积的最大值是 【例9】（2026·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【变式1】（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【变式2】（2025·贵州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为___________. 【变式3】（2026·重庆北碚·模拟预测）如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 【题型四】正、余弦定理的实际应用 【例10】（2026·重庆万州·三模）重庆市南山文峰塔坐落于黄桷垭之巅，是重庆市的一座名塔，据《巴县志》记载：文峰塔峭立山巅，凡七级，高逾十丈，万松围护，攒天一碧.某中学社会实践小组为测量重庆市南山文峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底所在的水平地面上选取两点，测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则文峰塔的高度约为（   ）(参考数据：取） A．26米 B．28米 C．30米 D．32米 【例11】（2026·河北石家庄·三模）如图，要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向.若A地正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C在A地正东________km. 【例12】（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．5小时后 B．10小时后 C．15小时后 D．20小时后 【变式2】（2026·湖北·一模）某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 【变式3】（2026·湖南郴州·三模）苏仙岭又称“天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的处，此时他测得山顶的仰角为.他沿着东偏南的方向前行200米后到达点处，此时他测得山顶点的仰角为.假设山顶在水平面上的投影为点，且点位于点的南偏西方向，测量仪器的高度忽略不计. (1)求山高； (2)已知景区内点处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段：平缓上升阶段的倾斜角为，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为.求山脚下缆车上车点到点的距离. 【解题大招01】边化角值域法（求边长、周长范围） 已知定角+定对边，求三角形边长、周长的取值范围 正弦定理边化角，内角和消元，辅助角公式化简，由角度范围锁定三角函数值域 【例1】在中，，，求周长的取值范围。 【解题大招02】角化边不等式法（求面积、边长最值） 已知定角及边角关系，求三角形面积、两边积的最大值 余弦定理角化边，构造关系式，利用基本不等式求最值 【例2】在中，，，求面积的最大值。 【解题大招03】边角范围约束法（规避范围易错点） 求解含参边长、角度范围，排除无效边界 兼顾内角范围和三角形三边关系，双重约束锁定精准范围 【例3】在中，，求角的取值范围。 【解题大招04】双角测高建模法 地面两点双仰角，测量建筑物、山体高度 设高为未知数，利用双直角三角形水平距离差列方程求解 【例4】在平地测点测楼顶仰角为，向前行进至点，仰角变为，求楼高。 【解题大招05】方位角拆角法 轮船航行、灯塔定位等方位角测距问题 根据正北/正东方位拆解三角形内角，用正、余弦定理求边长 【例5】船在处观测灯塔北偏东，船向正北航行至处，观测灯塔北偏东，求距离。 【解题大招06】辅助点测距法 两点隔河、隔障碍物无法直接测量距离 增设地面辅助观测点，构造斜三角形，正弦定理转化求解 【例6】为测河对岸两点距离，在岸边取点，测得，，，求。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·湖南湘潭·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 2．（2026·河南濮阳·一模）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川凉山·二模）如图，西昭高速施工队计划在一座大山中挖通一条直隧道，需要确定隧道的长度，工程测量员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·江西·模拟预测）设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2024·广东茂名·二模）在中，，点在线段上，且，则______________. 6．（2026·辽宁朝阳·三模）已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则_______；若，则面积的取值范围为_______． 四、解答题 7． （2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 8．（2024·宁夏银川·二模）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在出测得山顶得仰角为， (1)若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值） (2)求证;山高 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东珠海·模拟预测）龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取C，D两点，测得米，， ，在点处测得塔顶的仰角为，则龙辰塔的高度约为（   ）（参考数据：取，） A．46米 B．48米 C．50米 D．52米 二、多选题 3．（2026·湖南衡阳·二模）在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（   ） A． B．若，则 C．若三角形ABC为锐角三角形，则的取值范围是 D．若，则三角形ABC为直角三角形 三、填空题 4．（2026·湖南郴州·三模）在锐角三角形中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为__________. 5．（2024·全国·二模）在中，角A，B，C的对边分别为的平分线AD交BC于点.若，则周长的最小值为___________. 四、解答题 6．（2024·安徽合肥·三模）如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶4分钟后，到达处，此时测得仰角，且. (1)求此山的高的值； (2)求该车从到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·河南郑州·二模）已知的面积为1，，的中点分别，，且，则的最小值为（     ） A． B．2 C． D． 二、多选题 2．（2026·山西朔州·二模）在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的最小值为 三、填空题 3．（2026·山西吕梁·三模）平面凸四边形中，，，，，若满足上述条件的平面凸四边形有且只有1个，则的取值范围为_______. 四、解答题 4．（2026·河北沧州·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，AC边上的中线，求的平分线BN的长． 5．（2024·江苏南京·模拟预测）一种机械装置的示意图如图所示，所有构件都在同一平面内，其中，O，A是两个固定点，米，线段AB是一个滑槽（宽度忽略不计），米，，线段OP，OQ，PQ是三根可以任意伸缩的连接杆，，O，P，Q按逆时针顺序排列，该装置通过连接点Q在滑槽AB中来回运动，带动点P运动，在运动过程中，始终保持． （1）当点Q运动到B点时，求OP的长； （2）点Q在滑槽中来回运动时，求点P的运动轨迹的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25讲解三角形的实际应用与综合 （知识清单+4典例精讲+6方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 基础求值、实际测量场景建模、面积计算 单选/解答题 5分/12分 多解判断、面积/周长最值、航海/实际场景应用 单选/解答题 5分/12分 正余弦定理综合、周长与面积范围求解 解答题 12分 【知识点01】解三角形中的最值与范围问题 解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系. 【例1】在中，内角所对的边分别为，已知，，求面积的最大值与周长的取值范围。 解：（1）求三角形面积最大值 由余弦定理，代入已知条件得： 由基本不等式，可得： ，即 当且仅当（三角形为等腰三角形）时，等号成立。 三角形面积 代入得： 故三角形面积最大值为。 （2）求三角形周长的取值范围 由正弦定理得 因此， 由，得，，其中 周长 由，得，故 因此，周长。 【知识点02】解三角形应用举例 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 【例2】（2025·河南南阳·一模）如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s. (1)设A到P的距离为xkm，求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据速度得三角形边之间关系，再根据余弦定理求结果， （2）作垂线，根据直角三角形解结果. 【详解】（1）依题意，得 ， ，所以 ， ．在 中，， 余弦定理，得 ． 同理在 中，． 由于 ， 所以 ， 解得 ． （2）作 ，垂足为 ，在 中， ． 所以目标 到海防警戒线 的距离为 ． 【题型一】求三角形中的边长或周长的最值或范围 【例1】（2024·陕西宝鸡·二模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定角范围后，由正弦定理表示出，再利用三角函数性质得结论． 【详解】因为是锐角三角形，所以，，所以，， 由正弦定理得，所以． 故选：C． 【例2】（2025·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为，当时，若不等式恒成立，则的取值范围为___________. 【答案】 【分析】由余弦定理得出，将题设不等式化为再解一元二次不等式即可. 【详解】由余弦定理得 因为，所以由得 所以若不等式，即恒成立﹐则 即，所以或(舍). 故答案为： 【例3】（2026·浙江嘉兴·二模）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 【答案】(1)， (2)4 【详解】（1）由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. （2）由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 【变式1】（2025·广东广州·模拟预测）记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和得，结合正弦定理计算，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得的取值范围． 【详解】因为，所以． 由正弦定理，有所以． 因为． 又， 所以． 因为是锐角三角形，所以 所以，所以． 所以，即的取值范围是， 故选：D． 【变式2】（2025·江西·模拟预测）在中，角的对边分别为，且，若，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】由正弦定理得，根据三边关系确定，根据余弦定理，用边表示为，进而求出最值即可. 【详解】因为，由正弦定理得，在中，，即，故，， 由余弦定理得， 又因为， 所以， 当即时等号成立. 故答案为：. 【变式3】（2026·甘肃陇南·一模）的内角的对边分别是，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得出，结合角的取值范围可求得角的值； （2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出，根据为锐角三角形求出角的取值范围，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 因为，则，所以， 则， 因为，则，所以，解得． （2）由正弦定理可得，即， 所以，易知， 所以 ， 因为为锐角三角形，且，则得， 所以， 因为， 所以， 所以． 【题型二】几何图形中的计算 【例4】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两次余弦定理即可求解. 【详解】 由余弦定理得：， 再由余弦定理得：， 则， 故选：B 【例5】（2026·江苏·二模）在中，，是的中点，若，则________． 【答案】 【详解】中，，由， 设， 则， 是的中点，所以， 在中，由余弦定理得． 【例6】（2026·河南·三模）在平面四边形中，已知，，. (1)求； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 在中，由余弦定理得：， 因为，所以． （2） 因为，，所以， 在四边形中，， 设，在中，， 在中，， 因为，所以。 即 整理得，解得 在中，． 【变式1】（2024·安徽·模拟预测）在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数，结合图形，即可求解. 【详解】如图，边上的高为，，且， 所以，则， 则，， 所以，则. 故选：B 【变式2】（2025·内蒙古通辽·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D 在边BC上，且.则 的取值范围是________. 【答案】 【分析】先由题设，接着由在和中结合余弦定理得及范围，再设建立不等式，解该不等式即可得解. 【详解】由题可设， 因为，所以， 所以由余弦定理有，， 所以，再由得， 设，则， 所以即， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式3】（2025·浙江杭州·三模）如图，在三角形中，若，，，则四边形的面积的最大值为________. 【答案】 【分析】首先由条件等式，结合正弦定理，余弦定理，基本不等式，以及三角函数的有界性，确定的形状，再以为自变量表示四边形的面积，根据三角函数的性质，即可求解. 【详解】由正弦定理可知可化为， 由余弦定理（当且仅当时等号成立）得， 所以，即， 即（当且仅当时等号成立）， 整理为，即，又， 所以，又， 所以，即， 同理，条件等式也可化简为和，可得， 所以是等边三角形， 设，，在中，， ，， ， 当时，四边形的面积取得最大值. 故答案为： 【题型三】求三角形面积的最值或范围 【例7】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用三角形三边关系确定参数的取值范围，再结合余弦定理和三角形面积公式，通过二次函数求最值的方法即可得到面积的最大值. 【详解】因为，，由余弦定理：， 即，所以， 因为在中，，所以， 所以， 令，因为，得，即， 则 ， 这是关于的二次函数，开口方向向下，所以当时，二次函数取到最大值为144， 此时. 【例8】（多选）（2024·四川成都·模拟预测）设中，.下列命题正确的有（   ） A．若，则的周长的取值范围是 B．若，则的面积的最大值是 C．若，则的周长的取值范围是 D．若，则的面积的最大值是 【答案】BCD 【分析】由三角形的三边关系可求出周长的取值范围，可判断AC选项；根据三角形的面积公式求出面积的最大值，可判断B选项；利用余弦定理、同角三角函数的基本关系结合三角形的面积公式可求出面积的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A。当时，，由三角形三边关系可得，， 所以，因此的周长的取值范围是，故A错误； 对于B，由，可知， 当时，的面积取到最大值，故B正确； 对于C，当时，由，即，得； 由，得，从而， 所以， 因此的周长的取值范围是，故C正确； 对于D，由余弦定理可得， 可得， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 【例9】（2026·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理求角； （2）根据（1）和余弦定理可得 ，再利用三角形的面积公式和基本不等式求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理，得 ，整理得， 由余弦定理，得， 又，所以． （2）由（1）及余弦定理知，， 故，当且仅当时等号成立， 即面积的最大值为． 【变式1】（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由条件根据余弦定理求的表达式，利用基本不等式求的最小值，再由同角关系求的最大值，利用三角形面积公式求结论. 【详解】由余弦定理可得，又，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，又， 所以，， 所以的面积， 所以当时，的面积取最大值，最大值为. 【变式2】（2025·贵州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为___________. 【答案】/ 【分析】结合余弦定理和已知条件表示出cosA，再利用基本不等式求出cosA的最小值，判断角A的大小，再根据求出tanA的最大值，从而根据即可求出答案． 【详解】由余弦定理及,得， ∴， ∵A是三角形内角，故A为锐角， ∴， ∴的面积． 故答案为： 【变式3】（2026·重庆北碚·模拟预测）如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在 中利用余弦定理求出，进而求出 ，最后在中利用正弦定理求解 （2）设 ，利用正弦定理将表示为 的函数，进而将面积表示为 的三角函数，结合 的取值范围求值域 【详解】（1）在 中，，，由余弦定理， 因为 ，所以， 因为，所以，所以 ， 在中，由正弦定理得， 即 所以边的长为. （2）设 ，因为，所以， 在中，，所以， 由三角形内角和定理，得，解得， 在中，， 由正弦定理得， 所以面积 . 因为，所以，则， 所以，即面积的取值范围为. 【题型四】正、余弦定理的实际应用 【例10】（2026·重庆万州·三模）重庆市南山文峰塔坐落于黄桷垭之巅，是重庆市的一座名塔，据《巴县志》记载：文峰塔峭立山巅，凡七级，高逾十丈，万松围护，攒天一碧.某中学社会实践小组为测量重庆市南山文峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底所在的水平地面上选取两点，测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则文峰塔的高度约为（   ）(参考数据：取） A．26米 B．28米 C．30米 D．32米 【答案】B 【分析】先在中用正弦定理求出，再在中利用仰角的正切值即可求出塔高. 【详解】在中，因为，所以， 又因为，根据正弦定理：，即， 所以， 在中，， 所以米. 【例11】（2026·河北石家庄·三模）如图，要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向.若A地正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C在A地正东________km. 【答案】 【分析】根据正弦定理解三角形即可得到答案. 【详解】由题意可得，，，，则， 根据正弦定理可得，又，所以，所以地震的位置C在A地正东处. 【例12】（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出； 【详解】（1）由题可知在中，，，所以， 由正弦定理可得：，及， 所以（海里）． （2）由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．5小时后 B．10小时后 C．15小时后 D．20小时后 【答案】B 【分析】由题意km，根据方位角关系可得，利用余弦定理建立关于的方程求解即可. 【详解】设小时后台风中心移动到点，此时城市开始受到台风侵袭，即km， 已知，台风速度为，因此， 根据方位角关系可得， 在中，由余弦定理：， 代入数值， ， 化简得：，解得或，依题意开始受到侵袭的时间，取较小值 【变式2】（2026·湖北·一模）某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 【答案】60 【分析】设，则可由余弦定理构建关于的方程，求出其解即可. 【详解】由题设， 设，则， 在中，由余弦定理有， 故，同理， 而，故， 所以，故， 故. 【变式3】（2026·湖南郴州·三模）苏仙岭又称“天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的处，此时他测得山顶的仰角为.他沿着东偏南的方向前行200米后到达点处，此时他测得山顶点的仰角为.假设山顶在水平面上的投影为点，且点位于点的南偏西方向，测量仪器的高度忽略不计. (1)求山高； (2)已知景区内点处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段：平缓上升阶段的倾斜角为，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为.求山脚下缆车上车点到点的距离. 【答案】(1)200米； (2)米. 【分析】（1）设， 进而结合题意，在中根据余弦定理求得或，再结合点位于点的南偏西方向得即可得答案； （2）结合（1），设，，进而得，，再结合三角函数求解即可得答案. 【详解】（1）解：如图，在中，设， 由题意知，且, 由余弦定理， 代入得： 化简得：，即 解得或 由“点位于点的南偏西方向”可知，必在的东北方向，从而的横坐标应大于的横坐标. 由点向东位移为米，可得，即. 故只能取，所以山高米.    （2）解：由第（1）问知，山高米. 因为缆车在点处转换坡度，故两段缆车各上升100米. 设第一段（倾斜角）的水平距离为，即， 第二段（倾斜角）的水平距离为，即 则有：，，所以，； 因此，山脚下缆车上车点到点的距离为： 利用常用三角函数值：， 得 故山脚下缆车上车点到点的距离为米. 【解题大招01】边化角值域法（求边长、周长范围） 已知定角+定对边，求三角形边长、周长的取值范围 正弦定理边化角，内角和消元，辅助角公式化简，由角度范围锁定三角函数值域 【例1】在中，，，求周长的取值范围。 解析：由正弦定理得： 故 由，得， 周长： 代入消元化简： 由，得，则 因此，最终周长范围： 【解题大招02】角化边不等式法（求面积、边长最值） 已知定角及边角关系，求三角形面积、两边积的最大值 余弦定理角化边，构造关系式，利用基本不等式求最值 【例2】在中，，，求面积的最大值。 解析：由余弦定理： 代入条件： 由基本不等式，得： 即，当且仅当时取等号（三角形存在） 面积公式： 代入得： 结论：面积最大值为 【解题大招03】边角范围约束法（规避范围易错点） 求解含参边长、角度范围，排除无效边界 兼顾内角范围和三角形三边关系，双重约束锁定精准范围 【例3】在中，，求角的取值范围。 解析：由余弦定理： 由三边关系：，即，得 代入得：，结合三角形内角性质，最终得 结合函数单调性可精准判定锐角、钝角范围，避免范围放大错误。 【解题大招04】双角测高建模法 地面两点双仰角，测量建筑物、山体高度 设高为未知数，利用双直角三角形水平距离差列方程求解 【例4】在平地测点测楼顶仰角为，向前行进至点，仰角变为，求楼高。 解析：设楼高 中： 中： 由，得： 解得： 【解题大招05】方位角拆角法 轮船航行、灯塔定位等方位角测距问题 根据正北/正东方位拆解三角形内角，用正、余弦定理求边长 【例5】船在处观测灯塔北偏东，船向正北航行至处，观测灯塔北偏东，求距离。 解析：由方位角得：，，故 由正弦定理： 代入 解得： 【解题大招06】辅助点测距法 两点隔河、隔障碍物无法直接测量距离 增设地面辅助观测点，构造斜三角形，正弦定理转化求解 【例6】为测河对岸两点距离，在岸边取点，测得，，，求。 解析：由内角和得： 正弦定理： 代入数据解得： 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·湖南湘潭·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 【答案】B 【分析】通过正弦定理将角化为边得，再结合余弦定理即可得结果. 【详解】由，可得，则， 则，则A为钝角， 故的形状是钝角三角形. 2．（2026·河南濮阳·一模）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中利用正弦定理求出，再利用即可求出. 【详解】在中利用正弦定理得，， 即，则， 在中得，，则. 故选：D 3．（2026·四川凉山·二模）如图，西昭高速施工队计划在一座大山中挖通一条直隧道，需要确定隧道的长度，工程测量员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理计算即可得. 【详解】 ， 故隧道的长度. 二、多选题 4．（2024·江西·模拟预测）设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，由正弦定理可得，从而得或，即可判断；对于B，由正弦定理可知，即有，即可判断；对于C，由三角形内角和为及诱导公式可得，即可判断；对于D，由正弦定理及两角和差公式可得，从而得，即可判断. 【详解】解：对于A，由正弦定理可知，即， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不符合题意； 对于B，由正弦定理可知， 又因为，所以， 所以， 所以是等腰三角形，符合题意； 对于C，因为，解得， 所以，是直角三角形，不符合题意； 对于D，由正弦定理可知， 所以， 即， ， 即， 所以，是等腰三角形，符合题意. 故选：BD. 三、填空题 5．（2024·广东茂名·二模）在中，，点在线段上，且，则______________. 【答案】 【分析】余弦定理求，勾股定理证得为直角三角形，，勾股定理求的值. 【详解】由余弦定理，， 则有，即为直角三角形，，， 由，得，所以. 故答案为：. 6．（2026·辽宁朝阳·三模）已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则_______；若，则面积的取值范围为_______． 【答案】 2 【分析】根据二倍角公式及正弦定理得到，再结合同角三角函数的关系，两角和的正弦公式，诱导公式，正弦定理，及余弦定理即可求出的值；依题意可得，结合余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数的关系，三角形边的关系，及二次函数的性质即可求出面积的取值范围． 【详解】由， 由二倍角公式得， 所以正弦定理得， 又在锐角中，有， 则 ； 若，则， 则由余弦定理有， 所以， 又因为是锐角三角形，则有， 又，解得， 又，所以， 则，所以， 故面积的取值范围为． 四、解答题 7． （2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角变形已知等式，再结合两角和的正弦，辅助角公式和诱导公式可得； （2）由正弦定理边化角和两角差的正弦得到，再结合锐角范围和三角函数值域可得. 【详解】（1）. 由正弦定理得 在中， 代入上式化简得： 因为，所以，即 为锐角，. （2）由正弦定理得 所以 ， 是锐角三角形，， ， 即， 所以周长的取值范围为. 8．（2024·宁夏银川·二模）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在出测得山顶得仰角为， (1)若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值） (2)求证;山高 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意利用坡面的坡比的定义计算可得；（2）求得的的长度和正弦定理可求得山的高度. 【详解】（1）坡面的坡比为 （2）在中, 在中,根据正弦定理 所以山高为 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的内切圆半径为，利用，把表示成关于的函数，利用基本不等式求出的最大值可得答案. 【详解】由，， 得， 由余弦定理得， 整理得. 设的内切圆半径为，则， 所以， 由余弦定理得：， 得，所以， 由基本不等式得：，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 故，所以的内切圆面积的最大值为. 2．（2026·广东珠海·模拟预测）龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取C，D两点，测得米，， ，在点处测得塔顶的仰角为，则龙辰塔的高度约为（   ）（参考数据：取，） A．46米 B．48米 C．50米 D．52米 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出，再由直角三角形边角关系求解. 【详解】依题意，， 在中，由正弦定理得， 即， 在中，， 所以（米）. 二、多选题 3．（2026·湖南衡阳·二模）在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（   ） A． B．若，则 C．若三角形ABC为锐角三角形，则的取值范围是 D．若，则三角形ABC为直角三角形 【答案】ABD 【分析】对题干信息利用正弦定理和余弦定理即可判断AB选项；根据题意结合三角函数值域可判断C选项；利用正弦定理和三角恒等变换可判断D选项. 【详解】对于A：因为，所以或，又， 故，若，又，则，与矛盾，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，由正弦定理将上述等式化简为， 根据余弦定理代入可得，将代入得，解得或（舍），故B正确； 对于C：由选项A可知，所以， 又，因为为锐角三角形， 所以， 即，解得， 因为在上单调递减，所以，故C错误； 对于D：因为，由正弦定理及得， 所以， 又， 所以，又， 所以， 即，又，所以为锐角，可得， 所以，所以，所以，故D正确． 三、填空题 4．（2026·湖南郴州·三模）在锐角三角形中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】借助正弦定理与三角形内角和可将、用角表示，再借助三角恒等变换公式可用表示出，最后求出的范围即可得解. 【详解】由正弦定理可得、， 则 ， 由三角形为锐角三角形，则，即， 则，故， 即，即的取值范围为. 5．（2024·全国·二模）在中，角A，B，C的对边分别为的平分线AD交BC于点.若，则周长的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】根据正弦定理边角化可得，即可利用正弦和差角公式求解，利用等面积法可得，进而根据基本不等式即可求解. 【详解】， ， 即， ， ， . ，得， 由，得，当且仅当时，等号成立. 又的周长，当且仅当时，等号成立. 故答案为： 四、解答题 6．（2024·安徽合肥·三模）如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶4分钟后，到达处，此时测得仰角，且. (1)求此山的高的值； (2)求该车从到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由锐角三角函数表示出、，再在中利用余弦定理计算可得； （2）设是线段上一动点，连接，即可得到点处观测点的仰角为，且，求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）设，在中，因为，所以， 同理，在中，， 在中，由余弦定理得， 由，所以，解得（负值已舍去），所以此山的高为； （2）由（1）得，设是线段上一动点，连接， 则在点处观测点的仰角为，且， 因为，，所以， 当时，最短，记最小值为，由， 即，解得，所以， 所以该车从到行驶过程中观测点仰角正切值的最大值为． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·河南郑州·二模）已知的面积为1，，的中点分别，，且，则的最小值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入 ，利用面积关系得到一个等式，然后用余弦定理表示边，最后转化为角的函数来求最值即可． 【详解】取，根据已知条件可知为的重心， 由，设，，则，，，， 由， 又因为， 所以， 由余弦定理可知， 令，则， 即， 因为，所以，即， 因为，所以的最小值为． 二、多选题 2．（2026·山西朔州·二模）在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由已知等式结合平方差公式和余弦定理求得角；再利用正弦定理结合锐角三角形条件求出边的取值范围，进而分析面积、周长的范围；最后利用重心性质与余弦定理，通过二次函数求最值得到的最小值，逐项判断选项. 【详解】对于A，由，可得，即， 由余弦定理可得， 又为锐角三角形，所以，A正确； 对于B，由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则，所以，故， 因为，所以的取值范围为，B错误； 对于C，由余弦定理可得， 因为，所以，即， 所以周长，C正确； 对于D，设的中点为，因为是的重心，所以， 在中，由余弦定理可得， 故当时，取得最小值，此时的最小值为，D正确. 三、填空题 3．（2026·山西吕梁·三模）平面凸四边形中，，，，，若满足上述条件的平面凸四边形有且只有1个，则的取值范围为_______. 【答案】 【分析】以为圆心，为半径画圆，观察能使平面凸四边形有且只有1个的点个数，再求解 【详解】在中，由余弦定理可得， 所以，是直角三角形，， ， ， 如下图，设点到的距离为，，要想构成平面凸四边形，必有， 当，满足条件的平面凸四边形恰好只有1个，    如下图，当，满足条件的平面凸四边形有且只有2个，舍去， ③如下图，延长交于，由图可知， ， 由正弦定理得： 计算得， ， ， 综上所述：的取值范围是. 四、解答题 4．（2026·河北沧州·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，AC边上的中线，求的平分线BN的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式与正弦定理可得，结合余弦定理可求得，进而可求角B的大小； （2）由已知得，结合向量的数量积可得，结合余弦定理可求得，，利用面积法可求得的平分线BN的长． 【详解】（1）由，得， 所以，可得，所以， 所以，所以， 又因为，所以； （2）若M为边上的中点，则， 所以， 所以，又，所以， 所以，，所以，所以 又，且是的平分线， 所以， 所以， 所以，所以，所以. 5．（2024·江苏南京·模拟预测）一种机械装置的示意图如图所示，所有构件都在同一平面内，其中，O，A是两个固定点，米，线段AB是一个滑槽（宽度忽略不计），米，，线段OP，OQ，PQ是三根可以任意伸缩的连接杆，，O，P，Q按逆时针顺序排列，该装置通过连接点Q在滑槽AB中来回运动，带动点P运动，在运动过程中，始终保持． （1）当点Q运动到B点时，求OP的长； （2）点Q在滑槽中来回运动时，求点P的运动轨迹的长度． 【答案】（1）；（2）米． 【分析】（1）当Q运动到时，由条件可求得 在直角中，再利用，可得的长. （2）以O为坐标原点，AO所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系,设出， 两点坐标，写出直线的方程，找出点轨迹的两个临界，即可得出P的运动轨迹的长度. 【详解】（1）在中，，设，则， 当点Q运动到B点时，， 所以． 答：当点Q运动到B点时，OP的长为米． （2）以O为坐标原点，AO所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设，，则． 因为线段AB的方程为，， 所以，， 因此，， 整理得， 由得， 设直线和直线的交点为M， 直线和直线的交点为N， 则点P的运动轨迹为线段MN，易解得，， 所以． 答：点Q在滑槽中运动时，求点P的运动轨迹的长度为米． 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，涉及直线的方程，弄清楚模型是关键，属于难题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $